高中物理选择性必修第一册 · 公式大全(第二章)

范围：人教版高中物理选择性必修第一册全四章（第一章~第四章）

内容：每个公式均包含公式内容、字母说明、推导过程、使用条件

特点：常用与不常用公式大部分都收录在册，适合新课公式理解，一轮复习查阅手册，考前冲刺巩固记忆。

第二章 机械振动

2.1 简谐运动·回复力

公式：

字母说明：

推导过程：

如果质点所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置，这样的运动称为简谐运动。回复力  与位移  的关系：

负号表示回复力的方向总是与位移方向相反（指向平衡位置）。回复力可以是某一个力（如弹簧的弹力），也可以是几个力的合力或某个力的分力。

使用条件：

• 物体受力与位移成正比且反向
• 回复力不一定是合外力（但简谐运动的回复力等于合外力在运动方向上的分量）
• 回复力是效果力，命名按作用效果
• 简谐运动是理想化模型
• 弹簧振子（水平、竖直）均为简谐运动

2.2 简谐运动·加速度与位移的关系

公式：

字母说明：

推导过程：

由牛顿第二定律  和回复力 ：

可见简谐运动的加速度与位移成正比且方向相反，加速度随位移做线性变化，在平衡位置（）加速度为零，在最大位移处（）加速度最大 。

使用条件：

• 简谐运动
• 加速度与位移成正比反向是简谐运动的特征（判断是否简谐运动的依据）
• 加速度方向始终指向平衡位置

2.3 简谐运动·振动方程（位移）

公式：

或

字母说明：

推导过程：

由 （其中 ）这是典型的简谐振动微分方程，其解为正弦（余弦）函数：

其中  为振幅， 由初始条件（ 时的位置和速度）决定。

使用条件：

• 简谐运动
• 余弦形式适用： 时从最大位移处开始计时
• 正弦形式适用： 时从平衡位置开始计时
• 位移  从平衡位置指向所在位置（以平衡位置为原点）

2.4 简谐运动·速度表达式

公式：

字母说明：

推导过程：

对振动方程  求导得速度：

当  时，速度取极值，即在平衡位置时速度最大：；在最大位移处速度为零。

使用条件：

• 简谐运动
• 速度的最大值出现在平衡位置，最小值（零）出现在最大位移处
• 速度方向由运动趋势决定（远离平衡位置速度减小，靠近平衡位置速度增大）

2.5 简谐运动·加速度表达式

公式：

字母说明：

推导过程：

对速度表达式  求导得加速度：

在最大位移处（）加速度最大：；在平衡位置加速度为零。

使用条件：

• 简谐运动
• 加速度始终指向平衡位置，与位移方向相反
• 加速度最大处速度为零，速度最大处加速度为零（相位差 ）

2.6 简谐运动·角频率（弹簧振子）

公式：

字母说明：

推导过程：

由牛顿第二定律 ，即 。与简谐振动加速度特征  对比，得：

使用条件：

• 弹簧振子（水平或竖直均可）
• 角频率（或周期）只由振动系统自身决定（、），与振幅无关——简谐运动的等时性
• 竖直弹簧振子做简谐运动时， 同样为 （平衡位置在弹力与重力平衡处）

2.7 弹簧振子·周期

公式：

字母说明：

推导过程：

由角频率  和周期 ，代入得：

使用条件：

• 弹簧振子
• 周期由系统本身决定（、），与振幅、最大速度无关（等时性）
• 简谐运动的周期是固有性质
• 改变振幅不改变周期

2.8 周期、频率、角频率的关系

公式：

字母说明：

推导过程：

周期  是完成一次全振动的时间，频率  是单位时间内完成全振动的次数，两者互为倒数：。因为一次全振动对应的相位变化为 ，所以角频率 。

使用条件：

• 适用于所有周期性运动（振动、波动）
•  的单位 rad/s 与  对应
• 频率单位 Hz = s⁻¹

2.9 简谐运动·最大速度

公式：

字母说明：

推导过程：

由速度表达式 ，速度的最大值为 ，出现于平衡位置（ 处）。代入 ：

使用条件：

• 简谐运动
• 最大速度与振幅成正比
• 也可由机械能守恒  推导：

2.10 简谐运动·最大加速度

公式：

字母说明：

推导过程：

由 ，当 （最大位移处）时加速度取最大值：

最大加速度出现在最大位移处，方向指向平衡位置。

使用条件：

• 简谐运动
• 最大加速度与振幅成正比
• 最大位移处：速度为零、加速度最大；平衡位置：速度最大、加速度为零

2.11 简谐运动·总能量

公式：

字母说明：

推导过程：

以弹簧振子为例，在最大位移处动能全部转化为弹性势能：；在平衡位置势能全部转化为动能：。而 ，，三式等价：

使用条件：

• 简谐运动（无能量损失的理想情况）
• 总能量与振幅的平方成正比：
• 振幅不变则能量守恒，动能与势能不断转化但总和不变
• 阻尼振动时能量不断减少，振幅逐渐减小

2.12 简谐运动·动能与势能

公式：

字母说明：

推导过程：

弹簧振子的动能 ，弹性势能 。在振动过程中，动能与势能相互转化，机械能守恒：

使用条件：

• 简谐运动（弹簧振子）
• 平衡位置：，，动能最大
• 最大位移：，动能全部转化为势能
• 动能与势能均随时间做周期性变化（周期为振动周期的 ）
• 机械能总量与振幅平方成正比

2.13 单摆·回复力

公式：

字母说明：

推导过程：

单摆的摆球沿圆弧运动，回复力是重力沿圆弧切线方向的分力：，方向指向平衡位置。

当摆角很小（）时，，代入得：

力与位移  成正比且方向相反（），所以小角度单摆做简谐运动。

使用条件：

• 摆角小于 （小角度近似，）
• 摆线不可伸长、质量可忽略
• 摆球体积小、质量大（可视为质点）
• 回复力是重力沿切向的分力，不是合力

2.14 单摆·周期

公式：

字母说明：

推导过程：

单摆的回复力  与简谐运动回复力  对比，得等效劲度系数 。代入弹簧振子周期公式 ：

使用条件：

• 小角度单摆（）
• 周期与振幅无关（摆幅、摆球质量、摆球材料无关）——单摆的等时性
• 周期只由摆长  和重力加速度  决定
•  为悬点到摆球重心的距离
• 摆长改变，周期相应改变：
• 月球上  小，单摆周期变大；电梯加速上升等效重力加速度增大，周期变小

2.15 实验·用单摆测量重力加速度

公式：

字母说明：

推导过程：

由单摆周期公式  解出 ：

实验做法：测出摆长  和周期 （测多次全振动时间求 ），代入计算 。为减小误差，可改变摆长多次测量，作 - 图，斜率 ，从而求 。

使用条件：

• 实验测定重力加速度
• 摆长  为悬点到球心的距离（）
• 测量周期时取多次全振动（如 30~50 次）的平均值减小误差
• 摆角要小、摆线要细且不可伸长
• - 图像为过原点的直线，斜率 

2.16 受迫振动与共振

公式：

字母说明：

推导过程：

在外界周期性驱动力作用下的振动称为受迫振动。受迫振动的频率总是等于驱动力的频率，与系统固有频率无关。当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅达到最大值，这种现象称为共振。

使用条件：

• 受迫振动的频率 = 驱动力频率（稳定后）
• 共振条件：
• 共振的应用：共振筛、共振测速仪
• 共振的危害：防止共振（如军队过桥改便步走避免共振破坏桥梁）
• 阻尼振动：振动系统受到摩擦阻力，振幅逐渐减小，能量不断减少，但周期不变