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高中物理[二级结论专题系列](3)“力与物体平衡”里的二级结论,有你想不到的!
➊论证：摩擦力一定与相对运动（或相对运动趋势）方向相反，但与物体的运动方向无必然关系。
做一个擦汗动作就可以分析出一个物体所受摩擦力方向与它的运动方向的可能关系。
想象自己走动过程中在头上擦汗，你可以在头上不同部位，向不同方向擦汗，那么头受到脸巾摩擦力的方向自然可以有各种方向：向后，向前，与前进方向垂直、成300度角、成700角、成110.30角…….你的头运动方向向前，因此头受到的摩擦力可以与其运动方向反向、同向、垂直、成300度角、成700角、成110.30角…….
➋此结论肯定地表达摩擦力方向与受力物体的实际运动方向无必然关系。
理解此规律就不会出现想当然错误：摩擦力总是与物体运动反向相反阻碍物体运动。
此结论的使用条件：摩擦力为滑动摩擦力或静摩擦力。
➌结论类型：结果型
➍避坑指南：静摩擦力和滑动摩擦力一样，其方向与物体运动方向有各种可能关系。
★II02(总011)「滑动摩擦力的变化量与压力变化量成正比」
➊证明：设原来摩擦力和压力分别为f1和FN1，变化后分别为f2和FN2，则
f1=μFN1，f2=μFN2
两式相减得f2-f1=μ（FN2-FN1），
即
➋此结论说明滑动摩擦力的变化量与压力变化量成正比且比例系数为动摩擦因数。
利用此结论求解有些问题时，不必考虑两种状态压力和摩擦力的大小，直接建立它们变化量间关系，使求解更简便。
实际上，所有具有线性关系的两个物理量，都满足此类关系：变化量成正比。
如：在弹性限度内，弹簧弹力与形变量
弹力与长度
物体的质量和能量
一定质量的理想气体体积不变时，其压强与热力学温度关系
➌结论类型：结果型
➍典例1 ．(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动．若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动．物块与桌面间的动摩擦因数为( )
一般解解法：选C.设物块的质量为m.据平衡条件及摩擦力公式有拉力F水平时，F＝μmg①
拉力F与水平面成60°角时，
Fcos 60°＝μ(mg－Fsin 60°)②
联立①②式
简解：两种受力状态下物体均匀速运动，故动力的减少量等于阻力的减少量，根据结论有
F-Fcos 60°＝μ(mg－Fsin 60°)
典例2 (2023·山东)餐厅暖盘车的储盘装置示意图如图所示，三根完全相同的弹簧等间距竖直悬挂在水平固定圆环上，下端连接托盘.托盘上叠放若干相同的盘子，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平.已知单个盘子的质量为300 g，相邻两盘间距1.0 cm，重力加速度大小取10 m/s2.弹簧始终在弹性限度内，每根弹簧的劲度系数为( )
A.10 N/m B.100 N/m
C.200 N/m D.300 N/m
★II03(总012)「会形变的三角形可解决各种合、分力问题」
➊指引：两个力与它们合力之间关系满足三角形定则。通过做三角形可以分析得出多种结论。
结论一：两个分力大小一定时，夹角越θ大合力越小
结论二：合力一定时，两等大分力的夹角越大，两分力越大。
结论三：两等大的力（F1、F2）的合力F与此二力间夹角θ间的关系为
结论四：两个等大且夹角为120o的力的合力与这两个力等大.
➋此结论给分析各种合、分力问题提供了通用思路—几何三角形法，特别适于合力与分力变化关系的分析。
➌结论类型：指引型
➍典例3 ．
(多选)已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为
解析：根据可变形三角形思路，如图所示，因
故F1的大小有两种可能情况，由
即F1的大小分别为Fcos 30°－ΔF和Fcos 30°＋ΔF，
得F1的大小分别为
A、C正确．
➎避坑指南：注意力的合成三角形里，两力夹角的位置。
★II04(总013)「双线系双球系统的平衡」
结论：两球质量与它们到过公共悬点（或两线延长线交点）竖直线与两球连线交点的距离成反比。(如图甲或图乙)设两线（或延长线）的交点为O,，过O点的竖直直线与两球的连线交于点P，P点到两球的距离分别为L1和L2，则两球的质量满足关系
➊证明：如图甲，设两球之间的作用力大小为F，对球A，由△ACD相似于△APO得m1g/OP=F/L1①
同理，对球B，得m2g/OP=F/L2②
由①②得m1L1=m2L2
➋此结论建立了两球质量与对应距离的反比关系，此关系不要求两线等长、两球连线水平，具有普适性。
结论适用条件：两球在两绳作用下平衡。
➌结论类型：结果型
➍典例4 两根绝缘轻细线上端悬挂于同一点O，下端分别系小球A、B。两球带同种电荷，平衡时OA=L，与竖直方向夹角为600；OB=2L，与竖直方向夹角为300，A 在左上方，B 在右下方。求两球质量之比 mA:mB。
解析：设两球连线与过O点的竖直线交于P点，过A、B两球作OP的垂线，垂足分别为M、N，由几何关系得
AM=Lsin600
AP/BP=AM/BN
根据结论，有
mAAP=mBPB
综上得
➎避坑指南：结论适用于两物体平衡情况，且交点为连线与过两线交点的竖直线的交点。
★II05(总014)「物体在重力和夹角不变两变力作用下动态平衡，力的变化规律是“它越平，我越大”」
➊证明：力F1、F2及重力三力平衡，则表示这三个力的线段顺次连接恰构成闭合三角形。由正弦定理得
α为F1和F2的夹角是定值，θ=π-α也是定值，α1和α2分别是F1和F2与竖直方向的夹角。可知当α1越接近直角（F1接近水平）时，F2越大；α2越接近直角（F2接近水平）时，F1越大。可简记为“它越平，我越大”。
➋此结论使用条件：物体受重力和夹角不变的两变力作用而平衡。也可以利用等角辅助圆分析，但用此结论简便得多。
方法可拓展为：物体在一恒力和夹角不变的两变力作用下动态平衡，一个变力的变化规律是“它越平，我越大”，这里恒力等效为重力，“平”为等效水平。
➌结论类型：结果型
➍典例5 如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α.现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程中( )
A．MN上的张力逐渐减小
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
解析：如图:
根据结论OM竖直转至水平过程MN上的张力逐渐增大，A、B均错误；此过程MN先接近水平再远离水平，故OM上张力先增大后减小,C错误，D正确。
答案：D
➎避坑指南:符合三力平衡中“一力为恒力，两变力夹角不变”条件此结论才可使用！
★II06(总015)「弹簧组劲度系数与电阻串并、联关系恰好对调」
结论：串联弹簧组的劲度系数的倒数等于各弹簧劲度系数倒数之和；并联弹簧组的劲度系数等于各弹簧劲度系数之和，恰好与电阻串并联电阻关系对调。
➊证明:（1）弹簧串联,由以下各式
（2）弹簧并联,由以下各式
➋此结论适用条件：两弹簧均处于弹性限度内。
➌结论类型：结果型
➍典例6 两根轻弹簧同轴套在一起。外弹簧较粗，自然长度为L1，劲度系数为k1；内弹簧较细，自然长度为L2，劲度系数为k2。已知L1>L2.将内弹簧套在外弹簧内，并把两弹簧的两端分别焊接在一起，形成一个整体。忽略弹簧自重、摩擦和失稳，弹簧始终在弹性限度内。
求：(1)无外力时，整体平衡长度L0及两弹簧的预紧力大小F0；
(2)沿轴线施加一对大小均为F 的反向拉力，使整体长度从L0增加x，求F 与x 的关系；
3. 系统的等效劲度系数；
解答与推导
设整体长度为L.
（1） 无外力时，两弹簧对同一端的力必须互相平衡。
由于L1>L2，自由平衡时整体长度满足
L2<L<L1
此时：
· 外弹簧被压缩；
· 内弹簧被拉伸。
外弹簧压缩力大小：
F1=k1(L1-L ）
内弹簧拉伸力大小
F2=k2(L-L2)
自由平衡时：
F1=F2
解得
L0=（k1L1+k2L2）/（k1+k2）
预紧力大小为
F0=k1(L1-L0)
代入L0得：
F0=k1k2(L1-L2)/（k1+k2）
（2) 施加拉力 F 后设整体长度从自由平衡长度L0 增加x，即
L=L0+x
此时：
外弹簧变形量：
L-L1=(L0-L1)+x
内弹簧变形量：
L-L2=(L0-L2)+x
对一端列平衡方程。外力F 向外拉，内弹簧拉伸后向内拉，外弹簧若仍压缩则向外推。
由自由平衡条件
k1(L1-L0)=k2(L0-L2)=F0
当整体再伸长x 后，拉力满足
F=k2(L0-L2+x)-k1(L1-L0-x)
利用
k2(L0-L2)=k1(L1-L0)
得 F=(k1+k2)x
这说明：从自由平衡位置算起，拉力与额外伸长量成正比。
(3) 系统等效劲度系数
由F=(k1+k2)x
可知系统等效劲度系数为
k=k1+k2
自然长度不同只影响初始预紧力和自由平衡长度，不影响从自由平衡位置算起的等效劲度系数。
➎避坑指南：串联弹簧组与并联弹簧组的劲度系数与电阻串联、并联对应的关系相反。
★II07(总016)「被折橡皮筋拉力的分力一恒定一匀变」
橡皮筋绕过光滑定滑轮，一端固定在悬点，另一端连接物体，悬点和滑轮之间距离恰好等于橡皮筋自然长度。当物体沿某一直线从距滑轮最近处开始运动时，拉力沿运动方向的分力与物体位移大小成正比，沿垂直运动方向的分力不发生变化。
➊证明：如图，设BC=x0,BE=x,CE=x/.橡皮筋的劲度系数为k.∠BEC=θ,橡皮筋拉力F=kx,垂直运动方向分力
F⟂=Fsinθ=kxsinθ=kx0(不发生变化)
沿运动方向分力F//=Fcosθ=kxcosθ=kx/∝x/
➋此结论适用条件：橡皮条在光滑滑轮（挂钩等）处被折，被折处恰为原处处，橡皮条处于弹性限度内。
➌结论类型：结果型
➍典例7 如图所示，为一遵循胡克定律的弹性轻绳，其一端固定于天花板上的O点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块M相连。当绳处于竖直位置时，滑块M对地面有压力作用。B为紧挨绳的一光滑水平小钉，它到天花板的距离等于弹性绳的自然长度。现用一水平力作用于M，使之向右缓慢地做直线运动，则在运动过程中（ ）
A．弹性绳上的弹力逐渐增大
B．地面对M的支持力逐渐减小
C．地面对M的摩擦力保持不变
D．水平拉力F逐渐增大
解析：滑块向右运动过程中，弹性绳伸长量增大弹力逐渐增大，A正确；
根据结论，弹性绳对滑块拉力的竖直分力大小不变，因此地面对滑块支持力不变，摩擦力不变，B错，C正确；
根据结论，弹性绳对滑块拉力的水平分力逐渐增大，所以与之平衡的水平拉力逐渐增大，D正确。
答案：ACD
➎避坑指南：结论不要求物体运动方向一定与橡皮筋悬点与滑轮连线垂直，但沿运动方向拉力分力与位移成正比，这里的“位移”的起点是滑轮（不计大小）在运动方向的投影点。
★II08(总017)「一个角巧妙解决力最值和物体自锁问题」
（1）当动力与最大静摩擦角非法向边垂直时，使物体运动的动力有最小值
（2）当动力斜指向接触面，与法线夹角等于或小于最大静摩擦角时物体自锁（“等于”对应恰好自锁）
➊论证：
全反力、摩擦角概念：
物体受到支持力与摩擦力的合力称为全反力（物体对接触面压力和摩擦力反作用力的合力），全反力与支持力的夹角叫摩擦角。
上式说明物体滑动时，全反力的方向不因受力情况而变化。
上式中μs为最大静摩擦因数（多数题目中认为μs=μ）。
利用滑动摩擦角或最大静摩擦角可巧妙解决物体与接触面间涉及摩擦力的最值问题和临界问题。
★力的最值
如图可知，当F⟂FQ时，使物体运动的拉力有最小值（FQ为全反力）
★物体自锁判断
先假设物体静止，由平衡条件求出全反力与支持力间的夹角φ，然后比较。
若φ≤φm，物体能静止平衡或临界平衡。当动力F→∞时仍有φ≤φm，，物体自锁。自锁临界：动力沿角φm非法线边反向延长线。
若φ＞φm物体不能静止。
➋此结论适用问题：物体受有摩擦力的临界问题
➌结论类型：结果型
➍典例8（力的最值问题） 一个质量为1 kg的物体放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做匀速直线运动，已知这个最小拉力大小为6 N，取g＝10 m/s2，则下列关于物体与地面间的动摩擦因数μ的取值，正确的是( )
解析：滑动摩擦角的正切tanφ=μ
当拉力垂直全反力时，拉力最小
Fmin=mgsinφ
解得 μ＝ 3/4.
答案为C
典例9（力的最值问题）
如图所示，倾角θ=370的斜面体静止在水平面上，质量为1kg的物块放在斜面上，用水平推力作用在物块上，使物块保持静止，物块与斜面间动摩擦因素为0.5，重力加速度g取10m/s2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力，斜面体始终静止在水平面上，求推力的大小范围。
解析：设最大静摩擦角为φ，则tanφ=μ=0.5
物体刚要下滑时,如图所示。
故推力的大小范围为
典例10（物体自锁问题）(多选)如图所示，质量为m的物体，放在一固定的斜面上，当斜面倾角θ＝30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F的水平向右的恒力，物体可沿斜面向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现增大斜面倾角θ，当θ增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行．那么( )
C．θ0＝60°
D．θ0＝30°
解析：当斜面倾角θ＝30°时物体恰能沿斜面匀速下滑，有
最大静摩擦角的正切
不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，由结论知临界情况是F与FQ反向，根据几何关系，有
下一篇：高中物理二级结论系列专题（4）“牛顿定律中的二级结论”。敬请期待！