核心素养视域下小学数学第二学段＂数与代数＂领域结构化教学路径设计研究三、四年级数与代数 · 案例研究版

结构化教学案例集

核心素养视域下小学数学第二学段"数与代数"领域结构化教学路径设计研究

三、四年级数与代数 · 案例研究版

课题组 编 ｜ 2026年9月

编制说明：

本案例集是课题的主件成果之一，覆盖三、四年级"数与代数"领域全部14个教学单元。与常见的教学设计汇编不同，本集按教学案例研究的文体编写：每个案例从真实教学中暴露的问题出发，呈现结构化设计的思路与课题组意图、课堂实施的关键片段、评价证据，以及课后的反思与调整，完整记录"设计—实施—分析"的研究过程。教学设计的具体课时材料（单元结构图、课时群推进表、分层任务单）另见课题组《结构化教学设计案例集》，本集不重复收录，只在涉及处引述。

案例编写遵循课题组《结构化教学案例集标准编写规范（V1）》：全文白底黑字，表格随文字内容设置列宽；每个案例注明册次、领域主题与实施状态。凡案例尚未进入课堂实施的，"效果与证据"部分写明证据收集设计，供执教时对照收集；已经实施的，直接呈现收集到的证据与分析。

全部案例共用的理论依据，是课题组构建的"三层次·四环节"结构化教学路径模型：在知识、方法、认知三个层次上实现结构化，通过诊断、建构、应用、反思四个环节组织单元教学，以计数单位统领"整数—小数—分数"的运算进阶，锚定数感、运算能力、推理意识、应用意识四个素养表现点。

图 1　计数单位统领整数—小数—分数的运算进阶（全文主线）

案例目录

案例一　口算里的位值结构：把"算得快"拉回"算得明"

三年级上册第二单元"万以内的加法和减法（一）"｜数与运算｜执笔：课题组｜状态：设计稿

一、案例背景

本单元在百以内加减法基础上学习口算两位数加、减两位数和几百几十加、减几百几十。备课前的前测里，我们给全班出了35+34，要求"写出得数，再说一说你是怎么算的"。结果超过一半学生只写出一个69，说不出过程；能说过程的学生里，多数描述的是"先算5加4，再算3加3，再合起来"——也就是在脑子里列竖式。口算被学生做成了"搬进脑袋里的笔算"，速度慢，进位退位一多就错。

更值得警惕的是教师这边：访谈中不少老师把口算课当成笔算课的预备练习，教案上写的目标是"能正确、熟练地口算"，指向的是速度，而不是位值结构。口算本来是位值制思想最直接的体现——相同计数单位的数才能直接相加减——但在课堂上，这层结构几乎没被看见。我们把这个问题定为本案例的研究起点。

二、结构化设计与课题组意图

单元结构化设计要点

课题组设计意图：本单元最容易教浅的地方，是把"先加整十、再加个位"当作口诀直接给出去。我们有意不这样做。课上让两种拆法——35+30+4和30+34+5——同时上黑板，逼学生去比较：结果一样，顺序不同，为什么？设计的关键在比较而不在记忆，学生只有自己解释了"3个十加3个十，5个一加4个一，跟从哪个十开始没关系"，位值结构才算真正进了他的认知。

图 2　案例一　两种口算路径殊途同归：十加十、一加一

三、实施过程（关键片段）

第1课时，运动会入场情境：一年级35人、二年级34人，两个年级一共多少人？学生独立尝试后，教师请了两种拆法的学生上台板演。

师：两种算法都得到69。一个先加30，一个先加4，顺序不一样，结果为什么一样？

生1：因为都是把35拆开、把34拆开，只是谁先谁后的问题。

师：拆开之后，加的都是什么？

生2：3个十加3个十，5个一加4个一。十和十加，一和一加。

这一问一答是本课的转折点。第一位学生说到了"拆开再合"，还停在程序层面；第二位学生用计数单位作了解释，教师立刻抓住这句话板书，作为全课的核心句。此后的几百几十加减、估算环节，教师每次都回扣这句话，让学生自己把新内容挂到这根知识链上。

四、效果与证据

本案例尚未实施，证据按以下设计收集：课前，用35+34、65-48做前测，记录能说清拆分思路的学生比例；课中，用算法多样化清单记录全班出现的拆法种类，重点观察"先加整十"与"先加个位"两类策略的选择理由；课后，3道说理小测（含一道退位题），判据为80%以上学生能用计数单位语言说理。三组数据汇总后，与平行班（按原有教法）的口算速度与退位题正确率做一次对比。

五、反思与分析

设计阶段我们反复讨论的一个问题是：比较两种拆法，会不会把简单的事弄复杂？从单元知识链看，这个比较值得——它换来的不是某种口算技巧，而是"相同计数单位直接相加"这一贯穿整个学段的结构观念，后面的小数加减、分数加减还要反复用到它。风险在于课的容量：比较环节如果收得太快，学生会误以为只是两种"都对的方法"而已。所以设计上把核心句的板书和回扣定为硬要求，宁可挤掉两道练习题，也要把说理的时间留足。

案例二　退位不是"借1当十"：错例结构驱动的笔算教学

三年级上册第四单元"万以内的加法和减法（二）"｜数与运算｜执笔：课题组｜状态：设计稿

一、案例背景

连续退位减法是本单元公认难点。以往教完这一单元，教师普遍的反应是"讲了很多遍，还是错"。我们调阅了上一届同年级的单元测卷，把退位减法的错误逐题归类，发现错误高度集中在两处：一是隔位退位（如403-158，十位是0，要向百位借），学生直接把百位的4改成3，跳过了中间的0；二是"借了不还"，退位点打了，被借位的数却没减1。错误不是随机的，是有结构的。

而日常教学对这类错误的处理方式，恰恰是结构缺失的产物：反复强调"借1当十""退位点要点上"，把退位当成一条需要记住的操作规则。学生记住了动作，却没有理解动作背后的数——退位退的是计数单位，1个百换成10个十而已。错误有结构，教学却没有对着结构去。

二、结构化设计与课题组意图

单元结构化设计要点

课题组设计意图：本单元把错例当成教学资源而不是教学失败的证据。设计上做了一个结构调整——把"错例结构分析"从复习课提前到新授课的第二天，学生在刚出错、印象最深的时候，面对的是"全班同学的错误分类表"，而不是自己那道打了叉的题。对着表讨论"这个错的人当时在想什么"，学生是在分析别人，压力小，反而说得透。教师再引导把每一类错例对应回计数单位的变化，规则的"为什么"就补上了。

图 3　案例二　错例墙：三张匿名竖式的分类找错

三、实施过程（关键片段）

403-158是设计的核心例题。学生先独立计算，教师收集到三种典型做法：得数255（正确）、245（十位0-5未处理）、345（百位未减借走的1）。次日数学课，黑板上贴出三张匿名竖式。

师：这三道题，错误出在哪一步？先别急着算对，先说错在哪。

生1：第二张，十位是0，0减5不够减，应该向百位借。但借来的是10个十，10个十减5个十剩5个十，他好像直接跳过去了。

生2：第三张百位4借走1个剩3个百，3个百减1个百是2个百，他算成3了，就是借了忘了还。

师：两个错误，一个是"借的时候没换对"，一个是"借了忘了还"。它们和计数单位有什么关系？

生3：退位就是把1个百换成10个十。0上面有借点，说明它已经有10个十了，不是0。

学生说出最后一句时，教师把"0上有借点，就不是0"写上了黑板。这句话后来成了本班处理隔位退位的共同语言。

四、效果与证据

本案例尚未实施，证据按以下设计收集：单元学习前后各做一次20题退位减诊断（含隔位退位5题），对比各错类的发生率；课中留存错例讨论的学生发言记录；补偿练习按错类靶向设计，两周后做延时测，观察隔位退位错误率能否从预估的40%左右降到15%以内。错例结构分析表本身作为案例附件归档，供下一届直接使用。

五、反思与分析

这个案例最大的价值不在一道题，而在一种处理错误的态度：错误是有结构的，教之前先看错误的结构。设计阶段我们也犹豫过——把错例公开会不会伤及做错的学生？所以定了一条：错例一律匿名，且三道例题里教师有意混入一道正确的，让"找错"变成分析而非批斗。另外要注意的一点是，计数单位的语言要跟着操作走，光看竖式说"换成10个十"是空转，设计里保留了小棒和人民币的操作环节，就是在给这句话垫底。

案例三　从"算对"到"说清分与合"：点子图上的算理可视化

三年级上册第六单元"多位数乘一位数"｜数与运算｜执笔：课题组｜状态：设计稿

一、案例背景

本单元是学生第一次系统学习笔算乘法。从往届情况看，学生计算正确率不算低，但问"12×3的竖式里，先算的3×2是什么意思"，多数答不上来。计算对了，意义是空的——学生掌握的是一套位置上的操作程序，而不是"3个12，拆成3个10和3个2分别去乘再合并"的算理。这种"会算不懂理"的状态，到三位数乘两位数、小数乘法时会一次次还债。

问题出在教学呈现方式上：竖式一出场就是压缩后的形态，每一步的"分与合"都被省略了。学生看到的是结果，看不到过程里被拆开的数。要让算理可见，需要一件能把"分"和"合"都摆出来的工具。

二、结构化设计与课题组意图

单元结构化设计要点

课题组设计意图：点子图不是装饰。设计上故意让口算（12×3=10×3+2×3）和竖式同一道题同时出现，中间用点子图作桥：10×3对应点子图上圈出的3个十行，2×3对应3个2，竖式里的两个分步积分别指向这两块。学生在图、口算、竖式三者之间连线，做的实际上是同一件事的三种表征。"说算理加画结构"替代单纯笔算，就是要把评价的指挥棒从"算对"转向"说清"。

图 4　案例三　点子图两块面积与竖式两行分步积互指

三、实施过程（关键片段）

12×3新授课，学生先口算，再尝试竖式。教师把一位学生的竖式和他的口算并排贴出。

师：竖式里先算了3×2，再算3×1，你的口算里先算了2×3，再算10×3。这两组是一样的吗？

生1：一样的，就是顺序倒过来。竖式从个位算起，口算先算整十。

师：那竖式里积的十位上写的3，是口算里的哪一部分？

生2：是2×3的6吗……不对，是30，3个十。竖式把它写在十位上，就是30。

第二个学生的犹豫很典型——他先猜6，再自己纠正为30。这个犹豫恰恰说明"分步积写在什么位上就代表什么计数单位"是需要专门澄清的，而传统教学里这一步常常被"相同数位对齐"一句话带过。教师顺势在点子图上把30和6分别框出来，学生看到的是：竖式两行积，就是图上两块点子。

四、效果与证据

本案例尚未实施，证据按以下设计收集：单元前后各一次说理测（给竖式，写出每一步表示什么），关注"能完整说清分与合"的比例变化；课中收集点子图与竖式连线任务的作品，按表征转换的完成度分三档统计；单元测增设一道说理题（占10分），与传统计算题得分做相关分析，检验"会说理的学生是否也算得对"。

五、反思与分析

点子图在低年级用得多，中年段教师常觉得"幼稚"。这个案例的一个预设观点是：表征没有幼稚不幼稚，只有适不适配当前要突显的结构。多位数乘一位数要突显的正是"拆开分别乘"，点子图的行列结构与之天然契合，就该用。实施中要防的是点子图被用成摆设——如果学生画完图就丢，图和式之间没有发生对话，可视化就白做了。所以设计里把"连线任务"和"说理测"都压在图与式的转换上，用评价把这条线固定住。

案例四　"平均分"是前提：分数概念建立中的变式判断

三年级上册第八单元"分数的初步认识"｜数的认识｜执笔：课题组｜状态：设计稿

一、案例背景

分数初步认识历来有两大拦路虎：一是"平均分"意识薄弱，学生看到分成了几份就写几分之几，不管分得均不均匀；二是把分数当成"上下两个孤立的数"，分数线的意义、分母分子的关系在学生脑子里是模糊的。前测里我们出示一个明显不均分的三份图形问"阴影部分能不能用1/3表示"，近四成学生答能。

平时的教学，平均分往往在第一课时强调过后就不再出现，后续课时忙着读写、比较大小，概念的前提条件渐渐淡出了课堂。学生形成的是"几份之几"的直觉，而不是"平均分成几份，取其中几份"的严密概念。

二、结构化设计与课题组意图

单元结构化设计要点

课题组设计意图：反例比正例更有概念力量。设计上不是把平均分当第一课的注意事项讲完就过，而是让它成为全单元的"背景检查"——每节课的练习里都埋一道非平均分的反例，学生每次都要先过"平均分了吗"这道关。判断说理时追问"为什么不能用1/3"，答案必须落到"因为三份不一样多"，而不是"老师说要平均分"。从规则记忆走向条件理解，这是概念课和规则课的分水岭。

图 5　案例四　平均分是分数存在的前提：正例与反例对比

三、实施过程（关键片段）

出示一个圆，分成大小不等的三份，阴影占其中较大的一份。

师：阴影部分是这个圆的1/3吗？

生1：是，因为分成了三份，阴影占一份。

生2：不对，这三份不一样大。1/3要三份一样大才行。

师：现在有两种意见。支持"是"的同学，你问问自己：1/3的意思是什么？

生3：把圆平均分成三份，一份就是1/3。它没有平均分，所以不是。

三个学生的发言呈现了概念建立的完整轨迹：从"数份数"的表面特征，到被同伴纠正，再到自己复述概念条件。教师没有裁决，而是让概念本身当了裁判。

四、效果与证据

本案例尚未实施，证据按以下设计收集：前后测同题（三道判断，两道非平均分反例、一道平均分正例），对比判断正确率与说理质量；课中收集"为什么不能用分数表示"的说理记录，按"数份数""谈是否平均分""引用定义"三档分类；单元结束时让学生自己出一道"陷阱题"考同桌，其作品既作证据又作复习素材。

五、反思与分析

分数是学生数概念从整数向有理数扩张的第一步，这一步走稳了，后面小数、百分数的学习都有依托。本案例把宝押在反例的持续在场，潜在的风险是反例出现得太频繁，个别学生反而对平均分过度敏感，见到稍不规整的图就一律否定。所以设计上规定反例的出现节奏：新授课后紧跟一道，之后每两三课一道，单元末再集中辨析。概念的条件意识要建立，但也要避免变成新的机械规则。

案例五　竖式每一步都在"分东西"：除法意义的动作还原

三年级下册第二单元"除数是一位数的除法"｜数与运算｜执笔：课题组｜状态：设计稿

一、案例背景

除数是一位数的除法是笔算除法的主体工程，课时多、难点密。往届教学暴露的问题是：学生的试商靠背口诀碰，余数的处理靠死记"余数要比除数小"，竖式的每一步和他们脑子里的"分东西"完全脱节。抽测42÷3，学生会算，但请他用小棒分一分、说说竖式里先分了什么，超过六成学生做不下去——竖式对他们而言是另一套纸上功夫。

除法的本源是平均分的动作。竖式是把分东西的过程记录在纸上，先分整捆的、再分单根的，每一步都有对应的实物动作。如果教学不从动作出发，学生学到的就只是程序，程序一旦复杂（商中间有0、商末尾有0），程序记忆就崩塌——商中间有0的错误率居高不下，根源正在这里。

二、结构化设计与课题组意图

单元结构化设计要点

课题组设计意图：竖式教学最大的坑是"太早脱离实物"。设计上规定了明确的对应规则——新类型的第一节课，竖式的每一行都必须在小棒操作里找到对应动作，教师带学生把"先分3个十"翻译成"先分3捆"，把"余下2个十和4个一合成24再分"翻译成"拆捆换单根"。商中间有0那一课干脆不从竖式开始，从"52根小棒平均分给4个人，每人先分1捆（40根），剩下12根再分，每人3根"入手，商是13；换成"412根平均分给4个人"，百位、十位都正好分完，个位再分——商中间那个0不是"补上去的"，是"十位正好分完、没有余数落下来"的事实记录。

图 6　案例五　竖式的每一步都对应分小棒的真实动作

三、实施过程（关键片段）

412÷4的课上，学生先用小棒分：4大捆平均分4人，每人1大捆；再拆开1小捆和2根，12根平均分4人，每人3根。操作结束后写竖式。

师：竖式商的十位上，有人写了0，有人空着。十位这里到底发生了什么？

生1：4个十平均分4个人，每人1个十，分完了，没有剩下的，所以十位商1。

生2：题目是412，十位本来就是1个十，1个十分给4个人不够分——

师：停。412拆开是4个百、1个十、2个一。先分谁？

生2：先分4个百，每人1个百。然后1个十分不了4个人，就拆开变10个一，和2个一合成12个一，每人3个一。

师：那商中间写不写0？

生3：写！十位上每人分到的是0个十，因为十位是拆掉分的，不是没有了。

生3的最后一句话——"拆掉分的，不是没有了"——是本课最珍贵的一次生成。商中间有0的算理，被学生用自己的话立住了。

四、效果与证据

本案例尚未实施，证据按以下设计收集：单元前后各一次"竖式说理测"（两道题：一道基本除法、一道商中间有0），统计能完整对应动作与竖式的学生比例；课中留存操作记录单和关键对话；商中0、末尾0两课各留一次10题小测，与上届同期数据对比错误率。若说理比例提升不明显，重点检查操作与竖式的对应环节是否被压缩。

五、反思与分析

小棒操作在三年级不算新事物，新的是"每一行竖式都要找到动作"这条硬规定。设计阶段有老师担心操作会拖慢进度，本单元课时紧。我们的判断是：慢在前面，快在后面——前面把"分东西"的动作结构立住，后面商是几位数、估算调商都有意义支撑，不用反复补救。真正需要防的误区是操作流于形式：分完就收，不回扣竖式，操作就成了手工课。所以对应规则是给教师定的纪律，不是给学生的。

案例六　点子图与竖式对上号：分步积的位置价值

三年级下册第四单元"两位数乘两位数"｜数与运算｜执笔：万大敏｜状态：已实施

一、案例背景

两位数乘两位数是整数乘法教学的关键节点：它是学生第一次遇到"乘两次再合并"的竖式，也是后续三位数乘两位数、小数乘法的直接基础。单元前测（14×2口算、14×10整十数乘）通过率都在九成以上，但14×12的竖式里，第二步积（10×14的140）错写在个位对齐位置的学生占三分之一——学生会算，却不理解第二个积为什么"错位"。

问题的性质和多位数乘一位数一脉相承：分步积的计数单位意义没有建立。但本单元的麻烦在于拆数更复杂——把12拆成10和2，两个分步积的位值不同，合并时还要处理"0去哪儿了"（竖式里140的0省略不写）。这一层理解不清，学生只能靠"错一位"这种操作口诀撑着。

二、结构化设计与课题组意图

单元结构化设计要点

课题组设计意图：本单元是课题组"以计数单位统领运算进阶"主张的第一个完整试验田。设计上把点子图的作用推到前台：14×12的点子图，先整体分成两块——14×10的一长条和14×2的一短条，分别对应竖式的两行分步积；再追问"竖式第二行为什么从十位写起"，把140的0省略问题摆到台面上讨论。学生必须自己解释"写2在百位、4在十位，和写140一样"，位置价值才算落地。设计的关键动作是"对上号"：图上的每一块，竖式上的每一行，口算里的每一步，三者互指。

三、实施过程（关键片段）

新授课，学生独立计算14×12后，教师出示点子图（14列×12行）。

师：谁能把这张图和竖式的两行积对上号？

生1：下面那行6×14……不对，是2×14，28，是图下面两行点子。上面那行是10×14，140，是上面十行。

师：上面那行积，2为什么写在百位上、4写在十位上？

生2：因为它是140，10×14。末尾的0不用写，直接错开一位，2就在百位、4就在十位了。

师：如果我把2写在个位对齐的位置，行不行？

生2：不行，那就变成14了，140变成14，差了10倍。

生3：差了10倍就是少了一个计数单位，十个十是一个百。

生3把位值制搬了出来。课后这位学生在作业里自发画了一张"整数乘法链条图"（表内乘法→多位数乘一位数→两位数乘两位数），标注每个环节都是"拆开乘再合并"，这张图成为本案例最有代表性的学生作品。

四、效果与证据

本案例已实施。课堂观察量表记录显示：说理环节主动发言23人次，其中能准确定位分步积含义的18人次；"第二积为什么错位"的追问下，能说到位值或计数单位的超过一半。单元说理测中，能完整解释两个分步积的学生占71%，明显高于上一届同期的约四成；点子图与竖式连线任务三档作品比为优32%、中48%、弱20%。延时测（两周后）抽10道乘法竖式，正确率92%，未出现分步积错位错误。已收集的不足是：弱档学生多为"能对号但说不出理"，后续需增加同伴互说的机会。

五、反思与分析

实施下来最直接的体会：追问"0去哪儿了"比教"错一位"有效得多。错位口诀记得再熟，也架不住学生追问自己"为什么"；而把140省略成14这件事本身当课题讨论，位值制反而成了学生手里的武器。本案例的遗留问题是水平差异：弱档学生对点子图的依赖度高，撤掉图就退回口诀。计划在整理复习课安排"看竖式画点子图"的逆向任务，把表征转换双向打通——这也符合课题组把结构建构主动权交给学生的认知结构化目标。

案例七　"小数不过是另一种写法"：米尺上的十进分数

三年级下册第七单元"小数的初步认识"｜数的认识｜执笔：朱梅娜｜状态：已实施

一、案例背景

三年级孩子对生活里的小数并不陌生：超市价签、体温计、自己的身高，都见过小数。但"熟悉"不等于"理解"。课前访谈里，能认读商品价格的学生接近全员，能把0.3和十分之三对应起来的不到三成——多数学生把小数当成一个"带点的数"，读写都行，意义是悬空的。

本课是学生在整数之后第一次正式接触小数。它真正的教学价值不在会读写，而在打通一条结构：小数是十进分数的另一种写法。这条线打通了，四年级的小数意义、五年级的小数乘除才有根；打不通，小数在学生那里就永远是整数旁边一个奇怪的"点"。

二、结构化设计与课题组意图

单元结构化设计要点

课题组设计意图：这节课我们放弃课件演示，全程让学生动手。1米长的纸条平均分成10份，1份就是1分米，也就是十分之一米，写成小数是0.1米——三个身份，同一份纸。学生亲手在纸条上比划、在正方形纸上涂出0.3，再和3/10对照，"小数不过是另一种写法"这句核心话不是教师宣布的，是学生在操作里自己撞见的。课尾让学生用一句话总结小数是什么，我们期待听到的正是这句话的儿童版本。

图 7　案例七　米尺纸条上的一份长度三个名字

三、实施过程（关键片段）

学生用纸条量课桌的高，量出6分米多。教师追问6分米用"米"怎么表示。

生1：1米是10分米，6分米就是1米的十分之六，0.6米。

师：十分之六和0.6，哪个是它的名字？

生2：都是。十分之六是分数的名字，0.6是小数的名字，一个数两个名字。

师：那3分米呢？

生3：3/10米，0.3米。3分米=3/10米=0.3米。

"一个数两个名字"是学生的原话。教师把它写上黑板，旁边画出箭头：十分之几对应零点几。下课铃响后，好几个学生围着黑板看这张对照表，还有学生举起自己的纸条说"我这是0.7米"。

四、效果与证据

本案例已实施。课堂证据：全班都能在正方形纸上正确涂出0.3、0.7；说理抽测8人，7人能说出"0.3就是十分之三"。课尾总结时，多数学生能用"小数是十分之几的另一写法"作答，个别还主动联系了整数位值——"整数是满十进一，小数是退下来分成十份"。这印证了计数单位一致性的结构正在形成。遗留证据缺口：学生作品（涂色纸）拍照归档不全，后续补收；真实情境认读（价格标签）只在课内做了口头任务，缺乏独立作业证据。

五、反思与分析

这节课最大的成功是"慢"：整节课就围着1米纸条和一张正方形纸转，没做几道题，但学生离开教室时带走了结构而不是符号。回头看，米制单位在这里是天然的桥梁——分米和米的十进关系学生早已熟练，把十分之一米写成0.1米，小数的出现毫不突兀。风险提示给下一轮实施：个别学生把"两个名字"记成了"分数小数随便换"，忽略了"十进"这个前提，练习中要补一道反例——1/4米能直接写成0.4米吗？让前提条件也进入判断。

案例八　为什么要"十万"：大数认识中的计数单位生长

四年级上册第一单元"大数的认识"｜数的认识｜执笔：课题组｜状态：设计稿

一、案例背景

大数的认识单元，学生要面对万级、亿级的数。传统教学把重点放在"分级读写"的操作规则上：四位一级，先读万级再加"万"字。学生照着规则确实能读写，但测一测理解：为什么十万是一个计数单位？一百万里有多少个一万？相当一部分学生答不上来。规则在手，结构缺失——数位顺序表对他们是"背诵材料"，不是"计数单位的家族谱系"。

更深一层的问题是：学生没有体会过大数产生的必要性。数为什么要不断"长出"新的计数单位？如果这个问题没有被体验过，数位顺序表就只是一张表，计数单位体系就是一条条要背的规定，而不是数学自身生长出来的必然。

二、结构化设计与课题组意图

单元结构化设计要点

课题组设计意图：把"为什么需要十万"设计成单元的起始问题。给学生一个真实任务——数一数全校人数、全街道人数、全县人口，让他们自己撞到"一万也不够用了"的墙。计数单位不是教师发下来的，是被需求逼出来的。数位顺序表也不发现成的，学生按"满十进一"的逻辑自己往上长。这张自己长出来的表，和发的表，在学生脑子里的地位完全不同。

三、实施过程（关键片段）

教师出示：本校学生约1200人，正安县城常住人口约8万，遵义市常住人口约600万。

师：1200，我们二年级就会读写。8万，为什么需要"万"这个新单位？

生1：一万一万地数，数8000次太累了。

生2：因为千不够用了。9999再加1，十个千就是一万。

师：那600万呢？

生3：万也不够用了，10个一万是十万，10个十万是百万。

师：照这样长下去，能长到头吗？

生4：长不到头，永远可以再加一个"十万倍"的新单位。

生4说出"长不到头"时，教师把数位顺序表末尾画上箭头。表的开放性——计数单位体系无限生长——是这一课最有分量的认识。

四、效果与证据

本案例尚未实施，证据按以下设计收集：单元前后各一次"关系测"（5题：一百万里有几个一万、十万十万地数数几次到一千万等），追踪能脱离背诵说出十进关系的学生比例；课中收集学生自主补全的数位顺序表作品，与教材对照差异；读写测之外单列说理题得分。判据：后测关系题正确率达85%以上，且学生能解释"为什么每级都是四位"。

五、反思与分析

大数离儿童生活远，这是本单元天然的困难。设计选择用真实统计数据的落差来制造需求，比虚构情境可靠。实施中需要防的是数据本身喧宾夺主——学生被数字吸引，忘了追问单位。所以每出一组数据，紧跟着的问题永远是"这里的单位是什么，它从哪儿长出来的"。另外，"长不到头"这种开放认识，个别学生可能引发"没有最大的数吗"的追问，教师不必急于给出完整答案，把它挂在教室墙上，反而是后续学习的种子。

案例九　让学生自己迈过这一步：三位数乘两位数的自主迁移

四年级上册第三单元"三位数乘两位数"｜数与运算｜执笔：课题组｜状态：设计稿

一、案例背景

三位数乘两位数在整数乘法链条上没有新的算理：拆数、分步乘、对位合并，全部是两位数乘两位数已有的结构。正因如此，它常被上成"熟练工种"训练课——例题讲一道，练习做十道。我们想回答的问题是：既然结构没变，能不能让学生自己迈过这一步？如果能，"结构化"就不再是教师备课的词汇，而成为学生手里真实的学习能力。

以往的观察是，即便学生具备全部前置知识，直接放手的课堂也常出现两种局面：一部分学生迅速完成，另一部分学生对着新数位发懵，不知道145×12的两个部分积该错几位。发懵说明"位置价值"的理解还停留在具体个例，没有抽象成可迁移的规则。

二、结构化设计与课题组意图

单元结构化设计要点

课题组设计意图：设计上压缩讲解，把第一课时的大部分时间让给一次完整迁移任务：出示145×12，不给任何提示，让学生先试。试完不全班对着"三位数乘两位数和两位数乘两位数哪里一样、哪里不一样"做结构对比。学生能说出"一样的都是拆开乘再合并，不一样的多了一位就要多乘一次"，迁移才算真正发生。教师讲得少的前提，是评价跟得上——说理要求不降，练习按完成度分层，不让迁移失败的学生被拖着走。

三、实施过程（关键片段）

迁移任务环节，学生独立尝试145×12，出现三种典型板书：正确的、第二个积少错一位的、把12拆成10和2却只乘了一次145×10的。

师：三道板书，谁的道理说得通？对照145×12和我们学过的14×12，结构上一样吗？

生1：一样的。145先乘2，再乘10，加起来。第二道错的那张，乘10的积末尾应该错开一位。

生2：其实道理和上次一样，有几个十乘出来就是几个十，有几个百乘出来就是几个百。位数多了，就是多拆一次。

生2的"位数多了，就是多拆一次"被教师板书为本课核心句。结构对比花了近十分钟，比直接讲例题慢，但接下来两课时的练习，教师明显感觉"不用反复纠正对位问题"。

四、效果与证据

本案例尚未实施，证据按以下设计收集：迁移任务当堂完成率与正确率（判据：八成学生独立算对且能说依据）；对比讨论的学生发言按"说结构""说程序""无法表述"三档记录；分层练习数据追踪弱档学生的补救情况；单元测说理题与传统计算题得分对照。若当堂迁移率低于七成，下一轮将在任务前增加14×12的回顾性支架。

五、反思与分析

这个案例是课题组对"认知结构化"的一次直接检验：结构一旦真立住了，迁移就是学生自己的事。设计阶段的担心是迁移失败面过大导致课失控，所以把分层练习作为安全网——迁移没成的学生不当堂强求，转基础巩固，另找时间小组补讲。需要警惕的反而是另一头：迁移顺利的学生容易觉得"这单元没新东西"而松懈，设计里安排了数量关系（单价数量总价等）作为应用层的新意，让快学生有新事可做。

案例十　先估一估商是几位数：试商背后的数感

四年级上册第五单元"除数是两位数的除法"｜数与运算｜执笔：课题组｜状态：设计稿

一、案例背景

除数是两位数的除法是小学笔算除法的收官内容，试商调商的复杂性陡增。往届教学中，学生最常见的状态是"把除数看成整十数试商"这条规则背得很熟，但一遇到需要调商就慌：该调大还是调小，全凭运气。抽测312÷34，初次试商正确率仅四成多，能把试商和估算联系起来解释的学生更少。

试商的本质是估算——在被除数里找最接近的"除数的整数倍"。如果学生没有先估后算的习惯，试商就是盲目的；调商的方向感，也来自对"估大了还是估小了"的判断。数感弱，则一切规则都是悬空的指令。

二、结构化设计与课题组意图

单元结构化设计要点

课题组设计意图：把"先估一估商是几位数、大约是多少"定为每道笔算除法的硬性第一步，写在作业格式里。这不是增加负担，而是给试商装上导航：312÷34，先估34×10=340超过了312，商不到10，是一位数，再往小估34×9=306，商9。估算把"试"从碰运气变成有方向的搜索。调商方向也不是新规则——估大了往小调，估小了往大调，就是估算的自然延续。

三、实施过程（关键片段）

312÷34新授课，学生按"先估后算"流程尝试。

师：先别动笔算。34×10是多少？312够不够减？

生1：340，超过312了，商不到10。

师：那商是几位数？往哪儿估？

生2：一位数。34×9是306，接近312，商9，余6。

生3：我们组试的时候先试8，余数44比34大，说明商小了，往大调。估到9就正好。

师：从8调到9，方向是怎么知道的？

生3：余数比除数大，说明还能再分一轮，商给小了。

生3对调商方向的解释，用的是平均分的意义而不是规则。这正是估算先行带来的附带收益：学生对商的敏感性不再依附于程序。

四、效果与证据

本案例尚未实施，证据按以下设计收集：单元前后各一次15题试商测（前测不要求估算、后测要求先估后算），对比初次试商正确率与调商次数；课中收集估算与试商的对照记录单；调商错误按"方向反了""幅度过了""忘了调"三类归因统计。判据：后测初次试商正确率达75%以上，且调商错误中"方向反了"一类显著下降。

五、反思与分析

估算在本单元的地位，本案例把它从"素养口号"落成了"操作习惯"。设计阶段讨论过强制估算是否会拖慢计算速度，结论是不会——估一次只需几秒，换来的是试商方向明确、事后验算有据。真正的实施难点可能在教师：习惯于"试商口诀"直接开算的老师，自己要先改流程。所以案例实施前，课题组内先做了一次同题试教互观，统一"先估后算"的作业格式要求，避免班与班之间标准不一。

案例十一　"先乘除后加减"从哪里来：还原运算顺序的意义

四年级下册第一单元"四则运算"｜数与运算｜执笔：课题组｜状态：设计稿

一、案例背景

四则运算单元的知识内核是运算顺序，而学生带着的完全是规则记忆：先乘除后加减，有括号先算括号。规则本身没错，但"为什么"无人追究。问卷里我们问：3+5×2为什么先算乘法？答案五花八门，"规定""口诀""老师说的"。规则没有来处，就没有理解，也就没有出错时的自我纠察能力——学生列综合算式时，最典型的错误恰恰是把运算顺序和实际情境的先后关系弄反。

运算顺序不是人为规定，而是从运算意义和实际数量关系里长出来的：一步运算解决一类问题，多步运算时，情境里的数量关系决定了哪一步必须先算。把这个来处还原出来，规则才立得住。

二、结构化设计与课题组意图

单元结构化设计要点

课题组设计意图：单元的每一道例题都不从算式开始，从情境开始。买文具的情境里，"买3支笔每支5元，付了20元，找回多少"，学生先用分步算式说清三件事的先后——先算总价，再算找零——然后教师才引导把两个算式合成一个综合算式。合成的那一刻，学生自己会发现：综合算式里如果从左往右算，20+3先算了，和情境对不上。运算顺序的"先乘除"，是被情境逼出来的必然，不是天降的规矩。括号的出现也一样：当情境要求"先算加法"时，需要一个工具来改变默认顺序，括号于是有了存在的理由。

三、实施过程（关键片段）

综合算式合成环节，学生在教师引导下列出20-3×5。

师：从左往右算，20+3=23，23×5=115。买3支笔付20元，找回115元？

生1：不对！钱越找越多了。

生2：要先算3×5，因为先知道花多少钱，才能算找多少。

师：所以"先乘除"是谁规定的？

生2：是事情本身规定的。先算花的钱，再算找的钱。

生3：有的题就是想先算加法呢？比如总共多少钱里已经有先加的部分——

师：这个问题好。数学给这种情况准备了什么工具？

生3：括号！括号就是"这件事必须先做"的意思。

从"钱越找越多"的笑声，到"事情本身规定的"，再到学生主动引出括号，运算顺序和括号的意义在同一段对话里完成了落地。

四、效果与证据

本案例尚未实施，证据按以下设计收集：单元前后各一次列式说理测（给情境列综合算式并解释顺序），追踪"能说清顺序来由"的比例；课中收集分步与综合算式互译作品；错例辨析记录重点收集"顺序与情境矛盾"被学生自己发现案例。判据：后测中八成学生列式正确且能标注情境对应，"规则记忆型"回答明显减少。

五、反思与分析

把规则还原成意义，这一课的风险是情境使用过度——每道题都要讲故事，课时撑不住。设计上的取舍是：只在"运算顺序"和"括号"两个节点用完整情境，同级运算等简单情形直接从旧知迁入。另一个值得记录的预设观察：学生说"事情本身规定的"，其实已触及数学建模的边缘——算式是情境的翻译，翻译要忠实于原意。课题组计划在案例实施后，把这个说法收集起来，作为"运算意义一致性"主线的又一处学生证据。

案例十二　定律不是背出来的：从情境里"长"出运算定律

四年级下册第三单元"运算定律"｜数与运算｜执笔：课题组｜状态：设计稿

一、案例背景

运算定律单元的传统教法，是把加法交换律、结合律、乘法分配律作为"结论"呈现，配字母表达式让学生背，再用简便计算强化。学完的典型症状：定律和字母对得上号，实际运用却频频错位——25×44，该用结合律拆成25×4×11的，硬套分配律写成25×40+25×4后不知取舍；交换律结合律混用，说不清各自管什么。

病根在定律的获得方式：学生从未见过定律"被发现"的过程，定律对他们就是四条背了就用的咒语。定律本是从大量等式里归纳出的结构规律，这条归纳的路，正是结构化教学要还给学生的。

二、结构化设计与课题组意图

单元结构化设计要点

课题组设计意图：定律课一律从"猜想"开始。加法交换律：教师出一组情境算式（跳绳人数、路程两种算法），学生发现几个等式两边相等，教师问"是不是所有的加法都这样？"猜想出来了，验证的责任交给学生——每人举三个例子，找一个反例。举不出反例，定律才算被全班"发现"。字母表达是发现的最后一步，把无数个例子收进一个式子里。这个顺序不能倒：先背字母再套用，定律就死了。乘法分配律单独压轴，因为它的结构最复杂——两个乘法共用一个因数——教学中用面积模型（两个长方形拼成一个）给结构一个几何身躯。

三、实施过程（关键片段）

乘法分配律第一课时，长方形游泳池周长情境：（25+15）×2与25×2+15×2两个算式都成立。

师：这是一个巧合，还是藏着一个规律？

生1：好像两个数加起来乘2，等于分别乘2再加。

师：这只是乘2。别的数行吗？

生2：（举例验证）12×8+8×8=（12+8）×8。行！

生3：我找一个不一样的，（3+5）×6和3×6+5×6，也相等。

师：有没有人不举三个、直接举四个数的？

生4：（15+25）×4=15×4+25×4。两个数分着乘再合，和先加再乘一样，因为都是算四个15和四个25一共多少。

生4的"因为都是四个15和四个25"已经越过归纳摸到了意义解释。教师顺势出示面积模型图，结构的直观与意义的解释合上了。

四、效果与证据

本案例尚未实施，证据按以下设计收集：归纳过程记录单（猜想、例子数、反例寻找）全样本归档；结构辨析测（四道题：该用哪条定律、为什么），追踪辨析正确率；简便计算作业要求先写判断依据，统计"先判断再用"的执行率；与往届"直接教字母"班级的简便计算错误率对比。判据：辨析题正确率80%以上，套错定律的现象显著减少。

五、反思与分析

"猜想—验证—归纳"在四年级不是形式，学生完全做得到，而且热情高——找反例本身就是游戏。设计要守住两条：一是定律的"发现"要完整，例子至少两轮（特殊数、一般数），否则归纳不牢；二是字母表达不急于出场，等学生说"每次都要写这么多例子"时再给，字母才是对繁琐的解放而不是新符号。实施风险在于课时：发现式教学比讲授慢半拍，本单元课时紧，计划把简便计算的纯技能训练压缩，用"先判断结构"的要求保证练习质量而非数量。

案例十三　0.30为什么等于0.3：计数单位视野下的小数性质

四年级下册第四单元"小数的意义和性质"｜数的认识｜执笔：课题组｜状态：设计稿

一、案例背景

小数的意义和性质是第二学段数概念的收官单元，抽象度陡增：一位小数、两位小数、三位小数与十分之一、百分之一、千分之一的对应，小数性质、大小比较、近似数，密度很大。以往教学的普遍现象是：0.30=0.3这条性质，学生结论背得出，理由说不出——为什么末尾添0去0大小不变？整数末尾添0会变十倍百倍，小数为什么例外？这个问题如果没解决，性质就是一条孤立的规定。

答案在计数单位：0.3是3个0.1，0.30是30个0.01，30个0.01恰好也是3个0.1——计数单位变了，个数也变了，大小当然不变。这是"计数单位统领"主线在小数领域最漂亮的一次亮相。

二、结构化设计与课题组意图

单元结构化设计要点

课题组设计意图：性质课不先出结论。先做涂色：在百格正方形上涂出0.3和0.30，学生会发现涂的格子不一样多——30格和3格——但覆盖的范围完全一样。矛盾就摆在这里：格子数不同，大小相同，凭什么？讨论自然引向格子的单位变了：3个大格是3个0.1，30个小格是30个0.01，0.01是0.1的十分之一，所以30个0.01抵3个0.1。性质不是"允许添0去0"，而是"计数单位与个数同时缩放，总量不变"。整数末尾添0为什么不同，也顺带讲透：整数添0，计数单位没变个数变十倍，所以值变大。

三、实施过程（关键片段）

涂色对比后，学生发现两张图阴影范围相同但格子数不同。

师：格子数不一样，大小一样。矛盾出在哪儿？

生1：格子变小了。0.30是把每个大格再分成10个小格。

师：那30个小格和3个大格是什么关系？

生2：10个小格拼成1个大格，30个小格就是3个大格。0.30就是0.3。

师：整数后面添0，怎么就变大了？

生3：整数添0，比如3变30，是3个一变成30个一，单位没换，个数多了十倍，所以变大。小数添0，单位跟着变小，个数变大，正好抵消。

生3把整数与小数两种情形对照说清，"计数单位与个数同时缩放"的结构在他嘴里完整成立。这一答超出设计预期，成为本案例的亮点证据。

四、效果与证据

本案例尚未实施，证据按以下设计收集：性质课后说理专项（三题：0.30=0.3说理、整数末尾添0辨析、0.3和0.30谁精确），统计能落到计数单位的比例；涂色作品归档；单元测说理题与传统结论题得分对照。判据：说理专项中七成以上学生能出现"计数单位""个数"双要素；0.3与0.30精确度辨析（近似数衔接）留存为后续教学参考。

五、反思与分析

本案例是整条"计数单位统领"主线的验收站：整数、分数、小数在同一个观念下会师。设计上特意把整数末尾添0放进来对照，因为孤立讲小数性质，学生记住的仍是"小数可以添0"这条规矩；有了对照，"计数单位决定一切"才浮出水面。实施注意点：百格正方形的涂色要人人动手，看教师演示和自己涂，手指的记忆不一样；说理专项的评价要宽容表述差异——"10个小格拼成1个大格""0.01是0.1的十分之一"都是合格理由，不必强求术语统一。

案例十四　末位对齐还是小数点对齐：一次负迁移的化解

四年级下册第六单元"小数的加法和减法"｜数与运算｜执笔：课题组｜状态：设计稿

一、案例背景

小数加减法在算法层面对学生并不陌生：数位对齐，从低位算起。但正因"似曾相识"，这一单元藏着第二学段最典型的一次负迁移。学生带着整数加减"末位对齐"的经验进入小数，遇到6.5+2.13这类位数不同的小数，按末位对齐算成6.5+2.13=2.78的错误并不少见——整数里最后一位就是个位，小数里最后一位未必是十分位。

教学中如果把"小数点对齐"作为新口诀直接替换"末位对齐"，学生记住的仍是操作，负迁移只是被压制没有化解：一旦题目里小数点写得不显眼，错误照样回来。化解负迁移，要回到两条经验的共同源头——相同计数单位对齐。整数末位对齐，是因为末位就是个位；小数点对齐，是为了让相同计数单位对齐。规则换了表述，道理是同一个。

二、结构化设计与课题组意图

单元结构化设计要点

课题组设计意图：设计上把新旧规则放在同一张桌上：6+4竖式（末位对齐）与6.5+2.13竖式并排出示，问学生"两个竖式的对齐方式不同，道理是不是也不同？"让学生带着整数经验来解释小数：6.5里的5是5个0.1，要和2.13里的3个0.1对上；2和1、1和6分别在个位和十位……对来对去，学生会自己发现：只要把小数点对齐，相同计数单位就自动对齐了。"小数点对齐"不是新规则，是老道理在新情境下的自然结论。负迁移由此化解：不是忘掉"末位对齐"，而是看清它和小数点对齐本是同一条原理。

图 8　案例十四　两条对齐规则在计数单位层面合流

三、实施过程（关键片段）

对比环节，学生用两种规则分别试算6.5+2.13，错误竖式与正确竖式上墙。

师：按末位对齐算的同学，你把5和3对齐了。5和3是什么关系？

生1：5是5个一……不对，6.5的5是十分位，5个0.1。

师：那3呢？

生1：3个0.01。它们不一样，不能直接加！

生2：所以5要和1对齐，都是十分位。小数点对齐，十分位就自动对上了。

师：整数的末位对齐，道理是什么？

生3：末位就是个位，对齐个位就是让相同数位对齐。整数没有小数点，末位就是"点"。

生3把整数末位对齐重新解读为"没有小数点的对齐"，两条规则在计数单位层面完全合流。负迁移至此不是被纠正，而是被理解。

四、效果与证据

本案例尚未实施，证据按以下设计收集：单元前测混入6.5+2.13、12-3.7等位数不同的题，统计对位错误发生率；课中留存新旧规则对比的讨论记录与错例结构表；单元后测同型题，对比错误率变化；追加一道说理题"整数末位对齐和小数点对齐是不是一个道理"，收集结构合流的认识证据。判据：位数不同的对位错误率降到5%以下，说理题多数学生能统一到"相同计数单位"。

五、反思与分析

这是本案例集的最后一个案例，也恰是对全册主线的一次收束：从三年级口算里的"几个十几个一"，到四年级小数加减的"相同计数单位对齐"，两年间的十几册教学内容，被同一条原理贯穿。负迁移案例给课题的启示是：学生的错误经验不必推倒重来，找到新旧知识的共同源头，让旧经验在新情境里升级，比立一条新规更彻底。实施中要留意的细节是位数补0的处理（如6.5+2.13补成6.50），应安排在算理确立之后作为记录技巧，别让它抢在道理前面——否则学生又会把补0当成新的死规定。

拾光育见：

    我们常常思索，一堂好的数学课，其终点应在何处？是教案上最后一个句号的完成，是黑板上一道完美算式的解答，还是孩子们眼中那倏然亮起、了然于心的光芒？我们选择相信后者。于是，我们选择了“逆向设计”这条路径——不是从我们“要教什么”出发，而是从期望学生“能理解什么、能做到什么”开始规划。这就像一位匠心独运的掌灯人，先确信了光所要抵达的远方，再回过头来，一步步悉心铺设能引亮思维的道路。

作者：拾光

【拾光育见】的人一生有太多情绪，需要用心记录

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