初中数学到底难在哪里?一篇文章给你讲清楚

小学数学回回九十多分，上了初中，卷子发下来一次比一次难看。家长拿过来一道道翻，翻完也说不出个所以然：好像哪道题都会一点，又哪道题都差一口气。

初中数学的难，不在哪一章突然变深了，而在三样东西叠到了一起：算、证、看变化。

小学里这三样各管各的，算题就是算题，图形题量一量、套个公式就完了；进了初中，它们一年比一年搅得紧，到初三的压轴题，一道题里三样全得用上。

这个说法听着像是在分类，其实它管着家长最想弄明白的两件事——孩子到底差在哪，补的时候该从哪一块下手。分数掉在最后那一问，病根常常不在那一问。

不少家长一开始也以为，孩子是哪一章没学好，就找那一章的练习去刷。

后来对着卷子一行行看才发现，丢分的那道函数题，错在第一步因式分解的一个符号上，函数那一章他其实听懂了。

算、证、看变化，是怎么叠上去的

算的那一块，变的是对象。小学算的是数，初中算的是式子。

字母一进来，负号、括号、移项、因式分解、开平方，每一步都可能埋一个符号；过程还要一步步写出来，考试有时间，得一遍算对。

不少孩子题会做，可一页草稿写下来，哪一步把减号弄丢了，自己都没发觉。

证的那一块，变的是问法。小学的图形题问“多少”，初中几何问“凭什么”。两个三角形看着一模一样，不算数，得一条条写出依据。

辅助线没人替你画好，要自己想到；证明一长，中间断了一环，后面写得再满也拿不到分。

看变化这一块，是小学几乎没碰过的。小学的题是静的，条件给定，答案就一个。

从初二的一次函数起，题目里有了“一个量变，另一个量跟着变”；到初三的二次函数和动点问题，点在图上走，线段的长、图形的面积跟着它变，

还得找出它什么时候最大、什么时候正好满足条件。好家伙，孩子头一回碰上这种题，常常连该设哪个字母都不知道。

这三样单拎出来，哪一样都不算吓人。麻烦在于后一样是踩在前一样上面的：证要靠算出来的数，看变化又要靠证里那套图形关系。

前面每一层留一点小缝，到初三这一道题上，缝就连成了一片。

拿一道压轴题倒着拆

拿一道题来看。这是照着初三压轴题的常见样子自己出的，数字都算过：

抛物线 y=−x²+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在左边），与 y 轴交于点 C，顶点是 D。

第一问，求 A、B、C、D 四个点的坐标；第二问，证明△BCD 是直角三角形；第三问，点 P 在直线 BC 上方的抛物线上运动，△PBC 的面积什么时候最大，

最大是多少？

倒着拆，从第三问开始。P 在动，面积跟着变，这是看变化。

可要把“跟着变”写成式子，得先设 P 的横坐标为 m，把它的纵坐标写成 −m²+2m+3——这一步凭的是“图象上的点，坐标满足解析式”。

再求出直线 BC 是 y=−x+3，过 P 作 x 轴的垂线交 BC 于 E，PE 的长就是上面减下面：−m²+3m。

△PBC 沿这条竖线切成左右两块，两块共用 PE 这条底，高加起来正好是 B、C 横着隔开的 3，这是几何的底子。

于是面积等于二分之三乘以（−m²+3m），一配方，m 取二分之三时最大，最大面积是八分之二十七。这最后一段，又全是算。

所以第三问一道题，三样都在里面。第二问要先算出 BC²、CD²、BD² 分别是 18、2、20，再用勾股定理的逆定理说明直角在 C——数是算出来的，结论得靠证。

第一问最朴素，令 y=0，把 x²−2x−3 分解成 (x−3)(x+1)，得到 A(−1,0)、B(3,0)，再写出 C(0,3) 和顶点 D(1,4)。

倒过来看，哪一块没稳，分就丢在哪一问。

算不稳的孩子，第一问就把 x²−2x−3 分解成 (x+3)(x−1)，A、B 成了 (−3,0) 和 (1,0)。

后面两问写得再认真，也全是错的——一个符号，整道题的分跟着走。

证不稳的孩子，三个数都算对了，18 加 2 等于 20 也看出来了，答题纸上却只有一句“所以是直角三角形”。用的是哪条定理，直角在哪个顶点，一个字没写。

看变化不稳的孩子，前两问做得干干净净，一到第三问，看见 P 在动就慌了：要么空着，要么设成 P(m,n)，两个字母摆在那儿，往后再也消不掉；

还有的把 PE 写成下面减上面，得出 m²−3m，面积算成负数也没察觉。

你看，同样是第三问没拿到分，病根可以在三个完全不同的地方。

家长看得出孩子丢在第三问，可要看出是哪一个念头没转过来，就难了。一个女孩现在读高一，去年初三上学期第一次月考，数学91分，几道动点题的最后一问全空着。

她妈妈去芒果同学找了个数学一对一老师。

老师让她把错过的四道动点题拍照发过去，先不求面积、不求最大值，每道题只做一件事：在图上动点旁边，用一个字母把它的坐标写出来。

写到第二道就露出来了：动点在直线上，她写得出来；一到抛物线上，她就设成 (m,n)，两个字母并排摆着，往后再也化简不下去。

“图象上的点，坐标满足解析式”这一条，她背得出，却从没在动点题里用过。之后几节课，老师每道动点题都让她先写坐标、再列线段长、最后才求最值。

到期中，压轴题第三问头一回写满了，只在配方那一步丢了一分，数学考了102分。上一次课付一次费用，没什么负担。

第三问丢分，先看前两问

补数学，也就不是哪一问错了就刷哪一类题，而是顺着这三块往回查。

第三问丢了分，先把前两问的卷面拿过来。

前两问的数就算错了的，回到算：每天拿出一小段时间，限时做几道因式分解、去括号、解方程，过程一步不省，错了就找到是哪一步的哪个符号。

多长时间按孩子的情况定，要紧的是步骤写全。

第一问对了，第二问写不出依据的，回到证：先把课本上的例题合上书自己写一遍，每一步后面用括号写上理由，理由写得出来，再去做专项。

前两问都稳，偏偏第三问一动就慌，这才是看变化没跟上。

这时候别急着上更难的压轴题，可以让孩子把动点放到几个具体位置上，m 取 1、取 2，各算一遍 P 的坐标和面积，看清楚哪一样在跟着变、怎么变，再换回字母。

回到开头那张翻不出所以然的卷子。

初中数学难，难的是算、证、看变化三样叠在一起，哪一层没垫稳，分数就掉在最上面那一问；卷子上空着的地方，未必就是孩子真正没学会的地方。

孩子数学丢了分，回家最常怎么跟你解释？