1.1 什么是切线

在高中阶段，切线有两条理解路径。一是几何直观：过曲线上一点 P，另取曲线上一点 Q，直线 PQ 称为割线；当 Q 沿曲线无限趋近 P 时，割线 PQ 的极限位置就是曲线在点 P 处的切线。二是代数刻画：函数 y = f(x) 在 x = x₀处的导数 f′(x₀) 正是曲线 y = f(x) 在点 P(x₀, f(x₀)) 处切线的斜率，即 k = f′(x₀)。这是导数几何意义的核心。

图1　曲线在点 P 处的切线：切线是割线的极限位置

理解要点：切线斜率等于导数值，故切线水平⇔ f′(x₀) = 0；f′(x₀) > 0 切线向上倾斜，f′(x₀) < 0 切线向下倾斜。可导必连续，连续不一定可导（如 y = |x| 在 x = 0 处连续但不可导，无切线）。

1.2 三类切线的分辨

「切线模型」在不同板块形态不同，解题前务必先分清是哪种切线，选用对应工具：

1.3 高频易错：在某点处切线 ≠ 过某点切线

「曲线 y = f(x) 在点 P(x₀, y₀) 处的切线」表示 P 就是切点，直接代公式；而「过点 P 的切线」中 P 未必在曲线上，可能是曲线外一点，此时过 P 可作一条或多条切线，必须设切点 (x₁, f(x₁))，由「两点斜率 = 导数」列方程求解。这是切线问题最常设的陷阱，也是中档题的分水岭。

二、核心方法（通法）

2.1 求「在某点处」的切线方程

三步通法：① 求导 f′(x)；② 代入切点横坐标 x₀，得斜率 k = f′(x₀)；③ 由点斜式写出切线方程 y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀)。

2.2 求「过某点」的切线方程

该点 P(x_p, y_p) 不在曲线上时，设切点横坐标 x₁，由关系式 (f(x₁) − y_p) / (x₁− x_p) = f′(x₁) 解出 x₁，再代回求切线。切点既在曲线上又在切线上，两个条件同时满足。解可能不止一个，对应多条切线。

2.3 圆的切线的求法

① 点在圆上：切线唯一，直接套公式——对圆 (x − a)² + (y − b)² = r²，过圆上点 (x₀, y₀) 的切线为 (x₀− a)(x − a) + (y₀− b)(y − b) = r²；圆心在原点时简化为 x₀x + y₀y = r²。② 点在圆外：可作两条切线，设斜率 k 写点斜式，令圆心到直线距离 d = r 解出 k；若只解出一个 k，说明另一条切线垂直于 x 轴（方程为 x = x₀），须补上。

2.4 圆锥曲线的切线的求法

一般用判别式法：将直线 y = kx + m 代入圆锥曲线方程消元，得关于 x 的一元二次方程，令判别式 Δ = 0 即得切线（此时直线与曲线仅一个交点）。对抛物线 y = x²这类显函数，也可直接用导数得切线斜率 2x₀。注意：双曲线中直线平行于渐近线、抛物线中直线平行于对称轴时，虽只有一个交点但不是切线，不能仅由「一个交点」判相切。

2.5 公切线的处理策略

一条直线同时与两条曲线相切，称公切线。通法：设该直线 y = kx + b，分别与两条曲线相切，对每条曲线写出「切线斜率 = 导数」及「切点在曲线上」的关系，得到两组斜率与截距的表达式；因是同一直线，令斜率相等、截距相等联立，即可解出参数与切点。

图2　圆的切线：切线 ⊥ 半径、切线长、切点弦

三、常见结论（二级结论）

3.1 切线型不等式（切线放缩）

两个由切线得到的基本放缩工具，做导数不等式时可直接引用：e^x≥ 1 + x（等号当且仅当 x = 0）；ln x ≤ x − 1（等号当且仅当 x = 1）。它们的几何意义分别是 e^x在 (0, 1) 处的切线、ln x 在 (1, 0) 处的切线均位于曲线下方（上方）。

图3　两个常用的切线型不等式（切线放缩工具）

3.2 圆的切线的常用结论

3.3 圆锥曲线切线的常用结论

3.4 切线斜率与倾斜角、平行垂直

切线斜率 k = tan α（α 为倾斜角，α ∈ [0°, 180°)）。两直线平行 ⇔ 斜率相等；两直线垂直 ⇔ 斜率之积为 −1。据此可将切线条件转化为与某已知直线平行或垂直来求参数。

3.5 常见切线模型清单

水平切线（k = 0，即 f′(x₀) = 0）、过原点切线（设 y = f′(x₀)x，联立 f(x₀) = f′(x₀)x₀）、过定点切线、公切线、切线围成图形面积/定值等，是切线问题的高频考法。后文的例题即按这些模型由易到难展开。

四、典型例题（6 道，由易到难）

例1　求切线斜率与倾斜角（基础）

本题选自：个人知识库· 高中数学高考题 · 01_函数与导数（2008 全国Ⅰ卷 文第4题）

例2　由切线方程反求参数（基础）

本题选自：个人知识库· 高中数学高考题 · 01_函数与导数（2014 海南卷 理第8题）

例3　过某点的切线（中档）

本题选自：个人知识库· 高中数学高考题 · 01_函数与导数（2009 全国Ⅰ卷 文第21题）

例4　圆的切线（中档）

本题选自：个人知识库· 高中数学高考题 · 05_解析几何（圆切线填空）

例5　公切线（较难）

本题选自：个人知识库· 高中数学高考题 · 01_函数与导数（2016 海南卷 理第16题）

例6　圆锥曲线切线综合（较难）

本题选自：个人知识库· 高中数学高考题 · 05_解析几何（2018 全国 理压轴）

五、练习（6 道，与例题呼应）

请在独立作答后再对照第六部分解析核对。每题后附来源，难度与对应例题相当。

练1　求切线方程（呼应例1）

本题选自：个人知识库· 高中数学高考题 · 01_函数与导数（2010 海南卷 理第3题）

练2　平行条件求参数（呼应例2）

本题选自：个人知识库· 高中数学高考题 · 01_函数与导数（2008 全国Ⅰ卷 文第4题）

练3　由切线条件反求解析式（呼应例3）

本题选自：个人知识库· 高中数学高考题 · 01_函数与导数（2008 海南卷 理第21题）

练4　圆的切线长与张角（呼应例4）

本题选自：个人知识库· 高中数学高考题 · 05_解析几何（2016 全国 选择压轴）

练5　圆锥曲线切线（呼应例6）

本题选自：个人知识库· 高中数学高考题 · 05_解析几何（2018 全国 理压轴）

练6　切线放缩证明（呼应例5）

本题选自：个人知识库· 高中数学高考题 · 01_函数与导数（2011 全国 理压轴）

六、练习参考答案与解析

练1　答案与解析

答案：A（y = 2x + 1）

【解析】y′ = [(x + 2) − x]/(x + 2)² = 2/(x + 2)²。在 x = −1 处 k = y′|₋₁ = 2/1 = 2。由点斜式 y + 1 = 2(x + 1)，即 y = 2x + 1。

【易错点】商求导公式记错；点斜式代入时符号出错。

练2　答案与解析

答案：A（a = 1）

【解析】y′ = 2ax，切点 (1, a) 处切线斜率 k = 2a。直线 2x − y − 6 = 0 即 y = 2x − 6，斜率为 2。两直线平行 ⇔ 斜率相等，故 2a = 2，a = 1。

【易错点】把平行条件误作垂直（斜率之积为−1）；原题选项 B、C 均印作 1/2，正确答案为 A。

练3　答案与解析

答案：f(x) = x + 1/(x − 1)

【解析】切线 y = 3 是水平线，故 f′(2) = 0 且 f(2) = 3。f′(x) = a − 1/(x + b)²。由 f(2) = 3 得 2a + 1/(2 + b) = 3；由 f′(2) = 0 得 a = 1/(2 + b)²。令 t = 1/(2 + b)，则 a = t²，代入得 2t² + t = 3，即 2t² + t − 3 = 0，解得 t = 1 或 t = −3/2。t = 1 时 a = 1，b = −1；t = −3/2 时 a = 9/4，b = −8/3。因 a, b ∈ Z，取 a = 1, b = −1，故 f(x) = x + 1/(x − 1)。

【易错点】忽略 a, b ∈ Z 而误取分数解；水平切线 y = 3 隐含「斜率 0 且切点纵坐标 3」两个条件。

练4　答案与解析

答案：A（[−1, 1]）

【解析】M 在直线 y = 1 上，|OM| = √(x₀² + 1)。过 M 作圆 O 的两条切线，切线长 |MT| = √(|OM|²− r²) = √(x₀² + 1 − 1) = |x₀|。切线与 OM 的夹角 α 满足 sin α = r/|OM| = 1/√(x₀² + 1)。存在 N 使 ∠OMN = 45°，等价于最大张角 α ≥ 45°，即 sin α ≥ √2/2，得 1/√(x₀² + 1) ≥ √2/2，x₀² + 1 ≤ 2，故 −1 ≤ x₀≤ 1。

【易错点】把条件写成α ≤ 45°；忘掉 N 在圆上（切线张角是最大可能角）；解不等式漏负根。

练5　答案与解析

答案：（1）p = 2，圆 F：x² + (y − 1)² = 8；（2）比值为 3

【解析】(1)由对称性，△BFD 为等腰直角三角形，|BD| = 2p；由抛物线定义，A 到准线 l 的距离 = |FA| = |FB| = √2 p。故 S△ABD = (1/2) × 2p × √2 p = √2 p² = 4√2，解得 p = 2。此时 F(0, 1)，半径 √2 p = 2√2，圆 F：x² + (y − 1)² = 8。

【解析】(2)A、B、F 共线且 AB 为圆 F 直径，故 B 是 A 关于 F 的对称点。设 A(x₀, x₀²/4)，则 B = (−x₀, 2 − x₀²/4)。B 在准线 y = −1 上：2 − x₀²/4 = −1，得 x₀² = 12，A(2√3, 3)。直线 m 过 F(0, 1) 与 A，斜率 k_m = (3 − 1)/(2√3) = √3/3。对 y = x²/4 求导 y′ = x/2，n ∥ m 且与 C 相切 ⇒ 切点处 x/2 = √3/3，切点 x = 2√3/3，y = 1/3。n：y − 1/3 = (√3/3)(x − 2√3/3)。原点到 m 的距离 d_m = √3/2，到 n 的距离 d_n = √3/6，比值 d_m/d_n = 3。

【易错点】A 到准线距离误写成 p；(2) 中漏用「B 在准线上」这一条件；切点处导数等于 m 斜率的方向别搞反。

练6　答案与解析

答案：（Ⅰ）m = 1，(−1, 0) 单调递减、(0, +∞) 单调递增；（Ⅱ）证明见解析

【解析】(Ⅰ)f′(x) = e^x− 1/(x + m)。x = 0 是极值点 ⇒ f′(0) = 0，即 1 − 1/m = 0，得 m = 1。此时 f(x) = e^x− ln(x + 1)。设 g(x) = e^x(x + 1) − 1，g(x) 在 (−1, +∞) 上递增且 g(0) = 0，故当 −1 < x < 0 时 f′(x) < 0，当 x > 0 时 f′(x) > 0，即 (−1, 0) 单调递减、(0, +∞) 单调递增。

【解析】(Ⅱ)当 m ≤ 2 时，ln(x + m) ≤ ln(x + 2)，只需证 m = 2 时 f(x) = e^x− ln(x + 2) > 0 在定义域成立。f′(x) = e^x− 1/(x + 2) 在 (−2, +∞) 递增，且 f′(−1) < 0、f′(0) > 0，故存在唯一 x₀∈ (−1, 0) 使 f′(x₀) = 0。由 e^x_{0} = 1/(x₀ + 2) 即 ln(x₀ + 2) = −x₀，得 f(x) ≥ f(x₀) = 1/(x₀ + 2) + x₀ = (x₀ + 1)²/(x₀ + 2) > 0，证毕。

【易错点】隐零点 x₀的范围要判断（−1 < x₀ < 0）；放缩方向：m 越小 ln(x + m) 越小，故取最大 m = 2 最紧。

附录　题目来源索引（个人知识库）

说明：本讲义基本概念、方法与二级结论取自个人知识库「高中数学知识点」中的导数、直线与圆、圆锥曲线三个模块；例题与练习均选自个人知识库「高中数学高考题」中带完整解析的原题，题干、答案与解析保持与知识库一致。