高考数学核心思维第44讲:线性回归与相关系数

线性回归分析与相关系数满分题型

公式默写　精准计算　定点验证

核心公式（高考直接默写）

变量 x、y 的线性相关系数：

r = ∑(x_i − x)(y_i − y)√∑(x_i − x)² ⋅ √∑(y_i − y)²

记号说明

∑ 表示对 i = 1, 2, ⋯, n 求和；x、y 为 x、y 的样本均值。

回归方程　y^{^} = b^{^}x + a^{^}

斜率　b^{^} = ∑(x_i − x)(y_i − y)∑(x_i − x)²

截距　a^{^} = y − b^{^}x

回归直线必过样本中心点　(x, y)

自检神器

所有回归方程求解完毕，务必把样本中心点代回验证；一旦不成立，立即回查计算 —— 这一步能杜绝大题整体崩盘。

∑(x_i − x)(y_i − y) = ∑x_iy_i − nxy

∑(x_i − x)² = ∑x_i² − nx²

残差　e_i = y_i − y^{^}_i　（真实值减预测值）

决定系数 R²（拟合效果）

R² 越接近 1：残差平方和越小，拟合效果越好；R² 越接近 0：拟合效果越差。

步骤 1　求样本均值

计算 x、y。

步骤 2　算核心求和项

代入变形公式，分别算出分子与分母。

步骤 3　求斜率

算出 b^{^}。

步骤 4　求截距

利用样本中心点求 a^{^}。

步骤 5　写回归方程

规范写出 y^{^} = b^{^}x + a^{^}。

步骤 6　预测求值

代入自变量，完成预测。

已知一组样本数据 (x, y)：(1, 2)、(2, 4)、(3, 5)、(4, 7)、(5, 8)，求线性回归方程，并预测 x = 6 时的 y 值。

x = 1 + 2 + 3 + 4 + 55 = 3

y = 2 + 4 + 5 + 7 + 85 = 5.2

b^{^} = ∑(x − x)(y − y)∑(x − x)² = 1510 = 1.5

a^{^} = y − b^{^}x = 5.2 − 1.5 × 3 = 0.7

y^{^} = 1.5x + 0.7

定点验证

样本中心点 (3, 5.2) 代入：1.5 × 3 + 0.7 = 5.2 ✓

当 x = 6 时，y^{^} = 1.5 × 6 + 0.7 = 9.7

答案：回归方程为 y^{^} = 1.5x + 0.7，预测值为 9.7

陷阱 1　公式颠倒 —— 斜率、截距公式记反，分子分母写反，整题归零。

陷阱 2　忽略中心点验证 —— 算完不检验 (x, y)，计算错误无法发现。

陷阱 3　相关强弱判断错误 —— 误以为 r 越大越强，忽略要看绝对值 |r|。

陷阱 4　正负相关混淆 —— r ＞ 0 正相关、r ＜ 0 负相关，审题易错。

陷阱 5　预测逻辑错误 —— 回归方程只能由 x 预测 y，不能反向预测 x，严禁反代求解。

陷阱 6　残差概念模糊 —— 残差是真实值减预测值，顺序不能颠倒。

习题 1（基础判定）　若变量 x、y 的相关系数 r = −0.98，判断相关类型与强弱。

r ＜ 0 ⟹ 负相关

|r| = 0.98 接近 1 ⟹ 线性相关性极强

习题 1：负相关，线性相关性极强

习题 2（方程求解）　已知 x = 2，y = 5，∑(x_i − x)(y_i − y) = 20，∑(x_i − x)² = 10，求回归方程。

b^{^} = 2010 = 2

a^{^} = 5 − 2 × 2 = 1

回归方程：y^{^} = 2x + 1

习题 2：y^{^} = 2x + 1

习题 3（拟合效果）　甲、乙两个线性模型，R² 分别为 0.96、0.85，判断哪个模型拟合更好。

R² 越大，拟合效果越好

0.96 ＞ 0.85

习题 3：甲模型更优

习题 4（预测应用）　回归方程 y^{^} = 1.5x + 3，当 x = 4 时，求预测值。

y^{^} = 1.5 × 4 + 3 = 9

习题 4：预测值为 9

📈 概率统计板块 · 回归分析

先判相关（看 |r|）、再求方程（斜率截距 + 中心点验证）、最后看 R² 定拟合 —— 统计计算类大题到此收官。接下来独立性检验与 2×2 列联表，把高考统计大题彻底收口。

孩子卡在题目不会做、思路打不开，可以后台留言，我们聊聊。

李教练 · 高考数学核心思维

东营学霸密训营