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第 04 讲 拓展一：非线性经验回归方程
目录
第一部分：知识点必背................................................1
第二部分：高频考点一遍过............................................2
高频考点一：指数型...............................................2
高频考点二：对数型..............................................12
高频考点三：幂函数型............................................20
第一部分：知识点必背
知识点一：非线性经验回归
当经验回归方程并非形如 ( ）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线
性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总
结如下：
曲线方程 变换公式 变换后的线性关系式
建立非线性经验回归模型的基本步骤
1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；
2.由经验确定非线性经验回归方程的模型；
3.通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性
经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）；
4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；
5.消去新元，得到非线性经验回归方程；6.得出结果后分析残差图是否有异常 ．
知识点二：非线性经验回归类型
非线性回归方程主要分为三大类，指数型，对数型，幂函数型，做题关键在于变量之间的转换
1、指数型：
①类型一， ，处理方式是对方程两边取对数（具体取什么对数观察参考数据，自然对数和常用对数
用的较多），比如e为底数，取ln，则现在方程变为 ，，将 进行换元，
，则非线性回归方程变成线性回归直线方程 ；
② 类 型 二 ， ， 此 为 类 型 一 的 变 式 ， 多 了 常 数 项 部 分 ， 常 见 的 变 化 形 式 为
（具体取什么对数观察参考数据，自然对数和常用对数用的较多），令
，则非线性回归方程变成线性回归直线方程
2、对数型：
①类型一，形如 ，则令 ，则非线性回归方程变成线性回归直线方程
②类型二， ，两边同时消掉对数，（取什么底数判断方法同上）取 ，令 ，则
非线性回归方程变成线性回归直线方程
3、幂函数型：
①类型一， ， ， 等等，处理方式是将方程中幂函数部分换成一个新变量，
比如 ， ， ，然后将非线性回归方程变成线性回归直线方程
②类型二， ，做法同指数型，变化方式为两边取对数（底数判断方式同上） ，令
，则非线性回归方程变成线性回归直线方程
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：指数型
典型例题
例题1．（2023春·高二课时练习）为了研究某种细菌随时间x变化的繁殖个数y，收集数据如下：
天数x 1 2 3 4 5 6
繁殖个数y 6 12 25 49 95 190
求y关于x的回归方程．
参考数据：ln 6≈1.79，ln 12≈2.48，ln 25≈3.22，ln 49≈3.89，ln 95≈4.55，ln 190≈5.25.
【答案】 .【详解】解：作出散点图如图（1）所示．
由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y＝cebx的周围，则ln y＝bx＋ln c.
令z＝ln y，a＝ln c，则z＝bx＋a.
x 1 2 3 4 5 6
z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25
相应的散点图如图（2）所示．从图（2）可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，
因此可以用线性回归方程来拟合．
由表中数据得 ，
，
， ，
所以线性回归方程为 .
因此细菌的繁殖个数对天数的非线性回归方程为 .
例题2．（2023春·高二课时练习）为了研究甲型H1N1中的某种细菌随时间x变化的繁殖个数y，收集数据
如下：
天数x 1 2 3 4 5 6
繁殖个数y 6 12 25 49 95 190
求y对x的回归方程.
【答案】
【详解】作出散点图如图（1）所示.由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线 的周围，则 .
令 ， ，则 .
x 1 2 3 4 5 6
z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25
相应的散点图如图（2）所示.从图（2）可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性
回归方程来拟合.
， ，
.
由表中数据得到线性回归方程为 .
因此细菌的繁殖个数对天数的非线性回归方程为 .
例题3．（2023·全国·高二专题练习）三年疫情对我们的学习生活以及各个行业都产生了影响，某房地产开
发公司为了回笼资金，提升销售业绩，公司旗下的某个楼盘统一推出了为期7天的优惠活动．负责人用表
格记录了推出活动以后每天售楼部到访客户的人次，表格中x表示活动推出的天数，y表示每天来访的人
次，根据表格绘制了以下散点图．
x（天） 1 2 3 4 5 6 7
y（人次） 12 22 42 68 132 202 392
4.24 870 5070 134.82 140 6.96 1.78
表中 ， ．(1)（i）请根据散点图判断，以下两个函数模型 与 （a，b，c，d均为大于零的常数）哪一
个适宜作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（ii）根据（i）的判断结果以及表中的数据，求y关于x的回归方程．
(2)此楼盘共有N套房，其中200套特价房，活动期间共卖出300套房，其中50套特价房，试给出N的估
计值（以使得 最大的N的值作为N的估计值，X表示卖出的300套房中特价房的数目）．
附：对于样本 （ ，2，…，n），其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别
为： ．
【答案】(1)（ⅰ） ；（ⅱ）
(2) 或
【详解】（1）（ⅰ）根据散点图可得 随 的增大，增长速度越来越快，不满足线性回归，故判断
适合作为人次 关于活动推出天数 的回归方程类型．
（ⅱ）由（ⅰ）知， ，两边同时取对数得 ，
令 ．则 由题意知，
又 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
， ，
则 关于 的回归方程为 ．
（2）依题意 服从超几何分布，
当 时， ，当 时， ，记 ，
则 ，
由 解得 ，
所以当 时 ，
当 时 ，
当 时 ，
故当 或 时 最大，所以 的估计值为 ．
例题4．（2023春·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期末）在隧道施工过程中，若隧道拱顶下沉速
率过快，无法保证工程施工的安全性，则需及时调整支护参数．某施工队对正在施工的福州象山隧道工程
进行下沉量监控，通过对监控结果进行回归分析，建立前t天隧道拱顶的累加总下沉量z（单位：毫米）与
时间t（单位：天）的回归方程，通过回归方程预测是否需要调整支护参数．已知该隧道拱顶下沉的实测
数据如表所示：
t（单位：天） 1 2 3 4 5 6 7
z（单位：毫米） 0.01 0.04 0.14 0.52 1.38 2.31 4.30
研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数 进行拟合．令 ，计算得：
， ．
(1)试建立z与t的回归方程，并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量；（精确到0.1）
(2)已知当拱顶在某个时刻下沉的瞬时速率超过27毫米/天时，支护系统将超负荷，隧道有塌方风险，施工
队需要提前一天调整支护参数、试估计最迟在第几天调整支护参数？（精确到整数）
附：①回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ；
②参考数据： ．
【答案】(1) ，累加总下沉量为 毫米.
(2)第9天
【详解】（1）设 ，则 .
；
;，
,当 时， .
所以预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量为 毫米
（2） ，
下沉速率： ，
所以设第n天下沉速率超过27毫米/天，
则： ， ， ， ， ，
所以第10天该隧道拱顶的下沉速率超过27毫米/天，
最迟在第9天需调整支护参数，才能避免塌方．
练透核心考点
1．（2023秋·重庆·高三校联考开学考试）某公司为了解年研发资金投入量x（单位:亿元）对年销售额y
（单位:亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据，进行了对比分析，建立
了两个模型:① ，② ，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数，并得到一些统
计量的值.令 ，经计算得如下数据:
20 66 77 2 460 4.20
31250 215 3.08 14
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?
(2)（ⅰ）根据分析及表中数据，建立y关于x的回归方程;
（ⅱ）若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?
附:①相关系数 ，回归直 中公式分别为
;
②参考数据： .
【答案】(1)模型②的拟合程度更好(2)（ⅰ） ；（ⅱ）21.67亿元.
【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为r，r.
1 2
由题意可得： ，
，
所以 ，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.
（2）（ⅰ）由（1）知，选择模型②.
先建立v关于x的线性回归方程，
因为 ，可得 ，即 ，
可得 ，
所以v关于x的线性回归方程为 ，即 ；
（ⅱ）下一年销售额需达到90亿元，即 ，
代入 ，得 ，
因为 ，则 ，
所以 ，
故预测下一年的研发资金投入量约是21.67亿元.
2．（2023春·福建泉州·高二校联考期末）经观测，长江中某鱼类的产卵数 与温度 有关，现将收集到的
温度 和产卵数 的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.
360表中
(1)根据散点图判断， 与 哪一个适宜作为 与 之间的回归方程模型并求出
关于 回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.
【答案】(1) 适宜，
【详解】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，
所以 适宜作为 与 之间的回归方程模型；
令 ，则 ，
，
关于 的回归方程为 .
3．（2023春·高二课时练习）下表为收集到的一组数据：
(1)作出 与 的散点图，并猜测 与 之间的关系；
(2)建立 与 的关系，预报回归模型；
(3)利用所得模型，预报 时 的值.
【答案】(1)答案见解析(2)
(3)
【详解】（1）作出散点图如下图所示，
从散点图可以看出 与 不具有线性相关关系，样本点分布在某一条指数型曲线 的周围，其中
为待定的参数.
（2）对两边取对数把指数关系变为线性关系，令 ，则变换后的样本点应分布在直线
的周围；
数据可以转化为
则 ，
，
，
，
，
，
， .
（3）由（2）得：当 时， .
4．（2023春·广东东莞·高二统考期末）某公司近5年产品研发年投资额 （单位：百万元）与年销售量
（单位：千件）的数据统计表如下：年投资额 1 2 3 4 5
年销售量 0.5 1 1.5 3 5.5
(1)根据上表数据画出年投资额 与年销售量 的散点图；
(2)该公司计划用非线性经验回归方程 作为年销售量 关于年投资额 的回归分析模型，并对年销
售量取对数，得到如下数据表：
年销售量
0.5 1 1.5 3 5.5
0 0.4 1.1 1.7
请根据表格数据、参考数据和公式，求出该非线性经验回归方程．
参考数据与公式： ；对于一组数据 ， ，…， ，其经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ， ．
【答案】(1)答案见详解
(2)
【详解】（1）散点图如下：
（2）由 得 ，由于令 ，即 ，
由已知得 ， ，则 ，
，
所以 ，即 ，
故年销售量 关于年投资额 的非线性经验回归方程为 .
高频考点二：对数型
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）某公司研制了一种对人畜无害的灭草剂，为了解其效果，通过实验，
收集到其不同浓度 （ ）与灭死率 的数据，得下表：
浓度 （ ）
灭死率 0.1 0.24 0.46 0.76 0.94
(1)以 为解释变量， 为响应变量，在 和 中选一个作为灭死率 关于浓度 （
）的经验回归方程，不用说明理由；
(2)（i）根据（1）的选择结果及表中数据，求出所选经验回归方程；
（ii）依据（i）中所求经验回归方程，要使灭死率不低于 ，估计该灭草剂的浓度至少要达到多少
？
参考公式：对于一组数据 ， ， ， ，其经验回归直线 的斜率和截距的最小
二乘法估计分别为 ， .
【答案】(1)选
(2)（i） ，（ii）
【详解】（1）根据表格数据可知解析变量 呈现指数增长，而响应变量 增长幅度不大，且相应的增加量
大约相等，
故选 .
（2）（i）令 ，则 ，
所以可得如下数据0.1 0.24 0.46 0.76 0.94
则 ， ，
，
，
所以 ， ，
所以 ，即 ；
（ii）依题意 ，即 ，即 ，
所以 ，即要使灭死率不低于 ，则该灭草剂的浓度至少要达到 .
例题2．（2023秋·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质
量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近
10年年份数 与该机场飞往A地航班放行准点率 （ ）（单位：百分比）的统计数据所作的散
点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.
2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8
其中 ，
(1)根据散点图判断， 与 哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关
于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率.
附：（1）对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估
计分别为 ，
参考数据： ， ， .
【答案】(1) 适宜，预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率
(2)（i）0.778；（ii）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由见解析
【详解】（1）由散点图判断 适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x
的经验回归方程类型.
令 ，先建立y关于t的线性回归方程.
由于 ，
，
该机场飞往A地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为 ，
因此y关于年份数x的回归方程为
所以当 时，该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为
.
所以2023年该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为 .
例题3．（2023春·高二单元测试）发展扶贫产业，找准路子是关键，重庆市石柱土家族自治县中益乡华溪
村不仅找准了路，还将当地打造成了种植中药材黄精的产业示范基地．通过种植黄精，华溪村村民的收入
逐年递增．以下是2014年至2020年华溪村村民每户平均可支配收入的统计数据：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
年份代码 1 2 3 4 5 6 7
每户平均可支配收入 （千
4 15 22 26 29 31 32
元）
根据以上数据，绘制如图所示的散点图：(1)根据散点图判断， 与 哪一个更适宜作为每户平均可支配收入 （千元）关于年份代
码 的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并建立 关于 的回归方程（结果保留1位小
数）；
(2)根据（1）建立的回归方程，试预测要到哪一年华溪村的每户平均可支配收入才能超过35（千元）；
参考数据：
22.7 1.2 759 235.1 13.2 8.2
其中 ， ．
参考公式：线性回归方程 中， ， ．
【答案】(1) 更适宜作为每户平均可支配收入 （千元）关于年份代码 的回归方程模型，
；
(2)到2022年每户平均可支配收入才能超过35（千元）；
【详解】（1）根据题中散点图，得 更适宜作为每户平均
可支配收入 （千元）关于年份代码 的回归方程模型．
由已知数据，得
，
故 ，故 关于 的回归方程为 .
（2）由题知，令 ，整理，得 ，即 ．故当 时，即到2022年每户平均可支配收入才能超过35（千元）．
练透核心考点
1．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）某新能源汽车公司对其产品研发投资额x（单位：百万
元）与其月销售量y（单位：千辆）的数据进行统计，得到如下统计表和散点图.
x 1 2 3 4 5
y 0.69 1.61 1.79 2.08 2.20
(1)通过分析散点图的特征后，计划用 作为月销售量y关于产品研发投资额x的回归分析模
型，根据统计表和参考数据，求出y关于x的回归方程；
(2)公司决策层预测当投资额为11百万元时，决定停止产品研发，转为投资产品促销.根据以往的经验，当
投资11百万元进行产品促销后，月销售量 的分布列为：
3 4 5
P p
结合回归方程和 的分布列，试问公司的决策是否合理.
参考公式及参考数据： ， ， .
y 0.69 1.61 1.79 2.08 2.20
（保留整
2 5 6 8 9
数）
【答案】(1) ；
(2)公司的决策合理.
【详解】（1）因为 ，令 ，所以 .
由题可得 ， ，则 ， ，
所以 ，所以回归方程为 .
（2）当 时， .
因为 且 ，所以 ，
所以 ,
所以公司的决策合理.
2．（2023春·广西·高二统考期末）《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意
见》，这是21世纪以来第 个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴，
要大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网
红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了 名网红直播的观看人次 和农产品销售量
的数据，得到如图所示的散点图.
(1)利用散点图判断， 和 哪一个更适合作为观看人次 和销售量 的回归方程类型；
（只要给出判断即可，不必说明理由）
(2)对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：
其中令 ， .
根据（1）的判断结果及表中数据，求 （单位：千件）关于 （单位：十万次）的回归方程，并预测当观
看人次为 万人时的销售量；
参考数据和公式： ，附：对于一组数据 、 、 、 ，其回归线 的斜率和截距的最小二乘估计分别
为： ， .
【答案】(1) 更适合；
(2) ，预测当观看人次为 万人时的销售量约为 件.
【详解】（1）解：由散点图可知，散点分布在一条对数型曲线附近，所以选择回归方程 更适
合.
（2）解：令 ，则 ，
因为 ， ，
所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
所以 与 的线性回归方程为 ，
故 关于 的回归方程为 .
令 ，代入回归方程可得 （千件）
所以预测观看人次为 万人时的销售量约为 件.
3．（2023·全国·高二专题练习）《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，
这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴，要大力
推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播
参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了10名网红直播的观看人次 和农产品销售量
的数据，得到如图所示的散点图.(1)利用散点图判断， 和 哪一个更适合作为观看人次x和销售量y的回归方程类型；
（只要给出判断即可，不必说明理由）
(2)对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：
9.4 30.3 2 366 6.6 439.2 66
其中令 ， .根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程，并预测当观看
人次为280万人时的销售量；
(3)规定：观看人次大于等于120万人次的主播为优秀主播，从这10名主播中随机抽取3名，记其中优秀主
播的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
参考数据和公式： ，
附：对于一组数据 ， ，…， ，其回归线 的斜率和截距的最小二乘估计分别
为： ， .
【答案】(1) 更适合
(2) ，43600件
(3)分布列见解析，
【详解】（1）由散点图可知，散点分布在一条对数型曲线附近，
所以选择回归方程 更适合；
（2）令 ，则 ，
因为 ， ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ，
所以y与 的线性回归方程为 ，
故y关于x的回归方程为 .令 ，代入回归方程可得 （千件），
所以预测观看人次为280万人时的销售量约为43600件.
（3）由散点图可知，这10名主播中，优秀主播的个数有4个，
所以X的可能取值为0，1，2，3，
所以 ， ，
， ，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望 .
高频考点三：幂函数型
典型例题
例题1．（2023春·山东德州·高二统考期末）2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划
（2021-2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发
展，加快建设汽车强国.同时为了推广新能源替代传统非绿色能源，除了财政补贴、税收优惠等激励性政策
外，可间接通过前期技术研发支持等政策引导能源发展方向.某企业多年前就开始进行新能源汽车方面的研
发，现对近10年的年技术创新投入 和每件产品成本 （ ，2，3，…，10）的数据进行分析，得到如
下散点图，
并计算得： ， ， ， ， .
(1)根据散点图可知，可用函数模型 拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程；(2)已知该产品的年销售额m（单位：千万元）与每件产品成本y的关系为 .该企
业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创
新投入x为何值时，年利润的预报值最大?（注：年利润 年销售额 年投入成本）
参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘
估计分别为： ， .
【答案】(1)
(2)当年技术创新投入为40千万元时，年利润的预报值取最大值
【详解】（1）令 ，则y关于u的线性回归方程为 ，
由题意可得 ，
，
则 ，
所以，y关于x的回归方程为 .
（2）由 可得 ，
年利润 ，
当 时，年利润M取得最大值，此时 ，
所以，当年技术创新投入为40千万元时，年利润的预报值取最大值
例题2．（2023春·广东深圳·高二深圳市龙华中学校考期中）一企业生产某种产品，通过加大技术创新投
入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入 （单位：千万元）对每件产品成本 （单位：元）的
影响，对近 年的年技术创新投入 和每件产品成本 的数据进行分析，得到如下散点
图，并计算得： ， ， ， ， .(1)根据散点图可知，可用函数模型 拟合 与 的关系，试建立 关于 的回归方程；
(2)已知该产品的年销售额 （单位：千万元）与每件产品成本 的关系为 .该
企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本 千万元，根据（1）的结果回答：当年技术
创新投入 为何值时，年利润的预报值最大？
（注：年利润=年销售额一年投入成本）
参考公式：对于一组数据 、 、 、 ，其回归直线 的斜率和截距的最小乘估
计分别为： ， .
【答案】(1)
(2)当年技术创新投入为 千万元时，年利润的预报值取最大值
【详解】（1）解：令 ，则 关于 的线性回归方程为 ，
由题意可得 ，
，则 ，
所以， 关于 的回归方程为 .
（2）解：由 可得 ，
年利润
，当 时，年利润 取得最大值，此时 ，
所以，当年技术创新投入为 千万元时，年利润的预报值取最大值.
练透核心考点
1．（2023春·重庆江津·高二校联考期末）快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈．某快递网点需了解
一天中收发一件快递的平均成本 （单位：元）与当天揽收的快递件数即揽件量 （单位：千件）之间的
关系，对该网点近 天的每日揽件量 （单位：千件）与当日收发一件快递的平均成本 （单位：元）（
）的数据进行了初步处理，得到散点图及一些统计量的值．
表中 ， ．
(1)根据散点图判断 与 哪一个更适宜作为 关于 的经验回归方程类型？并根据判断结果
及表中数据求出 关于 的经验回归方程；
(2)已知该网点每天的揽件量 （单位：千件）与单件快递的平均价格 （单位：元）之间的关系是
，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据（1）中建立的
经验回归方程解决以下问题：
①预测该网点某天揽件量为 千件时可获得的总利润；
②单件快递的平均价格 为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？
附：对于一组具有线性相关关系的数据 ，其经验回归直线 的斜率和截距的最
小二乘估计分别为 ， ．
【答案】(1) 更适宜作为 关于 的经验回归方程类型，
(2)① 元；②单件快递的平均价格 元时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大.【详解】（1）由散点图可知： 更适宜作为 关于 的经验回归方程类型；
令 ，则 ， ，
关于 的经验回归方程为： .
（2）设收发 千件快递获利 千元，则 ；
①当 时， ，即该网点某天揽收 件快递可获得的总利润约为 元．
② ，令 ，解得： ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ，此时 ；
单件快递的平均价格 元时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大.
2．（2023秋·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考阶段练习）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料
成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本 （元）与生产该产品的数量 （千件）有关，经统计得到
如下数据：
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 56.5 31 22.75 17.8 15.95 14.5 13 12.5
根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型 和指数函数模型
分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为 ，
与x的相关系数 .
(1)用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
(3)根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布 ，用样本平均数 作为 的估计值 ，用
样本标准差s作为 的估计值 ，若非原料成本y在 之外，说明该成本异常，并称落在
之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数
据是否需要寻找出现异样成本的原因？
参考数据（其中 ）：
0.34 0.115 1.53 184 5777.555 93.06 30.705 13.9
参考公式：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计
公式分别为： ， ，相关系数 .
【答案】(1)
(2)反比例函数模型拟合效果更好，产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元，
(3)见解析
【详解】（1）令 ，则 可转化为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以y关于x的回归方程为
（2） 与 的相关系数为因为 ，所以用反比例函数模型拟合效果更好，
把 代入回归方程得 （元），
所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元
（3）因为 ，所以 ，
因为样本标准差为 ，
所以 ，
所以非原料成本y服从正态分布 ，
所以
因为 在 之外，所以需要此非原料成本数据寻找出现异样成本的原因
