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8.2 一元线性回归模型及其应用 ---A基础练
一、选择题
1．（2021·全国高二课时练）某同学为了解气温对热饮销售的影响，经过统计分析，得到了一个卖
出的热饮杯数 与当天气温 的回归方程 .下列选项正确的是（ ）
A． 与 线性正相关 B． 与 线性负相关
C． 随 增大而增大 D． 随 减小而减小
2．（2021·黑龙江哈尔滨市九中高二月考）下列描述中正确命题的个数为（ ）
（1）最小二乘法的原理是使得 最小
（2）样本相关系数 越大，相关程度越大
（3）设有一个回归方程 ，变量 增加一个单位时， 减少 个单位
A． B． C． D．
3．（2021·江西上饶市高二月考）根据如下样本数据，得到回归直线方程 ，则（ ）
3 4 5 6 7 8
-3.0 -2.0 0.5 -0.5 2.5 4.0
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．（2021·四川高二月考）2020年春季.新冠肺炎疫情在全球范围内相维爆发.因为政治制度、文化
背景等因素的不同.各个国家疫情防控的效果具有明显差异.右图是西方某国在 天内感染新冠肺炎
的累计病例人数 （万人）与时间 （天）的散点图.则下列最适宜作为此模型的回归方程的类型是
（ ）A． B．
C． D．
5．（多选题）（2021·山东德州市高二期末）19世纪中期，英国著名的统计学家弗朗西斯·高尔顿
搜集了1078对夫妇及其儿子的身高数据，发现这些数据的散点图大致呈直线状态，即儿子的身高
（单位： ）与父母平均身高 （单位： ）具有线性相关关系，通过样本数据
，求得回归直线方程 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．回归直线方程至少过 ， 中的一个点
B．若 ， ，则回归直线过点
C．若父母平均身高增加 ，则儿子身高估计增加
D．若样本数据 所构成的点都在回归直线上，则线性相关系数
6．（多选题）（2021·河南洛阳市高二期末）在用最小二乘法进行线性回归分析时，下列说法中正
确的是（ ）
A.由样本数据得到的线性回归方程 必过样本点的中心 ；
B.由样本点 ， ，…， 得到回归直线，则这些样本点都在回归直线上；
C.利用 来刻画回归的效果， 比 的模型回归效果好；
D.残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，则说明模型拟合精度越低；二、填空题
7．（2021·江西上饶市·高二期末）上饶市婺源县被誉为“茶乡”，婺源茶业千年不衰，新时代更是
方兴未艾，其中由农业部监制的婺源大山顶特供茶“擂鼓峰茶尤为出名，为了解每壶“擂鼓峰”茶
中所放茶叶量 克与食客的满意率 的关系，抽样得一组数据如下表：
(克) 2 4 5 6 8
(%) 30 50 70 60
根据表中的全部数据，用最小二乘法得出 与 的线性回归方程为 ，则表中 的值
为________．
8．（2021·全国高三专题练）在一组样本数据 的散点图中，若所有样
本点 都在曲线 附近波动．经计算
，则实数 的值为________．
9．（2021·广东湛江市高二月考）某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的
前五天数据如下表：
第 天 1 2 3 4 5
使用人数( ) 15 173 457 842 1333
由表中数据可得y关于x的回归方程为 ，则据此回归模型相应于点（2，173）的残差
为________．
10．（2021·全国高三专题练习）已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8
的样本，他们的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学成绩 60 65 70 75 80 85 90 95
物理成绩 72 77 80 84 88 90 93 95
给出散点图如下：根据以上信息，判断下列结论：
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；
②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同
学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．
其中正确的个数为________．
三、解答题
11．（2021·河南高二期中）为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大
农民生产粮食的积极性，从2014年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴的政策通过对2014~2018
年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额x（单位：亿元）与该地区粮食产量y（单位：万
亿吨）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：
年份 2014 2015 2016 2017 2018
补贴额x/亿元 9 10 12 11 8
粮食产量y/万亿 25 26 31 37 21
（1）请根据上表所给的数据，求出y关于x的线性回归直线方程 ；
（2）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴7亿元，请根据
（1）中所得到的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量.
参考公式： ， .
12．（2021·全国高二专题练习）垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成
分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化､减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单
随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据 ，其中 和 分别表示第 个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得 ，
， ， ， .
（1）请用相关系数说明该组数据中 与 之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
（2）求 关于 的线性回归方程，用所求回归方程预测该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为
多少吨？
参考公式：相关系数 ，对于一组具有线性相关关系的数据
，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
， .
