文档文本内容
§9.3 一元线性回归模型及其应用
课标要求 1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二
乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.
1.变量的相关关系
(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关
系称为相关关系.
(2)相关关系的分类： 和 .
(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在 附近，我
们就称这两个变量线性相关.
2.样本相关系数
(1)r＝
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
√
n
Σ
i=1
( xi- x)
2
√
n
Σ
i=1
( yi- y)
2
.
(2)当r>0 时，称成对样本数据 ；当r<0 时，称成对样本数据 .
(3)|r|≤1；当|r|越接近1 时，成对样本数据的线性相关程度越 ；当|r|越接近0 时，成对样本数据
的线性相关程度越 .
3.一元线性回归模型
(1)我们将y
^
＝b
^x+a
^称为Y 关于x 的经验回归方程，
其中{
b
^
＝
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
n
Σ
i=1
( xi- x)
2
,
a
^
＝y -b
^
x .
(2)残差： 减去 所得的差称为残差.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相关关系是一种非确定性关系.( )
(2)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段.( )
(3)经验回归直线y
^
＝b
^x+a
^至少经过(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点.( )
(4)样本相关系数越小，成对样本数据的线性相关程度越弱.( )
2.(多选)下列说法正确的是( )
A.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r 的值越接近于1
B.当r＝1 时，两变量呈函数关系
C.当经验回归方程为y
^ ＝0.3－0.7x 时，变量x 和y 负相关
D.在经验回归方程y
^ ＝0.4+0.5x 中，当x 每增加1 个单位时，相应观测值y 一定增加0.5 个单位
3.(2024·茂名模拟)已知变量x 和y 的统计数据如表：
x
1
2
3
4
5
y
6
6
7
8
8
根据上表可得经验回归方程y
^ ＝0.6x+a
^，据此可以预测当x＝8 时，y 约等于( )
A.8.5
B.9
C.9.5
D.10
4.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品，已知该产品的色度y 和色差x 之间
满足线性相关关系，且y
^ ＝0.8x－1.8，现有一对测量数据为(33，25.2)，则该数据的残差为 .
1.经验回归直线过点(x，y).
2.求b
^时，常用公式b
^
＝
n
Σ
i=1
xi yi-n x y
n
Σ
i=1
xi
2-n x
2
.
3.回归分析是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误.
题型一 成对数据的相关性
例1 (1)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是( )
A.r4<r2<0<r1<r3
B.r2<r4<0<r3<r1
C.r2<r4<0<r1<r3
D.r4<r2<0<r3<r1
(2)(2024·石家庄模拟)某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7
名男生，测量了他们的身高和体重得下表：
身高x
(单位：cm)
167
173
175
177
178
180
181
体重y
(单位：kg)
90
54
59
64
67
72
76
由表格制作成如图所示的散点图：
由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为y
^
＝b
^
1x+a
^
1，其样本相关系数为r1；经过残差分析，点
(167，90)对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6 组数据计算得到经验回归直线l2的方程为y
^
＝b
^
2x+
a
^
2，样本相关系数为r2.则下列选项正确的是( )
A.b
^
1<b
^
2，a
^
1>a
^
2，r1<r2
B.b
^
1<b
^
2，a
^
1<a
^
2，r1>r2
C.b
^
1>b
^
2，a
^
1<a
^
2，r1>r2
D.b
^
1>b
^
2，a
^
1>a
^
2，r1<r2
思维升华 判定两个变量相关性的方法
(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个
变量负相关.
(2)样本相关系数：当r>0 时，正相关；当r<0 时，负相关；|r|越接近1，线性相关性越强.
(3)经验回归方程：当b
^>0 时，正相关；当b
^<0 时，负相关.
跟踪训练1 (多选)下列有关回归分析的结论中，正确的有( )
A.若经验回归方程为y
^ ＝5+2x，则变量y 与x 正相关
B.运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过点(x，y)
C.若r1表示变量x 与y 之间的样本相关系数，r2表示变量u 与v 之间的样本相关系数，且r1＝0.837，r2
＝－0.957，则x 与y 之间的线性相关性强于u 与v 之间的线性相关性
D.若散点图中所有点都在直线y＝0.93x－3.6 上，则样本相关系数r＝0.93
题型二 回归模型
命题点1 一元线性回归模型
例2 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩的使用量x(千克)之
间对应数据的散点图如图所示.
(1)从散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请计算样本相关系数r 并判断它们的相关
程度；
(2)求y 关于x 的经验回归方程y
^
＝b
^x+a
^，并预测液体肥料每亩的使用量为12 千克时，西红柿亩产量的
增加量.
附：r＝
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
√
n
Σ
i=1
( xi- x)
2
√
n
Σ
i=1
( yi- y)
2
，
b
^
＝
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
n
Σ
i=1
( xi- x)
2
，a
^
＝y －b
^
x.
命题点2 非线性回归模型
例3 某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开
展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20 间大棚(每间一亩)进行试点，得
到各间大棚产量数据并绘制成散点图.光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：吨/亩)，记
w＝ln x.
参考数据：
20
Σ
i=1
xi
20
Σ
i=1
yi
20
Σ
i=1
wi
20
Σ
i=1
xi
2
20
Σ
i=1
yi
2
20
Σ
i=1
wi
2
20
Σ
i=1
xiyi
20
Σ
i=1
wiyi
290
102.4
52
4 870
540.28
137
1 578.2
272.1
参考公式：y 关于x 的经验回归方程y
^
＝b
^x+a
^中，b
^
＝
n
Σ
i=1
xi yi-n x y
n
Σ
i=1
xi
2-n x
2
，a
^
＝y －b
^
x.
(1)根据散点图判断，y＝a+bx 与y＝c+dln x 哪一个适宜作为大棚蔬菜产量y 关于光照时长x 的经验回归
方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的经验回归方程(结果保留小数点后两位)；
(3)根据实际种植情况，发现上述回归方程在光照时长位于6~14 小时内拟合程度良好，利用(2)中所求方
程估计当光照时长为e2小时时(e 为自然对数的底数)，大棚蔬菜的亩产量.
思维升华 求经验回归方程的步骤
跟踪训练2 (1)现有一组数据如表所示，
x
1
2
3
4
5
y
e
e3
e4
e6
e7
已知变量y 关于x 的非线性经验回归方程为y
^
＝e
b
^
x -0.3，若对y
^
＝e
b
^
x -0.3两边取自然对数，可以发现ln y
与x 线性相关，则当x＝6 时，预测y 的值为( )
A.8.7
B.8
C.e8.7
D.e8
(2)(2024·新乡模拟)氮氧化物是一种常见的大气污染物，如图为我国2014 年至2022 年氮氧化物排放量
(单位：万吨)的折线图，其中年份代码1~9 分别对应年份2014~2022.
已知
9
Σ
i=1
yi≈12 000，√
9
Σ
i=1
( yi- y)
2≈1 100，√
9
Σ
i=1
(ti-t )
2≈7.7，
9
Σ
i=1
tiyi≈51 800.
①可否用线性回归模型拟合y 与t 的关系？请分别根据折线图和样本相关系数加以说明；
②若根据所给数据建立经验回归模型y
^ ＝－138t+2 025，可否用此模型来预测2025 年和2035 年我国的
氮氧化物排放量？请说明理由.
附：样本相关系数r＝
n
Σ
i=1
ti yi-nt y
√
n
Σ
i=1
(ti-t )
2 n
Σ
i=1
( yi- y)
2
.
题型三 残差分析
例4 某公司为了解年研发资金x(单位：亿元)对年产值y(单位：亿元)的影响，对公司近8 年的年研发
资金xi和年产值yi(i∈N，1≤i≤8)的数据对比分析中，选用了两个回归模型，并利用最小二乘法求得相
应的y 关于x 的经验回归方程：
①y
^ ＝13.05x－48.4；②y
^ ＝0.76x2－8.98.
已知①中的残差平方和S1≈3 610，②中的残差平方和S2≈658，请根据决定系数选择拟合效果更好的经
验回归方程，并利用该经验回归方程预测年研发资金为20 亿元时的年产值.
参考数据：
8
Σ
i=1
( yi- y)
2＝32 900.
参考公式：刻画回归模型拟合效果的决定系数R2＝1－
n
Σ
i=1
( yi- y
^
i)
2
n
Σ
i=1
( yi- y)
2
.
思维升华 检验回归模型的拟合效果的两种方法
(1)残差分析：通过残差分析发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果.
(2)R2分析：通过公式计算R2，R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，
模型的拟合效果越差.
跟踪训练3 (1)(多选)下列命题中，说法正确的有( )
A.在经验回归方程y
^ ＝－0.3x+10 中，当解释变量每增加1 个单位时，响应变量的预测值将减少0.3 个单
位
B.经验回归直线y
^
＝b
^x+a
^恒过点(x，y)，且在经验回归直线上的样本点越多，拟合效果越好
C.残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以取值为0 的横轴为对称轴的水平带状区域中，说
明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高
D.决定系数R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
(2)(2024·吕梁模拟)某市2018 年至2022 年新能源汽车的年销量y(单位：百台)与年份代号x 的数据如表：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代号x
0
1
2
3
4
年销量y
10
15
20
30
35
若根据表中的数据用最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为y
^ ＝6.5x+a
^，据此可得x＝1 时，残差为
.
答案精析
落实主干知识
1.(2)正相关 负相关 (3)一条直线
2.(2)正相关 负相关 (3)强 弱
3.(2)观测值 预测值
自主诊断
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.BC [若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r 的绝对值越接近于1，故A 错误；
当样本相关系数r＝1 时，两变量呈确定的函数关系，故B 正确；因为斜率小于0，所以变量x 和y 负相关，
故C 正确；在经验回归方程y
^ ＝0.4+0.5x 中，当x 每增加1 个单位时，相应观测值y 约增加0.5 个单位，故
D 错误.]
3.D [依题意知，x＝1+2+3+ 4 +5
5
＝3，
y ＝6+6+7+8+8
5
＝7，
于是7＝0.6×3+a
^，解得a
^＝5.2，
即y
^ ＝0.6x+5.2，
当x＝8 时，y
^ ＝0.6×8+5.2＝10.]
4.0.6
解析 将x＝33 代入
y
^ ＝0.8x－1.8，
可得y
^ ＝0.8×33－1.8＝24.6，
故数据(33，25.2)的残差为25.2－24.6＝0.6.
探究核心题型
例1 (1)B [由散点图可知，样本相关系数r2，r4所在散点图的两个变量呈负相关，r1，r3所在散点图的两
个变量呈正相关，所以r1，r3都为正数，r2，r4都为负数.r1，r2所在散点图点的分布近似在一条直线上，线
性相关性比较强，样本相关系数的绝对值接近1，而r3，r4所在散点图点的分布比较分散，线性相关性比较
弱，则r2<r4，r1>r3，综上所得，r2<r4<0<r3<r1.]
(2)A [身高的平均数为167+173+175+177+178+180+181
7
＝1 231
7
≈176，
因为点(167，90)的横坐标167 小于平均值176，纵坐标90 相对过大，
所以去掉点(167，90)后经验回归直线的纵截距变小而斜率变大，
故b
^
1<b
^
2，a
^
1>a
^
2，
去掉点(167，90)后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，所以r1<r2.]
跟踪训练1 AB [因为经验回归方程为y
^ ＝5+2x，可知2>0，所以变量y 与x 正相关，故A 正确；
由经验回归方程的性质可知，经验回归直线一定经过点(x，y)，故B 正确；
样本相关系数|r|越大，说明线性相关性越强，反之，则越弱，|r1|<|r2|，所以u 与v 之间的线性相关性更强，
故C 错误；
散点图中所有点都在直线y＝0.93x－3.6 上，则|r|＝1，且0.93>0，所以变量y 与x 正相关，即r>0，可知r
＝1，故D 错误.]
例2 解 (1)由题意知，
x＝2+ 4+5+6+8
5
＝5，
y ＝3+ 4+5+6+7
5
＝5，
所以
5
Σ
i=1
(xi－x)(yi－y)＝14，
5
Σ
i=1
( xi- x)
2＝20，
5
Σ
i=1
( yi- y)
2＝10，
所以r＝
5
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
√
5
Σ
i=1
( xi- x)
2
√
5
Σ
i=1
( yi- y)
2
＝
14
√20×√10
＝7√2
10 ≈0.99，
所以y 与x 呈正相关，且线性相关程度很强.
(2)因为b
^
＝
5
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
5
Σ
i=1
( xi- x)
2
＝14
20＝0.7，
a
^
＝y －b
^
x＝5－0.7×5＝1.5，
所以y 关于x 的经验回归方程为
y
^ ＝0.7x+1.5，
当x＝12 时，
y
^ ＝0.7×12+1.5＝9.9.
所以预测液体肥料每亩的使用量为12 千克时，西红柿亩产量的增加量为9.9 百千克.
例3 解 (1)根据散点图，开始的点在某条直线旁，但后面的点会越来越偏离这条直线，因此y＝c+dln x
更适宜作为大棚蔬菜产量y 关于光照时长x 的经验回归方程类型.
(2)w＝ln x，则y＝c+dln x，
即y＝c+dw，
y ＝
20
Σ
i=1
yi
20
＝102.4
20
＝5.12，
w ＝
20
Σ
i=1
wi
20
＝52
20
＝2.6，
d
^
＝
20
Σ
i=1
wi yi-20w y
20
Σ
i=1
wi
2-20w
2
＝272.1-20×2.6×5.12
137-20×2.6
2
≈3.26，
c
^
＝y －d
^
w≈5.12－3.26×2.6
≈－3.36，
所以y
^ ＝3.26w－3.36，
即y
^ ＝3.26ln x－3.36.
(3)当x＝e2时，
y
^ ＝3.26ln e2－3.36＝3.16.
即大棚蔬菜亩产量约为3.16 吨.
跟踪训练2 (1)C [对y
^
＝e
b
^
x -0.3两边取自然对数，
得ln y
^
＝b
^x－0.3，
令z＝ln y，则z
^
＝b
^x－0.3，z 的数据如表所示：
x
1
2
3
4
5
y
e
e3
e4
e6
e7
z
1
3
4
6
7
x＝1+2+3+ 4+5
5
＝3，
z＝1+3+ 4+6+7
5
＝4.2，
代入z＝b
^
x－0.3，
得4.2＝3b
^－0.3，
故b
^＝1.5.
故z
^＝1.5x－0.3，y
^ ＝e1.5x－0.3.
当x＝6 时，y
^ ＝e1.5×6－0.3＝e8.7.]
(2)①从折线图看，各点落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系，
由题意知t ＝1
9×(1+2+3+4+5+6+7+8+9)＝5，
样本相关系数r＝
9
Σ
i=1
ti yi-9t y
√
9
Σ
i=1
(ti-t )
2 9
Σ
i=1
( yi- y)
2
≈51 800-5×12 000
7.7×1 100
＝－8 200
8 470
≈－0.97.
故可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.
②可以预测2025 年的氮氧化物排放量，但不可以预测2035 年的氮氧化物排放量.
理由如下：
2025 年与所给数据的年份较接近，因而可以认为短期内氮氧化物排放量将延续该趋势，故可以用此模型进
行预测；
2035 年与所给数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持不
变，但从长期看很有可能会变化，因而用此模型预测可能是不准确的.
例4 解 设经验回归方程①的决定系数为R1
2，由S1≈3 610，
得R1
2≈1－3 610
32 900≈0.89，
设经验回归方程②的决定系数为R2
2，由S2≈658，
得R2
2≈1－
658
32 900＝0.98，
因为R1
2<R2
2，所以经验回归方程②的拟合效果更好.
当x＝20 时，y
^ ＝0.76×202－8.98＝295.02，
所以年研发资金为20 亿元时的年产值约为295.02 亿元.
跟踪训练3 (1)ACD [在经验回归方程y
^ ＝－0.3x+10 中，当解释变量每增加1 个单位时，响应变量的预测
值将减少0.3 个单位，故A 正确；
经验回归直线y
^
＝b
^x+a
^恒过点(x，y)，拟合效果是整体效果，与在经验回归直线上的样本点的多少无关，
如果在经验回归直线上的样本点增多，但其他点偏离程度增大，相应的残差的平方和仍可能会增大，拟合
效果也会变差，故B 错误；
残差带状图区域越窄，模型拟合的精度越高，故C 正确；
决定系数R2＝1－
n
Σ
i=1
( yi- y
^
i)
2
n
Σ
i=1
( yi- y)
2
，残差平方和为
n
Σ
i=1
( yi- y
^
i)
2，根据决定系数公式可得，R2越大，表示残差
平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D 正确.]
(2)－0.5
解析 依题意，
x＝0+1+2+3+ 4
5
＝2，
y ＝10+15+20+30+35
5
＝22，
将(2，22)代入回归直线方程
y
^ ＝6.5x+a
^，
解得a
^＝9，
所以回归直线方程为y
^ ＝6.5x+9，
当x＝1 时，y
^ ＝6.5×1+9＝15.5，
因此残差为15－15.5＝－0.5.
