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第 04 讲 拓展一：非线性经验回归方程
目录
高频考点一：指数型...............................................................................................2
高频考点二：对数型.............................................................................................12
高频考点三：幂函数型..........................................................................................22
知识点一：非线性经验回归
当经验回归方程并非形如 ( ）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线
性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总
结如下：
曲线方程 变换公式 变换后的线性关系式
建立非线性经验回归模型的基本步骤
1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；
2.由经验确定非线性经验回归方程的模型；
3.通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性
经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）；
4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；
5.消去新元，得到非线性经验回归方程；
6.得出结果后分析残差图是否有异常 ．
知识点二：非线性经验回归类型
非线性回归方程主要分为三大类，指数型，对数型，幂函数型，做题关键在于变量之间的转换
1、指数型：
①类型一， ，处理方式是对方程两边取对数（具体取什么对数观察参考数据，自然对数和常用对数用的较多），比如e为底数，取ln，则现在方程变为 ，，将 进行换元，
，则非线性回归方程变成线性回归直线方程 ；
② 类 型 二 ， ， 此 为 类 型 一 的 变 式 ， 多 了 常 数 项 部 分 ， 常 见 的 变 化 形 式 为
（具体取什么对数观察参考数据，自然对数和常用对数用的较多），令
，则非线性回归方程变成线性回归直线方程
2、对数型：
①类型一，形如 ，则令 ，则非线性回归方程变成线性回归直线方程
②类型二， ，两边同时消掉对数，（取什么底数判断方法同上）取 ，令 ，则
非线性回归方程变成线性回归直线方程
3、幂函数型：
①类型一， ， ， 等等，处理方式是将方程中幂函数部分换成一个新变量，
比如 ， ， ，然后将非线性回归方程变成线性回归直线方程
②类型二， ，做法同指数型，变化方式为两边取对数（底数判断方式同上） ，令
，则非线性回归方程变成线性回归直线方程
高频考点一：指数型
典型例题
例题1．（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，
每只红蜘蛛的平均产卵数 （个）和平均温度 有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散
点图及一些统计量的值.参考数据
17713 714 27 81.3
(1)根据散点图判断， 与 （其中 为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产
卵数 （个）关于平均温度 （ ）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出 关于 的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中
【答案】(1) 更适宜
(2)
【知识点】根据散点图判断是否线性相关、求回归直线方程、非线性回归
【分析】（1）根据指数型函数图象的特征、一次函数图象的特征进行判断即可；
（2）运用对数的运算性质，结合题中所给的公式进行求解即可.
【详解】（1）由散点图可以判断，随温度升高，产卵数增长速度变快，符合指数函数模型的增长，
所以 更适宜作为平均产卵数 关于平均温度 的回归方程类型.
（2）将 两边同时取自然对数，可得 ，
由题中的数据可得， ，
所以 ，则 ，
所以 关于 的线性回归方程为 ，故 关于 的回归方程为 ；
例题2．（2025·四川内江·模拟预测）当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响生活的
方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领
域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额 （单位：百万元）与其年销售量 （单位：
千件）的数据统计表.
（百万） 1 2 3 4 5
（千件） 0.5 1 1.5 3 5.5(1)若该公司科研团队计划用方案① 作为年销售量 关于年投资额 的回归分
析模型，请根据统计表的数据及参考公式，确定该经验回归方程；
(2)若该公司科研团队计划用方案② 作为年销售量 关于年投资额 的回归分析模型，
的残差平方和 ，请根据统计表的数据及参考公式，比较两种模型的拟合效
果哪种更好？并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为6百万元时，产品的销售量约为多少？（计算
结果保留到小数点后两位）
参考公式及数据： ，
【答案】(1)
(2)方案②非线性回归方程拟合效果更好，9.68千件.
【知识点】求回归直线方程、非线性回归、残差的计算
【分析】（1）根据所给数据，利用公式求出 ， 可得解；
（2）计算方案①残差和与方案②比较可得出方案②更好，再由所给方程求出预测值即可.
【详解】（1）由题意 ，
， ，
所以线性回归方程为 .
（2）按（1）可得 ，
根据题意可得如下数据：
x 1 2 3 4 5
y 0.5 1 1.5 3 5.5
1.1 2.3 3.5 4.7
方案①的残差平方和为 ，
由于 ，故方案②非线性回归方程拟合效果更好.
当 时， (千件)，
故当年投入额为6百万元时，产品的销售量约为9.68千件.例题3．（2024·湖南邵阳·三模）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍
眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数 与天数 的情况，对统计得到的样本
数据 作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
5.5 8.7 1.9 301 385 79.75
表中 ， .
(1)依据散点图推断， 与 哪一个更适合作为未佩戴头盔人数 与天数 的回归方程类型？
（给出判断即可，不必说明理由）
(2)依据（1）的结果和上表中的数据求出 关于 的回归方程.
(3)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表：
佩戴头盔
性别 合计
不佩戴 佩戴
女性 8 12 20
男性 14 6 20
合计 22 18 40
依据 的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？
参考公式： ， ， ，其中 .
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1) 更适合
(2)(3)能
【知识点】根据散点图判断是否线性相关、求回归直线方程、非线性回归、独立性检验解决实际问题
【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为未佩戴头盔人数 与天数 的回归方程类型.
（2）将 两边取对数，转化为线性回归方程，利用表中的数据和线性回归方程公式求解即可.
（3）应用卡方公式求卡方值，由独立性检验的基本思想下结论即可.
【详解】（1）依据散点图可以判断， 更适合作为未佩戴头盔人数 与天数 的回归方程类型.
（2）由 ，得 ，
依题意得 ，
，
所以 ，即 .
（3）零假设 ：市民佩戴头盔与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到：
，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为市民佩戴头盔与性别有关联，
此推断犯错误的概率不超过0.10.
练透核心考点
1．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制
了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人
体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用 表示注射疫苗后的天数， 表示人体中抗体含量
水平（单位： ，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示：
天数 1 2 3 4 5 6
抗体含量水平
5 10 26 50 96 195
根据以上数据，绘制了散点图.(1)根据散点图判断， 与 （a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关
系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水
平值；
(3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，记其中的y值大于50的天数
为X，求X的分布列与数学期望.
参考数据：
3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 4023.87
其中 .参考公式：用最小二乘法求经过点 ， ， ， ， 的线性回归方程
的系数公式， ； .
【答案】(1)
(2) ，40
(3)分布列见解析，
【知识点】求回归直线方程、非线性回归、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）由于这些点分布在一条曲线的附近，从而可选出回归方程；
（2）设 ， ，则建立w关于x的回归方程 ，然后根据公式和表中的数据求解回归
方程即可，再将 代入回归方程可求得在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；
（3）由题意可知x的可能取值为0，1，2，然后求对应的概率，从而可求出分布列和期望.
【详解】（1）根据散点图可知这些点分布在一条曲线的附近，所以 更适合作为描述y与x关系的
回归方程类型.
（2）设 ，变换后可得 ，设 ，建立w关于x的回归方程 ，
，
所以
所以w关于x的回归方程为 ，
所以 ，
当 时， ，
即该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为4023.87 .
（3）由表格数据可知，第5，6天的y值大于50，
故x的可能取值为0，1，2，
，
，
，
X的分布列为
0 1 2
.
2．（23-24高二下·广东·期中）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平
均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)根据散点图判断， 与 （其中e为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y
（个）关于平均温度 （℃）的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数
据，求出 关于 的回归方程；
附：回归方程 中， .
参考数据
5215 2347.3 33.6 27 81.3 3.6
(2)现在有10根棉花纤维，其中有6根为长纤维，4根为短纤维，从中随机抽取3根棉花纤维，设抽到的长
纤维棉花的根数为X，求X的分布列.
【答案】(1) 更适宜， ；
(2)分布列见解析.
【知识点】根据散点图判断是否线性相关、求回归直线方程、非线性回归、写出简单离散型随机变量分布
列
【分析】（1）根据散点图的形状，判断回归方程类型；将 两边同时取自然对数，转化为线性回归
方程，即可得到答案.
（2）求出X的可能值及各个值对应的概率，列出分布列即可.
【详解】（1）根据散点图的形状，判断 更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类
型，
将 两边同时取自然对数，得 ，
依题意， ， ，
因此 ，则 ，
于是z关于x的线性回归方程为 ，
所以y关于x的回归方程为 .
（2）依题意，X的可能值为 ，
，，
所以X的分布列为：
0 1 2 3
3．（23-24高三上·山东淄博·期中）为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一
年度投资计划，需了解年研发资金 （亿元）与年销售额 （亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比
分析，建立了两个函数模型：① ，② ，其中 ， ， ， 均为常数， 为自然对数的底
数．
现该公司收集了近12年的年研发资金 和年销售额 的数据， ，2， ，12，并对这些数据作了初步
处理，得到了散点图及一些统计量的值．令 ， ，经计算得如下
数据：
20 66 770 200 460 4.20
3125000 21500 0.308 14
(1)设 和 的相关系数为 ， 和 的相关系数为 ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更
好的模型；
(2)根据（1）的选择及表中数据，建立 关于 的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到
0.01）；
(3)为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小
于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如下表：比较喜
不太喜欢 合计
欢
年龄小于30岁 200 100 300
年龄不小于30岁 150 150 300
合计 350 250 600
根据小概率 的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关．
附：①相关系数 ，回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别
为： ， ；
② ， ；
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
③参考数据： ．
【答案】(1)模型 的拟合程度更好
(2)
(3)该地区对新款式瓷器喜爱程度与年龄有关
【知识点】非线性回归、相关系数的意义及辨析、独立性检验解决实际问题
【分析】
（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；
（2）先建立 关于 的线性回归方程，从而得出 关于 的回归方程；
（3）计算出 的值即可得到判断.
【详解】（1） ，
，则 ，因此从相关系数的角度，模型 的拟合程度更好
（2）先建立 关于 的线性回归方程.
由 ，得 ，即 ．
由于 ，
所以 关于 的线性回归方程为 ，
所以 ，则
（3）零假设为 ：对新款式瓷器喜爱程度与年龄无关
，
根据小概率 独立性检验，可推断 不成立，
即该地区对新款式瓷器喜爱程度与年龄有关.
高频考点二：对数型
典型例题
例题1．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机
场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数 与该机场
飞往A地航班放行准点率 （ ）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后
得到的一些统计量的值.
2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8其中 ， .
(1)根据散点图判断， 与 哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关
于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，
由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率；
(2)已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2､0.2和0.6.若以（1）中的预测值作
为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A､B
两地）航班放行准点率的估计值分别为 和 ，试解决以下问题：
（i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；
（ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地的概率.（保留3位小数）
附：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分
别为 ，
参考数据： ， ， .
【答案】(1) 适宜， ，
(2)（i）0.778；（ii）
【知识点】非线性回归、计算条件概率、根据回归方程进行数据估计、利用全概率公式求概率
【分析】（1）根据散点图可判断 适宜作为该机场飞往 地航班放行准点率 关于年
份数 的经验回归方程类型，再根据所给数据求出 关于 的线性回归方程，即求出 ， ，从而得到 关
于 的回归方程，再代入 计算可得；
（2）（i）根据全概率公式计算可得；（ii）根据条件概率公式计算可得.
【详解】（1）由散点图判断 适宜作为该机场飞往 地航班放行准点率 关于年份数
的经验回归方程类型.
令 ，先建立 关于 的线性回归方程，
由于 ，
，
该机场飞往 地航班放行准点率 关于 的线性回归方程为 ，
因此 关于年份数 的回归方程为 ，所以当 时，该机场飞往 地航班放行准点率y的预报值为
，
所以2023年该机场飞往 地航班放行准点率 的预报值为 .
（2）设 “该航班飞往 地”， “该航班飞往 地”， “该航班飞往其他地区”， “该
航班准点放行”，
则 ， ， ，
， ， .
（i）由全概率公式得，
，
所以该航班准点放行的概率为 .
（ii）该航班飞往 地的概率为
，
即若 年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往 地的概率约为 .
例题2．（23-24高二下·广东东莞·期末）某企业生产一种热销产品，产品日产量为 吨，日销售额为
万元（每日生产的产品当日可销售完毕），且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销，
随机收集了某5天的日产量 （单位：吨）和日销售额 （单位：万元）的统计
数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表：
15 73 4.8 10 161.2 1.6 39 15.9
其中， 分别为数据 的平均数.
(1)请从样本相关系数的角度，判断 与 哪一个模型更适合刻画日销售额 关于日产量
的关系？
(2)根据（1）的结果解决下列问题：
（i）建立 关于 的经验回归方程（斜率的结果四舍五入保留整数）；
（ii）如果日产量 （单位：吨）与日生产总成本 （单位：万元）满足关系 ，根据（i）
中建立的经验回归方程估计日产量 为何值时，日利润 最大？附：①相关系数 ；
②经验回归方程 的斜率和截距的最小二乘法公式分别为： .
③参考数据： .
【答案】(1) 模型更适合刻画日销售额 关于日产量 的关系
(2)（i） ；（ii）20
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、非线性回归、相关系数的计算
【分析】（1）利用相关系数的公式求解即可；（2）（i）利用回归方程的定义计算求解即可；（ii）求出
的解析式，结合导数研究 的单调性，即可求解.
【详解】（1）设 模型的相关系数为 ，设 模型的相关系数为 ，
所以 ，
，
由于 ，所以 模型拟合更好，即 模型更适合刻画日销售额 关于日产量
的关系
（2）（i）由(1)知 关于 的经验回归方程为 ，
由题可得： ，
，
所以
（ii）由题可得 ，所以 ，
令 解得：
当 时， ，当 时，
则 的单调增区间为 ，单调减区间为 ，
所以当 时，日利润 最大
例题3．（23-24高二下·山西太原·期末）山西某地打造旅游特色村，鼓励当地村民将自己闲置房改造成民
宿出租，增加农民收入.为了解在旅游淡季民宿的出租情况，随机选取6间民宿进行调查，统计它们在淡季
的100天里的出租情况，得到每间民宿租金 （单位：元/日）与其出租率 （出租天数 ）的对应关系
表和散点图如下：
租金 88 128 188 288 388 488
出租
0.9 0.7 0.5 0.3 0.2 0.15
率
(1)请根据散点图判断， 与 哪个更适合此模型（不用证明），并根据下表数据（表中
），求其相应的经验回归方程（保留小数点后一位）.
261.3 0.46 5.4 121437.86 1.97 -221.19 -1.04
(2)已知该地一年旅游淡季按100天计算，在此期间，民宿无论是否出租，每天都要支出租金 的 的费
用.若民宿出租，则每天需要再支付租金 的 的开支.请用（1）中结论的模型，计算租金 为多少元
时，该民宿在这100天内的收益 最大.
附： ；对于一组数据 ，其经验回归方程为.
【答案】(1)选 ， ；
(2) 元.
【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、由导数求函数的最值（不含参）、求回归直线方程、非线性
回归
【分析】（1）观察散点图确定回归模型， 换元，利用最小二乘法公式求出回归方程.
（2）结合（1）求出收益 的函数关系，利用导数探讨单调性并求出取最大值时的x值.
【详解】（1）由散点图知，应选 更合适.
由 ，得 ，则 ，
，
所以 .
（2）依题意，
，求导得 ，
令 ，得 ，解得 ，
当 时， ， 随着 的增大而增大，当 时， ， 随着 的增大而减小，
所以当 元时，民宿在这100天内的收益 最大.
【点睛】易错点睛：非纯属回归方程的求解，换元转化为线性回归方程求解，再利用最小二乘法求解时，
要代入对应值.
练透核心考点
1．（23-24高二下·广东江门·阶段练习）广东省深圳市是全国七大电动车生产基地之一，拥有完整的产业
链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费
（单位：百万元）和年销售量 （单位：百万辆）关系如图所示：令 ，数据经过初步处理得：
44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有① 和② 两种方案作为年销售量 关于年广告费 的回归分析模型，其中 ， ，
， 均为常数.
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（不能整除的相关系数保留2位小数）
(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出 关于 的回归方程，并预测年广
告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？
附：①相关系数 ，回归直线 中公式分别为 ，
，
②参考数据： ， ， ， .
【答案】(1)模型②的拟合程度更好
(2) ，13（百万辆）
【知识点】非线性回归、相关系数的计算
【分析】（1）分别求出两个模型的相关系数，比较大小即可解答.
（2）令 ，则 ，结合题目数据，最小二乘法求得回归方程，然后将 代入方程运算求解
即可.
【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为 ， .
由题意可得： ，
（说明：若化简成 ，再比较 与 的大小亦可）
令 ，则 ，
则 ，所以 ，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好；
（2）由条件得： ，
又由 ， ，得 ，
所以 ，即回归方程为 ，
当 时， ，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
2．（2024高二下·全国·专题练习）在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打
造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地．某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅
游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率
，设民宿租金为 （单位：元/日），得到如图的数据散点图．
(1)若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为388元的那间民宿在淡季内的3天
中至少有2天闲置的概率．
(2)（i）根据散点图判断， 与 哪个更适合此模型（给出判断即可，不必说明理由）？
根据判断结果求经验回归方程．
（ii）若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出 的固定成本，
若民宿出租，则每天需要再付出 的日常支出成本．试用（i）中模型进行分析，旅游淡季民宿租金定
为多少元时，该民宿在这280天的收益 达到最大．
附：记 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ．
【答案】(1)0.896；
(2)（i） ；（ii）181.
【知识点】利润最大问题、非线性回归、利用二项分布求分布列【分析】（1）由二项分布的概率公式即可求解；
（2）（i）根据所给数据直接代入公式计算出 即可得回归方程；
（ii）根据题意表示出 ，然后求导，利用导数即可求解.
【详解】（1）因为每天的出租率为0.2，所以每天闲置的概率为 ，
所以3天中至少有2天闲置的概率 ．
（2）（i）根据散点图的分布情况，各散点连线更贴近 的图象，
故 的拟合效果更好．
依题意， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以经验回归方程为 ．
（ii）设旅游淡季民宿租金为 ，则淡季该民宿的出租率 ，
所以该民宿在这280天的收益为：
，
所以 ．
令 ，得 ，
所以 ，
且当 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值．
所以旅游淡季民宿租金定为181元时，该民宿在这280天的收益 达到最大．
3．（2024·浙江台州·二模）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某
电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费 （单位：百万元）
和年销售量 （单位：百万辆）关系如图所示：令 ，数据经过初步处理得：44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有① 和② 两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，
m，n均为常数.
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?
(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广
告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?
(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加
大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还
受随机变量 影响，设随机变量 服从正态分布 ，且满足 .在（2）的条件下，
求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经
费-随机变量）.
附：①相关系数 ，
回归直线 中公式分别为 ， ；
②参考数据： ， ， ， .
【答案】(1)模型②的拟合程度更好
(2) ，当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）
(3)0.3
【知识点】非线性回归、相关系数的计算、指定区间的概率
【分析】（1）分别求得模型①和②的相关系数 ， ，然后比较得出结论；
（2）利用最小二乘法求解；
（3）由净利润为 ， 求解.【详解】（1）解：设模型①和②的相关系数分别为 ， .
由题意可得： ，
.
所以 ，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.
（2）因为 ，
又由 ， ，
得 ，
所以 ，即回归方程为 .
当 时， ，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
（3）净利润为 ， ，
令 ，
所以 .
可得 在 上为增函数，在 上为减函数.
所以 ，
由题意得： ，即 ，
，
即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3.
高频考点三：幂函数型
典型例题例题1．（2024·四川·模拟预测）下表是某工厂记录的一个反应器投料后，连续8天每天某种气体的生成量
（L）：
日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 8
生成的气体y（L） 4 8 16 31 51 71 97 122
为了分析该气体生成量变化趋势、工厂分别用两种模型：① ，② 对变量x和y的关系
进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下：
注：残差 ：经计算得 ， ， ，
，其中 ，
(1)根据残差图、比较模型①，模型②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；
(2)根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留两位小数）；
(3)若在第8天要根据（2）问求出的回归方程来对该气体生成量做出预测，那么估计第9天该气体生成量
是多少？（精确到个位）
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， ．
【答案】(1)选择模型①，理由见解析；
(2) ；
(3)157L．
【知识点】根据回归方程进行数据估计、残差的计算、非线性回归
【分析】（1）根据残差意义分析即可；
（2）求出 ，结合已知数据代入公式计算即可；
（3）将 代入回归方程即可得到预测值.
【详解】（1）选择模型①，理由如下：
根据残差图可以看出：模型①的残差点分布在x轴附近，模型②的残差点距离x轴较远，
所以，模型②的残差明显比模型①大，所以模型①的拟合效果相对较好；
（2）由（1）可知y关于x的回归方程为 ，令 ，则 ，
由所给的数据可得 ，
，
，
则 ，
所以y关于x的回归方程为 ．
（3）将 代入回归方程，可得 ，
所以预测该气体第9天的生成量约为157L．
例题2．（23-24高二下·山东青岛）设某幼苗从观察之日起，第 天的高度为 ，测得的一些数据如下表
所示：
第 天 1 4 9 16 25 36 49
高度 0 4 7 9 11 12 13
作出这组数据的散点图发现： 与 （天）之间近似满足关系式 ，其中 ， 均为大于0
的常数．
(1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对 ， 作出估计，并求出 关于 的经验回
归方程；
(2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于 的点
的个数为 ，其中 为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量 的分布列和数学期望．
附：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线方程 的斜率和截距的最小二乘估
计分别为 ， ．
【答案】(1)
(2)分布列见详解；
【知识点】求回归直线方程、非线性回归、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列
【分析】（1）令 ，则 ，变为线型回归问题，先根据已知数据得到 的对应数据表，计算样本中心，然后利用最小二乘估计公式依次计算b和a的估计值，求得 关于 的线性回归方程，进
而得到y关于x的回归方程；
（2）利用超几何分布概率公式计算，求得随机变量 的分布列，并根据分布列，利用数学期望计算求得期
望值．
【详解】（1）令 ，则 ，根据已知数据表得到如下表：
x
y
则 ， ，
可得 ，
，
通过上表计算可得： ，
因为回归直线 过点 ，则 ，
所以y关于 的回归方程 .
（2）由题意可知：7天中幼苗高度大于 的有4天，小于等于8的有3天，
从散点图中任取4个点，即从这7天中任取4天，
所以这4个点中幼苗的高度大于 的点的个数 的取值为1，2，3，4，则有：
； ；
； ；
所以随机变量 的分布列为：
1 2 3 4随机变量 的期望值 .
例题3．（2024·全国·模拟预测）脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑
与设备的信息交换.近日埃隆.马斯克宣布，脑机接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申请，该试验可
以实现意念控制手机和电脑.未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场
需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量
（单位：亿元）与研发人员增量 （人）的10组数据.现用模型① ，② 分别进行拟
合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图.
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中 .
7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88
(1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由）
(2)根据（1）中所选模型，求出 关于 的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，
研发人员增量至少多少人？（精确到1）
附：对于一组具有线性相关关系的数据 ，其经验回归直线 的斜率和截
距的最小二乘估计分别为
【答案】(1)选择模型②
(2) ，10人
【知识点】根据回归方程进行数据估计、残差的计算、非线性回归、求回归直线方程
【分析】（1）根据残差图分析判断；
（2）令 与 可用线性回归来拟合，有 ，然后根据公式结合已知的数据求出 ，从而可
求出 关于 的经验回归方程，进而可求出 关于 的经验回归方程，再由 可求出研发人员增量.
【详解】（1）选择模型②，理由如下：由于模型②残差点比较均匀在落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄，
所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以模型②比较合适.
（2）根据模型②，令 与 可用线性回归来拟合，有 .
则 ，所以
则 关于 的经验回归方程为 ，所以 关于 的经验回归方程为 .
由题意， ，解得 ，又 为整数，所以 .
所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人.
例题4．（23-24高二下·湖北·期末）某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革
新投入经费 （单位：万元）和增加收益 （单位：万元）的数据如下表：
4 6 8 10 12
27 42 55 56 60
为了进一步了解技术革新投入经费 对增加收益 的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回
归模型：① ，② ．
(1)根据以上数据，计算模型①中 与 的相关系数 （结果精确到0.01）；
(2)若 ，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益 关于技术革新
投入经费 的回归模型，并预测 时 的值（结果精确到0.01）．
附：i）回归直线 的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：
， ，
ii）参考数据：设 ， ， ， ， ，
．
【答案】(1)
(2) ，约为 万元
【知识点】根据回归方程进行数据估计、相关系数的计算、非线性回归、求回归直线方程【分析】（1）根据所给数据求出 ， ， ， ， ，即可求出相关系
数；
（2）根据（1）的结论，可判断选择模型②，令 ，求出 关于 的线性回归方程，即可求出 关于
的经验方程，再代入计算可得.
【详解】（1）因为 ，
，
所以 ，
，
，
模型①中，相关系数 ，
（2）因为 ，所以选择模型②，
令 ，先建立 关于 的线性回归方程，
由于 ，
，
所以 关于 的线性回归方程为 ，
即 ，
当 时， （万元），
所以若投入经费 万元，收益约为 万元.
练透核心考点
1．（23-24高二下·重庆·期末）随着移动互联网技术的发展，直播带货已经成为热门的销售方式，通过主
播的详细介绍，使顾客对商品有更全面的了解.小张统计了某新手主播开启直播带货后从1月份到5月份每
个月的销售量 (万件) 的数据，得到如图所示的散点图.(1)根据散点图判断，模型① 与模型② 哪一个更适宜作为月销售量 关于月份代码 的
回归方程?（给出判断即可，不必说明理由），并求出 关于 的回归方程(计算结果精确到0.01)；
(2)随机调查了220名市民对直播带货的认可程度，得到的部分数据见下表：
认可 不认可
50岁以下市民 70 50
50岁以上市民 40 60
依据小概率值 的独立性检验，分析市民对直播带货认可程度是否与年龄有关联.
参考公式与数据: ， ， ，
， ，其中 . ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)模型② 更适宜，
(2)认为市民对直播带货认可程度与年龄有关联
【知识点】非线性回归、独立性检验解决实际问题
【分析】（1）由散点图接近于曲线，选择模型②，令 ，将非线性转化为线性，利用最小二乘法得出
关于 的回归方程；
（2）先假设市民对直播带货认可程度与年龄无关联，再计算卡方，进行独立性检验即可.
【详解】（1）由散点图可知增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，非线性，
结合图象故选模型②
令 得
可得 ，，
则 ，
，
所以 关于 的回归方程为 ，
即 关于 的回归方程 ；
（2）零假设 ：市民对直播带货认可程度与年龄无关联；
因为 ，
依据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
所以认为市民对直播带货认可程度与年龄有关联.
2．（2024高二下·江苏·专题练习）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得
了平均金属含量 （单位： ）与样本对原点的距离 （单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了
下面的一些统计理的值．（表中 ， ）
6 97.90 0.21 60 0.14 14.12 26.13
(1)利用样本相关系数的知识，判断 与 哪一个更适宜作为平均金属含量 关于样本对原点
的距离 的回归方程类型？
(2)根据（1）的结果回答下列问题：
①建立 关于 的回归方程；
②样本对原点的距离 时，金属含量的预报值是多少？
附：对于一组数据 ，其线性相关系数 ，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， ．【答案】(1) ；
(2)① ；② .
【知识点】根据回归方程进行数据估计、相关系数的计算、非线性回归、求回归直线方程
【分析】（1）根据给定的数据，分别求出两个方程作为回归类型的线性相关系数，并比较绝对值大小即
得.
（2）①由（1）的回归类型，利用最小二乘法求出回归方程；②求出 时预测值.
【详解】（1）以 回归方程类型的线性相关系数 ，
以 回归方程类型的线性相关系数 ，
显然 ，即 ，
所以 更适宜作为平均金属含量 关于样本对原点的距离 的回归方程类型.
（2）①由（1） ，令 ， ，
则 ，
所以 ， ，
则 ，即 .
②当 时，金属含量的预报值 .
3．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）惠庄市委､市政府坚定不移实施“工业强市､产业兴市”战略，坚
持规划引领，深化锂电产业，成为全省､全国，乃至世界产业链上的重要一环.为了促进锂电产业发展，市
创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不
同企业销售收入 （单位：10万元）与一定范围内的研发经费 （单位：10万元）的数据，根据收集的13
组观测数据，得到如下的散点图：根据散点图分别利用 或 建立 关于 的回归方程，令 得到如下数据：
10.15 109.94 3.04 0.16
13.94 -2.1 11.67 0.21 21.22
且 与 的相关系数分别为 ，且 .
(1)用相关系数说明哪种模型建立 与 的回归方程更合适；
(2)根据（1）的结果及表中数据，建立 关于 的回归方程；
(3)已知企业的利润 与 的关系为 ，当 为何值时， 的预报值最大.
参考数据和公式： ，对于一组数据
，其回归直线方程 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
，相关系数
【答案】(1) 模型建立 与 的回归方程更合适
(2)
(3)60万元
【知识点】用回归直线方程对总体进行估计、非线性回归、相关指数的计算及分析
【分析】（1）求出相关系数，比较大小， 越接近1回归方程更适合.
（2）先换元用公式，求出线性回归方程，再回代求出非线性回归方程即可.
（3）用（2）的方程代入利润方程得出利润z关于研发经费x的函数关系式，再用基本不等式可解决.【详解】（1）由题意知 ， ，
因为 ，所以用 模型建立 与 的回归方程更合适.
（2）令 ，回归方程为 ，
因为 ，
，
所以 关于 的回归方程为 ，即
（3）由题意知
，当且仅当 ，即 时取等号
则 ，所以 .当且仅当 时等号成立，所以当研发经
费投入为60万元时企业生产的利润最大.
4．（23-24高二下·重庆·阶段练习）某公司为了解年研发资金 （单位：亿元）对年产值 （单位：亿元）
的影响，对公司近8年的年研发资金 和年产值 （ ， ）的数据对比分析中，选用了两个回
归模型，并利用最小二乘法求得相应的 关于 的经验回归方程：
① ；② ．
(1)求 的值；
(2)已知①中的残差平方和 ，②中的残差平方和 ，请根据决定系数选择拟合效果更好的经
验回归方程，并利用该经验回归方程预测年研发资金为20亿元时的年产值．
参考数据： ， ， ， ．
参考公式；刻画回归模型拟合效果的决定系数 ．
【答案】(1)
(2)经验回归方程②的拟合效果更好； 亿元．
【知识点】根据样本中心点求参数、根据回归方程进行数据估计、相关指数的计算及分析、非线性回归【分析】（1）求出样本中心点 ，代入经验回归方程求出 ；
（2）根据公式求出两个经验回归方程的决定系数，并判断拟合效果；利用方程预测.
【详解】（1）根据题意， ， ，
所以样本中心点为 ，代入经验回归方程 ，
得 ，解得 .
所以 的值为 .
（2）设经验回归方程①的决定系数为 ，由 ，
则 ，
设经验回归方程②的决定系数为 ，由 ，
则 ，
因为 ，所以经验回归方程②的拟合效果更好；
当 时， ，
所以年研发资金为20亿元时的年产值约为 亿元．
