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§9.3 一元线性回归模型及其应用
课标要求 1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二
乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.
1.变量的相关关系
(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关
系称为相关关系.
(2)相关关系的分类：正相关和负相关.
(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们
就称这两个变量线性相关.
2.样本相关系数
(1)r=
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
√
n
Σ
i=1
( xi- x)
2
√
n
Σ
i=1
( yi- y)
2
.
(2)当r>0 时，称成对样本数据正相关；当r<0 时，称成对样本数据负相关.
(3)|r|≤1；当|r|越接近1 时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0 时，成对样本数据的线性
相关程度越弱.
3.一元线性回归模型
(1)我们将y
^ =b
^x+a
^称为Y 关于x 的经验回归方程，
其中{
b
^
=
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
n
Σ
i=1
( xi- x)
2
,
a
^
= y -b
^
x .
(2)残差：观测值减去预测值所得的差称为残差.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相关关系是一种非确定性关系.
( √ )
(2)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段.
( √ )
(3)经验回归直线y
^ =b
^x+a
^至少经过(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点.
( × )
(4)样本相关系数越小，成对样本数据的线性相关程度越弱.
( × )
2.(多选)下列说法正确的是( )
A.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r 的值越接近于1
B.当r=1 时，两变量呈函数关系
C.当经验回归方程为y
^ =0.3-0.7x 时，变量x 和y 负相关
D.在经验回归方程y
^ =0.4+0.5x 中，当x 每增加1 个单位时，相应观测值y 一定增加0.5 个单位
答案 BC
解析 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r 的绝对值越接近于1，故A 错误；
当样本相关系数r=1 时，两变量呈确定的函数关系，故B 正确；因为斜率小于0，所以变量x 和y 负相关，
故C 正确；在经验回归方程y
^ =0.4+0.5x 中，当x 每增加1 个单位时，相应观测值y 约增加0.5 个单位，故D
错误.
3.(2024·茂名模拟)已知变量x 和y 的统计数据如表：
x
1
2
3
4
5
y
6
6
7
8
8
根据上表可得经验回归方程y
^ =0.6x+a
^，据此可以预测当x=8 时，y 约等于( )
A.8.5
B.9
C.9.5
D.10
答案 D
解析 依题意知，x=1+2+3+ 4+5
5
=3，
y=6+6+7+8+8
5
=7，
于是7=0.6×3+a
^，解得a
^=5.2，
即y
^ =0.6x+5.2，
当x=8 时，y
^ =0.6×8+5.2=10.
4.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品，已知该产品的色度y 和色差x 之间
满足线性相关关系，且y
^ =0.8x-1.8，现有一对测量数据为(33，25.2)，则该数据的残差为 .
答案 0.6
解析 将x=33 代入y
^ =0.8x-1.8，
可得y
^ =0.8×33-1.8=24.6，
故数据(33，25.2)的残差为25.2-24.6=0.6.
1.经验回归直线过点(x，y).
2.求b
^时，常用公式b
^=
n
Σ
i=1
xi yi-n x y
n
Σ
i=1
xi
2-n x
2
.
3.回归分析是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误.
题型一 成对数据的相关性
例1 (1)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是( )
A.r4<r2<0<r1<r3
B.r2<r4<0<r3<r1
C.r2<r4<0<r1<r3
D.r4<r2<0<r3<r1
答案 B
解析 由散点图可知，样本相关系数r2，r4所在散点图的两个变量呈负相关，r1，r3所在散点图的两个变量
呈正相关，所以r1，r3都为正数，r2，r4都为负数.r1，r2所在散点图点的分布近似在一条直线上，线性相关
性比较强，样本相关系数的绝对值接近1，而r3，r4所在散点图点的分布比较分散，线性相关性比较弱，则
r2<r4，r1>r3，综上所得，r2<r4<0<r3<r1.
(2)(2024·石家庄模拟)某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7
名男生，测量了他们的身高和体重得下表：
身高x(单位：cm)
167
173
175
177
178
180
181
体重y(单位：kg)
90
54
59
64
67
72
76
由表格制作成如图所示的散点图：
由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为y
^ =b
^
1x+a
^
1，其样本相关系数为r1；经过残差分析，点
(167，90)对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6 组数据计算得到经验回归直线l2的方程为y
^ =b
^
2x+
a
^
2，样本相关系数为r2.则下列选项正确的是( )
A.b
^
1<b
^
2，a
^
1>a
^
2，r1<r2
B.b
^
1<b
^
2，a
^
1<a
^
2，r1>r2
C.b
^
1>b
^
2，a
^
1<a
^
2，r1>r2
D.b
^
1>b
^
2，a
^
1>a
^
2，r1<r2
答案 A
解析 身高的平均数为167+173+175+177+178+180+181
7
=1 231
7
≈176，
因为点(167，90)的横坐标167 小于平均值176，纵坐标90 相对过大，
所以去掉点(167，90)后经验回归直线的纵截距变小而斜率变大，故b
^
1<b
^
2，a
^
1>a
^
2，
去掉点(167，90)后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，所以r1<r2.
思维升华 判定两个变量相关性的方法
(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个
变量负相关.
(2)样本相关系数：当r>0 时，正相关；当r<0 时，负相关；|r|越接近1，线性相关性越强.
(3)经验回归方程：当b
^>0 时，正相关；当b
^<0 时，负相关.
跟踪训练1 (多选)下列有关回归分析的结论中，正确的有( )
A.若经验回归方程为y
^ =5+2x，则变量y 与x 正相关
B.运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过点(x，y)
C.若r1表示变量x 与y 之间的样本相关系数，r2表示变量u 与v 之间的样本相关系数，且r1=0.837，
r2=-0.957，则x 与y 之间的线性相关性强于u 与v 之间的线性相关性
D.若散点图中所有点都在直线y=0.93x-3.6 上，则样本相关系数r=0.93
答案 AB
解析 因为经验回归方程为y
^ =5+2x，可知2>0，所以变量y 与x 正相关，故A 正确；
由经验回归方程的性质可知，经验回归直线一定经过点(x，y)，故B 正确；
样本相关系数|r|越大，说明线性相关性越强，反之，则越弱，|r1|<|r2|，所以u 与v 之间的线性相关性更强，
故C 错误；
散点图中所有点都在直线y=0.93x-3.6 上，则|r|=1，且0.93>0，所以变量y 与x 正相关，即r>0，可知r=1，
故D 错误.
题型二 回归模型
命题点1 一元线性回归模型
例2 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩的使用量x(千克)之
间对应数据的散点图如图所示.
(1)从散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请计算样本相关系数r 并判断它们的相关
程度；
(2)求y 关于x 的经验回归方程y
^ =b
^x+a
^，并预测液体肥料每亩的使用量为12 千克时，西红柿亩产量的增
加量.
附：r=
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
√
n
Σ
i=1
( xi- x)
2
√
n
Σ
i=1
( yi- y)
2
，b
^=
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
n
Σ
i=1
( xi- x)
2
，a
^=y-b
^
x.
解 (1)由题意知，x=2+ 4+5+6+8
5
=5，
y=3+ 4+5+6+7
5
=5，
所以
5
Σ
i=1
(xi-x)(yi-y)=14，
5
Σ
i=1
( xi- x)
2=20，
5
Σ
i=1
( yi- y)
2=10，
所以r=
5
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
√
5
Σ
i=1
( xi- x)
2
√
5
Σ
i=1
( yi- y)
2
=
14
√20×√10
=7√2
10 ≈0.99，
所以y 与x 呈正相关，且线性相关程度很强.
(2)因为b
^=
5
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
5
Σ
i=1
( xi- x)
2
=14
20=0.7，
a
^=y-b
^
x=5-0.7×5=1.5，
所以y 关于x 的经验回归方程为y
^ =0.7x+1.5，
当x=12 时，y
^ =0.7×12+1.5=9.9.
所以预测液体肥料每亩的使用量为12 千克时，西红柿亩产量的增加量为9.9 百千克.
命题点2 非线性回归模型
例3 某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开
展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20 间大棚(每间一亩)进行试点，得
到各间大棚产量数据并绘制成散点图.光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：吨/亩)，记
w=ln x.
参考数据：
20
Σ
i=1
xi
20
Σ
i=1
yi
20
Σ
i=1
wi
20
Σ
i=1
xi
2
20
Σ
i=1
yi
2
20
Σ
i=1
wi
2
20
Σ
i=1
xiyi
20
Σ
i=1
wiyi
290
102.4
52
4 870
540.28
137
1 578.2
272.1
参考公式：y 关于x 的经验回归方程y
^ =b
^x+a
^中，b
^=
n
Σ
i=1
xi yi-n x y
n
Σ
i=1
xi
2-n x
2
，a
^=y-b
^
x.
(1)根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+dln x 哪一个适宜作为大棚蔬菜产量y 关于光照时长x 的经验回归方
程类型(给出判断即可，不必说明理由)；
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的经验回归方程(结果保留小数点后两位)；
(3)根据实际种植情况，发现上述回归方程在光照时长位于6~14 小时内拟合程度良好，利用(2)中所求方
程估计当光照时长为e2小时时(e 为自然对数的底数)，大棚蔬菜的亩产量.
解 (1)根据散点图，开始的点在某条直线旁，但后面的点会越来越偏离这条直线，因此y=c+dln x 更适宜
作为大棚蔬菜产量y 关于光照时长x 的经验回归方程类型.
(2)w=ln x，则y=c+dln x，即y=c+dw，
y=
20
Σ
i=1
yi
20
=102.4
20
=5.12，w=
20
Σ
i=1
wi
20
=52
20=2.6，
d
^ =
20
Σ
i=1
wi yi-20w y
20
Σ
i=1
wi
2-20w
2
=272.1-20×2.6×5.12
137 -20×2.6
2
≈3.26，
c
^=y-d
^
w≈5.12-3.26×2.6≈-3.36，
所以y
^ =3.26w-3.36，
即y
^ =3.26ln x-3.36.
(3)当x=e2时，y
^ =3.26ln e2-3.36=3.16.
即大棚蔬菜亩产量约为3.16 吨.
思维升华 求经验回归方程的步骤
跟踪训练2 (1)现有一组数据如表所示，
x
1
2
3
4
5
y
e
e3
e4
e6
e7
已知变量y 关于x 的非线性经验回归方程为y
^ =e
b
^
x -0.3，若对y
^ =e
b
^
x -0.3两边取自然对数，可以发现ln y 与x
线性相关，则当x=6 时，预测y 的值为( )
A.8.7
B.8
C.e8.7
D.e8
答案 C
解析 对y
^ =e
b
^
x -0.3两边取自然对数，
得ln y
^ =b
^x-0.3，
令z=ln y，则z
^=b
^x-0.3，z 的数据如表所示：
x
1
2
3
4
5
y
e
e3
e4
e6
e7
z
1
3
4
6
7
x=1+2+3+ 4+5
5
=3，z=1+3+ 4 +6+7
5
=4.2，
代入z=b
^
x-0.3，得4.2=3b
^-0.3，
故b
^=1.5.
故z
^=1.5x-0.3，y
^ =e1.5x-0.3.
当x=6 时，y
^ =e1.5×6-0.3=e8.7.
(2)(2024·新乡模拟)氮氧化物是一种常见的大气污染物，如图为我国2014 年至2022 年氮氧化物排放量
(单位：万吨)的折线图，其中年份代码1~9 分别对应年份2014~2022.
已知
9
Σ
i=1
yi≈12 000，√
9
Σ
i=1
( yi- y)
2≈1 100，√
9
Σ
i=1
(ti-t )
2≈7.7，
9
Σ
i=1
tiyi≈51 800.
①可否用线性回归模型拟合y 与t 的关系？请分别根据折线图和样本相关系数加以说明；
②若根据所给数据建立经验回归模型y
^ =-138t+2 025，可否用此模型来预测2025 年和2035 年我国的氮
氧化物排放量？请说明理由.
附：样本相关系数r=
n
Σ
i=1
ti yi-nt y
√
n
Σ
i=1
(ti-t )
2 n
Σ
i=1
( yi- y)
2
.
解 ①从折线图看，各点落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系，
由题意知t=1
9×(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=5，
样本相关系数r=
9
Σ
i=1
ti yi-9t y
√
9
Σ
i=1
(ti-t )
2 9
Σ
i=1
( yi- y)
2
≈51 800-5×12 000
7.7×1 100
=-8 200
8 470≈-0.97.
故可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.
②可以预测2025 年的氮氧化物排放量，但不可以预测2035 年的氮氧化物排放量.
理由如下：
2025 年与所给数据的年份较接近，因而可以认为短期内氮氧化物排放量将延续该趋势，故可以用此模型进
行预测；
2035 年与所给数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持不
变，但从长期看很有可能会变化，因而用此模型预测可能是不准确的.
题型三 残差分析
例4 某公司为了解年研发资金x(单位：亿元)对年产值y(单位：亿元)的影响，对公司近8 年的年研发
资金xi和年产值yi(i∈N，1≤i≤8)的数据对比分析中，选用了两个回归模型，并利用最小二乘法求得相
应的y 关于x 的经验回归方程：
①y
^ =13.05x-48.4；②y
^ =0.76x2-8.98.
已知①中的残差平方和S1≈3 610，②中的残差平方和S2≈658，请根据决定系数选择拟合效果更好的经
验回归方程，并利用该经验回归方程预测年研发资金为20 亿元时的年产值.
参考数据：
8
Σ
i=1
( yi- y)
2=32 900.
参考公式：刻画回归模型拟合效果的决定系数R2=1-
n
Σ
i=1
( yi- y
^
i)
2
n
Σ
i=1
( yi- y)
2
.
解 设经验回归方程①的决定系数为R1
2，由S1≈3 610，
得R1
2≈1- 3 610
32 900≈0.89，
设经验回归方程②的决定系数为R2
2，由S2≈658，
得R2
2≈1-
658
32 900=0.98，
因为R1
2<R2
2，所以经验回归方程②的拟合效果更好.
当x=20 时，y
^ =0.76×202-8.98=295.02，
所以年研发资金为20 亿元时的年产值约为295.02 亿元.
思维升华 检验回归模型的拟合效果的两种方法
(1)残差分析：通过残差分析发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果.
(2)R2分析：通过公式计算R2，R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，
模型的拟合效果越差.
跟踪训练3 (1)(多选)下列命题中，说法正确的有( )
A.在经验回归方程y
^ =-0.3x+10 中，当解释变量每增加1 个单位时，响应变量的预测值将减少0.3 个单位
B.经验回归直线y
^ =b
^x+a
^恒过点(x，y)，且在经验回归直线上的样本点越多，拟合效果越好
C.残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以取值为0 的横轴为对称轴的水平带状区域中，说
明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高
D.决定系数R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
答案 ACD
解析 在经验回归方程y
^ =-0.3x+10 中，当解释变量每增加1 个单位时，响应变量的预测值将减少0.3 个单
位，故A 正确；
经验回归直线y
^ =b
^x+a
^恒过点(x，y)，拟合效果是整体效果，与在经验回归直线上的样本点的多少无关，
如果在经验回归直线上的样本点增多，但其他点偏离程度增大，相应的残差的平方和仍可能会增大，拟合
效果也会变差，故B 错误；
残差带状图区域越窄，模型拟合的精度越高，故C 正确；
决定系数R2=1-
n
Σ
i=1
( yi- y
^
i)
2
n
Σ
i=1
( yi- y)
2
，残差平方和为
n
Σ
i=1
( yi- y
^
i)
2，根据决定系数公式可得，R2越大，表示残差平
方和越小，即模型的拟合效果越好，故D 正确.
(2)(2024·吕梁模拟)某市2018 年至2022 年新能源汽车的年销量y(单位：百台)与年份代号x 的数据如表：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代号x
0
1
2
3
4
年销量y
10
15
20
30
35
若根据表中的数据用最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为y
^ =6.5x+a
^，据此可得x=1 时，残差为
.
答案 -0.5
解析 依题意，x=0+1+2+3+ 4
5
=2，
y=10+15+20+30+35
5
=22，
将(2，22)代入回归直线方程y
^ =6.5x+a
^，
解得a
^=9，
所以回归直线方程为y
^ =6.5x+9，
当x=1 时，y
^ =6.5×1+9=15.5，
因此残差为15-15.5=-0.5.
课时精练
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.下列两个变量中，成正相关的两个变量是( )
A.汽车自身的重量与行驶每公里的耗油量
B.正方形的面积与边长
C.花费在体育活动上的时间与期末考试数学成绩
D.期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分
答案 A
解析 一般情况下，汽车越重，则每公里耗油量越多，成正相关，故A 正确；
正方形的面积与边长是函数关系，故B 错误；
一般情况下，若花费在体育活动上的时间越长，则期末考试数学成绩可能会降低，故不为正相关，故C 错
误；
期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分没有相关关系，故D 错误.
2.某校课外学习小组研究某作物种子的发芽率y 和温度x(单位：℃)的关系，由实验数据得到如图所示的散
点图.由此散点图判断，最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归模型的是( )
A.y=a+bx
B.y=a+bx2(b>0)
C.y=a+bex
D.y=a+bln x
答案 D
解析 由散点图可见，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增长缓慢.
A 中，y=a+bx 是直线型，均匀增长，不符合要求；
B 中，y=a+bx2(b>0)是二次函数型，图象呈现下凸，增长也较快，不符合要求；
C 中，y=a+bex是指数型，爆炸式增长，增长快，不符合要求；
D 中，y=a+bln x 是对数型，增长缓慢，符合要求.
故对数型最适宜该回归模型.
3.已知变量y 关于变量x 的非线性经验回归方程为y
^ =b
^ln x+0.24，其一组数据如表所示：
x
e
e3
e4
e6
e7
y
1
2
3
4
5
若x=e10，则y 的值大约为( )
A.4.94
B.5.74
C.6.81
D.8.04
答案 C
解析 由y
^ =b
^ln x+0.24，令t=ln x，则y
^ =b
^t+0.24，由题意易得t=1+3+ 4+6+7
5
=4.2，y=1+2+3+ 4+5
5
=3，
所以3=b
^×4.2+0.24，解得b
^≈0.657，所以y
^ =0.657ln x+0.24，若x=e10，解得y
^ =6.81.
4.为了研究y 关于x 的线性相关关系，收集了5 组样本数据(如表所示)：
x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.9
1
1.1
1.5
若已求得经验回归方程为y
^ =b
^x+0.34，则下列选项中正确的是( )
附：样本相关系数r=
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
√
n
Σ
i=1
( xi- x)
2
√
n
Σ
i=1
( yi- y)
2
.
A.b
^=0.21
B.当x=8 时，y 的预测值为2.2
C.两变量y 与x 负相关
D.去掉样本点(3，1)后，x 与y 的样本相关系数r 不会改变
答案 D
解析 x=1+2+3+ 4+5
5
=3，y=0.5+0.9+1+1.1+1.5
5
=1，将(3，1)代入y
^ =b
^x+0.34 得3b
^+0.34=1，解得b
^
=0.22，故A 错误；
当x=8 时，y 的预测值为y
^ =0.22×8+0.34=2.1，故B 错误；
因为b
^=0.22>0，所以两变量y 与x 正相关，故C 错误；
去掉样本点(3，1)后，新样本数据的平均值没有变化，即x=3，y=1 仍然成立，不妨设(3，1)为第5 组数据，
即x5=3，y5=1，则x5-x=0，y5-y=0，其余数据没有变化，则由样本相关系数公式r=
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
√
n
Σ
i=1
( xi- x)
2
√
n
Σ
i=1
( yi- y)
2
可知，即新样本数据x 与y 的样本相关系数与原数据的样本相关系数相等，即
x 与y 的样本相关系数r 不会改变，故D 正确.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.(2025·南昌模拟)如图对两组数据x，y 和v，u 分别进行回归分析，得到散点图如图，并求得经验回归方程
分别是y=b
^
1x+a
^
1和u=b
^
2v+a
^
2，并对变量x，y 进行线性相关检验，得到样本相关系数r1，对变量v，u 进行
线性相关检验，得到样本相关系数r2，则下列判断正确的是( )
A.b
^
1<0
B.b
^
2>0
C.|r1|<|r2|
D.r1+r2<0
答案 ABD
解析 由散点图可知，x 与y 负相关，v 与u 正相关，则b
^
1<0，b
^
2>0，故A，B 正确；图形中点(x，y)比(v，
u)更加集中在一条直线附近，
则|r1|>|r2|，又r1<0，r2>0，则r1+r2<0，故C 错误，D 正确.
6.(2024·武汉模拟)某科技公司统计了一款APP，最近5 个月的下载量如表所示，若y 与x 线性相关，且经验
回归方程为y
^ =-0.6x+a
^，则( )
月份编号x
1
2
3
4
5
下载量y(万次)
5
4.5
4
3.5
2.5
A.y 与x 负相关
B.a
^=5.6
C.预测第6 个月的下载量约为2.1 万次
D.残差绝对值的最大值为0.2
答案 ACD
解析 因为-0.6<0，所以变量y 与x 负相关，故A 正确；
x=1
5×(1+2+3+4+5)=3，y=1
5×(5+4.5+4+3.5+2.5)=3.9，y
^ =-0.6x+a
^，则-0.6×3+a
^=3.9，解得a
^=5.7，故B 错
误；
当x=6 时，y
^ =-0.6×6+5.7=2.1，故可以预测第6 个月的下载量约为2.1 万次，故C 正确；
当x=1 时，y
^
1=-0.6×1+5.7=5.1，|y1-y
^
1|=0.1；当x=2 时，y
^
2=-0.6×2+5.7=4.5，|y2-y
^
2|=0；当x=3 时，y
^
3
=-0.6×3+5.7=3.9，|y3-y
^
3|=0.1；当x=4 时，y
^
4=-0.6×4+5.7=3.3，|y4-y
^
4|=0.2；当x=5 时，y
^
5
=-0.6×5+5.7=2.7，|y5-y
^
5|=0.2，故残差绝对值的最大值为0.2，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的
样本相关系数分别为r1=0.66，r2=-0.97，r3=0.92，r4=0.89，则这四人中， 研究的两个随机变
量的线性相关程度最高.
答案 乙
解析 因为|r2|=0.97>|r3|>|r4|>|r1|，所以这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高.
8.新能源汽车的核心部件是动力电池，电池成本占了新能源整车成本的大部分，而其中的原材料碳酸锂又
是电池的主要成分.从2020 年底开始，碳酸锂的价格一路水涨船高，下表是2022 年某企业的前5 个月碳酸
锂的价格与月份的统计数据：
月份代码x
1
2
3
4
5
碳酸锂价格y(万元/kg)
0.5
0.6
1
m
1.5
根据表中数据，得出y 关于x 的经验回归方程为y
^ =0.28x+a
^，根据数据计算出在样本点(5，1.5)处的残差
为-0.06，则表中m= .
答案 1.4
解析 由题设，1.5-y
^ =1.5-(0.28×5+a
^)=-0.06，可得a
^=0.16.
又x=1+2+3+ 4+5
5
=3，
y=0.5+0.6+1+m+1.5
5
=3.6+m
5
，
所以0.28×3+0.16=3.6+m
5
，可得m=1.4.
四、解答题(共27 分)
9.(13 分)(2024·曲靖模拟)某地区2019-2023 年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如表所示：
年份
2019
2020
2021
2022
2023
充电桩数量x/万台
1
3
5
7
9
新能源汽车的年销量y/万辆
25
37
48
58
72
(1)已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用样本相关系数加以说明(结果精确到0.001)；(6 分)
(2)求y 关于x 的线性回归方程，预测当该地区充电桩数量为24 万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆？
(7 分)
参考公式：
样本相关系数r=
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
√
n
Σ
i=1
( xi- x)
2 n
Σ
i=1
( yi- y)
2
，
经验回归方程y
^ =a
^+b
^x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b
^=
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
n
Σ
i=1
( xi- x)
2
，a
^=y-b
^
x.
参考数据：
5
Σ
i=1
( xi- x)
2=40，
5
Σ
i=1
( yi- y)
2=1 326，
5
Σ
i=1
xiyi=1 430，√53 040≈230.304.
解 (1)由题可知，x=1
5×(1+3+5+7+9)=5，
y=1
5×(25+37+48+58+72)=48，
所以r=
5
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
√
5
Σ
i=1
( xi- x)
2 5
Σ
i=1
( yi- y)
2
=
5
Σ
i=1
xi yi-5 x y
√
5
Σ
i=1
( xi- x)
2 5
Σ
i=1
( yi- y)
2
=1 430-5×5×48
√40×1 326
≈
230
230.304 ≈0.999.
因为y 与x 的样本相关系数近似为0.999，非常接近1，所以y 与x 的线性相关程度很高，可以用线性回归
模型拟合y 与x 的关系.
(2)b
^=
5
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
5
Σ
i=1
( xi- x)
2
=230
40 =5.75，
a
^=y-b
^
x=48-5.75×5=19.25，
所以y 关于x 的线性回归方程为y
^ =5.75x+19.25.
当x=24 时，y
^ =5.75×24+19.25=157.25，
所以当充电桩数量为24 万台时，该地区新能源汽车的年销量为157.25 万辆.
10.(14 分)某科技公司为加大高科技研发投入，现对近十年来高科技研发投入情况分析调研，统计了近十年
的研发投入y(单位：亿元)与年份代码x 共10 组数据，其中年份代码x=1，2，…，10 分别指2014 年，2015
年，…，2023 年.现用模型①y=bx+a，②y=c+d√x分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行
残差分析，得到如图所示的残差图.
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中ti=√xi，t= 1
10
10
Σ
i=1
ti.
y
t
10
Σ
i=1
( xi- x)
2
10
Σ
i=1
(ti-t )
2
10
Σ
i=1
(yi-y)·(xi-x)
10
Σ
i=1
(yi-y)·(ti-t)
75
2.25
82.5
4.5
121.4
28.82
(1)根据残差图，比较模型①②的拟合效果，判断哪个模型拟合效果更好，并说明理由；(5 分)
(2)根据(1)中所选模型，求出y 关于x 的经验回归方程(结果保留2 位小数)；根据该模型，求该公司2029 年
高科技研发投入y 的预报值.(9 分)
附：经验回归直线y
^ =a
^ +b
^x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b
^=
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
n
Σ
i=1
( xi- x)
2
，a
^=y-b
^
x.
解 (1)应该选择模型②.
由于模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄，所以模型
②的拟合精度更高，相应的经验回归方程的预报精度就会越高，所以选模型②比较合适.
(2)根据模型②，令t=√x，研发投入y 与t 可用经验回归方程来拟合，有y
^ =c
^+d
^ t.
则d
^ =
10
Σ
i=1
(ti-t )( yi- y)
10
Σ
i=1
(ti-t )
2
=28.82
4.5 ≈6.404，
所以c
^=y-d
^
t=75-28.82
4.5 ×2.25=60.59，则y 关于t 的经验回归方程为y
^ =6.40t+60.59.
所以y 关于x 的非线性经验回归方程为y
^ =6.40√x+60.59.
在2029 年，即当x=16 时，
y
^ =6.40√16+60.59=86.19(亿元).
所以该公司2029 年高科技研发投入y 的预报值为86.19 亿元.
11 题6 分，12 题5 分，共11 分
11.(多选)某地新开了一条夜市街，每晚平均客流量为2 万人，每晚最多能接纳的客流量为10 万人，主办公
司决定通过微信公众号和其他APP 进行广告宣传提高营销效果.通过调研，公司发现另一处同等规模的夜
市街投入的广告费x(单位：万元)与每晚增加的客流量y(单位：千人)存在如下关系：
x/万元
1
2
3
4
5
6
y/千人
5
6
8
9
12
20
现用曲线C：y
^ =c
^
1+c
^
2×2x拟合变量x 与y 的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数c
^
1，c
^
2(精确到
0.01)，以所求经验回归方程C 为预测依据，则( )
参考数据：y=10，
6
Σ
i=1
xiyi=257，
6
Σ
i=1
xi
2=91，
6
Σ
i=1
2i=126，
6
Σ
i=1
(2
i)
2=5 460，
6
Σ
i=1
2iyi=1 906.
附：一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式：b
^=
n
Σ
i=1
xi yi-n x y
n
Σ
i=1
xi
2-n x
2
，a
^=y-b
^
x.
A.c
^
1=5.82
B.曲线C 经过点(log221，10)
C.广告费每增加1 万元，每晚客流量平均增加3 000 人
D.若广告费超过9 万元，则每晚客流量会超过夜市街的接纳能力
答案 BD
解析 由题知，
6
Σ
i=1
2iyi=1 906，y=10，
1
6
6
Σ
i=1
2i=1
6×126=21，
6
Σ
i=1
(2
i)
2=5 460，
所以c
^
2=1 906-6×21×10
5 460-6×21
2
= 323
1 407 ≈0.23，
c
^
1≈10-0.23×21=5.17，A 错误；
所以y
^ =5.17+0.23×2x，
令x=log221，求得y
^ =10，B 正确；
由上式可知，x 每增加1 万元，y 不是平均增加的，C 错误；
若x>9，则y
^ >122.93，而每晚最多能接纳的客流量为10 万人，故D 正确.
12.(2024·邵阳模拟)某学习小组对一组数据(xi，yi)(i=1，2，3，…，7)进行回归分析，甲同学首先求出回归
直线方程为y
^ =5x+4，x=2，y=m.乙同学对甲同学的计算过程进行检查，发现甲同学将数据(2，3)误输成
(3，2)，将这两个数据修正后得到回归直线方程为y
^ =kx+7，则实数k= .
答案 50
13
解析 由题意可得m=5×2+4=14，
即修正前的y=14，
假设甲输入的(x1，y1)为(3，2)，
则3+x2+x3+…+x7=2×7=14，
则x2+x3+…+x7=11，
且2+y2+y3+…+y7=7×14=98，
则y2+y3+…+y7=96，
改为正确数据后，则
x'=1
7×(2+11)=13
7 ，y'=1
7×(3+96)=99
7 ，
将点(
13
7 ，99
7 )代入回归直线方程y
^ =kx+7，
可得99
7 =13
7 k+7，解得k=50
13.
