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§9.3 一元线性回归模型及其应用
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.下列两个变量中，成正相关的两个变量是( )
A.汽车自身的重量与行驶每公里的耗油量
B.正方形的面积与边长
C.花费在体育活动上的时间与期末考试数学成绩
D.期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分
2.某校课外学习小组研究某作物种子的发芽率y 和温度x(单位：℃)的关系，由实验数据得到如图所示的散
点图.由此散点图判断，最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归模型的是( )
A.y=a+bx
B.y=a+bx2(b>0)
C.y=a+bex
D.y=a+bln x
3.已知变量y 关于变量x 的非线性经验回归方程为y
^ =b
^ln x+0.24，其一组数据如表所示：
x
e
e3
e4
e6
e7
y
1
2
3
4
5
若x=e10，则y 的值大约为( )
A.4.94
B.5.74
C.6.81
D.8.04
4.为了研究y 关于x 的线性相关关系，收集了5 组样本数据(如表所示)：
x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.9
1
1.1
1.5
若已求得经验回归方程为y
^ =b
^x+0.34，则下列选项中正确的是( )
附：样本相关系数r=
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
√
n
Σ
i=1
( xi- x)
2
√
n
Σ
i=1
( yi- y)
2
.
A.b
^=0.21
B.当x=8 时，y 的预测值为2.2
C.两变量y 与x 负相关
D.去掉样本点(3，1)后，x 与y 的样本相关系数r 不会改变
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.(2025·南昌模拟)如图对两组数据x，y 和v，u 分别进行回归分析，得到散点图如图，并求得经验回归方程
分别是y=b
^
1x+a
^
1和u=b
^
2v+a
^
2，并对变量x，y 进行线性相关检验，得到样本相关系数r1，对变量v，u 进行
线性相关检验，得到样本相关系数r2，则下列判断正确的是( )
A.b
^
1<0
B.b
^
2>0
C.|r1|<|r2|
D.r1+r2<0
6.(2024·武汉模拟)某科技公司统计了一款APP，最近5 个月的下载量如表所示，若y 与x 线性相关，且经验
回归方程为y
^ =-0.6x+a
^，则( )
月份编号x
1
2
3
4
5
下载量y(万次)
5
4.5
4
3.5
2.5
A.y 与x 负相关
B.a
^=5.6
C.预测第6 个月的下载量约为2.1 万次
D.残差绝对值的最大值为0.2
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的
样本相关系数分别为r1=0.66，r2=-0.97，r3=0.92，r4=0.89，则这四人中， 研究的两个随机变
量的线性相关程度最高.
8.新能源汽车的核心部件是动力电池，电池成本占了新能源整车成本的大部分，而其中的原材料碳酸锂又
是电池的主要成分.从2020 年底开始，碳酸锂的价格一路水涨船高，下表是2022 年某企业的前5 个月碳酸
锂的价格与月份的统计数据：
月份代码x
1
2
3
4
5
碳酸锂价格y(万元/kg)
0.5
0.6
1
m
1.5
根据表中数据，得出y 关于x 的经验回归方程为y
^ =0.28x+a
^，根据数据计算出在样本点(5，1.5)处的残差
为-0.06，则表中m= .
四、解答题(共27 分)
9.(13 分)(2024·曲靖模拟)某地区2019-2023 年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如表所示：
年份
2019
2020
2021
2022
2023
充电桩数量x/万台
1
3
5
7
9
新能源汽车的年销量y/万辆
25
37
48
58
72
(1)已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用样本相关系数加以说明(结果精确到0.001)；(6 分)
(2)求y 关于x 的线性回归方程，预测当该地区充电桩数量为24 万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆？
(7 分)
参考公式：
样本相关系数r=
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
√
n
Σ
i=1
( xi- x)
2 n
Σ
i=1
( yi- y)
2
，
经验回归方程y
^ =a
^+b
^x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b
^=
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
n
Σ
i=1
( xi- x)
2
，a
^=y-b
^
x.
参考数据：
5
Σ
i=1
( xi- x)
2=40，
5
Σ
i=1
( yi- y)
2=1 326，
5
Σ
i=1
xiyi=1 430，√53 040≈230.304.
10.(14 分)某科技公司为加大高科技研发投入，现对近十年来高科技研发投入情况分析调研，统计了近十年
的研发投入y(单位：亿元)与年份代码x 共10 组数据，其中年份代码x=1，2，…，10 分别指2014 年，2015
年，…，2023 年.现用模型①y=bx+a，②y=c+d√x分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行
残差分析，得到如图所示的残差图.
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中ti=√xi，t= 1
10
10
Σ
i=1
ti.
y
t
10
Σ
i=1
( xi- x)
2
10
Σ
i=1
(ti-t )
2
10
Σ
i=1
(yi-y)·(xi-x)
10
Σ
i=1
(yi-y)·(ti-t)
75
2.25
82.5
4.5
121.4
28.82
(1)根据残差图，比较模型①②的拟合效果，判断哪个模型拟合效果更好，并说明理由；(5 分)
(2)根据(1)中所选模型，求出y 关于x 的经验回归方程(结果保留2 位小数)；根据该模型，求该公司2029 年
高科技研发投入y 的预报值.(9 分)
附：经验回归直线y
^ =a
^ +b
^x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b
^=
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
n
Σ
i=1
( xi- x)
2
，a
^=y-b
^
x.
11 题6 分，12 题5 分，共11 分
11.(多选)某地新开了一条夜市街，每晚平均客流量为2 万人，每晚最多能接纳的客流量为10 万人，主办公
司决定通过微信公众号和其他APP 进行广告宣传提高营销效果.通过调研，公司发现另一处同等规模的夜
市街投入的广告费x(单位：万元)与每晚增加的客流量y(单位：千人)存在如下关系：
x/万元
1
2
3
4
5
6
y/千人
5
6
8
9
12
20
现用曲线C：y
^ =c
^
1+c
^
2×2x拟合变量x 与y 的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数c
^
1，c
^
2(精确到
0.01)，以所求经验回归方程C 为预测依据，则( )
参考数据：y=10，
6
Σ
i=1
xiyi=257，
6
Σ
i=1
xi
2=91，
6
Σ
i=1
2i=126，
6
Σ
i=1
(2
i)
2=5 460，
6
Σ
i=1
2iyi=1 906.
附：一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式：b
^=
n
Σ
i=1
xi yi-n x y
n
Σ
i=1
xi
2-n x
2
，a
^=y-b
^
x.
A.c
^
1=5.82
B.曲线C 经过点(log221，10)
C.广告费每增加1 万元，每晚客流量平均增加3 000 人
D.若广告费超过9 万元，则每晚客流量会超过夜市街的接纳能力
12.(2024·邵阳模拟)某学习小组对一组数据(xi，yi)(i=1，2，3，…，7)进行回归分析，甲同学首先求出回归
直线方程为y
^ =5x+4，x=2，y=m.乙同学对甲同学的计算过程进行检查，发现甲同学将数据(2，3)误输成
(3，2)，将这两个数据修正后得到回归直线方程为y
^ =kx+7，则实数k= .
答案精析
1.A [一般情况下，汽车越重，则每公里耗油量越多，成正相关，故A 正确；
正方形的面积与边长是函数关系，故B 错误；
一般情况下，若花费在体育活动上的时间越长，则期末考试数学成绩可能会降低，故不为正相关，故C 错
误；
期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分没有相关关系，故D 错误.]
2.D [由散点图可见，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增长缓慢.
A 中，y＝a+bx 是直线型，均匀增长，不符合要求；
B 中，y＝a+bx2(b>0)是二次函数型，图象呈现下凸，增长也较快，不符合要求；
C 中，y＝a+bex是指数型，爆炸式增长，增长快，不符合要求；
D 中，y＝a+bln x 是对数型，增长缓慢，符合要求.
故对数型最适宜该回归模型.]
3.C [由y
^
＝b
^ln x+0.24，
令t＝ln x，则y
^
＝b
^t+0.24，
由题意易得t ＝1+3+ 4 +6+7
5
＝4.2，y ＝1+2+3+ 4 +5
5
＝3，
所以3＝b
^×4.2+0.24，
解得b
^≈0.657，
所以y
^ ＝0.657ln x+0.24，
若x＝e10，解得y
^ ＝6.81.]
4.D [x＝1+2+3+ 4 +5
5
＝3，y ＝0.5+0.9+1+1.1+1.5
5
＝1，将(3，1)代入y
^
＝b
^x+0.34 得3b
^+0.34＝1，
解得b
^＝0.22，故A 错误；
当x＝8 时，y 的预测值为y
^ ＝0.22×8+0.34＝2.1，故B 错误；
因为b
^＝0.22>0，所以两变量y 与x 正相关，故C 错误；
去掉样本点(3，1)后，新样本数据的平均值没有变化，即x＝3，y＝1 仍然成立，不妨设(3，1)为第5 组数
据，即x5＝3，y5＝1，则x5－x＝0，y5－y＝0，其余数据没有变化，则由样本相关系数公式r＝
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
√
n
Σ
i=1
( xi- x)
2
√
n
Σ
i=1
( yi- y)
2
可知，即新样本数据x 与y 的样本相关系数与原数据的样本相关系数相等，即
x 与y 的样本相关系数r 不会改变，故D 正确.]
5.ABD [由散点图可知，x 与y 负相关，v 与u 正相关，则b
^
1<0，b
^
2>0，故A，B 正确；图形中点(x，y)比
(v，u)更加集中在一条直线附近，
则|r1|>|r2|，又r1<0，r2>0，则r1+r2<0，故C 错误，D 正确.]
6.ACD [因为－0.6<0，所以变量y 与x 负相关，故A 正确；
x＝1
5×(1+2+3+4+5)＝3，y ＝1
5×(5+4.5+4+3.5+2.5)＝3.9，y
^ ＝－0.6x+a
^，则－0.6×3+a
^＝3.9，解得a
^＝
5.7，故B 错误；
当x＝6 时，y
^ ＝－0.6×6+5.7＝2.1，故可以预测第6 个月的下载量约为2.1 万次，故C 正确；
当x＝1 时，y
^
1＝－0.6×1+5.7＝5.1，|y1－y
^
1|＝0.1；当x＝2 时，y
^
2＝－0.6×2+5.7＝4.5，|y2－y
^
2|＝0；当x
＝3 时，y
^
3＝－0.6×3+5.7＝3.9，|y3－y
^
3|＝0.1；当x＝4 时，y
^
4＝－0.6×4+5.7＝3.3，|y4－y
^
4|＝0.2；当x＝
5 时，y
^
5＝－0.6×5+5.7＝2.7，|y5－y
^
5|＝0.2，故残差绝对值的最大值为0.2，故D 正确.]
7.乙
解析 因为|r2|＝0.97>|r3|>|r4|>|r1|，所以这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高.
8.1.4
解析 由题设，1.5－y
^ ＝1.5－(0.28×5+a
^)＝－0.06，
可得a
^＝0.16.
又x＝1+2+3+ 4+5
5
＝3，y ＝0.5+0.6+1+m+1.5
5
＝3.6+m
5
，
所以0.28×3+0.16＝3.6+m
5
，
可得m＝1.4.
9.解 (1)由题可知，x＝1
5×(1+3+5+7+9)＝5，
y ＝1
5×(25+37+48+58+72)
＝48，
所以r＝
5
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
√
5
Σ
i=1
( xi- x)
2 5
Σ
i=1
( yi- y)
2
＝
5
Σ
i=1
xi yi-5 x y
√
5
Σ
i=1
( xi- x)
2 5
Σ
i=1
( yi- y)
2
＝1 430-5×5×48
√40×1 326
≈
230
230.304 ≈0.999.
因为y 与x 的样本相关系数近似为0.999，非常接近1，所以y 与x 的线性相关程度很高，可以用线性回归
模型拟合y 与x 的关系.
(2)b
^
＝
5
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
5
Σ
i=1
( xi- x)
2
＝230
40
＝5.75，
a
^
＝y －b
^
x＝48－5.75×5＝19.25，
所以y 关于x 的线性回归方程为
y
^ ＝5.75x+19.25.
当x＝24 时，y
^ ＝5.75×24+19.25＝157.25，
所以当充电桩数量为24 万台时，该地区新能源汽车的年销量为157.25 万辆.
10.解 (1)应该选择模型②.
由于模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄，所以模型
②的拟合精度更高，相应的经验回归方程的预报精度就会越高，所以选模型②比较合适.
(2)根据模型②，令t＝√x，研发投入y 与t 可用经验回归方程来拟合，有y
^
＝c
^
+d
^ t.
则d
^
＝
10
Σ
i=1
(ti-t )( yi- y)
10
Σ
i=1
(ti-t )
2
＝28.82
4.5
≈6.404，
所以c
^
＝y －d
^
t＝75－28.82
4.5 ×2.25＝60.59，则y 关于t 的经验回归方程为y
^ ＝6.40t+60.59.
所以y 关于x 的非线性经验回归方程为y
^ ＝6.40√x+60.59.
在2029 年，即当x＝16 时，
y
^ ＝6.40√16+60.59
＝86.19(亿元).
所以该公司2029 年高科技研发投入y 的预报值为86.19 亿元.
11.BD [由题知，
6
Σ
i=1
2iyi＝1 906，
y＝10，
1
6
6
Σ
i=1
2i＝1
6×126＝21，
6
Σ
i=1
(2
i)
2
＝5 460，
所以c
^
2＝1 906-6×21×10
5 460-6×21
2
＝323
1 407≈0.23，
c
^
1≈10－0.23×21＝5.17，A 错误；
所以y
^ ＝5.17+0.23×2x，
令x＝log221，求得y
^ ＝10，B 正确；
由上式可知，x 每增加1 万元，y 不是平均增加的，C 错误；
若x>9，则y
^ >122.93，而每晚最多能接纳的客流量为10 万人，故D 正确.]
12.50
13
解析 由题意可得m＝5×2+4＝14，
即修正前的y＝14，
假设甲输入的(x1，y1)为(3，2)，
则3+x2+x3+…+x7＝2×7＝14，
则x2+x3+…+x7＝11，
且2+y2+y3+…+y7
＝7×14＝98，
则y2+y3+…+y7＝96，
改为正确数据后，则
x'＝1
7 ×(2+11)＝13
7 ，
y'＝1
7 ×(3+96)＝99
7 ，
将点(
13
7 ，99
7 )代入回归直线方程
y
^ ＝kx+7，
可得99
7 ＝13
7 k+7，解得k＝50
13.
