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专题04 回归直线方程与非线性回归方程(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
1．两个变量线性相关
(1)散点图：将样本中
个数据点
(i＝1,2，…，
)描在平面直角坐标系中得到的图形．
(2)正相关与负相关
①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域．
②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．
2．回归直线的方程
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相
关关系，这条直线叫做回归直线．
(2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程．
(3)回归方程的推导过程：
①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据
,
,
．
②设所求回归方程为
，其中
是待定参数．
③由最小二乘法得
其中，
是回归方程的斜率，
是截距．
3、换元法求非线性回归方程
当经验回归方程并非形如
(
）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线
性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总
结如下：
曲线方程
变换公式
变换后的线性关系式
4、建立非线性经验回归模型的基本步骤
（1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；
1
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（2）由经验确定非线性经验回归方程的模型；
（3）通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为
线性经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）；
（4）按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；
（5）消去新元，得到非线性经验回归方程；
（6）得出结果后分析残差图是否有异常 ．
二、典型题型
题型一：线性回归
1．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校联考模拟预测）2024 年“元旦档”，某连锁购物中心在2023 年12
月31 日隆重开业，该购物中心随机调查统计了连续8 天的客流量
（单位：百人），如下表：
日期
12 月31 日
1 月1 日
1 月2 日
1 月3 日
1 月4 日
1 月5 日
1 月6 日
1 月7 日
日期代码
1
2
3
4
5
6
7
8
客流量
16.6
18.8
22
24.9
28.6
33.1
38.9
46.3
(1)由表中数据，知可用线性回归模型拟合
与
之间的关系，请用相关系数加以说明；（结果精确到
0.01）
(2)求
关于
的线性回归方程
（系数精确到0.01，并用精确后的
的值计算
的值），并预测1
月9 日的客流量．（预测结果精确到0.1）
参考公式：相关系数
，线性回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公
式分别为
．
参考数据：
，
．
2．（2024 上·江西新余·高二统考期末）某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力培育发
2
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展养老护理服务市场．从
年开始新建社区养老机构，下表为该地区近年新建社区养老机构的数量对
照表．
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
6
7
新建社区养老机构
(1)若该地区参与社区养老的老人的年龄
近似服从正态分布
，其中年龄
的有
人，
试估计该地参与社区养老的老人有多少？（结果按四舍五入取整数）
(2)已知变量
与
之间的样本相关系数
，请求出
关于
的线性回归方程
，并据此估计
年时，该地区新建社区养老机构的数量．（结果按四舍五入取整数）
参考公式与数据：①
，
.；
②若随机变量
，则
，
，
；
③
，
.
3．（2023 上·江苏扬州·高三统考阶段练习）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我
3
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国本科毕业生中考研人数也不断攀升，
年的考研人数是
万人，
年考研人数是
万人.某省统
计了该省其中四所大学
年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
A 大学
B 大学
C 大学
D 大学
年毕业人数
（千人）
年考研人数
（千人）
(1)已知
与
具有较强的线性相关关系，求
关于
的线性回归方程
；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放
万元的补贴.
（i）若该省大学
年毕业生人数为
千人，估计该省要发放多少万元的补贴？
（ii）若A 大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p、2p－1，该省对小江、小沈两人的考研补
贴总金额的期望不超过
万元，求p 的取值范围.
参考公式：
，
.
4．（2023 下·河南焦作·高二校考阶段练习）某地区实行社会主义新农村建设后，农村的经济收入明显增加，
根据统计得到从2015 年至2021 年农村居民家庭收入y（单位：万元）的数据，其数据如下表：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
农村居民家庭收入y
3.9
4.3
4.6
5.4
5.8
6.2
6.9
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
．
参考数据：
，
．
(1)求y 关于t 的线性回归方程；
(2)根据（1）中的回归方程，分析2015 年至2021 年该地区农村居民家庭收入的变化情况，并预测该地区
2024 年农村居民家庭收入．
4
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题型二：非线性回归
1．（2024 下·重庆·高三重庆一中校考开学考试）当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步
影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某
公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额
（单位：百万元）与其年销售
量y（单位：千件）的数据统计表．
1
2
3
4
5
6
1
1.5
3
6
12
(1)公司拟分别用①
和②
两种方案作为年销售量
关于年投入额
的回归分析模型，请根
据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（
计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留
到小数点后一位）
(2)根据下表数据，用决定系数
（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精
度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少?
经验回归方程
残差平方和
参考公式及数据：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
5
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2．（2021 上·四川成都·高三石室中学校考期末）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分
布情况，测得了平均金属含量
（单位：
）与样本对原点的距离
（单位：m）的数据，并作了初步
处理，得到了下面的一些统计理的值．（表中
，
）
6
97.90
0.21
60
0.14
14.12
26.13
(1)利用样本相关系数的知识，判断
与
哪一个更适宜作为平均金属含量
关于样本对原点
的距离
的回归方程类型？
(2)根据（1）的结果回答下列问题：
①建立
关于
的回归方程；
②样本对原点的距离
时，金属含量的预报值是多少？
附：对于一组数据
，其线性相关系数
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
．
6
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3．（2023·全国·模拟预测）一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务
办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活
力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保
持稳定增长，下表为2017—2022 年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），设2017—2022 年对
应的年份代码依次为1~6．
年份代码x
1
2
3
4
5
6
中国夜间经济的市场发展规模y/万亿元
20.5
22.9
26.4
30.9
36.4
42.4
(1)已知可用函数模型
拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x 的回归方程（a，b 的值精确到0.01）；
(2)某传媒公司发布的2023 年中国夜间经济城市发展指数排行榜前10 名中，吸引力超过90 分的有4 个，从
这10 个城市中随机抽取5 个，记吸引力超过90 分的城市数量为X，求X 的分布列与数学期望．
参考数据：
3.366
73.282
17.25
1.16
其中
．
参考公式：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘
法估计分别为
，
．
7
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4．（2023 上·湖南衡阳·高三衡阳市八中校联考阶段练习）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技
公司逐年加大高科技研发投入.下图1 是该公司2013 年至2022 年的年份代码x 和年研发投入y（单位：亿
元）的散点图，其中年份代码1 10
∼
分别对应年份2013 2022.
∼
根据散点图，分别用模型①
，②
作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x 的
经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2 所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计
量的值：
75
2.25
82.5
4.5
120
28.35
表中
，
.
(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x 的经
验回归方程模型?并说明理由；
(2)（i）根据（1）中所选模型，求出y 关于x 的经验回归方程；
（ii）设该科技公司的年利润
（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足
（
且
），问该科技公司哪一年的年利润最大?
附：对于一组数据
，
，…，
，其经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘估
计分别为
，
.
8
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5．（2023·全国·模拟预测）一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务
办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活
力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保
持稳定增长，下表为2017—2022 年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其中2017—2022 年
对应的年份代码依次为1~6．
年份代码
1
2
3
4
5
6
中国夜间经济的市场发展规模
万亿
元
20.5
22.9
26.4
30.9
36.4
42.4
(1)已知可用函数模型
拟合
与
的关系，请建立
关于
的回归方程（
的值精确到0.01）；
(2)某传媒公司预测2023 年中国夜间经济的市场规模将达到48.1 万亿元，现用（1）中求得的回归方程预测
2023 年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1 万亿元，则认为（1）中求得的回归方程
是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想．参考数据：
3.366
73.282
17.25
1.16
2.83
其中
．
参考公式：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分
别为
．
9
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三、专项训练
1．（2023 上·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防
控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入
（亿元）与产品收益
（亿
元）的数据统计如下：
研发投入
（亿元）
1
2
3
4
5
产品收益
（亿
元）
3
7
9
10
11
(1)计算
，
的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度?（若
，则线性相关程度一般，若
，则线性相关程度较高）
(2)求出
关于
的线性回归方程，并预测若想收益超过50（亿元）则需研发投入至少多少亿元?（结果保
留一位小数）参考数据：
，
.
附：相关系数公式：
，
回归直线方程的斜率
，截距
.
10
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2．（2023 上·辽宁丹东·高三统考期中）哈尔滨冰雪大世界于2022 年9 月投入使用，总投资高达25 亿元，
号称“永不落幕”的冰雪游乐场，从“一季繁荣”到“四季绽放”2023 年1 月至5 月的游客数以及对游客
填写满意与否的调查表，统计如下：
月份
1
2
3
4
5
游客人数
万
人）
130
90
80
满意率
0.5
0.4
0.4
0.3
0.35
已知
关于
的线性回归直线方程为
．
(1)求2 月份，3 月份的游客数
的值；
(2)在1 月至5 月的游客中随机抽取2 人进行调查，把满意率视为概率，求评价为满意的人数
的分布列与
期望
．
（参考公式：
）
3．（2023 上·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口
感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：
）关于时间x（单位：
min）的回归方程模型，通过实验收集在
室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化
的7 组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据.
73.5
3.85
表中：
，
11
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(1)根据散点图判断，①
与②
哪一个更适宜作为该茶水温度y 关于时间x 的回归方程
类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y 关于时间x 的
回归方程；
(2)已知该茶水温度降至
口感最佳，根据（1）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要
放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
附：（1）对于一组数据
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估
计分别为
，
（2）参考数据：
，
，
，
，
4．（2023 下·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考阶段练习）研究某灌溉渠道水的流速y 与水深x
之间的关系，测得一组数据如下：
水深x/m
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
2.00
2.10
流速y/（
）
1.70
1.79
1.88
1.95
2.03
2.10
2.16
2.21
(1)求y 对x 的回归直线方程：（所有数据精确到0.01）
(2)预测水深为
时水的流速是多少?（精确到0.01）
参考公式：回归方程为
中，
参考数据：
12
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5．（2023 上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）某连锁经营公司所属5 个零售店某
月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称
A
B
E
销售额x/千万元
3
5
6
7
9
利润额y/百万元
2
3
3
4
5
(1)画出散点图，观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性；
(2)用最小二乘法计算利润额y 对销售额x 的回归直线方程；
(3)当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．
参考公式：
，
，
.
6．（2023 上·江苏扬州·高三统考阶段练习）高邮市某中学开展劳动主题德育活动，某班统计了本班学生1
至7 月份的人均月劳动时间（单位：小时），并建立了人均月劳动时间
（单位：小时）关于月份
的线
性回归方程
，
与
的原始数据如表所示：
月份
人均月劳动时间
由于某些原因导致部分数据丢失，但已知
．
(1)求
，
的值；
(2)如果该月人均劳动时间超过13（单位：小时），则该月份“达标”.从表格中的7 组数据中随机选5 组，
13
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设
表示“达标”的数据组数，求
的分布列和数学期望．
参考公式：在线性回归方程
中，
7．（2023 下·江西·高三校联考阶段练习）中医药在抗击新冠肺炎疫情中，发挥了重要作用.中药可以起到
改善平常上呼吸道的症状，同时可以起到抑制病毒繁殖的效果就可以达到治疗新型冠状病毒肺炎的作用.某
地种植药材收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的药材的箱数
（单位：十箱）与成本
（单位：
千元）的关系如下：
3
4
6
7
9
6.5
7
7.5
8
8.2
与
可用回归方程
（其中
为常数，且精确到0.01）进行模拟．
(1)若农户卖出的该药材的价格为500 元/箱，试预测该药材10 箱的利润是多少元；（利润=售价-成本）
(2)据统计，4 月份的连续20 天中农户每天为甲地可配送的药材的箱数的频率分布直方图如图，用这20 天
的情况来估计相应的概率.
(i)通过频率分布直方图计算农户每天平均可配送的药材的箱数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点
的值作代表）；
(ii)一个运输户拟购置3 辆小货车专门运输农户为甲地配送的该药材，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车
每趟最多只能装载40 箱该药材，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利400 元；若未发车，
则每辆车每天平均亏损200 元．试计算此项业务每天的利润平均值的大小．
参考数据：设
，则
14
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0.73
7.44
0.53
0.15
参考公式：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二
乘估计分别为
，
.
8．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）近年来，云南省保山市龙陵县紧紧围绕打造“中国石斛
之乡”的发展定位，大力发展石斛产业，该产业带动龙陵县近四分之一人口脱贫致富．2022 年8 月，龙陵
紫皮石斛获国家地理标志运用促进工程重点项目，并被评为优秀等次．在政府的大力扶持下，龙陵紫皮石
斛产量逐年增长，2017 年底到2022 年底龙陵县石斛产量统计如下及散点图如图．
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码x
1
2
3
4
5
6
紫皮石斛产量y（吨）
3200
3400
3600
4200
7500
9000
(1)根据散点图判断，
与
（a，b，c，d 均为
常数）哪一个更适合作为龙陵县紫皮石斛产量y 关于年份代码x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必
说明理由）
(2)经计算得下表中数据，根据（1）中结果，求出y 关于x 的回归方程；
3.5
5150
8.46
17.5
20950
3.85
其中
．
(3)龙陵县计划到2025 年底实现紫皮石斛年产量达1.5 万吨，根据（2）所求得的回归方程，预测该目标是
否能完成？（参考数据：
）
15
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附：
，
．
9．（2022 下·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）有一个开房门的游戏，其玩法为:
盒中先放入两把钥匙
和两把钥匙
，
能够打开房门，
不能打开房门.
每次从盒中随机取一把试开，试开后不放回钥匙.第一次打开房门后，关上门继续试开，第二次打开房门后
停止抽取，称为进行了一轮游戏.
若每一轮取钥匙不超过三次，则该轮“成功”，否则为“失败”，如果某一轮“成功”，则游戏终止；若
“失败”，则将所有钥匙重新放入盒中，并再放入一把钥匙
，继续下一轮抽取，直至“成功”.
(1)有
名爱好者独立参与这个游戏，记表示“成功”时抽取钥匙的轮次数，
表示对应的人数，部分
统计数据如下表:
若将
作为
关于的经验回归方程，估计抽取轮才“成功”的人数（人数精确到个位）；
(2)由于时间关系，规定：进行游戏时，最多进行三轮，若均未“成功”也要终止游戏.求游戏要进行三轮的
概率.
参考公式：最小二乘估计
，
.
参考数据：取
，
，其中
，
.
10．（2022·四川成都·石室中学校考二模）2020 年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60 周年，也是中国首
次精确测定并公布珠峰高程的45 周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G，有助于测量信号的实时开通，
16
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为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G 信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G 信号的
稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价
值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G 的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰
登顶，告诉全世界，华为5G、中国5G 的底气来自哪里.现在，5G 的到来给人们的生活带来更加颠覆性的
变革，某IT 公司基于领先技术的支持，5G 经济收入在短期内逐月攀升，该IT 公司在1 月份至6 月份的5G
经济收入y（单位：百万元）关于月份x 的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.
月份x
1
2
3
4
5
6
收入y（百万元）
6.6
8.6
16.1
21.6
33.0
41.0
(1)根据散点图判断，
与
（a，b，c，d 均为常数）哪一个更适宜作为5G 经济收入y 关于
月份x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果及表中的数据，求出y 关于x 的回归方程，并预测该公司7 月份的5G 经济收入.（结果
保留小数点后两位）
(3)从前6 个月的收入中抽取2 个，记收入超过20 百万元的个数为X，求X 的分布列和数学期望.参考数据：
3.50
21.15
2.85
17.70
125.35
6.73
4.57
14.30
其中，设
（i=1，2，3，4，5，6）.
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（
，
）（i=1，2，3，…，n），其回归直线
的
斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
.
11．（2023·四川绵阳·统考二模）某县依托种植特色农产品，推进产业园区建设，致富一方百姓．已知该
县近年人均可支配收入如下表所示，记
年为
，
年为
，…以此类推．
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年份
年份代号
人均可支配收入
（万
元）
(1)使用两种模型：①
；②
的相关指数
分别约为
，
，请选择一个拟合效果
更好的模型，并说明理由；
(2)根据（1）中选择的模型，试建立
关于
的回归方程．（保留
位小数）
附：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
．
参考数据：
，令
，
．
12．（2023·四川广安·统考一模）某企业为改进生产，现 某产品及成本相关数据进行统计．现收集了该产
品的成本费y（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量x（单位：吨）的20 组数据．现分别用两种模型①
，②
进行拟合，据收集到的数据，计算得到如下值：
14.5
0.08
665
0.04
-450
4
表中
，
．
若用
刻画回归效果，得到模型①、②的
值分别为
，
．
(1)利用
和
比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
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(2)根据（1）中所选择的模型，求y 关于x 的回归方程；并求同批次产品生产数量为25（吨）时y 的预报值．
附：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估
计分别为
，
．
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