文档内容
第 22 讲 计数综合二
内容概述
涉及整数知识，具有教字或数阵图形式的计数问题．解题中需要灵活应用已学的各种计数方法，并注意
结合题目的具体形式．
典型问题
兴趣篇
1．同时能被6、7、8、9整除的四位数有多少个？
2．从1，2，3，…，9这9个数中选出2个数，请问：
(1)要使两数之和是3的倍数，一共有多少种不同的选法？
(2)要使两数之积是3的倍数，一共有多少种不同的选法？
3．在所有由1、3、5、7、9中的3个不同数字组成的三位数中，有多少个是3的倍数？
4．用0至5这6个数字可以组成多少个能被5整除且各位数字互不相同的五位数？
5．个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大，十位比百位大的三位数共有多少个？
6．如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数”，那么在l至200这200个自然数中有多少个“吉
利数”？
7．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数称为“回文数”，例如：1331，
7，202，66都是回文数，而220则不是“回文数”，请问：从一位到六位的“回文数”一共有多少个？其中第
1997个“回文数”是什么？
8．一个四位数ABCD，它与逆序数DCBA之和的末两位为56，这样的四位数ABCD有多少个？9．把2005、2006、2007、2008、2009这5个数分别填人图23-1的东、南、西、北、中5个方格内，使横、
竖3个数的和相等，一共有多少种不同的填法？
10．从1至7中选出6个数字填入图23.2的的表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，右边
的数字比左边大．请先给出一种填法，然后考虑一共有多少种填法？
拓展篇
1．分子小于6，分母小于20的最简真分数共有多少个？
2．从l、2、3、4、5、6、7这7个数中选出3个数，请问：
(1)要使这3个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？
(2)要使这3个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？
3．小明的衣服口袋中有10张卡片，分别写着1，2，3，…，10.现从中拿出两张卡片，使得卡片上两个数
的乘积能被6整除，这样的选法共有多少种？（注：9不能颠倒当作6来使用，6也不能颠倒当作9来使
用）
4．六位数123475能被11整除，如果将这个六位数的6个数字重新排列，还能排出多少个能被 1 1整除的
六位数？
5．三个2，两个1和一个0可以组成多少个不同的六位数？求所有符合条件的六位数的和．
6．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成一行：
1234，1235，1236，…，6789.请问：此列数中的第100 个数是多少？7．有一些三位数的相邻两位数字为2和3，例如132、235等等，这样的三位数一共有多少个？
8．在图23—3的方框内填入3、4、5、6中的一个数字，使得竖式成立．请问：所填的九个数字之和是多
少？一共有多少种填法？
9．在1000，1001，…，2000这1001个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，满足它们相加时不进位？
10．将1至7分别填入图234中的7个方框中，使得每行每列中既有奇数又有偶数，一共有多少种不同的
填法？
11．在图23。5的空格内各填人一个一位数，使同一行内左边的数比右边的数大，同一列内下面的数比上
面的数大，并且方格内的6个数字互不相同，例如图23—6就是一种填法，请问：一共有多少种不同的填
法？
12．将数字1至7分别填入图23—7的各个圆圈中，使得每条线段两个端点处所填的数，上面的比下面的
大，请问：符合上述要求的不同填数方法一共有多少种？
超越篇
1．甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本．问：
(1)甲拿到自己作业本的拿法有多少种？(2)恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？
(3)至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？(4)谁也没拿到自己作业本的拿法有多少种？2．一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24 ，那么从5时到7时这段时间里，此表的5个数字都不
30
相同的时刻一共有多少个？
3．各位数字均不大于5，且能被99整除的六位数共有多少个？
4．从1，2，3，…，9中选取若干个互不相同的数字（至少一个），使得其和是3的倍数，共有多少种选
法？
5．从0至9这10个数字中选出7个填入图23-8的方框中，使竖式成立，一共有多少种不同的填法？
6．从l至9这9个数字中选出6个不同的数填在图23-9的6个圆圈内，使得任意相邻两个圆圈内的数字之
和都是质数，请问：共能找出多少种不同的选法？（所填的6个数字相同，只是排列次序不同，都算同一
种选法．）
7．在3×3方格表内填人数字1至9，使得左边的数比右边的大，上边的数比下边的大，一共有多少种不
同的填法？
8．含有数字3，且能被3整除的五位数共有多少个？
