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(211)--第七章：无穷级数_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

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)
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(
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1
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
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
















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



n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
3

R
3


x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
2
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3
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3

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
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


3
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x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
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2
(
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1
(

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
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
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


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



,
1
)
(
1
lim
lim
)
1
(
a
n
a
a
n
n
n
n
n







,
2
2
1
1
)
2
(
2
3
2
0
0
4
4
n
n
n
xdx
n
dx
x
n
n
n






n
n
n
n
n
n
n
3
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1
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[
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1
(
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3
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3
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3
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1
2
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lim
3

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

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n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
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1
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1
(
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(
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1
1
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1
(
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4
(
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


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


y
x
y

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
1
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0
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y
.2
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0
(
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)
0
(
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


y
y
)
1
(
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1
1
1
2
2
n
o
n
n
n
y



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


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1
(
1
1
1
1
2
2
n
o
n
n
n
y








 
)
1
1
6
6
(
5
1
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6
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1
(
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(



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


x
x
x
x
x
x
f
5
4
1
1
25
1
10
4
1
1
25
3





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x
x
)
9
1
(



x
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9
1
(
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4
)(
5
1
10
3
(
25
)
1
(
0









x
x
n
n
n
n
n
      
                      
]
)
1
(
1
ln[
2
2
1
ln
2
2






x
x
x






1
2)
1
(
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1
(
n
n
n
n
x
)
0
2
(
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

x
                         
n
n
n x
x
x
x
x
x
x
f
4
0
4
4
)
2
(
)
1
(
2
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2
(
1
1
2
16
8
)
(


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






)
2
(

x
1
4
0
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2
(
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1
(




n
n
n x
)
2
(

x
dx
x
x
f
n
x
n
n
1
4
0
0
)
2
(
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1
(
4
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(




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
2
4
0
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2
(
2
4
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1
(
2
4
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(







n
n
n
x
n
x
f

          
          
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2
(

x
].
1,1
[









1
1
2
2
1
1
4
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1
(
2
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(
n
n
n
x
n
x
x
S







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
1
2
1
1
2
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1
(
2
1
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(
n
n
n
x
n
x
S









1
1
2
1
1
2
)
1
(
2
1
n
n
n
n
x
x
x
xarctan
2
1
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



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x
x
x
x
x
x
x
S
0
2
.
arctan
)
1
(
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)
arctan
2
1
(
)
(
       
 
,


R




0
4
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4
(
)
(
n
n
n
x
x
y
),
(
)
(
)
4
(
x
y
x
y

,0
)
0
(
)
0
(
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0
(
,1
)
0
(







y
y
y
y
,0
1
4


r
.
,1
3
,
2
2
,1
i
r
r




,
sin
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4
3
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1
x
C
x
C
e
C
e
C
y
x
x
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



).
cos
2
(
4
1
x
e
e
y
x
x




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1
2
3
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)(
1
(
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1
2
(
lim
lim
x
x
n
n
n
n
x
u
u
n
n
n
n
n
n





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






].
1,1
[














1
1
2
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1
2
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)
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2
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1
2
(
)
1
(
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n
n
n
n
n
n
n
x
x
n
n
x


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





1
2
1
)
1,1
(
),
(
)
1
2
(
)
1
(
n
n
n
x
x
f
n
n
x

















1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
)
1
(
2
)
1
2
(
2
)
1
(
)
(
n
n
n
n
n
n
n
x
n
n
nx
x
f
.
1
2
)
1
(
2
)
(
1
2
2
2
1










n
n
n
x
x
x
f
0
)
0
(
,0
)
0
(
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

f
f
x
dt
t
f
dt
t
f
x
f
x
x
arctan
2
1
2
)
0
(
)
(
)
(
0
0
2
















x
x
tdt
f
dt
t
f
x
f
0
0 arctan
2
)
0
(
)
(
)
(
]
1,1
[
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1
ln(
arctan
2
2





x
x
x
x
1
2
1
1
)
1
2
)(
1
2
(
)
1
(
)
(









n
n
n
x
n
n
x
S
n
n
n
x
n
x
S
2
1
1
1
2
)
1
(
)
(








1
2
1
1
1
2
)
1
(








n
n
n
x
n
x
x
xarctan
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4
2
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)
1
(
1
0

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

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x
S
4
2
)
1
2
)(
1
2
(
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1
(
1
1

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







n
n
n
n

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


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
0
2
2
)
1,1
(
,
)
1
(
1
1
n
n
n
x
x
x
.]
1,1
[
,
1
2
)
1
(
)
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arctan
0
0
1
2












x
n
n
n
x
x
n
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x
x




























1
0
1
1
2
1
2
2
2
2
1
2
)
1
(
1
2
)
1
(
1
1
2
)
1
(
1
2
)
1
(
1
)
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
f
],
1,1
[
,
4
1
2
)
1
(
1
2
1
2





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


x
x
n
n
n
n
.
2
1
4
]
1
)
1
(
[
2
1
4
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)
1
(
1
2

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



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


n
n
f
n
n
A
n
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9
10
(
n

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9
10
(
)
1
(
n
r
A
n
n




.【解】设
为用于第
年提取
万元的贴现值，则




















1
1
1
1
)
1
(
9
)
1
(
1
10
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1
(
9
10
n
n
n
n
n
n
n
n
r
n
r
r
n
A
A






1
)
1
(
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200
n
n
r
n
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1,1
(
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
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n
n x
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x
S
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1
(
1
)
(
2
1



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


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













x
x
x
x
x
x
x
x
x
S
n
n
420
05
.1
1
1
1











S
r
S
3980
420
9
200




A




0
n
n
nx
a
y













2
2
1
1
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1
(
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n
n
n
n
n
n
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a
n
n
y
x
na
y
【解】（1）
 


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


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


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



0
1
0
2
0
4
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2
)(
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n
n
n
n
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n
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x
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x
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
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



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

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2
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2
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.
,2,1
,
1
2
2

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
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
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a
n
a
n
n
1
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0
(
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0
(
1
0
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


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a
y
a
y
,
,2,1,0
,0
2



n
a n



,2,1,0
,!
1
2
4
)
2
2
(
2
2
2
2
1
1
2
1
2
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









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n
a
n
n
a
n
a
n
n
n
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(
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(
!
0
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0
0
2
1
2
1
2
1
2
2






















x
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n
x
x
n
x
x
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x
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y
n
n
n
n
x
n
n
n
n
n
n




0
)
(
n
n
nx
a
x
S
1
1
)
(





n
n
nx
na
x
S
2
2
)
1
(
)
(







n
n
n
x
n
n
a
x
S
  
),
2
(
0
)
1
(
2





n
a
n
n
a
n
n
)
(
)
(
0
2
2
2
x
S
x
a
x
a
x
S
n
n
n
n
n
n












0
)
(
)
(



x
S
x
S
x
x
e
C
e
C
x
S
2
1
)
(



.
2
)
(
x
x
e
e
x
S



1
1
)
2
1
(
lim
lim
1









n
n
a
a
n
n
n
n




0
)
(
n
n
nx
a
x
S





















2
2
1
1
1
1
1
1
)]
1
(
2
1
[
2
1
)
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
a
n
x
na
a
x
na
x
S














2
2
1
1
1
1
)
1
(
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
x
a
n
x
a










0
1
0]
[
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
x
na
a
x
a
).
(
)
(
2
1
x
S
x
x
S



1
)
0
(
,)
1
(
2
1
)
(
)
(




S
x
x
S
x
S
x
x
S


1
1
)
(
     
     
.




0
)
(
n
n
nx
a
x
S






1
1
)
(
n
n
nx
na
x
S
 












1
1
1
1
1
)
1
(
n
n
n
n
n
x
n
x
a










0
2
1
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
n
n
x
x
x
S
x
n
x
S
             
2)
1
(
)
(
)
(
x
x
x
S
x
S




2
)
0
(
0 
a
S
.
1
1
)
(
x
e
x
S
x





1
0
)
(
dx
nx
f
an
)
(
t
nx 


n
dt
t
f
n
0
)
(
1
)
)
(
(
)
1
(
1
)
)
(
(
1
0
2
0
2
2
2
0
2
2






n
n
n
n
dt
t
f
dt
n
dt
t
f
n
a
dt
t
f
n
)
(
1
0
2




【证】  
,
)
(
0
2



A
dx
x
f




1
2
n
A
n
an




1
2
)
0
(
n
n
n
a


令
则
故 
收敛。
n
n
n
n
b
b
a
a
1
1


1
1



n
n
n
n
a
b
a
b
n
n
n
n
a
b
a
b
a
b




1
1
1
1 
.
)
(
1
1
n
n
b
a
a
b

，
n
n
b
a
a
b

)
(
1
1
n
n
b
a
a
b

)
(
1
1
2
2
1
2






n
n
n
n
u
u
u
u
1
2
1
4
2
2
2
2
2
2
5
2
2
2










n
n
n
n
n
u
u
u
u

1
1
1
5
2
2
3
2
1
2
2
3
2
2
2











n
n
n
n
n
u
u
u
u

,
2
5
1
1
,
2
3
1
1
1
2
1
1
2







n
n
n
n
u
u
.1
2
cos
2
0
2
2


dx
x
x
a






2
0
0
,0
)
1
(
dx
x
a












2
0
2
2
.1
2
,
)
1
2
(
8
,
2
,0
2
cos
)
1
(
k
n
k
k
n
dx
x
n
x
an


.2
0
,
2
)
1
2
(
cos
)
1
2
(
1
8
)
(
1
2
2









x
x
k
k
x
f
k










0
2
2
0
3
2
2
)
1
(
2
dx
x
a

2,1
,
)
1
(
4
cos
)
1
(
2
0
2
1
2






n
n
nxdx
x
a
n
n


,
0
,
cos
)
1
(
4
3
1
)
(
1
2
1
2












x
nx
n
x
f
n
n








1
2
1
2
)
1
(
4
3
1
)
0
(
n
n
n
f

 
.
12
)
1
(
2
1
2
1







n
n
n
0

n
b




1
0
0
5
)
2
(
2
dx
x
a

2,1
,)
1
(cos
2
cos
)
2
(
2
1
0
2
2





n
n
n
xdx
n
x
an



，
]
1,1
[
,
)
1
2
(
)
1
2
cos(
4
2
5
cos
)
1
(cos
2
2
5
2
0
2
2
1
2
2
















x
n
x
n
x
n
n
n
x
n
n











0
2
2
)
1
2
(
1
4
2
5
2
k
k

8
)
1
2
(
1
2
0
2






k
k





















1
0
0
1
2
2
1
2
2
2
1
4
1
)
1
2
(
1
)
2
(
1
)
1
2
(
1
1
n
k
k
n
k
n
k
k
k
n
6
)
1
2
(
1
3
4
1
2
0
2
1
2









k
n
k
n
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