(134)--第三章《向量》习题册答案解析_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_03.基础定制_02.线代_课程讲义

第三章 向量答案解析
3-1 基础过关
1.【答案】请参照解析
【解析】（1）令 x
1
a
1
 x
2
a
2
 x
3
a
3
 b ，
 2 1 1    2 1 1 
   
(a ,a ,a ,b) 2 1 1   2 1 0 1
1 2 3    
   
10 5 4 1 4 0 0 3
   
（a）当4且 0   时， r ( a
1
, a
2
, a
3
)  2 ，r(a ,a ,a ,b)3，所以方程组无解，即
1 2 3
向量 b 不能由向量组 A 线性表示；
（b）当 4    时，r(a ,a ,a )3，
1 2 3
r ( a
1
, a
2
, a
3
, b )  3 ，所以方程组有唯一解，即向量
b 能由向量组 A 线性表示，且表示式唯一；
（c）当 4    且 0   时， ( a
1
, a
2
, a
3
, b ) 
 

0
4
2


0
2
1

0
0
1 1
1
0


 0
2
0
0
1
0
1
0
0
1

0
1

，所
x  x
1 1

以x 2x 1，即
2 1

x 1

3
 x
x
x
1
2
3



k

1
2 k  1 ，故bka (2k1)a a ，其中
1 2 3
k  R .
（2） ( A , B ) 
 0
1
2
3
3
0
1
2
2
3
0
1
2
1
1
2

0
1
1
2
4
4
1
3


 1
0
0
0
0
1
0
0

3
4
0
6
1

1
0
1

5

0
2
3

4
5
0
7

所以 r ( A , B )  3
 1 2 4  1 2 4
   
，r(A)3，B 1 5 7  0 1 1 ，所以r(B)2
   
   
1 3 5 0 0 0
   
因为r(A,B)r(A)，所以向量组 B 能由向量组 A 线性表示；
又因为 r ( A , B )  r ( B ) ，所以向量组 A 不能由向量组B线性表示.
1 0 1 1 1
 
（3）(A,B) 0 1 1 1 3 ，所以r(A,B)2，同时也能看出r(A)2，又由
 
 
0 0 0 0 0
 B 
 1

0
1
1
1
0

3
0
1 

 1
0
0
1
2
0

2
0
1 
，所以 r ( B )  2 ，故 r ( A , B )  r ( A )  r ( B )  2 ，所
以向量组 A , B 等价.
2.【答案】请参照解析
【解析】（1）方法一： ( a
1
, a
2
, a
3
) 
 a
1
1
1
a
 1
1

a
1


 1
0
0
a
 1

0
1
( 2 
 1
a
a

) (
a
a  1 )

①当 a  2 且 a   1 时，r(a ,a ,a )3，所以a ,a ,a 线性无关；
1 2 3 1 2 3
①当 a  2 或 a   1 时， r ( a
1
, a
2
, a
3
)  3 ，所以a ,a ,a 线性相关.
1 2 3
方法二： a
1
, a
2
, a
3
 ( a  1 )
1
1
1
a

0

2
1
0

a
1  ( a  1 ) 2 ( a  2 )
①当 a  2 且 a   1 时， a
1
, a
2
, a
3
 0 ，所以 r ( a
1
, a
2
, a
3
)  3 ，即 a
1
, a
2
, a
3
线性无关；
①当 a  2 或 a   1 时， a
1
, a
2
, a
3
 0 ，所以r(a ,a ,a )3，所以
1 2 3
a
1
, a
2
, a
3
线性相关.
（2）a：不正确，例如
 1
0
0

,
 0
1
0

,
 0
2
0

；
b：不正确，由题意得，
1
(
1 1
)
2
(
2 2
)
m
(
m m
)    a  b  a  b   a  b  0 ，所以
a
1
 b
1
, a
2
 b
2
, , a
m
 b
m
线性相关，例
1 0 0 1  0   0 
           
a  0 ,a  1 ,a  0 ,b  0 ,b  1 ,b  0 .
1   2   3   1   2   3  
           
0 0 1 0 0 1
           
c：不正确，命题前一部分等价于：只有当
1
，
2
， ，
m
 全为 0 时，
(a b)(a b ) (a b )0，即a b,a b , ,a b 线性无关.
1 1 1 2 2 2 m m m 1 1 2 2 m m
故整个命题等价于，若a b,a b , ,a b 线性无关，则a , ,a 线性无关，
1 1 2 2 m m 1 m
b, ,b 也线性无关，这个命题是不正确的，例
1 ma
1

 1
0
0

, a
2

 0
1
0

, a
3

 0
0
0

相关， b
1

 0
0
0

, b
2

 0
1
0

, b
3

 0
0
1

也相关
但是此时 a
1
 b
1

 1
0
0

, a
2
 b
2

 0
2
0

, a
3
 b
3

 0
0
1

线性无关.
1 0
   
d：不正确，例a  0 ,a  0 ，此时
1   2  
   
0 0
   
0
1 2 2
 a  a  0 ， b
1

 0
0
0

, b
2

 1
0
0

，
0
1 2 2
 b  b  0 ，故原命题不正确.
（3）方法一：直接使用定义，因为 b
1
 b
2
 b
3
 b
4
 0 ，所以b,b ,b ,b 线性相关；
1 2 3 4
方法二： ( b
1
, b
2
, b
3
, b
4
)  ( a
1
, a
2
, a
3
, a
4
)
 1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1

 ( a
1
, a
2
, a
3
, a
4
) A ，又因为
A 
 1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1

1
0
1

，所以r(A)3，所以 r ( b
1
, b
2
, b
3
, b
4
)  r ( A )  3  4 ，所以向量组
b
1
, b
2
, b
3
, b
4
线性相关.
1 1 1
 
0 1 1
 
（4）方法一：(b,b , ,b )(a ,a , ,a ) (a ,a , ,a )A，因为
1 2 r 1 2 r   1 2 r
 
0 0 1
rr
r(A)r，所以A为可逆矩阵. 因为 a
1
, , a
r
线性无关，所以r(a , ,a )r，所以
1 r
r ( b
1
, b
2
, , b
r
)  r ( ( a
1
, a
2
, , a
r
) A )  r ( a
1
, a
2
, , a
r
)  r ，所以b,b , ,b 线性无关.
1 2 r
方法二：令kb k b  k b 0，则
1 1 2 2 r r
ka k (a a ) k (a a  a )0，
1 1 2 1 2 r 1 2 r
即(k k  k )a (k  k )a  k a 0，因为a , ,a 线性无关，所以
1 2 r 1 2 r 2 r r 1 r k
k
k
1
2
r



k
0
2

 k
r


k
0
r
 0
，可得 k
1
 k
2
  k
r
 0 ，所以 b
1
, , b
r
线性无关.
（5）因为向量组 A 线性无关，所以r(A)s，即 A 列满秩，所以 r ( A K )  r ( K ) ，因为
A K  B ，所以 r ( K )  r ( B ) ，所以向量组B线性无关  r ( B )  r  r ( K )  r .
3.【答案】（1）
1
,
2
,
3
,
4
    是一个极大无关组，
5
 
2

3
  ；（2） a  2 ， b  5 ；
（3） 3
【解析】（1） A 
 1
0
0
0

1
2
0
2
2
1


1
2

2
6
2
5
1

1

1
2


 1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0

1
0
1

所以
1
,
2
,
3
,
4
    是一个极大无关组，易看出
5
 
2

3
  .
（2）
 a
3
1
2
b
3
1
2
1
2
3
1


 1
3
a
3
b
2
1
2
1
1
3
2


 1
0
0
b
2
3


9
3 a 1
1


1
a 2
1
0
 a

因为向量组的秩为 2
 b9 1
 
，故23a 1a ，即
 2a 0
a  2 ， b  5 .
（3）因为r(A)r(B)2，所以 a
3
可以由 a
1
， a
2
线性表示，
方法一：由初等列变换可知： D  ( a
1
, a
2
, 2 a
3
 3 a
4
)  ( a
1
, a
2
,  3 a
4
)  ( a
1
, a
2
, a
4
)
所以 r ( D )  r ( a
1
, a
2
, a
4
)  3 ；
方法二：不妨设 a
3
 k
1
a
1
 k
2
a
2
，所以
1 0 2k 
1
 
D(a ,a ,2a 3a )(a ,a ,2ka 2k a 3a )(a ,a ,a ) 0 1 2k CF
1 2 3 4 1 2 1 1 2 2 4 1 2 4  2
 
0 0 3
 
因为r(F)3，所以 F 为可逆矩阵，故 r ( D )  r ( C F )  r ( C )  3 .3-2 基础真题
1.【答案】（1） t  5 ；（2） t  5 ；（3）
3
 
1
 2
2
  
【解析】设有数 k
1
, k
2
, k
3
，使 k
1 1
 k
2 2
 k
3 3
 0    ，即
k
1
( 1 , 1 , 1 )  k
2
( 1 , 2 , 3 )  k
3
( 1 , 3 , t )  ( 0 , 0 , 0 )
k k k 0,
1 2 3

由此得方程组k 2k 3k 0, （*）
1 2 3

k 3k tk 0,

1 2 3
其系数行列式 D 
1
1
1
1
2
3
1
3
t
 t  5 .
（1）当 t  5 时， D  0 ，故方程组（*）只有零解， k
1
 k
2
 k
3
 0 . 此时，向量组
1
,
2
,
3
  线性无关.
（2）当 t  5 时， D  0 ，故方程组（*）有非零解，即存在不全为零的常数 k
1
, k
2
, k
3
使
k
1 1
 k
2 2
 k
3 3
 0    ，此时，向量组
1
,
2
,
3
  线性相关.
（3）当 t  5
1 1 1 1 1 1 1 0 1
     
时，方程组（*）的系数矩阵 1 2 3  0 1 2  0 1 2
     
     
1 3 5 0 2 4 0 0 0
     
（*）的同解方程组为
 k
k
1
2


k
2
3
k

3
0

,
0 ,
，令k 1，得k 1,k 2，即
3 1 2
1
 2
2

3
 0    ，从而 2.
3 1 2
2.【答案】（1） a   1 且 b  0 ，或 a   1 ；（2）当 a   1 时，有
1
， ，
2 3
，
4
的唯一的线性表示式  
a
2 b
 1 1

a 
a
b


1
1
2

a
b
 1 3
 0 
4
    
【解析】设 xx x x，即
1 1 2 2 3 3 4 4
x x x x 1,
1 2 3 4

x x 2x 1,
2 3 4
 （*）
2x 3x (a2)x 4x b3,
 1 2 3 4
3x 5x x (a8)x 5.

1 2 3 4
对方程组的增广矩阵作初等行变换 1
0
2
3
1
1
3
5
a
1


1
1
2
a
1
2
4
 8
1
1
b
5
 3


 1
0
0
0
1
1
1
2
1

a

1
2 a
1
2
2
 5
1
1
b
2
 1


 1
0
0
0
1
1
0
0
a
1
 1

0
1
a
1
2
0
 1
1
1
b
0

.
（1）当 a   1 且 b  0 时，方程组（*）有无穷多解，此时能表示成
1
，
2
 ，
3
，
4
 的线性组合；
当a1时， b 取任意数时，方程组（*）有唯一解，此时β 也能表示成，
1 2
 ，，
3
4
 的线性组合；
（2）当 a   1 时，因为方程组（*）的系数行列式不等于零，所以该方程组有唯一解，即
可由，
1 2
 ，
3
，
4
 线性表示，且唯一. 易求得
 
a
2 b
 1 1

a 
a
b


1
1
2

a
b
 1 3
 0 
4
    
3.【答案】（1） 0   且3；（2） 0   ；（3） 3   
【解析】设 x
1 1
 x
2 2
 x
3 3
    ，将分量代入，可得方程组
( 1
x
1
x
1
)
( 1
x
2
x
1
(
)
1
x
x
2
2
)
x
x
x
3
3
3
0 ,
,
2 .

 
 
 











①
其系数行列式为
1
1
1
1
1
1 1
1
1 2 ( 3 )

  

A 



  .
根据克拉默法则可知，当 0   且 3    时，方程组有唯一解，即可由
1
,
2
,
3
  
线性表示，且表达式唯一；
当 0   时，方程组①是齐次线性方程组，则由 A 0可知，该方程组有无穷多解，
即可由
1
,
2
,
3
  线性表示，且表达式不唯一；当 3   
2 1 1 0  0 0 0 6
   
时，(A b) 1 2 1 3  0 1 1 4 ，
   
   
1 1 2 9 1 1 2 9
   
显然， r ( A )  2 ， r ( A b )  3 ，故线性方程组①无解，即不能由
1
,
2
,
3
  线性表示.
4.【答案】B
【解析】可由
1
,
2
, ,
m
   线性表示，则  k
1 1
 k
2 2
  k
m m
    ，必有k 0，
m
否则  k
1 1
 k
2 2
  k
m  1 m  1
    ，这与不可由向量组（I）：
1
,
2
, ,
m  1
   线性表
示矛盾. 于是
m

1
k
m
(  k
1 1
 k
2 2
  k
m  1 m  1
)      ，故
m
 可由向量组（II）：
1
,
2
, ,
m  1
    线性表示，排除（A）和（D），如果
m
 可由向量组（I）：
1
,
2
, ,
m  1
   线性表示，则此时也可由向量组（I）：
1
,
2
, ,
m  1
   线性表示（因为
已知可由
1
,
2
, ,
m  1
   线性表示）这与已知矛盾. 故
m
 不可由向量组（I）：
1
,
2
, ,
m  1
   线性表示，排除（C），正确选项是（B）.
5.【答案】D
【解析】因为向量组Ⅰ可由Ⅱ线性表示，它们的秩满足 r Ⅰ( )  r Ⅱ( )  s r s ，故当 时，
r Ⅰ( )  r ，故Ⅰ必线性相关，于是答案选（D）.
6.【答案】A
【解析】方法一：若设 A  ( 1 , 0 ) ，B(0,1)，显然 A B  O ，但矩阵A的列向量组线
性相关，行向量组线性无关；矩阵 B 的行向量组线性相关，列向量组线性无关. 由此就可
断言选项（A）正确.
不少考生选（D），其原因就是对齐次线性方程组有非零解的条件理解不透彻. 事实上，若
设  (
1
,
2
, ,
n
)    A ，其中
1
,
2
, ,
n
  是矩阵 A 的列向量组，则齐次线性方程组
A x  0 便可写成xx  x 0，所以，方程组
1 1 2 2 n n
A x  0 有非零解的充要条件
是列向量组,, ,线性无关. 由已知条件ABO，有
1 2 n
B  A   O ，因为A，B 都
是非零矩阵，所以A也是非零矩阵，这表明齐次方程组Bx 0有非零解，所以矩阵B
的列向量组也就是B 的行向量组线性相关.方法二：不妨设A ，B ，由ABO，有
mn ns
r ( A )  r ( B )  n ，且AO，BO，则
r ( A )  1 ， r ( B )  1 ，所以有 r ( A )  n （A的列）， r ( B )  n （B 的行），故选（A）.
7.【答案】
1
2
【解析】设矩阵 A 
 2
2
3
4
1
1
2
3
1
a
1
2
1
a
a
1

，对 A 作初等行变换，化为阶梯形矩阵，得
A 
 2
2
3
4
1
1
2
3
1
a
1
2
1
a
a
1



1
0
0
0
1
2
1
0
0
1
2
0
1
0  a 
2
1
1
2


 
1
2
2
a
a  1 

由于向量组 ( 2 , 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 1 , a , a ) , ( 3 , 2 , 1 , a ) , ( 4 , 3 , 2 , 1 ) 线性相关，故 r ( A )  4 ，于是
( a  1 ) ( 2 a  1 )  0 . 由于 a  1 ，从而 a 
1
2
.
8.【答案】D
【解析】由于
1
,
2
, ,
s
  线性相关的充分必要条件是该向量组中至少存在一个向量，它
可以用该向量组中其余 s  1 个向量线性表出，而线性无关是线性相关的反面，由此立即知
（D）正确.
9.【答案】请参照详解
【解析】设有数k ,k , ,k 满足
1 2 s
k
1 1
 k
2 2
  k
s s
 0    （*）
则有 ( k
1
 k
s
)
1
 ( k
1
 k
2
)
2
  ( k
s  1
 k
s
)
s
 0   
k k 0,
1 s

k k 0,
由于,, ,线性无关，故有 1 2
1 2 s

k k 0.

s1 s
此方程组的系数行列式为 s 阶行列式：D
s

1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
 1  (  1 ) s  1 
 2
0
, s
,s
为
为
奇
偶
数
数
，
.
①若 s 为奇数，则 D
s
 2  0 ，故方程组只有零解，即必有 k
1
 k
2
 k
s
 0 ，故向量
组,, ,线性无关；
1 2 s
②若 s 为偶数，则 D
s
 0 ，故方程组有非零解，即存在不全为零的 k
1
, k
2
, , k
s
，使
（*）式成立，故向量组
1
,
2
, ,
s
   线性相关.
10.【答案】请参照解析
【解析】设有数 k
1
, k
2
, k
3
，使 k
1 1
 k
2 2
 k
3 3
 0    ，由此得方程组
 k
k

1
1
k


2
k
3

2
k
t

2
k

3
5 k
3

3
k
0

3
,

0 ,
0 , （*）
其系数行列式为
D 
1
1
0
1
3
 1
5
3
t
 2 ( t  1 )
①当t 1时，D0，方程组（*）只有零解，k k k 0，此时，向量组,,
1 2 3 1 2 3
线性相关.
② 当 t  1 时， D  0 ，方程组（*）有非零解，即存在不全为零的常数 k
1
, k
2
, k
3
，使
k
1 1
 k
2 2
 k
3 3
 0    ，即向量组
1
,
2
,
3
  线性相关.
11.【答案】请参照解析
【解析】方法一：设  (
1
,
2
, ,
n
)    A ，其中
1
,
2
, ,
n
  为 m 维列向量. 又设存在常
k 
1
 
k
数k ,k , k ，使0kk  k (,, ,)
 2
，即
1 2 n 1 1 2 2 n n 1 2 n  
 
k
 
nA
 k
k
k
1
2
n

 0 . 等式两端左边乘B ，由BA E ，得 B A
 k
k
k
1
2
n

 0 ，即 k
1
 k
2
  k
n
 0 .
因此矩阵 A 的列向量组线性无关.
方法二：由于 r ( A
m  n
)  r ( A B )  r ( E )  n ，且 r ( A
m  n
)  n ，于是 r ( A
m  n
)  n ，故A的
列向量组线性无关.
12.【答案】D
【解析】三条直线axbyc 0，a xb yc 0及a xb yc 0有交点的充
1 1 1 2 2 2 3 3 3
要条件是
1
x 
2
y 
3
 0    ，即
1
，
2
 ，线性相关.
3
为保证三条直线只有一个交点，则它们在有交点的情况下，两两不能重合，即
1
 k
2
 
（ k 为某非零常数），故 r (
1
,
2
)  2   ，即
1
，
2
 线性无关，故应选（D）.
13.【答案】 a  1 5 , b  5
【解析】和
1 2
 线性无关， 3+2，所以向量组
3 1 2 1
,
2
,
3
  线性相关，且秩为2，
1
,
2
 是它的一个极大线性无关组.
由于向量组 β
1
, β
2
, β
3
与,,具有相同的秩，故
1 2 3
β
1
, β
2
, β
3
线性相关，从而
0 a b
1 2 1 0.
1 1 0
由此解得 a  3 b .
又β 可由
3 1
,
2
,
3
  线性表示，从而可由,线性表示，所以
1 2 1
,
2
, β
3
  线性相关，
于是
1
2
 3
3
0
1
b
1
0
 0 .
解之得 2 b  1 0  0 ，于是得a15,b5.
14.【答案】D【解析】由题设等式，得
1
(
1 1
)
m
(
m m
) k
1
(
1 1
) k
m
(
m m
)             0
.
       
且
1
, ,
m
  ， k
1
, , k
m
不全为零，故向量组
1

1
, ,
m

m
,
1

1
, ,
m

m
        线性
相关. 故答案选（D）.
15.【答案】C
【解析】判断若干向量是否线性相关（或无关），通常的方法是，若能直接观察出某一向量
为另外一些向量的线性组合，则这组向量线性相关；若无法观察出，则利用线性相（无）
关的定义来判别.
对于（A），由于 ( )()，故它们线性相关.
3 1 2 3 1 2
对于（B），由于
1
 2
2

3
(
1

2
)  (
2

3
)        ，故线性相关.
对于（C），若令
l1 (
1
 2
2
)  l
2
( 2
2
 3
3
)  l
3
( 3
3

1
)  ( l1  l
3
)
1
 ( 2 l1  2 l
2
)
2
 ( 3 l
2
 3 l
3
)
3
 0         
则根据
1
,
2
,
3
  是线性无关的，故

2
2
l1
l1
l
2



l 
3
2 l
2
3 l
3
0


,
0
0
,
.
因上述齐次线性方程组的系数行列式 A 
1
2
0
0
2
3
1
0
3
 1 2  0 ，
故方程组有唯一零解，即l l l 0. 故
1 2 3 1
 2
2
, 2
2
 3
3
, 3
3

1
     线性无关.
1 2 3
对于（D），由于 B  1 3 5 0，
1 22 5
故方程Bx0存在非零解，即向量组 ,23 22,35 5是线
1 2 3 1 2 3 1 2 3
性相关的.
16.【答案】请参照解析【解析】设存在常数
1
,
2
,
n
 ，使得
1 2 n
k 1         0    A A ，
则有Ak1(A Ak10). 从而有Ak10，由于
1 2 n 1
k  1  0  A ，所以
1
0   . 类似可证得
2 3 k
0        ，因此向量组 , A , , A k  1   线性无关.
17.【答案】D
【解析】向量组,,
1 m
( m  n ) 线性无关，向量组
1
,   ,
m
  可由向量组,, 线性
1 m
表示，从而推知
1
,   ,
m
  必线性无关（否则
1
,   ,
m
  必线性相关），所以（A）是
1
,   ,
m
  线性无关的充分条件，但（A）不是
1
,   ,
m
  线性无关的必要条件.事实上，
1
,   ,
m
  与
1
,   ,
m
  是两个不相干的向量组，
1
,   ,
m
  线性无关， ,, 线性无
1 m
关，而mn，所以这两组之间可以毫无关系.（如果mn（不可能mn），那么由
1
,   ,
m
  线性无关，推知它是n维向量空间中的一组基数，故
1
,   ,
m
  必可由,,
1 m
线性表示，即推知（A）也是必要条件）；
至于（B），向量组
1
,   ,
m
  可由
1
,   ,
m
  线性表示，没有说怎么表示，所以
1
,   ,
m
  既可线性相关，也可线性无关，所以（B）既非充分条件，又非必要条件；
至于（C），实际上是将（A），（B）合并在一起的说法，但（B）既非充分又非必要，
故（C）只是充分（由（A）），并非必要；
（D）是正确的，理由是，（D）的充要条件是两向量组的秩相等，而,, 的秩为
1 m
m，这恰恰是
1
,   ,
m
  线性无关的充要条件. 实际考试中，有相当多考生答（C），其原
因大概是误认为两向量组等价的充要条件是两向量组的秩相等，这是不对的.
18.【答案】A
【解析】取k 0时，（B）和（C）都错. 而取k 0时，（D）亦错.
不妨取 k  1 ，若
1
,
2
,
3
,
1

2
    线性相关，则由于
1
,
2
,
3
  线性无关，
1

2
  必
可由,,线性表示；又可由,,线性表示，所以
1 2 3 1 1 2 3 2
 可由,,线性表
1 2 3
示，与题设矛盾. 所以（A）是正确的. 事实上，设
  (k)0.
1 1 2 2 3 3 4 1 2
若 0，则由,,线性无关，必有  0，从而,,,k
4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2线性无关；
若 0，则k 可由
4 1 2 1
,
2
,
3
  线性表示，从而 可由
2 1
,
2
,
3
  线性表示，与题设
矛盾. 总之
1
,
2
,
3
, k
1

2
     是线性无关的.
19.【答案】B
【解析】根据向量组线性相关及线性无关的定义可知（A）的结论是正确的；根据向量组
的相关性与其秩的关系知（C）是正确的；由向量组中的部分组线性相关则整体相关的结
论可知（D）是正确的；若存在一组不全为零的数 k
1
, k
2
, , k
s
使
kk  k 0，则,, ,线性相关，显然（B）的结论是不正确的.
1 1 2 2 s s 1 2 s
20.【答案】B.
【解析】四个选项均含有
1
,
2
 ，可以考查后面三个向量是否与, 线性相关. 经简单的
1 2
观察计算可知
2
 3
1

3
  ，
2
 2
1

5
  可知极大线性无关组为,, ，选（B）.
1 2 4
21.【答案】请参照解析
【解析】记 A 
 1 
1
1
1
a
2
2

2
2
a
3
3
3

3
a
4
4
4
4
 a


 1 



a
a
a
a 2
a
0
0
3
0
a
0
4
0
0
a

 B
当 a  0 时，A的秩为1，因而
1
,
2
,
3
,
4
    线性相关，此时
1
为
1
,
2
,
3
,
4
    的一
个极大无关组，且
2
 2
1
 ，
3
 3
1
 ，
4
 4
1
 .
当 a  0 时，再对 B 作初等行变换，有
1a 2 3 4 a10 0 0 0
   
1 1 0 0 1 1 0 0
   
B  C (, ,, )
 1 0 1 0  1 0 1 0 1 2 3 4
   
 1 0 0 1  1 0 0 1
若 a   1 0 ， C 的秩为4，从而A的秩为4，故,,, 线性无关.
1 2 3 4
若 a   1 0 ， C 的秩为3，从而 A 的秩为3，故
1
,
2
,
3
,
4
    线性相关.
由于 ,, 为, ,, 的一个极大线性无关组，且    ，于是
2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 42
,
3
,
4
  为,,, 的一个极大线性无关组，且
1 2 3 4 1
 
2

3

4
    .
22.【答案】（Ⅰ）当 p2，该向量组线性无关，  2
1

3 p
p


4
2 2

3

1
p


p
2 4
     ；
（2）当 p  2 时，向量组
1
,
2
,
3
,
4
    线性相关，此时，向量组的秩等于3，
1
,
2
,
3
  
（或
1
,
3
,
4
  ）为其一个极大线性无关组
【解析】对矩阵 (
1
,
2
,
3
,
4
, )      作初等行变换


1
1
1
3



5
1
1
0
0
0
1
3


0
0
1
2
p
3
2


1
2
3
 1
 7
p 


1
9
2
6
0
p
p
4
1
6
1 0
 2
 4
0


2




4

3
7
8
1
0
0
0


 1
 2
6
4
 1
0
0
0
p
3
 1
 4

 1
 2
0
0
7
3

1
0
p
1


1
2
4
2
 6
p


2
4
0

4

2

2
3
2

1
4

1

3
p

（I）当 p  2 时，向量组,,, 线性无关，此时设
1 2 3 4
 x
1 1
 x
2 2
 x
3 3
 x
4 4
     ，
解得 x
1
 2 , x
2

3 p
p


4
2
, x
3
 1 , x
4

1
p


p
2
，
3p4 1 p
即2     .
1 p2 2 3 p2 4
（II）当 p  2 时，向量组
1
,
2
,
3
,
4
    线性相关，此时，向量组的秩等于3，
1
,
2
,
3
  
（或
1
,
3
,
4
  ）为其一个极大线性无关组.3-3 拓展拔高
1.【答案】看解析
【解析】方法一：因
1
,
2
,
3
  满足
1
 2
2
 
3
 0    （*）
要求向量组
1
 a ,
2
 b ,
3
  线性相关，其中是任意向量，利用（*）式，取常数
k
1
 1 , k
2
  2 , k
3
 3 , 对向量组
1
 a ,
2
 b ,
3
  作线性组合，得
(a)2( b)3 2 3 (a2b)(a2b)
1 2 3 1 2 3
故当a2b时，对任意的n维向量均有 (
1
 a )  2 (
2
 b )  3
3
 0     
即当 a  2 b 时，对任意的n维向量，有
1
 a ,
2
 b ,
3
  线性相关，故应选
（C）.
方法二：有
1
 a ,
2
 b ,
3
  线性相关r
a, b,
2. 对矩阵
1 2 3
(
1
 a ,
2
 b ,
3
)    作初等行变换（不改变秩）有
(
1
 a ,
2
 b ,
3
) 

(
(
1
1


a
a
,
,
2
2


b
b
,
, (
1
a


a
2 b )
 2
)
(
2
a


b
2 b
) 
(
1
)
3
 a ,
2
 b , )
         
      
令

故当 a  2 b 时，r(a, b,)2，即对任意的
1 2 3
n 维向量，有
1
 a ,
2
 b ,
3
  线性相关，故应选（C）.
2.【答案】请参照解析
【解析】令k k k  0，由, , 与非零向量正交及
0 1 1 n1 n1 1 n1
( , k
0
 k
1 1
  k
n  1 1 n  1
)  0     得 ( , )  0  ，因为为非零向量，所以
( , ) 
2
 0   ，于是 k
0
=0，故 k
1 1
  k
n  1 n  1
 0   ，由
1
, ,
n  1
  线性无关得
k  k 0，于是, , ,线性无关.
1 n1 1 n1
3.【答案】请参照解析
【解析】方法一：
T
1
 T
令A 2 ，因为,, ,与正交，所以Αβ = 0，即为方程组ΑX =0的
1 2 n
 
 T
 
n解，而
1
,
2
, ,
n
  线性无关，所以 r ( A )  n ，从而方程组 Α X = 0 只有零解，即   .
方法二：不妨设 ，令k k k 0，上式两边左乘T得
0 1 1 n n
k
0
T  k
1
T
1
  k
n
T
n
 0    
因为
1
,
2
, ,
n
  与正交，所以 k
0
T  0 2   ，即k  0，所以
0
k
0
 0 ，于是
k
0
 k
1 1
  k
n n
 0    ，再由
1
,
2
, ,
n
  线性无关，得 k
1
 k
2
  k
n
 0 ，故
1
,
2
, ,
n
,    线性无关，因为 n  1 个 n 维向量一定线性相关，因为矛盾，所以 .
4.【答案】看解析
【解析】由 A
1

1
 得  A  E 
1
 0  ，由 A
2

1

2
  得  A  E 
2

1
 ；由
A
3

2

3
  得  A  E 
3

2
 ，令kk k 0，两边同时左乘AE 得
1 1 2 2 3 3
k
2 1
 k
3 2
 0   ，再在两边同时左乘 A  E ，得 k
3 1
 0  ，因为
1
 0  ，所以k 0.
3
代入 k
2 1
 k
3 2
 0   ，可知 k
2 1
 0  ，得k 0，同理
2
k
1
 0 ，故
1
,
2
,
3
  线性无关.
5.【答案】D
【解析】由题可知
1
,
2
, ,
m
   线性无关，则向量组中向量的个数可以小于等于维数，
m  n
E 
，则（A）（B）不对；仅通过初等列变换，无法保证得到 m，因此（C）不对；
 O 
由于
1
,
2
, ,
m
   线性无关，因此方程组 A x  0 只有零解，故若 A B  O ，则 B  O ，
答案选（D）.
6.【答案】C
【解析】因为
1
,
2
,
3
  线性无关，而,,, 线性相关，所以 可由
1 2 3 4 4 1
,
2
,
3
  唯一
线性表示，又  (
1
,
2
,
3
,
4
)     A 经过有限次初等行变换化为B(,,,)，所以
1 2 3 4
方程组 x
1 1
 x
2 2
 x
3 3

4
   与xx x 是同解方程组，因为方程组
1 1 2 2 3 3 4
xx x 有唯一解，所以方程组
1 1 2 2 3 3 4
x
1 1
 x
2 2
 x
3 3

4
   有唯一解，即
4
可由,,唯一线性表示，答案选（C）.
1 2 3
7.【答案】C【解析】对于向量组而言，秩相等推不出向量组等价，例如
 100   010  00
与01，虽然秩
  
10
相等，但是这两个向量组不等价，所以（A）不正确，同样可以排除（B），两个向量组中
向量的个数可以不同，即 m 不一定等于 s ，两个矩阵不是同型矩阵，无法说明矩阵等价，
因此（D）不对. 不妨设向量组
1
,
2
, ,
m
   的极大线性无关组为
1
,
2
, ,
r
  ，向量组
1
,
2
, ,
s
   的极大线性无关组为
1
,
2
, ,
r
   ，若
1
,
2
, ,
m
   可由
1
,
2
, ,
s
   线性
表示，则
1
,
2
, ,
r
  也可由
1
,
2
, ,
r
   线性表示，若
1
,
2
, ,
r
   不可由
,, ,线性表示，则,, , 也不能由,, , 线性表示，所以两向量组
1 2 r 1 2 s 1 2 m
秩不等，矛盾，因此答案选（C）.
8.【答案】（1）看解析；（2）  k
1
 3 k
2
  k
1
 0
2
    
【解析】
（1）因为
1
,
2
,
1
,
2
   线性相关，所以存在不全为零的常数 k
1
, k
2
, l1 , l
2
使得
k
1 1
 k
2 2
 l1
1
 l
2 2
 0     ，或 k
1 1
 k
2 2
  l1
1
 l
2 2
.     令
 k
1 1
 k
2 2
  l1
1
 l
2 2
.      因为
1
,
2
 与
1
,
2
  都线性无关，所以 k
1
, k
2
及 l1 , l
2
都不全
为零，所以.
（2）令 k
1 1
 k
2 2
 l1
1
 l
2 2
 0     ，
 (
1
,
2
,
1
,
2
) 


110
 100
101
110
23
1
230
11
1
001






100
100
11
010
1
2

3
 1
30
3
001
1

1

2


 100 110 230 121 
    A
k   1 
1
k  3
则 l 2 k  1 ，所以k 1 3k 2 k 1 0 2 .
 1   
 l   0 
2
9.【答案】 a   1
【解析】(
1
,
2
,
3 1
,
2
,
3
) 


 114


100
100
104
10
010
a
1
12
2  3
112
a
2
1
2 a 

1
1
a
a
a
10
11
10
1
3
1
1
1
1
2

02
02
2
a
a
a
a
13
2 a 
12
2 a 
3
 2
2  1
1

3


      ∣
若向量组（A）和向量组（B）等价，则二者可以相互表示，那么只要满足 a   1 即可.
10.【答案】请参照解析
【解析】（1）将
1
,
2
,
3
,
4
    作为列向量组成矩阵 A ，将添加到 A 中组成矩阵 A ，即
 (
1
,
2
,
3
,
4
, )      A ．将A只用初等行变换化为阶梯形矩阵．
A 
 1
1
1
2
2
a
a
a
3



4
7
5
4
6
8
1 0
2 a
2
3
5
 3
0
1
3
b


 初
初
等
等 行
行


变
变 换
换 



1
0
0
0
1
0
0
0
a
2
a
a
a
3

0
0
3



1
1
1
2
4
2
0
0
4
2
4
2
2 a
2
2
1
0

a
2
1
1
1
 1
b
0
1
1

0
1
3
b
1


1
（1）易知，当a  时，
2
r ( A )  3 ．故此时
1
,
2
,
3
,
4
    的秩为 3 ，因
1
,
3
,
4
  线性无
关，所以
1
,
3
,
4
  是一个极大线性无关组；
当 a 
1
2
时，r(A)2 ．故此时,,, 的秩为
1 2 3 4
2 ，因为, 线性无关，所以
1 3
1
,
3
 是一个极大线性无关组（不惟一）.
（2）当 a 
1
2
时，对任意的b均有 r ( A )  2 ，r(A)3，故此时方程组（I）：
x 
1
 
x
(,,,)
 2
无解，即不能由,,, 线性表示；
1 2 3 4 x  1 2 3 4
3
 
x
 
4同时，当b1时，对任意的a均有r(A)r(A)，故此时方程组无解，即此时不能由
,,, 线性表示．
1 2 3 4
（3）任意的 4 维列向量均可由
1
,
2
,
3
,
4
,     线性表示
 方程组 (
1
,
2
,
3
,
4
, )
 x
x
x
x
x
1
2
3
4
5

      均有解
 r (
1
,
2
,
3
,
4
, )  r (
1
,
2
,
3
,
4
, )          
注意到矩阵(,,,,)的行数为 4，所以r(,,,,)4．若
1 2 3 4 1 2 3 4
r (
1
,
2
,
3
,
4
, )  4      ，则必有 r (
1
,
2
,
3
,
4
, )  r (
1
,
2
,
3
,
4
, )  4           ．据前面
分析可知，当 a 
1
2
，且b1时 r (
1
,
2
,
3
,
4
, )  4      ．所以当 a 
1
2
，b1时，任意
的  维非零列向量均可由
1
,
2
,
3
,
4
,     线性表示.