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19.1 二次根式及其性质（第 1 课时）
知识点1：二次根式的概念
1．下列式子中，一定是二次根式的是（ ）．
A．√−2 B．√ 34 C．√a D．√7
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如√a(a≥0)的式子叫二次根式，据此逐项判断即可求解﹒
【详解】解：A. 被开方数−2<0，不是二次根式，不合题意；
B. √ 34是三次根式，不合题意；
C. 被开方数a不能保证大于或等于0，故不一定是二次根式，不合题意；
D. √7是二次根式，符合题意．
故选：D
2．下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A．√3 B．2√2 C．√a
D．√5
6
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断．
【详解】解：A、√3，被开方数3>0，符合定义；
B、2√2，被开方数2>0，符合定义；
C、√a，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数a≥0，故该式子不一定是二次根式，不符合定
义；
D、√5
，被开方数
5
>0，符合定义；
6 6
故选：C．
知识点2：二次根式有意义的条件
3．二次根式√1− x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x>1 D．x<1
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义
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学科网（北京）股份有限公司的条件可得1− x≥0，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：1− x≥0，
解得：x≤1，
故选：B．
√x
4．（2024年四川省绵阳市中考数学试题）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围为
x
（ ）
A．x<0 B．x≤0 C．x>0 D．x≥0
【答案】C
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条
件和分母不为零的条件是解题的关键．根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解
题即可．
√x
【详解】解：∵式子 在实数范围内有意义，，
x
∴x≥0且x≠0，
解得x>0．
故选：C．
5．（2023年内蒙古通辽市中考数学真题）二次根式√1− x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数
轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．
【详解】解：根据题意得，1− x≥0，
解得x≤1，
在数轴上表示如下：
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次
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学科网（北京）股份有限公司根式有意义的条件是解题关键．
6．（2025年北京市中考数学真题）若√3x−3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】x≥1
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是
解题的关键．
此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解．
【详解】解：∵√3x−3在实数范围内有意义，
∴3x−3≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1．
7．（江苏省宿迁市2021年中考数学真题）若代数式√x2＋2有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】任意实数
【分析】根据二次根式有意义的条件及平方的非负性即可得解．
【详解】解：∵x2≥0，
∴x2＋2＞0，
∴无论x取何值，代数式√x2＋2均有意义，
∴x的取值范围为任意实数，
故答案为：任意实数．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件及平方的非负性，熟练掌握二次根式的定义是解决本题的关键．
x
8．（2025年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试题）若代数式 +(x−2025)0有意义，则实数x的取值
√x−3
范围是 ．
【答案】x>3且x≠2025
【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：x−3>0且
x−2025≠0，求解即可得到答案．
x
【详解】解：∵代数式 +(x−2025)0有意义，
√x−3
∴x−3>0且x−2025≠0，
∴x>3且x≠2025．
故答案为：x>3且x≠2025．
知识点3：求二次根式的值
9．已知二次根式√2x−4.
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学科网（北京）股份有限公司（1）当x=5时，求该二次根式的值；
（2）当该二次根式的值为2时，求x的值．
【分析】将x=5代入√2x−4即可求解，令√2x−4=2时，求解即可
【详解】解：（1）当x=5时，则√2x−4=√2×5−4=√6，
（2）令√2x−4=2时，则2x−4=4，
解得：x=4．
10．已知x，y为实数，若满足y=√x−3+√3− x+2，则xy的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，幂的运算等知识，根据二次根式有意义的条件求出x=3，是
解题的关键．
根据二次根式有意义的条件求出x=3，由此得到y的值，再进行计算即可．
【详解】解：∵√x−3≥0，√3− x≥0，
∴x−3≥0，3− x≥0，
∴x=3，
∴y=√x−3+√3− x+2=2，
∴xy=32=9．
故选：D．
1
11．使代数式 +√4−3x有意义的整数x有（ ）
√x+3
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】根据组合代数式有意义的条件，分别根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式
求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
x+3>0，4−3x≥0
4
解得−3<x≤ ，
3
∴使代数式有意义的整数有−2，−1，0，1．
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学科网（北京）股份有限公司共有4个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了代数式有意义的条件，关键是利用分式的分母不为零和二次根式的被开方数为非
负数，列不等式（组）求解，是常考题型，比较简单．
12．解下列各题．
(1)已知y=√x−2025 −√2025− x−2021，求x+y的平方根；
(2)已知x=2− √2024，求代数式x3 −3x2 −2024 x+5的值．
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件及代数式的化简求值，解题关键是利用二次根式的被开方数
非负确定未知数的值，通过代数式变形（降幂）简化求值过程．
（1）根据二次根式被开方数非负，求出x的值，代入得y，计算x+y后求平方根．
（2）由x=2− √2024变形得x− 2=−√2024，两边平方得到降幂式，代入代数式逐步化简求值．
【详解】（1）解：∵y=√x−2025 −√2025− x−2021，
∴x−2025≥0，2025− x≥0，
∴x=2025，
∴y=√2025−2025 −√2025−2025 − 20，21=−2021
∴ x+y=2025−2021=4，
∴ x+y的平方根为±2．
（2）解：∵x=2− √2024，
∴x− 2=−√2024，
∴(x−2)2=(− √2024)2，
∴x2 −4x+4=2024，
∴x2 −4x=2020，
∴x3 −3x2 −2024 x+5
=x3 −4x2+x2 −2020 x−4x+5，
=x(x2 −4x)+x2 −2020 x−4x+5，
=x×2020+x2 −2020 x−4x+5，
=x2 −4x+5，
=2020+5，
=2025．
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学科网（北京）股份有限公司13．（2023年内蒙古自治区呼伦贝尔市、兴安盟中考数学真题）观察下列各式：
√ 1 1 1 √ 1 1 1 √ 1 1 1
S = 1+ + =1+ ，S = 1+ + =1+ ，S = 1+ + =1+ ，…
1 12 22 1×2 2 22 32 2×3 3 32 42 3×4
请利用你所发现的规律，计算：S +S +⋯+S = ．
1 2 50
50 2600
【答案】50 /
51 51
【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【详解】S +S +⋯+S
1 2 50
1 1 1
=1+ +1+ +⋯+1+
1×2 2×3 50×51
1 1 1 1 1
=50+(1− + − +⋯+ − )
2 2 3 50 51
50
=50 ，
51
50
故答案为：50 ．
51
【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键．
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