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19.2 二次根式乘法与除法
知识点一 最简二次根式的判断
1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·山东·期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·吉林·期末）在下列四个式子中，最简二次根式为（ ）
A． B． C． D．
知识点二 化为最简二次根式
1．（24-25八年级下·山西朔州·期末）将 化成最简二次根式的结果为 ．
2．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）将 化为最简二次根式： ．
3．（24-25八年级下·四川自贡·月考）化简 的结果是 ．
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学科网（北京）股份有限公司4．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）把 化成最简二次根式为 ．
知识点三 已知最简二次根式求参数
1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若 和 都是最简二次根式，则 ， ．
2．（24-25八年级下·陕西安康·期中）若 （ 为大于1的整数）是最简二次根式，则 的值可以是
．
3．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）已知 是最简二次根式，请写出一个满足条件的 的整数值：
．
4．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）若最简二次根式 与 可以合并，则a的值为
．
知识点四 二次根式的乘法
1．（23-24八年级下·广东广州·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
2．（24-25八年级下·广东韶关·期末）计算： ．
3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）计算： ．
4．（2025八年级下·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
知识点五 二次根式的除法
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ；
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学科网（北京）股份有限公司(2) ．
2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
3．（24-25八年级下·北京·开学考试）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简下列各式：
(1)
(2)
知识点六 二次根式的乘除混合运算
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学科网（北京）股份有限公司1．（24-25八年级上·上海·月考）计算：
2．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
3．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）计算：
(1) ．
(2)
4．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算：
1．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小君想到了一种证明等式 成立的方法．
证明过程如下：
设 ， ，则 ， ．
等号左边 ，等号右边 ；
∵ ， ，
∴ ，
∴等号右边 ，
∴等号左边 等号右边，
∴等式 成立．
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学科网（北京）股份有限公司(1)小艳利用同样的方法求出方程 的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整
式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程．
解：设 ， ，则 ________， ________．将原无理方程
转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下：
(2)请直接写出方程 的解为________．
2．（24-25八年级下·湖南湘潭·开学考试）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发
现：当 ， 时，有 ，所以 ，当且仅当 时取等号．请利
用上述结论解决以下问题：
(1)当 时， 的最小值为_______；当 时， 的最大值为________；
(2)当 时，求代数式 的最小值，并求出此时 的值．
3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式
子可以写成另一个式子的平方．如 ，善于思考的小明进行了以下探索，若设
（其中a，b，m，n均为整数），则有 ， ，
这样小明就找到一种把式子 化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若 ，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：
______， ______；
(2)若 ，当a，m，n均为正整数时，求a的值；
4．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）定义：我们将 与 称为一对“有理式”．因为
，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有
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学科网（北京）股份有限公司一些题可以通过构造这种“有理式”来解决．
例如：已知 ，求 的值，可以这样解答：
因为 ，所以 ．
已知： ，求：
(1)①求代数式 中 的取值范围
②求代数式的值；
(2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程： ；
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