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19.1(第 2 课时)二次根式的性质（解析版）
目 录
类型一、二次根式的化简运算..................................................................................................................................1
类型二、将因式移出/进根式....................................................................................................................................7
类型三、利用二次根式的性质化简........................................................................................................................14
类型四、复合二次根式的化简................................................................................................................................20
类型一、二次根式的化简运算
1．下列运算结果等于 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】本题考查平方根，立方根，算术平方根，掌握相关知识是解决问题的关键．计算每个选项的运算
结果，逐项判断即可．
【分析】解： A： ，故本选项符合题意；
B： ，故本选项不符合题意；
C： ，故本选项不符合题意；
D： ，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．化简 的结果是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先计算平方运算，再取算术平方根．
【详解】∵ ，
∴ ，
故选：B．
3．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握 及 的运算规则．
根据二次根式的性质分别化简各选项，注意算术平方根的结果为非负数，平方运算的符号规则．
【详解】解：A、 ，此选项不符合题意；
B、 ，此选项符合题意；
C、 ，此选项不符合题意；
D、 ，此选项不符合题意．
故选：B．
4．若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式性质，把问题转化为绝对值，化简解答即可．
本题考查了二次根式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键．
【详解】解：
∴ ，
解得 ．
故选：D．
5．若 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件 ， ，简化根式 ，需利用平
方根的性质和绝对值的意义进行化简．
【详解】解：∵ ， ，
∴ （负数的立方为负），
故 ，从而 ，根式有意义．
∵ ，
∴ ，
又∵ ，且 ，∴ ，
∴原式 ，
即 ，与选项A一致．
故选：A．6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了算术平方根的性质、积的乘方运算以及同底数幂的除法运算，熟练掌握各类幂运
算和根式运算的规则是解题的关键．
分别根据算术平方根、积的乘方、同底数幂的运算规则，逐一分析每个选项的计算是否正确．
【详解】解： ，故A项错误；
∵ ，则
∴ ，原式计算错误，故B项错误；
，原式计算错误，故C项错误
（ ），原式计算正确，故D项正确；
故选：D．
7．计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是根据二次根式性质化简，先计算平方运算，再取算术平方根，注意平方根的非负性．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：D．
8．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查算术平方根的运算，负指数，掌握相关知识是解决问题的关键．根据算术平方根的性质
逐项判断即可．
【详解】解：A： ，∴ A错误．
B： ，∴ B正确．C： ，∴ C错误．
D： ，∴ D错误．
故选：B．
9．化简 的结果是（ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】B
【分析】本题主要考查了算术平方根的性质，准确计算是解题的关键．
根据算术平方根的定义， ，因此先计算平方，再取非负平方根．
【详解】 ；
故选 ．
10．下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查算术平方根的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．利用算术平方根的性质逐项计算
判断即可．
【详解】解： A： ，故等式成立．
B：∵ ，故错误．
C：∵ ，故错误．
D：∵ ，故错误．
故选：A．
11．已知 ，化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简，掌握化简的方法是关键；
根据二次根式的性质解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ；故答案为： ．
12．化简：当 时， ．
【答案】
【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简．由条件 且平方根内表达式非负，推出 且 ，
再将平方根内的表达式分解为平方因子和非平方因子进行化简，即可求解．
【详解】解：∵ ，且 为实数，
∴ ，
∵ 和 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ 且 ．
∴ ．
故答案为： ．
13． ．
【答案】 /
【分析】本题考查了化简二次根式．
根据二次根式的性质， ，然后计算绝对值即可．
【详解】解：因为 ，
所以 ，
因此 ．
故答案为： ．
14．计算： ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质： 是解题的关键．
利用二次根式的性质 ，将原式转化为绝对值表达式，再根据内部表达式的符号进行化简即可．
【详解】解：根据二次根式的性质可得： ，
∵ ，
∴ ，∴ ，即 ．
故答案为： ．
15．计算： ．
【答案】5
【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握 （ 为任意实数）．
先计算被开方数 的值，再根据二次根式的性质求算术平方根．
【详解】解： ．
故答案为：5．
16．化简： ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了二次根式乘除运算性质，准确计算是解题的关键．
应用平方根的性质，将根号内的分数分解为分子的平方根除以分母的平方根．
【详解】 ；
故答案是： ．
17．计算： ．
【答案】5
【分析】本题考查二次根式的性质，根据 求解即可．
【详解】解： ．
故答案为：5．
18．计算： ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的化简．利用二次根式的性质 ，再根据绝对值的定义化简即可．
【详解】解：由二次根式的性质得到 ，
因为 ，
所以 ，
故
故答案为19． ．
【答案】5
【分析】题目主要考查二次根式的化简，直接计算即可得出结果．
【详解】解： ，
故答案为：5．
20．化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质 是解题的关键．
根据绝对值的性质和二次根式的性质，分别化简各项后计算．
【详解】解： ，
， ，
原式
，
故答案为： ．
类型二、将因式移出/进根式
21．把 根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质化简即可得到答案．
【详解】解： ,
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式性质，熟练掌握二次根式性质化简是解决问题的关键．
22．将 根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将根号前的4移入，负号不能移入.【详解】 .
故选C.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质 是解答本题的关键.
23．把 根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，
再正确移动根号外的因式．
先根据二次根式有意义的条件确定 的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∴ = ．
故选：C．
24．化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简．
【详解】解：由题意可得：x＜0
∴
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键．
25．将 中的 移到根号内，结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据二次根式有意义的条件判断出 的符号，再根据二次根式的性质进行解答即可．
【详解】解： 有意义，
，
，．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的非负性是解答此题的关键．
26．化简二次根式 正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：C．
27．把 根号外的因式移到根号内，所得的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了二次根式的性质，把 放到根号内并变为 ，即可得到答案．
【详解】解： ．
故选：D．
28．若 ，化简二次根式 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由二次根式有意义，得到 ，由已知条件得到 ，即可化简，
主要考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握开平方的结果为非负数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 有意义， ，
∴ ，∴ ，
故选：B．
29．已知 ， 为实数， ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查利用二次根式的性质化简．根据已知条件分情况讨论，当 ， 或 ，
时，直接利用二次根式的性质化简，再整体代入 即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴分情况讨论，
当 ， 时，
∴ ；
当 ， 时，
∴ ，
综上， 的值为 ．
故选：D．
30．将 中根号外的数移到根号内，所得的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质得把 放到根号内并变为 ，即可得到答案，
掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解： ，
故选： ．
31．把式子 中根号外的 移到根号内，结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质的应用，先根据二次根式有意义的条件求出 ，再根据二次根
式的性质把根号外的因式平方后移入根号内，即可得出答案．【详解】∵要是根式 有意义，必须 ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
32．将 根号外的数移到根号内，所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】解：原式 ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的性质，掌握 是解题关键．
33．如果 ，把式子 中根号外的因式移到根号内后得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，根据 ，结合二次根式的性质，推出 ，然后再按
照二次根式的性质运算变形即可，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
34．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的化简求值, 先根据有理数的性质得到 ， ，再根据二次根式的性质
化简得到原式 ，然后变形得到原式 ，再利用整体代入的方法计算，熟练计算是解题的关键．
【详解】解： ， ，
， ，
原式
．
故选：B．
35．把 根号外的因式移到根号内的结果是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式的
性质是解题的关键．
首先根据题意得到 ，然后根据二次根式的性质进行求解即可．
【详解】∵ 有意义，
∴
∴
∴ ．
故答案为： ．
36．把 根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，正确的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，由根号下的表达式 可知， ，因此移动因式时
需考虑符号，利用二次根式的性质进行化简．【详解】解：由 得 ，
∴ ，
∴设 ，则 ，原式为
∴ ，
代入 ，得原式 ．
故答案为： ．
37．把 根号外的因式移入根号内，其结果为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得 ，据此利用二次
根式的性质化简即可．
【详解】解： ，
，
，即
，
故答案为： ．
38．把 根号外的因式移入根号内，化简后的结果是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得 ，据此利用二次
根式的性质化简即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
39．将 根号外的因式移到根号内得 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．根据二次根式的性质，得 ，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，得 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
40．把 根号外面的因式移到根号内的结果是 ．
【答案】
【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键．
类型三、利用二次根式的性质化简
41．已知 ，化简 的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据 化简二次根式，然后再根据 去绝对值即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
42．已知 ，则化简 的结果是()A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质；根据绝对值的性质， ，再结合 的范围，化简表达
式．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴原式 ．
故选：D．
43．实数 ， 在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的性质与数轴上实数的大小比较，掌握二次根式的性质和绝对值的化简规则是
解题关键．
先由数轴判断出 ，再结合 及绝对值的化简规则进行求解．
【详解】解： ，
由数轴可知， ，则 ，
∴ ．
故选： ．
44．若3，4，n为三角形的三边长，则化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差
小于第三边是解题的关键．
由三角形三边关系可以确定 的取值范围为 ，再利用绝对值的性质化简表达式．
【详解】∵ 3，4， 为三角形的三边长，
∴ ,即 ，
∴ ， ，∴ 原式 ，
故选：A．
45．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先观察数轴得 ，则 ，再化简 ，即可作答．
【详解】解：观察数轴得 ，
则 ，
∴
，
故选：A．
46．已知 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质，理解其性质是解题的关键．
根据二次根式的性质解题即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ 原式 ．
故选：C．
47．当 时，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】本题考查了二次根式的性质．由 可知 ，因此 ，代入原式，
进行化简，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
48．已知实数 满足 ，那么 的值为（ ）
A．2025 B． C．2026 D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解
题的关键．
根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可．
【详解】解：根据题意得 ，
解得 ，
，
，
，
，
，
故选：C．
49．已知 在数轴上的位置如图：化简 的结果为（ ）
A．c B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的非负性，二次根式的非负性．
由数轴可知： 且 ，据此即可求解．【详解】解：由数轴可知： 且 ，
∴ ，
∴
．
故选：A．
50．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简： （ ）
A．2a B．0 C． D．2b
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根．由数轴得 ， ，再利用算术平方根的性质化
简式子即可．
【详解】解：由数轴得， ， ，
∴ ，
∴
；
故选：C．
51．若 ，化简 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的性质及化简、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先判
断 ， ，再根据二次根式的性质化简，进而得出答案．
【详解】解：原式 ，
，
， ，
原式
．
故答案为： ．
52．已知 ，化简： ．【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，先去根号，得到绝对值后，再结合 的取值范围确定化简后每个绝
对值的值，最后进行有理数运算．
【详解】 ，
，
， ，
∴原式 ．
故答案为： ．
53．已知 ，化简： ．
【答案】2
【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，判断 是解题的关键．先根据x的范围得
出 ，再化简二次根式和绝对值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
则原式 ．
故答案为：2．
54．已知实数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简 ．
【答案】
【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，化简二次根式，化简绝对值．直接利用数轴得出 ，
进而化简求出答案．
【详解】解：由数轴得 ，
， ， ，
，
故答案为： ．
55．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简 的结果是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴、整式的加减、绝对值等知识点，根据数轴
可得 是解题的关键．根据题意可得： ，从而可得 ，然后利用二次根式的性质、绝对值的意义进行化简即可解答．
【详解】解：由图可知 ，
，
∴
．
故答案为： ．
56．（1）实数 、 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
（2）已知 ，求 的立方根．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，求一个数的立方根，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．
（1）先观察数轴得 ，则 ，再化简 ，即可作答；
（2）根据二次根式的非负性，绝对值的非负性，求得 的值，进而求得 立方根，即可求解．
【详解】（1）解：观察数轴得 ，
则 ，
∴
，
（2）解：
∵
∴ ， ，
∴
∵
∴ 的立方根为类型四、复合二次根式的化简
57．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．2a
【答案】C
【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令 ，得出 ，代入原式得
，解得 ，得出 ，进而可得出答案
【详解】解：令 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
移项，两边平方得 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
故选：C
58．设 为 的小数部分，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查无理数的估值．利用换元法先将原式变形，然后简化计算结果，最后估计出小数部分的
值，然后从选项中进行查找，最接近的即为答案．
【详解】解：本题根据条件， 为 的小数部分，因此 ，因此可以排除A、D选项．
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，∴
，
∵ ，
∵ 的整数部分是 ，
∴小数部分为 ，
选项B是 ，选项C是 ，
只有选项C最接近答案．
故选：C．
59．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题．
【详解】解：原式
，
故选：D．
60．已知a、b为有理数，且满足 ，则 等于（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把 化简为 ．先把 化简为 ，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算 的值．
【详解】解：∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：D．
61． ．
【答案】 /
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，将原式变形为 ，再利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：原式 ．
故答案为： ．
1．计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】本题主要考查复式二次根式的化简，掌握二次根式的性质和化简方法是解答本题的关键．
（1）从最里层的二次根式进行化简即可；
（2）设 ，两边平方后对比系数求出 的值即可．
【详解】解：（1）；
（2）设 （ 为正有理数），
平方得：
，
对比系数得：
尝试 ， ，则 ， ，
解得 ， ，
而 ，
所以， 满足条件，
所以， ．
故答案为：（1） ；（2） ．
2．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
化简 ．
解：首先把 化为 ，这里 ， ，即 ， ，∴ ．
仿照上例化简 = ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键．
仿照示例，将表达式化为完全平方形式，再利用二次根式的性质求解即可．
【详解】解：首先将 写成 ，这里 ， ，即 ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
3．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：
，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
，则
请你仿照小明的方法解决下列问题：
若 则 ， ．
【答案】 2 2
【分析】本题考查了双重二次根式的化简，完全平方公式变形等知识．先把 变形为 ，即
可得到 ，问题得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2,2
4．化简： ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的运算，根据完全平方公式将 化成 ，再
由二次根式的性质进行计算即可．【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
5．设 ，a为正整数，b在0和1之间，则 的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查根式的性质及完全平方公式，根据 将被开方数变形，再根据
求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵a为正整数，b在0和1之间，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
6．像 ， ，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平
方式进行化简．
如： ；
．
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简： ；
(2)化简： ．
【答案】(1)
(2)【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点
是解题的关键．
（1）根据定义化成完全平方式的形式即可；
（2）根据定义化成完全平方式的形式即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
7．观察下列等式：
；
；
；
根据以上的等式回答问题：
(1)填空： _______；
(2)化简 ，并写出化简过程．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用，
（1）将原式化为 ，再开方即可；
（2）将原式化为 ．
【详解】（1）解： ，故答案为： ；
（2）解：原式
．
8．先阅读下列的解答过程，然后再解答．
形如 的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如
；
(1)填空 ____________；
(2)化简 ，并写出化简过程．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则．
（ ）仿照阅读材料解答即可；
（ ）仿照阅读材料解答即可．
【详解】（1）解：
；
故答案为： ；
（2）
．1．综合与探究：
【观察发现】：
．
；
，
．
【初步探索】：
（1）化简： __________________．
【深入探究】：
（2）形如 可以化简为 ，即 ，且 ， ， ， 均为正整数，用含 ，
的式子分别表示 ， ，得 _________， _________．
（3）若 ，且 ， 均为正整数，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3） ；
【分析】本题主要考查二次根式的化简与应用，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键。．
（1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给出的a，b与m，n的关系式，列式算出结果即可；
（3）将所给式子两边平方求解即可；
【详解】解：（1） ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ， 均为正整数，
∴ ，
故答案为： ， ；
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
2．像 ， ，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平
方式进行化简，如：
再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简： ；
(2)化简： ；
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握完全平方公式，利用二次根
式的性质是解题的关键．
（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）根据题意找出规律进行求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：；
（3）解： ∵ ，
，
，
∴对第于n项，形式可表示为 ，
∴可化简为
式中最后一项为 ，
∵ ，
∴ ，
∴最后一项化简为：
．
3．【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：
，那么 ，那么如何将双重二次根式 （ ， ，
）化简呢？如能找到两个数 ， （ ， ），使得 即 ，且使
即 ，那么 ，双重二次根式得以化简；
例如：化简 ；
且 ，
，
，
由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成 的形式，且能找到 ， （ ， ）使
得 ，且 ，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
【方法运用】
（1）填空：① __________；② __________；
【方法应用】
（2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为 平方米，形成新正方形花圃 ，求出新正方形花圃 的边长；
【迁移运用】
（3）已知 为常数（ ），满足 ，求 的值．
【答案】（1）① ；② ；（2）新正方形花圃 的边长为 米；（3）
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，掌握相应的运算法则是关键．
（1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案；
（2）得到新正方形花圃面积为 ，根据题意计算边长即可；
（3）将 转化为
，计算即可解答．
【详解】解：（1）① ；
② ；
故答案为： ； ；
（2）由题可知，新正方形花圃面积为 （平方米），
，
则新正方形花圃 的边长为 米；
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．，
∴ 的值为 ．
4．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；
．
【类比归纳】
(1)请你仿照上面的方法将 化成另一个式子的平方；
(2)请你仿照上面的方法化简： ；
【类比归纳】
(3)若 ，其中 ，且 ， ， 均为正整数，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)16或32
【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，理解题意是解决本题的关键．
（1）将7转化为 ，进行求解即可；
（2）先将算术平方根内部的式子结合题意进行转化即可求解；
（3）根据 可得 ，进而根据题意即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，
；
（2）解：；
（3）解：
由题意得，
，
∴ ，
∵ ，且 ， ， 均为正整数，
∴ ， 的值可能为15，1或5，3，
∴当 、 时， ，
则 ；
当 、 时， ，
则 ．
5．阅读材料：
小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，善于
思考的小颖进行了以下探索：
设 （其中x，y，m，n均为正整数），则有 ，
∴ ， ．这样小颖就找到了一种把部分 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题：
(1)当x，y，m，n均为正整数且 时，请用含m，n的式子分别表示x，y：
______， ______；
(2)若 ，且x，m，n均为正整数，求x的值；
(3)①填空： ______；
②化简： ．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)① ②【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用．
（1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可；
（2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可；
（3）①根据完全平方公式进行求解即可；
②根据完全平方公式进行求解即可．
【详解】（1）解： ，
∴ ， ；
（2）解： ，
∴ ， ，
∴ ，
∵m，n均为正整数，
∴当 时， ，
此时， ；
当 时， ；
此时， ；
∴ 或 ；
（3）解：① ；
②
．
6．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
，，
【类比归纳】
(1)仿照小明的方法将 化成另一个式子的平方： ________；
(2)请运用小明的方法化简： ．
(3)将式子化成平方的形式： ________．
(4)已知a，b为非负实数， ， ，当且
仅当“ ”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当x为何值
时， 有最小值？求出该最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)当 时，最小值为
【分析】本题为新定义问题，考查了完全平方公式的变形，分式的计算，二次根式的化简等知识，难度较
大．
（1）把 变形为 即可求解；
（2）把 变形为 即可求解；
（3）把 变形为 即可求解；
（4）把 变形为 ，进而变形为 ，根据“均值
不等式”结论得到 ，进而得到
，从而得到当且仅当 即 时，等号成立，原式的最小值为
3．
【详解】（1）解： ．
故答案为：
（2）解： ；（3）解： ；
故答案为：
（4）解：条件可得 ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴当且仅当 即 时，等号成立，
∴原式的最小值为3．
7．双重二次根式为形如 的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如 的形式，
再开根号即可完成化简．请完成下列题目：
(1)若 ，试化简代数式 ；
(2)解方程： ；
(3)直接写出代数式 的化简结果．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的计算，考查二次根式的化简，完全平方公式和平方差公式，考查计算
能力，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
（1）根据二次根式的非负性，求出 的值，然后代数利用完全平方式进行求值即可；
（2）利用完全平方式和平方差公式进行求解即可；（3）利用完全平方式进行求解即可．
【详解】（1）解：由 得，
，
∴ ，
∴
；
（2）解：
，经检验，符合题意；
（3）解： ∵即
∴ ，
∴ ．
8．化简： ．
【答案】
【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．
设 ，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简
即可得出结论．
【详解】解：设 ，由二次根式的非负性可得 ，
∴
．
9．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如 ，如果你能找到两个数 、 ，使
，且 ，则 可变形为 ．从而达到化去一层根
号的目的．例如化简 ：
且 ， ．
(1)填上适当的数： ｜__________｜ __________；
(2)当 时，化简 ．
【答案】(1) ， ，
(2)【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解
题的关键．
（1）将 写成 ，将 写成 ，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得
出答案．
（2）将 写成 ，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案．
【详解】（1）解： ， ，
，
故答案为： ， ， ；
（2） ，
．
