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北京十二中 2022 年高三年级第三次模拟练习
数学试卷
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
.
A B. C. D.
2. 已知复数z满足 ，则z的虚部为（ ）
A. B. C. D. 7
3. 下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的函数是（ ）
A. B. C. D.
4. 在等差数列 中，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知直线l过圆 的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为（ ）
A. x－2y＋1＝0 B. x＋2y－1＝0
C. 2x＋y－2＝0 D. x－2y－1＝0
6. 将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后得到的图象关于原点对称，则 的值
为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点 在抛物线 上，若以点P为圆心的圆与C的准线相切，且与x轴相交的弦长为6，则
点P到y轴的距离为（ ）A. 4 B. C. 5 D.
8. 设 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
9. 若函数 的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一
条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两
个数字的移动路线条数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 二项式 的展开式中，常数项为__________．
12. 已知双曲线 的离心率为 ，则双曲线C的渐近线方程为___________.
13. 已知等比数列 满足 ，且其前n项和 ，则数列 的通项公式可以
是 ___________.（写出一个符合条件的即可）
14. 为等边三角形，且边长为2，则 与 的夹角大小为___________，若 ，则 的最小值为___________.
15. 在棱长为1的正方体 中，点P是对角线 的动点（点P与 不重合），则下
列结论正确的有___________.
①存在点P，使得平面 平面 ；
②存在点P，使得 平面 ；
③ 分别是 在平面 ，平面 上的正投影图形的面积，对任意的点P都有
；
④对任意的点P， 的面积都不等于 .
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知 .
（1）求角B的大小；
（2）从以下3个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求 的面积.
条件①： ；条件②： ；条件③： ；④
的
17. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2 正方形，侧面 是正三角形，平面
平面 .（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求点 到平面 的距离.
18. 某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以
上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中抽
取10位归为A组，从年龄在40岁及以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续
航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户.
注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.
（1）记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比
较m，n的大小（结论不要求证明）；
（2）从抽取的20位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A组的客户的概率；
（3）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”，现从该市使
用这种电动汽车的所有客户中，随机抽取年龄40岁以下和40岁以上的客户各1位，记“驾驶达人”的人数
为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
19. 已知椭圆 过点 ，离心率为 .
（1）求椭圆M的方程；的
（2）已知直线 在x轴上方交椭圆M于B，C（异于点A）两个不同 点，直线AB，AC分
别与y轴交于点P､Q，O为坐标原点，求 的值.
20. 已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调递增区间；
（2）设函数 ，若 在 上存在极值，求a的取值范围.
21. 给定正整数m，数列 ，且 .对数列A进行T
操作，得到数列 .
（1）若 ， ， ， ，求数列 ；
（2）若m为偶数， ，且 ，求数列 各项和的最大值；
（3）若m为奇数，探索“数列 为常数列”的充要条件，并给出证明.
