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北京十二中 2022 年高三年级第三次模拟练习
数学试卷
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合一元二次不等式的解法,求出集合B,根据集合的并集运算求得答案.
【详解】 ,
故 ,
故选:C
2. 已知复数z满足 ，则z的虚部为（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】先化简复数z，再利用复数的相关概念求解.
【详解】解：因为复数z满足 ，
所以 ，
所以z的虚部为-1，
故选：B
3. 下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的函数是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析各选项中函数的定义域、奇偶性、在 上的单调性即可判断作答.
【详解】对于A，函数 定义域是 ，不是偶函数，A不是；
对于B，函数 定义域为R，是偶函数且在 上单调递增，B是；
对于C，函数 定义域为R，是偶函数且在 上单调递减，C不是；
对于D，函数 定义域为R，是偶函数且在 上单调递减，D不是.
故选：B
4. 在等差数列 中，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 ，利用“ ”法求解.
【详解】在等数列 中， ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
故选：C
5. 已知直线l过圆 的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为（ ）
A. x－2y＋1＝0 B. x＋2y－1＝0
C. 2x＋y－2＝0 D. x－2y－1＝0
【答案】D【解析】
【分析】利用配方法求出圆心坐标，结合垂直直线之间斜率的关系进行求解即可.
【详解】由 ，所以圆心坐标为 ，
因为直线2x＋y－3＝0的斜率为 ，
所以与直线2x＋y－3＝0垂直的直线l的斜率为 ，
所以l的方程为： ，
故选：D
6. 将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后得到的图象关于原点对称，则 的值
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数图象的平移变换可得到平移后的函数解析式，结合正弦函数的图象和性质可得
， ，由此求得 的值．
【详解】将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后得到
的图象，
根据所得图象关于原点对称，可得 ， ，
, ，
故选： ．7. 已知点 在抛物线 上，若以点P为圆心的圆与C的准线相切，且与x轴相交的弦长为6，则
点P到y轴的距离为（ ）
A. 4 B. C. 5 D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，由条件结合直线与圆的位置关系结论列方程求其坐标值即可.
【详解】设 ，设圆的半径为 ，
因为点 在抛物线 上，所以 ，
以点P为圆心的圆与C的准线相切，所以 ,
圆 与x轴相交的弦长为6，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，故 ， ,
所以点P到y轴的距离为4，
故选： A.
8. 设 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由 ， ，可得 ，得 ，利用基本不等式
即证，反之可以取值举反例.
【详解】先证充分性成立，， ， ， ，得 ，则 ，当且仅当
时等号成立，所以“ ”是“ ”的充分条件；
再证必要性不成立，
由 ， ， ，即令 ， ， 得 成立，但 ，
所以“ ”是“ ”的不必要条件；
综上，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
9. 若函数 的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 时， ，由题意，当 时，
，对 分 和 两种情况讨论即可求解.
【详解】解：由 时， ，
因为函数 的值域为R，所以当 时， ，
分两种情况讨论：
①当 时， ，所以只需 ，解得 ，所以 ；②当 时， ，所以只需 ，显然成立，所以 .
的
综上， 取值范围是 .
故选：D.
10. 如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一
条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两
个数字的移动路线条数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】分类分步排列即可.
【详解】由题意1和7是不能漏掉的，所以由以下路线：
（1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共6条，
故选：B.
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 二项式 的展开式中，常数项为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式，即可得到答案；
【详解】 ，
当 时， ，
常数项为 ，
故答案为： .【点睛】本题考查二项式定理通项公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
12. 已知双曲线 的离心率为 ，则双曲线C的渐近线方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据离心率求得b求解.
【详解】解：己知双曲线 的离心率为 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线C的渐近线方程为 ，
故答案为：
13. 已知等比数列 满足 ，且其前n项和 ，则数列 的通项公式可以是
___________.（写出一个符合条件的即可）
【答案】 （符合条件的一个即可）
【解析】
【分析】根据等比数列的性质和前n项和公式可得若 ，则 、 ，举例即可.
【详解】由题意知，设等比数列的公比为 ，
由 ，得 ，
若 ，则 ，
由 得 ，所以 ，则 可满足上述条件.
故答案为： .
14. 为等边三角形，且边长为2，则 与 的夹角大小为___________，若 ，
则 的最小值为___________.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】根据平面向量夹角的定义直接得出结果；根据题意可知E为AC的中点，利用平面向量的线性运
算和数量积的运算律计算可得 ，结合平面向量夹角的范围即可得出结
果.
【详解】由题意知，如图，
由 为等比三角形，得 ，
所以 ；
因为 ，所以点E为AC的中点，
则 ，又 ，
所以
，
，又 ，所以 ，
所以 .
故答案为： ； .
15. 在棱长为1的正方体 中，点P是对角线 的动点（点P与 不重合），则下
列结论正确的有___________.
①存在点P，使得平面 平面 ；
②存在点P，使得 平面 ；
③ 分别是 在平面 ，平面 上的正投影图形的面积，对任意的点P都有
；
④对任意的点P， 的面积都不等于 .
【答案】①②④【解析】
【分析】当 为直线 与平面 的交点时，根据面面平行的判定定理即可判断①正确；当 为直线
与平面 的交点时，根据线面垂直的判定定理即可判断②；计算出 的条件即可判断③；求
出△ 的面积的最小值即可判断④.
【详解】对于①，如图，因为 ，
所以平面 平面 ，
当直线 交平面 于点 时，有平面 平面 ，故①正确；
对于②，如图，设正方体的棱长为2，则 ， ，
则 ，
有 ， ，所以 ， ，
又 平面 ，所以 平面 ，
当直线 交平面 于点 时，有 平面 ，故②正确；对于③，因为设 （其中 ），
则△ 在平面 的正投影面积为 ，
又△ 在平面 上的正投影图形的面积与在平面 的正投影图形面积相等，
所以 ，
若 ，则 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，故存在点 ，使得 ；故③错误；
对于④，由于 固定不变，只要找 上的点到 的距离最短即可，
取 中点 ，连接 ，由②的分析可证得 平面 ，由 平面 得 ；
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 为直线 与 的公垂线，此时△ 的面积最小；
因为在正方体中，易知 ，
又 ，所以 ，
因此， ；
所以对任意点 ，△ 的面积都不等于 ,故④正确.
故答案为：①②④
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知 .
（1）求角B的大小；
（2）从以下3个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求 的面积.
条件①： ；条件②： ；条件③： ；④
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由正弦定理得 ，再利用 的范围可得答案；
（2）若选条件①②，由余弦定理解得 ，再利用 的面积 可得答案；若选条件②③，利用平方关系得 ，由正弦定理解得 ，由余弦定理解得 ，再由 可得
答案；若选条件①③，利用平方关系得 ，再由两角和的正弦公式可得 ，由正
弦定理解得 ，再由 可得答案；若选条件①④， 由 可得答案；若选条
件②④由余弦定理解得 ，则由 可得答案；若选条件③④，利用平方关系得 ，再由两
角和的正弦公式可得 ，由正弦定理解得 ，再由 可得答案.
【小问1详解】
由 和正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
因为 ，所以 .
【小问2详解】
若选条件①： ；条件②： ，由（1） ，
由余弦定理得 ，解得 ，
因为答案不唯一，所以舍去.
若选条件②： ；条件③： ；由（1） ，
因为 ， ，所以 ，由正弦定理得 ，解得 ，
由余弦定理得 ，解得 ，
则 的面积为 ；
若选条件①： ；条件③： ；由（1） ，
因为 ， ，所以 ，所以
，
由正弦定理得 ，解得 ，
则 的面积为 .
若选条件①： ； ④ ，由（1） ，
则 的面积为 .
若选条件②： ；④ ，由（1） ，
由余弦定理得 ，解得 ，
则 的面积为 .若选条件③： ；④ ，由（1） ，
因为 ， ，所以 ，所以
，
由正弦定理得 ，解得 ，
则 的面积为 .
17. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，侧面 是正三角形，平面
平面 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）【解析】
【分析】(1)根据面面垂直的性质即可证明 平面 ；
(2)建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面 法向量和 的坐标，根据数量积的定义计
算即可；
(3)直接利用空间向量法即可求出点到平面的距离.
【小问1详解】
四边形 为正方形，则 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ；
【小问2详解】
如图，取 的中点为 ，连接 ，
在正 中， ，平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，
不妨取 ，
则 ，， ，
设面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
，
，因此直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【小问3详解】
由(2)知 ，
设点 到平面 的距离为 ，
所以 .
18. 某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以
上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中抽
取10位归为A组，从年龄在40岁及以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续
航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户.
注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.
（1）记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小（结论不要求证明）；
（2）从抽取的20位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A组的客户的概率；
（3）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”，现从该市使
用这种电动汽车的所有客户中，随机抽取年龄40岁以下和40岁以上的客户各1位，记“驾驶达人”的人数
为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）分布列答案见解析， .
【解析】
【分析】（1）由图可知 组整体数值比 组小；
（2）利用古典概型及排列组合即可求出“从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户
的概率”；
（3）依题意，可得该市使用这种电动汽车的所有客户中，在年龄40岁以下的客户中随机抽取 位，该客
户为“驾驶达人”的概率为 ，在年龄40岁以上的客户中随机抽取 位，该客户为“驾驶达人”的概率
为 ；可知 的所有可能值为 ， ， ，分别求出相应的概率，由此求出随机变量 的分布列和
数学期望.
【小问1详解】
；
由图可知，“实际平均里程续航数”在 附近或小于 的 组有 个， 组有 个，且 组这些数据
整体大于 组；
“实际平均里程续航数”大于 的 组有 个， 组有 个，且 组数据也整体大于 组，
所以 组的数据总和大于 组数据总和，即A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值n小于
组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值 ；
【小问2详解】设“从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户”为事件 ，则
，
所以从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户的概率是 ；
【小问3详解】
由题图，知 组“驾驶达人” 的人数为 人， 组“驾驶达人”的人数为 人，
则可估计该市使用这种电动汽车的所有客户中，在年龄40岁以下的客户中随机抽取 位，该客户为“驾驶
达人”的概率为 ，在年龄40岁以上的客户中随机抽取 位，该客户为“驾驶达人”的概率为 ；
依题意， 所有可能取值为 ， ， .
则 ，
，
，
所以随机变量 的分布列为
0 1 2
故 数学期望为 .
19. 已知椭圆 过点 ，离心率为 .
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知直线 在x轴上方交椭圆M于B，C（异于点A）两个不同的点，直线AB，AC分别与y轴交于点P､Q，O为坐标原点，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由 点坐标及离心率求得椭圆方程即可；
（2）联立直线与椭圆求得 ，再表示出直线AB，AC的方程，求得P､Q
坐标，再计算 即可.
【小问1详解】
由题意知： ，则 ， ，则椭圆M的方程为 ；
【小问2详解】
联立直线与椭圆 ，整理得 ，
，
即 ，又直线 在x轴上方交椭圆M于B，C（异于点A）两点，则
；
设 ，则 ， ，
，易得直线AB，AC斜率必然存 ，则 ，令 ，得 ，则
在
，同理可得 ，且 ，
则
.
20. 已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调递增区间；
（2）设函数 ，若 在 上存在极值，求a的取值范围.
【答案】（1）减区间为 ，增区间为 .
（2）
【解析】
【分析】（1）当 时，求得 ，结合导数的符号，即可求得函数 的单调区间；
（2）求得 ，设 ，得到 ，求得 的单调
性，结合 ，根据题意，列出不等式组 或 ，即可求解.
【小问1详解】
解：当 时，函数 ，其定义域为 ，
可得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
【小问2详解】
解：由 ，
可得 ，
设 ，则 ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上，单调递减，
且 ，
显然 ，
若 在 上存在极值，则满足 或 ，解得 ，
综上可得，当 时， 在 上存在极值，所以实数 的取值范围为 .
21. 给定正整数m，数列 ，且 .对数列A进行T
操作，得到数列 .
（1）若 ， ， ， ，求数列 ；
（2）若m为偶数， ，且 ，求数列 各项和的最大值；
（3）若m为奇数，探索“数列 为常数列”的充要条件，并给出证明.
【答案】（1）
（2）
（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用已知条件先求出 ，将 ， ， ， 代入 ： ， ，
， 即可求解；
（2）由 ，得到 ，进而有 ，再由得到
即可；
（3）证明见解析.
【小问1详解】
由题意 时， ， ， ，由 ，知 ，所以 ，， ， ，
故 .
【小问2详解】
记数列 的所有项和为S，
因为 ，且 ，所以 ，
则 ，故 .
当 ， 或 ， 时取到等号，
所以当 ， 或 ， 时，S取到最大
值，为 .
【小问3详解】
“数列 为常数列”的充要条件是 （ ）证明如下：
先证充分性：
当 （ ）时， ，所以 为常数列；
再证必要性：
当 为常数列时，记 ，
设 中有x个 ，则必有 个 ，将数列 的
所有项相加得： ，由 ，且m为奇数，所以 ，所以 ，由 得： ，所以 ，
所以 .
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：
（1）仔细阅读，理解新定义的含义；
（2）根据新定义，对对应的知识进行再迁移
（3）正确阅读理解题干信息，抓住关键信息，转化为我们所熟悉的问题.
