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西城区高三模拟测试试卷数学
2025.5
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ，集合 ，那么（ ）
A. B. C. D.
2. 设 为虚数单位，则在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 若 ，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. 4 D. 8
5. 设圆 的圆心为 ，直线 与该圆相交于两点 ．若 ，
则实数 （ ）
A. 1 B. 3或1 C. 3 D. 3或
6. 设 为双曲线 的右焦点．已知 成等差数列，那么双曲线 的离
心率等于（ ）
A. B. C. D. 2
7. 设平面向量 与 不共线， ，则“ 与 共线”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件8. 小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小……”.他不禁
好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以
拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…….已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽
约为（ ）
A. 840mm，594mm B. 840mm，588mm C. 594mm，420mm D. 588mm，420mm
9. 设正方体 的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线 的距离与它到平面
ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数 若对于任意的 ，都有 ，那么实数 的
取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数 的定义域为______．
12. 一个金属模具的形状，大小如图所示，它是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，那么该模具的体
积为______．
13. 设函数 ，则使得函数 在区间 上存在最大值的一个
值为______．
14. 在数列 中， ，且任意连续三项的和均为7，则 ______；记数列 的前项和为 ，则使得 成立的最大整数 ______．
15. 数学中有许多形状优美，应用广泛的曲线．双纽线 就是其中之一（如
图），其定义为：在平面内，到两个定点 和 的距离之积为常数 的点的轨迹．
设 为 上一点，给出下列四个结论：
① ；
② ；
③若点 在第一象限，则 ；
④ 的周长可以等于 ．
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知 中， ．
（1）求 的大小；
（2）设 为 的中点，且 ，求 的面积．
的
17. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 分别为 中点．（1）求证：平面 平面 ；
（2）设 ，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面 与平
面 夹角的余弦值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 网络搜索已成为人们获取信息或解决问题的重要手段.为研究某传染性疾病的未来流行趋势，收集得到
该疾病某月1号至30号的网络搜索量（单位：万次）如下：
1 4 5 9 10 11 12 13 14 15
时间 2号 3号 6号 7号 8号
号 号 号 号 号 号 号 号 号 号
搜索量 6.2 5.1 6.1 7.2 6.1 7.4 6.2 6.3 6.4 6.3 7.1 6.3 7.3 7.6 7.9
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
时间
号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号
.
11
搜索量 8.5 10.3 9.1 9.6 10.1 10.6 10.9 8.8 10.4 8.2 11.5 12.1 12.8 13.6
2
用频率估计概率.
（1）从2号至14号中任取1天，求该天的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率；
（2）假设该疾病每天的搜索量变化是相互独立的.在未来的日子里任取3天，试估计这3天该疾病搜索量
的数据中既有高于10万又有低于8万的概率；
（3）记表中30天的搜索量的平均数为 ，去除搜索量中最大的3个和最小的3个后剩余24个搜索量的平
均数为 ，试给出 与 的大小关系.（结论不要求证明）19. 已知椭圆 ，直线 经过椭圆 的左顶点 和下顶点 ．
（1）求椭圆 的方程和离心率；
（2）设过点 且斜率不为0的直线交椭圆 于 两点，直线 与直线 的交点
分别为 ，线段 的中点分别为 ．若直线 经过坐标原点，求 的取值范围．
20. 已知函数 ，其中 ．
的
（1）若曲线 在点 处 切线经过点 ，求 的值；
（2）证明：函数 存在极小值；
（3）记函数 的最小值为 ，求 的最大值．
21. 已知 项数列 ，对于给定 ，定义变换 ：将数列 中的项
替换为 ，其余项均保持不变，记得到的新数列为 ．其中，当 时， ；当
时， ；当 时， ．若将数列 再进行上述变换
，记得到的新数列为 ，重复操作，得到数列 ，
并称 为第一次 变换， 为第二次 变换，⋯．
（1）若数列 ： ，求数列 和 ；
为
（2）设 递增数列，对 进行有限次 变换后得到数列 ．证明： 为递增数列；
（3）当第 次 变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令 ；否则 ．对于给定的 项数列 ，进行2025次 变换，证明： ．
