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北师大二附中 2022 届高三 三模 数学试题
一、选择题（共10小题；共40分）
1. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则 （ ）
A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3}
2. 若 ，则z=（ ）
A. 1–i B. 1+i C. –i D. i
3. 已知 ，且 ，则
A.
B.
C.
D.
4. 在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A. B. 5 C. D. 10
5. 已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）．
A. B.
C. D.
6. 设点A，B，C不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 加油量（升） 加油时 的累计里程（千米）年 月 日
年 月 日
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每 千米平均耗油量为（ ）
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
8. 记 为数列 的前 项和．若 ，则（ ）
A. 有最大项， 有最大项 B. 有最大项， 有最小项
.
C 有最小项， 有最大项 D. 有最小项， 有最小项
9. 将函数 图象上的点 向左平移 （ ） 个单位长度得到点 ，若 位于函
数 的图象上，则（ ）
A. ， 的最小值为 B. ， 的最小值为
C. ， 的最小值为 D. ， 的最小值为
10. 如图，棱长为1的正方体 中， 为线段 上的动点（不含端点），则下列结论正
确的个数是（ ）①平面 平面
② 的取值范围是
③三棱锥 的体积为定值
④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 已知向量 =（－4，3）， =（6，m），且 ，则m=__________.
12. 已知等差数列 的前5项和 ，则 ____________．
13. 已知F为双曲线 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x
轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.
14. 已知函数 在 有且仅有3个零点，则函数 在 上存在
_____个极小值点，请写出一个符合要求的正整数 的值______.
15. 已知函数 的定义域是 ，关于函数 给出下列命题：
①对于任意 ，函数 存在最小值；②对于任意 ，函数 是 上的减函数；
③存在 ，使得对于任意的 ，都有 成立；
④存在 ，使得函数 有两个零点.
其中正确命题的序号是______.
三、解答题（共6小题；共85分）
16. 已知① ，② ，③ 在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问
题．
在 中，角A，B，C的对边分别为 ，且满足
（1）求角A的大小；
（2）已知_______，_______，若 存在，求 的面积；若不存在，说明理由．
17. 如图四棱锥 中， 是以 为斜边的等腰直角三角形， ， ，
， ， 为 的中点.
（1）求证：直线 平面
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
（3）设 是 的中点，判断点 是否在平面 内，并证明结论.
18. 某超市销售 种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌
牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：
牙膏品牌销售价格
市场份额
的
（1）从这 种不同品牌 牙膏中随机抽取 管，估计其销售价格低于 元的概率；
（2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取 管牙膏进行质检，其中 和 共抽取了 管．
①求 的值；
②从这 管牙膏中随机抽取 管进行氟含量检测．记 为抽到品牌 的牙膏数量，求 的分布列和数学
期望．
（3）品牌 的牙膏下月进入该超市销售，定价 元/管，并占有一定市场份额．原有 个品牌的牙膏销售
价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管 元，下月牙膏的平均销售价为每管
元，比较 的大小．（只需写出结论）
19. 已知椭圆 经过点 ，离心率为 ， 为坐标原点.
的
（1）求椭圆 方程；
（2）设 、 分别为椭圆 的左、右顶点， 为椭圆 上一点（不在坐标轴上），直线 交 轴于点
， 为直线 上一点，且 ，求证： 、 、 三点共线.
20. 已知函数 ，其中 ， 为 的导函数.
（1）当 ，求 在点 处的切线方程；
（2）设函数 ，且 恒成立.
①求 的取值范围；
②设函数 的零点为 ， 的极小值点为 ，求证： .
21. 设数列 （ ）的各项均为正整数，且 .若对任意 ，存在正整数 使得 ，则称数列 具有性质 .
（1）判断数列 与数列 是否具有性质 ；（只需写出结论）
（2）若数列 具有性质 ，且 ， ， ，求 的最小值；
（3）若集合 ，且 （任意 ，
）.求证：存在 ，使得从 中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质 的数列.
