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４ ２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§２．３ 二次函数与幂函数
二次函数 学生用书Ｐ２２
{ｘ２
＋２
ａｘ
＋
ａ
，
ｘ
≤０，若关于ｘ的方程ｆ ｘ ａｘ恰有 个互异
ｘ２ ａｘ ａ ｘ ． （ ）＝ ２
－ ＋２ －２ ， ＞０
１．（２０１９浙江，１６，４分）已知ａ Ｒ 函数ｆ ｘ ａｘ３ ｘ．若存在ｔ 的实数解 则ａ的取值范围是 ．
∈ ， （ ）＝ － ∈ ，
４． 答案
Ｒ 使得 ｆ ｔ ｆ ｔ ２ 则实数ａ的最大值是 ． （４，８）
， ｜ （ ＋２）－（ ）｜≤ ，
３
１． 答案 ４ 幂函数 学生用书Ｐ２２
３
２．（２０１９上海春，１０，５ 分）如图 正方形 ＯＡＢＣ 的边长为 ａ ａ １．（２０１９上海春，１３，５分）下列函数中 值域为 的是
， （ ＞ ， ［０，＋∞）
１），
函数ｙ
＝３
ｘ２ 的图象交ＡＢ于点Ｑ
，
函数ｙ
＝
ｘ－１
２
的图象交ＢＣ
（ ）
于点Ｐ ， 则当 ｜ ＡＱ ｜＋｜ ＣＰ ｜ 最小时 ， ａ的值为 ． Ａ． ｙ ＝２ ｘ Ｂ． ｙ ＝ ｘ１ ２ Ｃ． ｙ ＝ｔａｎ ｘ Ｄ． ｙ ＝ｃｏｓ ｘ
１． 答案 Ｂ
{ }
２．（２０１８上海，７，５分）已知α １ １ ．若幂函
∈ －２，－１，－ ， ，１，２，３
２ ２
数ｆ ｘ ｘα 为奇函数 且在 上递减 则α ．
（ ）＝ ， （０，＋∞） ， ＝
２． 答案
－１
２． 答案 以下为教师用书专用
３
３．（２０１８ 天津文， １４， ５ 分） 已知 ａ Ｒ 函数 ｆ ｘ
∈ ， （ ） ＝ （２０１６课标 文，７，５分）已知ａ ４ ３ ｂ ２ ３ ｃ １ ３ 则
{ｘ２ ｘ ａ ｘ Ⅲ ＝２ ， ＝３ ， ＝２５ ，
＋２ ＋ －２， ≤０，若对任意ｘ ｆ ｘ ｘ 恒成
ｘ２ ｘ ａ ｘ ． ∈［－３，＋∞）， （ ）≤｜ ｜ （ ）
－ ＋２ －２ ， ＞０ ｂ ａ ｃ ａ ｂ ｃ ｂ ｃ ａ ｃ ａ ｂ
立 则ａ的取值范围是 ． Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜
， [ ] 答案 Ａ ａ ＝２ ４ ３ ＝４ ２ ３ ， ｃ ＝２５ １ ３ ＝５ ２ ３ ， 而函数 ｙ ＝ ｘ２ ３ 在 （０，
３． 答案 １ ，２ 上单调递增 所以 ２ ３ ２ ３ ２ ３ 即ｂ ａ ｃ 故选 ．
８ ＋∞） ， ３ ＜４ ＜５ ， ＜ ＜ ， Ａ
４．（２０１８ 天 津 理， １４， ５ 分） 已 知 ａ 函 数 ｆ ｘ 评析 本题主要考查幂函数的性质，属中档题．
＞ ０， （ ） ＝
学生用书Ｐ２２
1 续表
考点 二次函数
解析式 ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ
（ ）＝ ＋ ＋ （ ＞０） （ ）＝ ＋ ＋ （ ＜０）
顶点 ( ｂ ａｃ ｂ２ )
１．二次函数解析式的三种表示形式 ４ －
坐标 － ａ， ａ
２ ４
一般式 ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ（ａ ）
（１） ： （ ）＝① ＋ ＋ ≠０ ； ｂ
（２） 顶点式 ： ｆ （ ｘ ）＝ ａ （ ｘ － ｈ ） ２ ＋ ｋ （ ａ ≠０）； 对称性 图象关于直线 ② ｘ ＝－ ａ 对称 ， 无对称中心
两根式 ｆ ｘ ａ ｘ ｘ ｘ ｘ ａ ． ２
（３） ： （ ）＝ （ － １）（ － ２）（ ≠０） 当ｂ 时为偶函数
２．二次函数的图象和性质 奇偶性 ＝０
当ｂ 时为非奇非偶函数
≠０
解析式 ｆ （ ｘ ）＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ （ ａ ＞０） ｆ （ ｘ ）＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ （ ａ ＜０） 在 ( ｂ ] 上是 在 ( ｂ ] 上是
－∞，－ ａ －∞，－ ａ
２ ２
单调性 减函数 增函数
③ ， ④ ，
图象 [ ｂ ) [ ｂ )
在 上是增函数 在 上是减函数
－ ａ，＋∞ － ａ，＋∞
２ ２
３．二次函数ｆ（ｘ） ａｘ２ ｂｘ ｃ（ａ ）的零点分布及条件
定义域 Ｒ ＝ ＋ ＋ ＞０
值域 [ ４ ａ
４
ｃ － ａ ｂ２ ，＋∞ ) ( －∞， ４ ａ
４
ｃ － ａ ｂ２ ]
（ｍ，
零
ｎ
点
，
的
ｐ为
分
常
布
数）
图象 满足条件
续表
解析式 ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ
（ ）＝ ＋ ＋ （ ＞０） （ ）＝ ＋ ＋ （ ＜０）
第二章 函数 ４ ３
续表
2
零点的分布
图象 满足条件 考点 幂函数
（ｍ，ｎ，ｐ为常数）
ìΔ １．定义：一般地 形如 ｙ ｘα 的函数称为幂函数 其中ｘ
ï ＞０ ， ⑤ ＝ ，
ï
ｂ 是自变量 α为常数．
ｘ ｘ ｍ í ｍ ，
１＜ ２＜ ïï －
２
ａ＜ ２．几个常用幂函数的图象
îｆ ｍ
（ ）＞０
ìΔ
ï ＞０
ï
ｂ
ｍ ｘ ｘ í ｍ
＜ １＜ ２ ïï －
２
ａ＞
îｆ ｍ
（ ）＞０
ｘ ｍ ｘ ｆ ｍ
１＜ ＜ ２ （ ）＜０ ３．几个常用幂函数的性质
ì
ï
Δ
＞０
ｙ
＝
ｘ ｙ
＝
ｘ２ ｙ
＝
ｘ３ ｙ
＝
ｘ１
２
ｙ
＝
ｘ－１
ïï ｂ
ｍ ｎ 定义域 Ｒ Ｒ Ｒ （－∞，０）∪
ｍ ｘ ｘ ｎ í ＜－ ａ＜ ［０，＋∞）
＜ １＜ ２＜ ï ２ （０，＋∞）
ｆ ｍ
ï（ ）＞０
îｆ
（
ｎ
）＞０
值域 Ｒ ［０，＋∞） Ｒ ［０，＋∞） （－∞，０）∪
{ｆ （ ｍ ）＞０ 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 （０， 奇 ＋∞）
ｍ ｘ ｎ ｘ ｐ ｆ ｎ
＜ １＜ ＜ ２＜
ｆ
（
ｐ
）＜０
单调性 增
在
（－∞，０）
上减
， 增 增
在
（－∞，０）
上减
，
（ ）＞０ 在 上增 在 上减
{Δ （０，＋∞） （０，＋∞）
＝０ 定点
ｂ （０，０），（１，１） （１，１）
ｍ ｎ
＜－ ａ＜
２
或ｆ ｍ ｆ ｎ
（ ）·（ ）＜０
只有一个零点 {ｆ ｍ
（ ）＝０
在 ｍ ｎ 之间 或 ｂ ｍ ｎ
（ ， ） ｍ ＋
＜－ ａ＜
２ ２
{ｆ ｎ
（ ）＝０
或 ｍ ｎ ｂ
＋ ｎ
＜－ ａ＜
２ ２
学生用书Ｐ２３
一、二次函数在闭区间上的最值（值域）问题的解法 值 ．求函数ｇ ｘ 的解析式．
０ （ ）
１．二次函数最值 或值域 问题的解法 可归纳为 三点一轴 解题思路
（ ） ， ：“ ”、
数形结合．三点指的是区间两个端点及顶点 一轴是指对称轴．结合 先求出函数图象的对称轴方程 由此判断函数在给定的定
， （１） ，
配方法 根据函数图象即可求解 轴在区间外 端点取最值 轴在区 义域 ａ 内的增减性 再根据函数的值域也是 ａ 建立方程组．
， ：“ ， ， ［１， ］ ， ［１， ］
间内 顶点占一个 ．解题思路可以在下面的流程图中明确 分析函数ｇ ｘ 函数图象的开口向上 对称轴为直线ｘ
， ” ： （２） （ ）， ， ＝１，
{ｇ
结合题意得 （１）＝０，解出ｍ ｎ的值即可得到ｇ ｘ 的解析式．
ｇ ， （ ）
（３）＝４，
解析 函数ｆ ｘ ｘ２ ａｘ ｂ ａ 图象的对称轴方程
（１） （ ）＝ －２ ＋ （ ＞１）
ａ
为ｘ －２ ａ 因为ａ 所以函数ｆ ｘ ｘ２ ａｘ ｂ在 ａ 上
＝－ ＝ ， ＞１， （ ）＝ －２ ＋ ［１， ］
２
{ｆ ａ
为减函数 又函数在 ａ 上的值域也为 ａ （１）＝ ，即
， ［１， ］ ［１， ］，∴ ｆ ａ
（ ）＝１，
{ ａ ｂ ａ
１－２ ＋ ＝ ①， 由 得ｂ ａ 代入 得ａ２ ａ 解得
２．在区间 ａ ｂ 上 ｆ ｘ ｍ恒成立 转化为ｆ ｘ ｍ ｘ ａ２ ａ２ ｂ ① ＝３ －１， ② －３ ＋２＝０，
［ ， ］ ， （ ）≥ ， （ ）ｍｉｎ≥ ， －２ ＋ ＝１②，
ａ ｂ ｆ ｘ Ｍ恒成立 转化为ｆ ｘ Ｍ ｘ ａ ｂ ． ａ 舍 或ａ ．把ａ 代入ｂ ａ 得ｂ ．故答案为 ．
∈［ ， ］； （ ）≤ ， （ ）ｍａｘ≤ ， ∈［ ， ］ ＝１（ ） ＝２ ＝２ ＝３ －１ ＝５ ５
例１ （２０２０山东青岛期中联考，１６）已知函数ｆ ｘ ｘ２ ｇ ｘ ｍｘ２ ｍｘ ｎ ｍ 易知ｇ ｘ 图象开口向上
（１） （ ）＝ － （２） （ ）＝ －２ ＋ ＋１（ ＞０）， （ ） ，
ａｘ ｂ ａ 的定义域和值域都为 ａ 则ｂ ． 对称轴方程为ｘ ｘ 当ｘ 时 ｇ ｘ 取得最小
２ ＋ （ ＞１） ［１， ］， ＝ ＝１，∵ ∈［０，３］，∴ ＝１ ， （ ）
（２０２０江苏扬州大学附中月考，２２（节选））已知二次函 值 则 ｍ ｎ 当ｘ 时 ｇ ｘ 取得最大值 则 ｍ ｎ
（２） ， － ＋ ＋１＝０①， ＝３ ， （ ） ， ３ ＋ ＋１＝
数ｇ ｘ ｍｘ２ ｍｘ ｎ ｍ 在区间 上有最大值 最小 由 解得ｍ ｎ 函数ｇ ｘ 的解析式为ｇ ｘ ｘ２
（ ）＝ －２ ＋ ＋１（ ＞０） ［０，３］ ４， ４②， ①② ＝１， ＝０，∴ （ ） （ ）＝ －
４ ４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
２ｘ ．
＋１ 二、一元二次方程的实根分布的解题方法
答案
（１）５ 一元二次方程ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ 实根的分布问题 常常转
１－１ （２０１７浙江，５，４分）若函数ｆ ｘ ｘ２ ａｘ ｂ在区间 ＋ ＋ ＝０（ ≠０） ，
（ ）＝ ＋ ＋ ［０， 化为二次函数ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ 零点的分布问题．
上的最大值是Ｍ 最小值是ｍ 则Ｍ ｍ （ ）＝ ＋ ＋ （ ≠０）
１］ ， ， － （ ） 例２ （２０１９湖北武汉钢城四中模拟，２０）已知ｆ ｘ ｘ２ ｔ
与ａ有关 且与ｂ有关 与ａ有关 但与ｂ无关 （ ）＝ ＋（２
Ａ． ， Ｂ． ， ｘ ｔ．
与ａ无关 且与ｂ无关 与ａ无关 但与ｂ有关 －１） ＋１－２
Ｃ． ， Ｄ． ， 求证 对于任意ｔ Ｒ 关于ｘ的方程ｆ ｘ 必有实数根
１－１． 答案 Ｂ （１） ： ∈ ， （ ）＝１ ；
( )
１－２ 已知函数ｆ ｘ ｘ２ ｘ 当ｘ ｔ ｔ ｔ Ｒ 时 求 若方程ｆ ｘ 在区间 和 １ 内各有一个实
（ ）＝ －２ ＋２， ∈［ ，＋１］（ ∈ ） ， （２） （ ）＝０ （－１，０） ０，
ｆ ｘ ． ２
（ ）ｍｉｎ 数根 求实数ｔ的范围．
１－２． 解析 ｆ （ ｘ ）＝ ｘ２ －２ ｘ ＋２＝（ ｘ －１） ２ ＋１， ｘ ∈［ ｔ ， ｔ ＋１］， ｔ ∈ ， 解析 证明 方程ｆ ｘ ｘ２ ｔ ｘ ｔ 因为Δ
Ｒ 函数图象的对称轴为直线ｘ ． （１） ： （ ）＝１⇒ ＋（２－１） －２ ＝０， ＝
， ＝１ ｔ ２ ｔ ｔ２ ｔ ｔ ２ 所以方程ｆ ｘ 必有实根．
当ｔ 即ｔ 时 函数图象如图 所示 函数ｆ ｘ 在 （２－１） ＋８ ＝４ ＋４＋１＝（２＋１） ≥０， （ ( ）＝１ )
＋１≤１， ≤０ ， （１） ， （ ）
区间 ［ ｔ ， ｔ ＋１］ 上为减函数 ， 所以最小值为ｆ （ ｔ ＋１）＝ ｔ２ ＋１； （２） 因为方程ｆ （ ｘ ）＝０ 在区间 （－１，０） 和 ０， １ 内各有一个
２
当ｔ ｔ 即 ｔ 时 函数图象如图 所示 在ｘ 处
＜１＜ ＋１， ０＜ ＜１ ， （２） ， ＝１ ì ï ｆ （－１）＞０， ì ï１－（２ ｔ －１）＋１－２ ｔ ＞０，
取得最小值 ， 最小值为ｆ （１）＝１； 实数根 所以í ïｆ （０）＜０， 即í ï １－２ ｔ ＜０， 解得 １ ｔ
， ï ( ) ï ＜ ＜
ïｆ １ ï１ １ ｔ ｔ ２
î ＞０， î ＋ （２ －１）＋１－２ ＞０，
２ ４ ２
３ ．所以实数ｔ的范围是 １ ｔ ３ ．
＜ ＜
４ ２ ４
２－１ 已知定义在Ｒ上的函数 ｆ ｘ 满足 ｆ ｘ ｆ ｘ
（ ） ： （ ＋４）＝ （ ），
当ｔ 时 函数图象如图 所示 函数ｆ ｘ 在区间 ｔ ｔ { ｘ２ ｘ
≥１ ， （３） ， （ ） ［ ， ＋ ｆ ｘ － ＋１，－１≤ ≤１， 若方程ｆ ｘ ａｘ 有 个实根 则
１］
上为增函数
，
所以最小值为ｆ
（
ｔ
）＝
ｔ２
－２
ｔ
＋２
． （ ）＝
－｜
ｘ
－２｜＋１，１＜
ｘ
≤３，
（ ）－ ＝０ ５ ，
{ｔ２
＋１（
ｔ
≤０），
正数ａ的取值范围是
（ ）
( ) ( )
综上可知 ｆ ｘ ｔ
，（ ）ｍｉｎ＝ １（０＜ ＜１），
Ａ．
１
，
１
Ｂ．
１
，
１
ｔ２ ｔ ｔ ． ４ ３ ６ ４
－２ ＋２（ ≥１） ( ) ( )
解后反思 该题属于“轴定区间动”问题，解题关键是对区间 １ １
Ｃ． ，８－２ １５ Ｄ． １６－６ ７，
与对称轴的位置关系进行分类讨论，结合ｔ的不同取值，确定函 ６ ６
２－１． 答案 Ｃ
数ｆ（ｘ）的最值．
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ２４
( )ｘ
二次函数 １．（２０２１河北唐山二模，３）不等式 １ ｘ的解集是
≤ （ ）
２
１．（２０２１江苏南京秦淮中学开学考，３）已知ａ ｂ ｃ Ｒ 函数ｆ ｘ [ ] [ ) é ù é ö
， ， ∈ ， （ ） １ １ êê ２úú êê ２ ÷
ａｘ２ ｂｘ ｃ．若ｆ ｆ ｆ 则 Ａ． ０， Ｂ． ，＋∞ Ｃ．ë０， û Ｄ．ë ，＋∞ø
＝ ＋ ＋ （０）＝ （４）＞（１）， （ ） ２ ２ ２ ２
ａ ａ ｂ ａ ａ ｂ １． 答案 Ｂ
Ａ． ＞０，４ ＋ ＝０ Ｂ． ＜０，４ ＋ ＝０
ａ ａ ｂ ａ ａ ｂ
Ｃ． ＞０，２ ＋ ＝０ Ｄ． ＜０，２ ＋ ＝０ ２．（２０２０湘赣皖十五校第一次联考）设 ａ １ ｂ － １ ２ ｃ
１． 答案 Ａ ＝ｌｎ ， ＝－５ ， ＝
２
２．（２０２１广东深圳一模，１３）已知函数的图象关于ｙ轴对称 且与 则
， ｌｏｇ１ ３２， （ ）
直线ｙ ｘ 相切 则满足上述条件的二次函数可以为 ｆ ｘ ｃ ｂ ａ ａ ｃ ｂ ｃ ａ ｂ ｂ ａ ｃ
＝ ， （ ）＝ Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜
． ２． 答案 Ｂ
３．（２０２０广东揭阳三中第一次月考，７）如图的曲线是幂函数ｙ
２． 答案 ｘ２ １ 答案不唯一 ＝
＋ （ ）
４ ｘｎ 在第一象限内的图象．已知ｎ分别取 １ 四个值 与曲线
ｘ ａ ±２，± ，
３．（２０２０湖南炎陵一中仿真考试）已知ｆ ｘ ＋ －１为奇函数 ２
（ ）＝ １－ ｘ２ ， Ｃ １， Ｃ ２， Ｃ ３， Ｃ ４ 相应的ｎ依次为 （ ）
则ｇ ｘ ｘ２ ａｘ ｂ的单调递增区间为 ．
（ ）＝ ＋ ＋
( )
３． 答案 １
－ ，＋∞
２
幂函数
第二章 函数 ４ ５
４．（２０２１上海松江一模，１０）从以下七个函数 ｙ ｘ ｙ １ ｙ ｘ２
： ＝ ， ＝ ｘ ， ＝ ，
ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ中选取两个函数记为ｆ ｘ 和
＝２ ， ＝ｌｏｇ２ ， ＝ｓｉｎ ， ＝ｃｏｓ （ ）
ｇ ｘ 构成函数Ｆ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ 若Ｆ ｘ 的图象如图所示
（ ）， （ ）＝ （ ）＋ （ ）， （ ） ，
则Ｆ ｘ ．
（ ）＝
１ １ １ １
Ａ．２， ，－ ，－２ Ｂ．２， ，－２，－
２ ２ ２ ２
Ｃ．－ １ ，－２，２， １ Ｄ．－２，－ １ ， １ ，２ ４． 答案 ２ ｘ ＋ｓｉｎ ｘ
２ ２ ２ ２
３． 答案 Ａ
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ２４ ５０分钟 ６０分
一、单项选择题（每小题５分，共２０分） ｘ２ ａｘ ｂ ｘ Ｒ 若函数ｆ ｘ 的最小值为 ｂ２ 则实数ｂ的取
｜ － － ｜（ ∈ ）， （ ） ２ ，
１．（２０２０湖北武汉３月质量检测）已知ａ
＝０
．
８
０ ． ４
，
ｂ
＝０
．
４
０ ． ８
，
ｃ
＝ｌｏｇ８４，
则 值范围是 ．
６． 答案
（ ） ［０，１］
７．（２０２０上海复兴高级中学期中，１２）对于问题 当ｘ 时 均有
ｂ ａ ｃ ａ ｃ ｂ ｃ ａ ｂ ｂ ｃ ａ
： ＞０ ，
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜
１． 答案 Ｄ ［（ ａ －１） ｘ －１］（ ｘ２ － ａｘ －１）≥０， 求实数 ａ的所有可能值．几位同
２．（２０２０百校联盟普通高中教育教学质量监测，７）已知函数 学提供了自己的想法．
( ) 甲 解含参不等式 其解集包含正实数集
： ， ；
ｆ
（
ｘ
）＝ｌｏｇ１ ２（
ｘ２
－
ａｘ
＋
ａ
）
在 １
２
，＋∞
上为减函数
，
则实数ａ的取
乙
：
研究函数ｙ
＝［（
ａ
－１）
ｘ
－１］（
ｘ２
－
ａｘ
－１）；
值范围是 丙 分别研究两个函数ｙ ａ ｘ 与ｙ ｘ２ ａｘ
（ ） ： １＝（ －１） －１ ２＝ － －１；
[ ] ( ] ( ) 丁 尝试能否参变量分离研究最值问题．
：
１ １ １
Ａ．（－∞，１］ Ｂ． － ，１ Ｃ． － ，１ Ｄ． － ，＋∞ 你可以选择其中某位同学的想法 也可以用自己的想法 可以
２ ２ ２ ， ，
２． 答案 Ｂ 得出正确的答案为 ．
３．（２０２０辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟）已知函数ｇ （ ｘ ） 是Ｒ上 ７． 答案 ３
的奇函数．当 ｘ 时 ｇ ｘ ｘ 且 ｆ ｘ ２
＜ ０ ， （ ） ＝ －ｌｎ（１－ ）， （ ） ＝
{ ｘ２ ｘ 四、解答题（共２５分）
－ ， ≤０，若ｆ ｘ２ ｆ ｘ 则实数ｘ的取值范围为
ｇ
（
ｘ
），
ｘ
＞０
． （２－ ）＞（ ）， （ ） ８．（２０２１江苏南通海门一中期末，２１）已知函数ｇ
（
ｘ
）＝
ａｘ２
－２
ａｘ
＋
ｂ ａ 在区间 上有最大值 和最小值 ．
Ａ．（－１，２） Ｂ．（１，２） Ｃ．（－２，－１） Ｄ．（－２，１） １＋ （ ＞０） ［２，３］ ４ １
３． 答案 Ｄ 求ａ ｂ的值
（１） ， ；
４．（２０２１河北石家庄一模，８）若ｆ
（
ｘ
）
的图象上存在两点Ａ
，
Ｂ关于原
（２）
若存在ｘ
∈［３，４］，
使ｇ
（
ｘ
）＜２
ｍ２
－
ｔｍ
＋７
对任意的ｔ
∈［０，５］
点对称 则点对 Ａ Ｂ 称为函数ｆ ｘ 的 友情点对 点对 Ａ Ｂ 与 都成立 求ｍ的取值范围
， ［ ， ］ （ ） “ ”（ ［ ， ］ ， ；
{ｘ３
ｇ ｘ
ｘ 设ｆ ｘ （ ） 若不等式ｆ ｘ ｋ ｘ 在ｘ
Ｂ Ａ 视为同一个 友情点对 ．若ｆ ｘ ｘ， ≥０，恰有两个 友 （３） （ ）＝ ｘ ， （２ ）－ ·２ ≥０ ∈［－１，１］
［ ， ］ “ ”） （ ）＝ ｅ “
ａｘ２ ｘ 上有解 求实数ｋ的取值范围．
， ＜０ ，
情点对 则实数ａ的取值范围是 ８． 解析 ｇ ｘ ａｘ２ ａｘ ｂ ａ ｘ ２ ｂ ａ．
”， （ ） （１） （ ）＝ －２ ＋１＋ ＝ （ －１） ＋１＋ －
( ) ( ) ａ ｇ ｘ 在 上单调递增
１ １ ∵ ＞０，∴ （ ） ［２，３］ ，
Ａ． － ，０ Ｂ． ０， {ｇ { ｂ {ａ
ｅ ｅ （２）＝１， １＋ ＝１， ＝１，
∴ ｇ ⇒ ａ ａ ｂ ⇒ ｂ ．
Ｃ．（０，１） Ｄ．（－１，０） （３）＝４ ９ －６ ＋１＋ ＝４ ＝０
４． 答案 Ａ 由 得ｇ ｘ ｘ２ ｘ
（２） （１） （ ）＝ －２ ＋１，
存在ｘ 使ｇ ｘ ｍ２ ｔｍ 对任意的ｔ 都
二、多项选择题（共５分） ∵ ∈［３，４］， （ ）＜２ － ＋７ ∈［０，５］
成立
５．（２０２１辽宁百校联盟质检，９）下列函数中 在区间 上是 ，
， （２，４） ｇ ｘ ｇ ｍ２ ｔｍ 对任意的ｔ 都成立
减函数的是 ∴ （ ）ｍｉｎ＝ （３）＝４＜２ － ＋７ ∈［０，５］ ，
（ ） 即 ｍｔ ｍ２ 对任意的ｔ 都成立 其中ｔ看作自变
( )ｘ － ＋２ ＋３＞０ ∈［０，５］ ，
ｙ １ ｙ ｘ２ ｘ 量 ｍ看作参数
Ａ． ＝ Ｂ． ＝ｌｏｇ２（ ＋３ ） ， ，
３ { ｍ２ ( )
所以 ２ ＋３＞０， 解得ｍ ３ ．
Ｃ．
ｙ
＝ｘ
１
Ｄ．
ｙ
＝ｃｏｓ
ｘ
－５
ｍ
＋２
ｍ２
＋３＞０，
∈（－∞，１）∪
２
，＋∞
５． 答案
－２
ＡＣ 由 得ｆ ｘ
ｇ
（
ｘ
）
ｘ２
－２
ｘ
＋１ ｘ １
（３） （１） （ ）＝ ｘ ＝ ｘ ＝ ＋ ｘ －２，
三、填空题（每小题５分，共１０分）
ｆ ｘ ｋ ｘ ｘ １ ｋ ｘ
６．（２０２１上海黄浦一模，１２）已知ａ ｂ Ｒ 函数ｆ ｘ ｘ２ ａｘ ｂ ∴ （２ ）－ ·２ ＝２ ＋ ｘ－２－ ·２ ≥０，
、 ∈ ， （ ）＝ ＋ ＋ ＋ ２
４ ６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
( ) 求ｆ ｘ 的解析式
令 ｘ ｔ １ ｔ （１） （ ） ；
２ ＝ ≤≤２ ， ｘ
２ 若ｘ 求ｇ ｘ 的最大值．
（２） ＞０， （ ）＝ｆ ｘ
则不等式可化为ｋ １ ２ （ ）
≤１＋ｔ２ － ｔ ， ９． 解析 二次函数满足ｆ ｘ ｆ ｘ
（１）∵ （ ）＝ （－４－ ），
不等式ｆ ｘ ｋ ｘ 在ｘ 上有解 ｆ ｘ 的图象的对称轴为直线ｘ
∵ （２ ）－ ·２ ≥０ ∈［－１，１］ ， ∴ （ ） ＝－２，
æ ö ( ) ２ ｘ ｘ 是ｆ ｘ 的两个零点 且 ｘ ｘ
ｋ ç １ ２ ÷ 又 １ ２ １ ∵ １， ２ （ ） ， ｜ １－ ２｜＝２，
∴ ≤è１＋ｔ２ － ｔ ø ， ∵１＋ｔ２ － ｔ ＝ ｔ －１ ， {ｘ {ｘ
ｍａｘ １＝－３，或 １＝－１，
æ ö ∴ ｘ ｘ ．
１ ≤ ｔ ≤２⇒ １ ≤ １ ｔ ≤２，∴ è ç １＋ｔ １ ２ － ２ ｔ ø ÷ ＝１， 设ｆ ２ ｘ ＝－１ ａ ｘ ２＝ ｘ －３ ａ ．
２ ２ ｍａｘ （ ）＝ （ ＋３）（ ＋１）（ ≠０）
ｋ 即实数ｋ的取值范围是 ． 由ｆ ａ 得ａ
∴ ≤１， （－∞，１］ （０）＝３ ＝３ ＝１，
思路分析 （
１
）利用二次函数的性质，即可求出ａ，ｂ的值；
∴
ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ２
＋４
ｘ
＋３
．
（ ）题目可转化为 ｍ２ ｔｍ ｇ（ｘ） ｇ（ ）对任意的ｔ ［ ， ｘ ｘ
２ ２ － ＋７＞ ｍｉｎ＝ ３ ∈ ０ 由 得ｇ ｘ １ ｘ
］都成立，再利用变换主元的方法，把ｔ看作自变量，ｍ看作参 （２） （１） （ ）＝ｆ ｘ ＝ｘ２ ｘ ＝ （ ＞０），
５ （ ） ＋４ ＋３ ｘ ３
数，即可求解． ＋ ｘ ＋４
( )
（ ）由（ ）得出了函数解析式，令 ｘ ｔ １ ｔ ，再分离参 ｘ １ １ ３ 当且仅当ｘ ３
３ １ ２ ＝ ≤≤２ ∵ ＞０，∴ ≤ ＝１－ ， ＝ ｘ ，
２ ｘ ３ ４＋２ ３ ２
数ｋ，即可求解． ＋ ｘ ＋４
９．（２０２０山西平遥中学第一次月考，１８）已知二次函数ｆ ｘ 满足 即ｘ 时等号成立．
（ ） ＝ ３
ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ 若ｘ ｘ 是ｆ ｘ 的两个零点 且 ｘ
（ ）＝ （－４－ ）， （０）＝３， １， ２ （ ） ， ｜ １－ ｇ ｘ 的最大值是 ３．
ｘ ． ∴ （ ） １－
２｜＝２
２
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 综上所述 实数ａ的取值范围为 ．
， （４，＋∞）
１．（２０２１新疆重点高中３月联考，６）已知函数ｆ
（
ｘ
）＝
ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
，
故选
Ａ．
满足ｆ ｘ ｆ ｘ 且ｆ ｆ 则不等式ｆ ｘ ｆ 一题多解 ａｘ２ ｘ 在［ ， ］恒成立可等价转化为ａ
（３＋ ）＝ （３－ ）， （４）＜ （５）， （１－ ）＜ （１） －２ －２＞０ １ ２ ＞
的解集为 [( ) ２ ]
（ ） ２ ２ １ １ 在［ ， ］上恒成立，
ｘ２ ＋ ｘ ＝２ ｘ ＋ ｘ １ ２
Ａ．（０，＋∞） Ｂ．（－２，＋∞）
[ ] ( ) [ ]
２
Ｃ．（－４，０） Ｄ．（２，４） 令ｔ １ ，ｔ １ ， ，则ｙ ｔ２ ｔ ｔ １ １ ３ ， ，故ｙ
答案 Ｃ 依题意有二次函数图象的开口向上 且关于直线 ＝ ｘ ∈ １ ＝ ＋ ＝ ＋ － ∈ ２
， ２ ２ ４ ４
ｘ 对称 [( ) ２ ]
＝３ ， １ １ 的最大值为 ，
则有ｆ ｘ ａ ｘ ２ ｍ ａ ｆ ｘ ａ ｘ ２ ｍ ａ ｆ ＝２ ｘ ＋ ｘ ４
（ ）＝ （ －３） ＋ ， ＞０， （１－ ）＝ （ ＋２） ＋ ， ＞０， （１
－ ｘ ）＜ ｆ （１） 即ａ （ ｘ ＋２） ２ ＋ ｍ ＜４ ａ ＋ ｍ ， ａ ＞０，（ ｘ ＋２） ２ ＜４， 解得 －４＜ ｘ ＜ 故ａ的取值范围为（ ４ ， ＋∞ ），故选 Ａ ．
故选 ． ３．（２０２１四川顶级名校联考，５）设命题ｐ ｍ Ｒ 使ｆ ｘ ｍ
０， Ｃ ：∃ ∈ ， （ ）＝（ －
２．（２０２１四川南充模拟，１０）已知函数ｆ
（
ｘ
）＝
ａｘ２
－２
ｘ
－２，
若对于一
１）
ｘｍ２－４ ｍ ＋３是幂函数
，
且在
（０，＋∞）
上单调递减
；
命题 ｑ
：∀
ｘ
∈
切ｘ ｆ ｘ 都成立 则实数ａ的取值范围为 ｘ２ ｘ 则下列命题为真的是
∈［１，２］， （ ）＞０ ， （ ） （２，＋∞）， ＞２ ， （ ）
( ) ｐ ¬ ｑ ¬ ｐ ｑ
３ Ａ． ∧（ ） Ｂ．（ ）∧
Ａ．（４，＋∞） Ｂ． ，＋∞ ｐ ｑ ¬ ｐ ｑ
２ Ｃ． ∧ Ｄ．（ ）∨
[ )
３ 答案 Ａ 由ｍ 解得ｍ 故ｆ ｘ １ 在
Ｃ． ，＋∞ Ｄ．（１２，＋∞） －１＝１， ＝２， （ ）＝ ｘ ， （０，＋∞）
２
答案 Ａ 由选项可知ａ 故二次函数ｆ ｘ 的图象开口向 上单调递减 故命题ｐ是真命题 令 ｘ 则 ｘ２ ｘ 故命题 ｑ
＞０， （ ） ， ； ＝４， ＝２ ，
是假命题 故ｐ ¬ ｑ 是真命题 故选 ．
上 对称轴为直线ｘ １ 当 １ 即ａ 时 ｆ ｘ 在 ， ∧（ ） ， Ａ
， ＝ ａ ， ０＜ ａ ≤１， ≥１ ， （ ） ［１， ４．（２０２１山西怀仁期末，５）有四个幂函数 ｆ ｘ ｘ－１ ｆ ｘ
：① （ ）＝ ；②（ ）＝
２］ 上单调递增 ，∴ ｆ （ ｘ ）ｍｉｎ＝ ｆ （１）＝ ａ －４＞
[
０， 解得
)
ａ ＞４； ｘ－２
；③
ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ３
；④
ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ１ ３．某同学研究了其中的一个函数
，
当 １ 即 １ ａ 时 ｆ ｘ 在 １ 上单调递减 在 他给出这个函数的三个性质 偶函数 值域是 ｙ ｙ
１＜ ａ ＜２， ＜ ＜１ ， （ ） １， ａ ， ：（１） ；（２） ｛ ｜ ∈
２ Ｒ 且ｙ 在 上是增函数．如果他给出的三个性
( ] ( ) ， ≠０｝；（３） （－∞，０）
１ 上单调递增 ｆ ｘ ｆ １ １ 质中 有两个正确 一个错误 则他研究的函数是
ａ ，２ ，∴ （ ）ｍｉｎ＝ ａ ＝－ ａ －２＞０， ， ， ， （ ）
Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．④
解得 １ ａ 与 １ ａ 相矛盾 舍去 答案 Ｂ ｆ ｘ ｘ－１只满足性质 ｆ ｘ ｘ３ 只满足性质
－ ＜ ＜０， ＜ ＜１ ， ； （ ）＝ （２）， （ ）＝
２ ２
ｆ ｘ ｘ１ ３只满足性质 ． ｆ ｘ ｘ－２是偶函数 在
当 １ 即 ａ １ 时 ｆ ｘ 在 上单调递减 （３）， （ ）＝ （３） （ ）＝ ， （－∞，
ａ ≥２， ０＜ ≤ ， （ ） ［１，２］ ， 上是增函数 但是其值域是 ｙ ｙ ．故选 ．
２ ０） ， ｛ ｜ ＞０｝ Ｂ
( ] ５．（２０２１宁夏银川重点高中一模，１１）已知函数ｆ ｘ 是定义域为
ｆ ｘ ｆ ａ 解得ａ ３ １ 舍去． （ ）
∴ （ ）ｍｉｎ＝ （２）＝４ －６＞０， ＞ ∉ ０， ， Ｒ的奇函数 且当ｘ 时 函数ｆ ｘ ｘ ｘ 若关于ｘ的函数
２ ２ ， ＜０ ， （ ）＝ ｅ ＋２，
第二章 函数 ４ ７
Ｆ ｘ ｆ ｘ ２ ａ ｆ ｘ ａ恰有 个零点 则实数ａ的取 ｃ ａ ｂ ｃ ｂ ａ
（ ）＝［ （ ）］ ＋（ －２） （ ）－２ ２ ， Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜
值范围为 答案 Ａ 本题考查幂函数 通过幂函数的单调性考查学生
（ ） ，
( ) 分析问题与解决问题的能力 渗透逻辑推理与数学运算的核
１ ，
Ａ． －∞， －２ Ｂ．（－∞，－２）∪（２，＋∞） 心素养 试题体现综合性．
ｅ ，
( ) ( ) ( ) ｆ ｘ ｘｍ 的图象过点Ａ
１ １ １ １ ∵ （ ）＝ （２，８），
Ｃ． －２， －２ ∪ ２－ ，２ Ｄ． －２，２－ ｆ ｍ ｍ ．
ｅ ｅ ｅ ｅ ∴ （２）＝２ ＝８，∴ ＝３
答案 Ｃ 令Ｆ
（
ｘ
）＝［
ｆ
（
ｘ
）－２］［
ｆ
（
ｘ
）＋
ａ
］＝０，
得ｆ
（
ｘ
）＝２
或 从而ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ３
，
ｆ ｘ ａ ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ｘ 因此ｆ ｘ 无解．
（ ）＝－ ， ＜０ ， （ ）＝ ｅ ＋２＜２， （ ）＝２ １
则ｆ
（
ｘ
）＝－
ａ要有两解
，
对ｆ
（
ｘ
）
求导得ｆ ′
（
ｘ
）＝（
ｘ
＋１）ｅ
ｘ
，
ｌｏｇ０ ． ５３＝ｌｏｇ１ ２３＝－ｌｏｇ２３＝ｌｏｇ２
３
，
ｘ 时 ｆ ′ ｘ ｆ ｘ 单调递减
＜－１ ， （ ）＜０， （ ） ， １ ３
ｘ 时 ｆ ′ ｘ ｆ ｘ 单调递增 ∵ ｌｏｇ２ ＜ｌｏｇ２５＜ｌｏｇ２２ ＝３，
－１＜ ＜０ ， （ ）＞０， （ ） ， ３
ｆ ｘ 的极小值为ｆ １ ∴ ｌｏｇ０ ． ５３＜ｌｏｇ２５＜
ｍ
，
又ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ３ 在Ｒ上单调递增
，
∴ （ ） （－１）＝２－ ， ｆ ｆ ｆ ｍ ．
ｅ ∴ （ｌｏｇ０ ． ５３）＜（ｌｏｇ２５）＜（ ）
故ａ ｂ ｃ 故选 ．
又ｆ ｘ 则 １ ａ ＜ ＜ ， Ａ
（ ）＜２， ２－
ｅ
＜－ ＜２， ９．（２０２１天津一中月考，９）已知函数ｆ
（
ｘ
）＝ ｜
ｘ２
＋
ｐｘ
＋
ｑ
｜，∀
ｐ
，
ｑ
∈
又ｆ ｘ 是奇函数 Ｒ ｘ 使ｆ ｘ ｍ成立 则ｍ的范围是
（ ） ， ，∃ ０∈［１，５］， （ ０）≥ ， （ ）
ｘ 时 ｆ ｘ 仍然无解 ( ]
∴ ＞０ ， （ ）＝２ ， ５
Ａ． －∞， Ｂ．（－∞，２］ Ｃ．（－∞，３］ Ｄ．（－∞，４］
ｆ ｘ ａ要有两解 则 ａ １ ． ２
（ ）＝－ ， －２＜－ ＜ －２ 答案 Ｂ 由题意可知 ｘ ｆ ｘ ｍ成立 即ｍ
( ) (
ｅ
)
∃ ０∈［１，５］， （ ０）≥ ，
ｆ ｘ
综上
，
有ａ
∈ －２，
１
－２ ∪ ２－
１
，２
． ≤
又
（
ｐ
）
ｑ
ｍａｘ，
Ｒ ｍ ｆ ｘ 所以ｍ ｆ ｘ
ｅ ｅ ∀ ， ∈ ， ≤（ ）ｍａｘ， ≤［ （ ）ｍａｘ］ｍｉｎ，
ｆ ｘ ｘ２ ｐｘ ｑ 的每个函数值可看作ｇ ｘ ｘ２ 与ｈ ｘ
∵ （ ）＝ ｜ ＋ ＋ ｜ （ ）＝ （ ）＝
ｐｘ ｑ在横坐标相等时 纵坐标的 竖直距离
－ － ， “ ”，
由ｇ ｘ ｘ２ ｘ 可取Ａ Ｂ 所以ＡＢ的直
（ ）＝ ， ∈［１，５］， （１，１）， （５，２５），
线方程为ｌ ｙ ｘ
１： ＝６ －５，
设ｌ 与ＡＢ平行且与ｇ ｘ ｘ２ 的图象相切于Ｃ ｘ ｙ
２ （ ）＝ （ ０， ０），
ｇ′ ｘ ｘ ｘ ｌ ｙ ｘ
∴ （ ０）＝２ ０＝６， ０＝３，∴ ２： ＝６ －９，
６．（２０２１浙江之江教育高三下开学考，１０）已知函数 ｆ ｘ ａｘ 当直线ｈ ｘ ｐｘ ｑ与ｌ ｌ 平行且与两条直线的距离相等
（ ）＝ ＋ （ ）＝－ － １、 ２ ，
ｂ 即恰好在ｌ ｌ 的中间时 ｇ ｘ ｘ２ 与ｈ ｘ ｐｘ ｑ在纵坐标
若存在两相异实数ｍ ｎ 使ｆ ｍ ｆ ｎ ｃ 且ａ ｂ ｃ １、２ ， （ ）＝ （ ）＝－ －
ｘ ， ， ， （ ）＝ （ ）＝ ， ＋４ ＋ ＝０， 的 竖直距离 中取得最大值中的最小值
“ ” ，
则 ｍ ｎ 的最小值为 此时ｈ ｘ ｘ 则 ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｘ２ ｘ
｜ － ｜ （ ） （ ）＝ ６ －７， （ ）＝ ｜ －（６ －７） ｜ ＝ ｜ －６ ＋７｜ ＝
ｘ ２ 又 ｘ ｘ ２ 所以ｆ ｘ
． ２ ． ３ ． ． ｜（ －３） －２｜， ∵ ∈［１，５］，∴ （ －３） ∈［０，４］， （ ）ｍａｘ
Ａ Ｂ Ｃ ２ Ｄ ３ 此时ｘ 或 或 ｍ的范围是 故选 ．
２ ２ ＝２， ＝１ ３ ５，∴ （－∞，２］， Ｂ
答案 Ｂ 因为ｆ
（
ｍ
）＝
ｆ
（
ｎ
）＝
ｃ
，
所以ｍ
，
ｎ是方程ａｘ２
－
ｃｘ
＋
１０． （ ２０２１ 天 津 一 中 月 考， ９） 已 知 函 数 ｆ
（
ｘ
） ＝
ｂ 的两相异实根 {ｘ２ ｘ ａ ｘ
＝０ ， ＋４ ＋５－ ，－５＜ ＜０，若关于ｘ的方程ｆ ｘ ａｘ 恰有三
从而Δ ＝ ｃ２ －４ ａｂ ＝（ ａ ＋４ ｂ ） ２ －４ ａｂ ＝ ａ２ ＋４ ａｂ ＋１６ ｂ２ ＞０， ｅ ｘ ＋ ａ ＋１， ｘ ≥０， （ ）＝ ＋１
ｃ２ ａｂ ａ ｂ ２ ａｂ ( ｂ ) ２ ｂ 个不同的实数根 ， 则ａ的取值范围是 （ ）
故 ｍ ｎ －４ （ ＋４ ） －４ ( ) [ ]
｜ － ｜＝ ａ ＝ ａ ＝ １６ ａ ＋４·ａ ＋１
｜ ｜ ｜ ｜ Ａ． － ９ ，－ １ ∪（ｅ ２ ，＋∞） Ｂ． － ９ ，－ １ ∪（ｅ ２ ，＋∞）
４ ２ ４ ２
６４－１６ ３ 故选 ． ( ] ( )
≥ ＝ ， Ｂ ９ ２ ９ ２
４×１６ ２ Ｃ． － ，－１ ∪（ｅ ，＋∞） Ｄ． － ，－１ ∪［ｅ ，＋∞）
７．（２０２１北京顺义二模，４）已知ａ ｂ Ｒ 且ａ ｂ 则下列不等式 ４ ４
， ∈ ， ＞ ， 答案 Ｃ 经检验ｘ 不是方程的根
恒成立的是 ＝±１ ，
（ ） 当 ｘ 且ｘ 时 ｘ２ ｘ ａ ａｘ
－５＜ ＜０ ≠－１ ，∵ ＋４ ＋５－ ＝ ＋１，
ａ ｂ １ １ ｘ２ ｘ
Ａ．２ ＜２ Ｂ．ａ２ ＞ｂ２ ｘ２ ｘ ａ ｘ ａ ＋４ ＋４ ｘ １ ．
＋１ ＋１ ∴ ＋４ ＋４＝ （ ＋１），∴ ＝ ｘ ＝ ＋１＋ｘ ＋２
Ｃ．
ａ３
＞
ｂ３
Ｄ．ｌｇ（
ａ２
＋１）＞ｌｇ（
ｂ２
＋１）
＋１
ｘ
＋１
答案 Ｃ ｙ ｘ 在Ｒ上单调递增 ａ ｂ时 ａ ｂ 选 当ｘ 且ｘ 时 ｘ ａ ａｘ ａ ｅ
∵ ＝２ ，∴ ＞ ，２ ＞２ ，∴ ≥０ ≠１ ，ｅ ＋ ＋１＝ ＋１， ＝ｘ ，
项
Ａ
错误
；∵
ａ
，
ｂ
∈
Ｒ
，
且 ａ
＞
ｂ
，∴
ａ２ 与 ｂ２ 的大小无法比较
， ｘ ｘ ｘ
－１
∴ 成 选 立 项 ， 选 Ｂ 项 错 Ｃ 误 正 ； 确 ∵ ； ｙ ∵ ＝ ｘ ａ ３ ， ｂ 在 ∈ Ｒ Ｒ ， 上 且 单 ａ ＞ 调 ｂ ， 递 ∴ 增 ａ２ ，∴ 与 ａ ｂ ＞ ２ ｂ 的 时 大 ， 小 ａ３ 无 ＞ ｂ 法 ３ 恒 比 设 单调 ｇ （ 递 ｘ ） 减 ＝ｘ ｘ ｅ －１ ， ｇ′ （ ｘ ）＝ 时 ｅ （ （ ｘ － － ｆ １） ２ ｘ ） ２， 单 ｘ ∈ 调 （ 递 ０ 增 ，１） 如 ，（ 图 １，２） 时 ， ｆ （ ｘ ）
较 选项 错误．综上 选 ． ， ∈（２，＋∞） ， （ ） ， ，
，∴ Ｄ ， Ｃ
８．（２０２１北京延庆一模，７）已知定义在Ｒ上的幂函数 ｆ ｘ ｘｍ
（ ）＝
ｍ为实数 的图象过点Ａ 记ａ ｆ ｂ ｆ
（ ） （２，８）， ＝ （ｌｏｇ０ ． ５３）， ＝ （ｌｏｇ２５），
ｃ ｆ ｍ 则ａ ｂ ｃ的大小关系为
＝ （ ）， ， ， （ ）
ａ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜
４ ８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
即ａ ａ 解得 ａ 所以 ａ
－２ －３≤０， ０≤ ＜９， １＜ ＜４；
当 ａ 即ａ 时 有 ａ ａ ａ 即有ａ
２ －４≥０， ≥４ ， ４ －２＋２ －４≥ －１， －
ａ 所以 ａ ．因此实数ａ的最大值为 ．
６ ＋５≤０， ４≤ ≤２５ ２５
１５．（２０２１浙江新高考研究卷（二），１７）若ｘ 不等式 ｘ３ ａｘ２
＞０， ０≤ ＋
ｘ ｂ ｘ ２ ｘ 恒成立 则ｂ ．
－３ ＋ ≤（ －１） （ ＋３） ， ＝
答案
２
解析 令ｘ 得 ａ ｂ 则ａ ｂ 即ａ ｂ
＝１， ０≤１＋ －３＋ ≤０， ＋ －２＝０， ＋ ＝
则ｘ３ ａｘ２ ｘ ｂ ｘ３ ｂ ｘ２ ｘ ｂ ｘ ２ ｘ 恒成
２， ＋ －３ ＋ ＝ ＋（２－ ） －３ ＋ ≤（ －１） （ ＋３）
立 即 ｂ ｘ２ ｘ ｂ 对任意ｘ 恒成立 也即 ｘ
， （ －１） －２ ＋３－ ≥０ ＞０ ， （ －１）
ｂ ｂ
ｂ ｘ ｂ 对任意ｘ 恒成立 当 －１ －３ 即ｂ
( ] ［（ －１） ＋ －３］≥０ ＞０ ， ＝ ， ＝２
故ａ ∈ － ９ ，－１ ∪（ｅ ２ ，＋∞） ． 时 ｘ ２ 恒成立 １ －１
４ ，（ －１） ≥０ ；
当ｂ 时 方程 ｂ ｘ２ ｘ ｂ 的根的判别式Δ
二、多项选择题 ≠２ ， （ －１） －２ ＋３－ ＝０ ＝４－
ｂ ｂ ｂ ２ 故该方程有两个不等实根 且其
１１．（２０２１届湖南郴州一中模拟）若函数ｙ ｘ２ ｘ 的定义域为 ４（ －１）（３－ ）＝４（ －２） ＞０， ，
＝ －４ －４ 中一根为ｘ ｘ 为变号零点 不满足题意．当ｂ 时 ｘ３
ｍ 值域为 则实数ｍ的值可能为 ＝１， ＝１ ， ＝２ ， ＋
［０， ］， ［－８，－４］， （ ） ｂ ｘ２ ｘ ｂ ｘ３ ｘ ｘ ２ ｘ 对任意ｘ 恒
（２－ ） －３ ＋ ＝ －３ ＋２＝（ －１） （ ＋２）≥０ ＞０
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ 成立 所以ｂ的值为 ．
答案 ＡＢＣ 函数ｙ ｘ２ ｘ 的图象的对称轴方程为ｘ ， ２
＝ －４ －４ ＝ １６．（２０２１ 北京怀柔高三适应性练习，１５）如图 在直角梯形
当 ｍ 时 函数在 ｍ 上单调递减 ｘ 时取最大 ，
２， ０≤ ≤２ ， ［０， ］ ， ＝０ ＡＢＣＤ中 ＡＢ ＣＤ ＡＢ ＢＣ ＡＢ ＣＤ ＢＣ ａ ａ Ｐ为
值 ｘ ｍ时取最小值 由ｍ２ ｍ 解得ｍ ．当ｍ ， ∥ ， ⊥ ， ＝２， ＝１， ＝ （ ＞０），
－４， ＝ ， －４ －４＝－８， ＝２ ＞２
时 函数的最小值为 而ｆ 所以由对称性可知 线段ＡＤ上一个动点 设→ＡＰ ｘＡ→Ｄ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ ｙ 对于函数ｙ ｆ
， －８， （０）＝－４， ，２＜ ， ＝ ， · ＝ ， ＝
ｍ ． ｘ 给出下列四个结论
≤４ （ ）， ：
由选项知 实数ｍ的值可能为 ．故选 ．
∴ ， ２，３，４ ＡＢＣ
１２．（２０２１届山东菏泽东明实验中学月考，１０）定义在Ｒ上的奇
函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ ｘ
（ ） （ －３）＝－（ ）， ∈［０，３］ ，（ ）＝ －３ ，
下列等式成立的是
（ ）
ｆ ｆ ｆ
Ａ． （２０１９）＋（２０２０）＝ （２０２１）
ｆ ｆ ｆ
Ｂ． （２０１９）＋（２０２１）＝ （２０２０） 当ａ 时 函数ｆ ｘ 的值域为
ｆ ｆ ｆ ① ＝２ ， （ ） ［１，４］；
Ｃ．２（２０１９）＋（２０２０）＝ （２０２１） ａ 都有ｆ 成立
ｆ ｆ ｆ ②∀ ∈（０，＋∞）， （１）＝１ ；
Ｄ． （２０１９）＝ （２０２０）＋（２０２１） ａ 函数ｆ ｘ 的最大值都等于
答案 ＡＢＣ 由ｆ ｘ ｆ ｘ 知 ｆ ｘ 的周期为 ｆ ③∀ ∈（０，＋∞）， （ ） ４；
（ －３）＝ － （ ） （ ） ６， （２ ａ 函数ｆ ｘ 的最小值为负数．
０１９）＝
ｆ
（３３６×６＋３）＝
ｆ
（３）＝０，
ｆ
（２０２０）＝
ｆ
（３３７×６－２）＝
ｆ
（－２）
④∃ ∈（０，＋∞）， （ ）
其中所有正确结论的序号是 ．
ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ．故
＝－（２）＝ ２， （２０２１）＝ （３３７×６－１）＝ （－１）＝ － （１）＝ ２ 答案
选 ． ②③④
ＡＢＣ 解析 建立如图所示坐标系
三、填空题 ，
１３．（２０２１吉林松原高考模拟，１３）已知幂函数ｆ ｘ ｘａ 的图象经
（ ）＝
( )
过点Ｐ １ １ 则实数ａ ．
， ， ＝
２ ４
答案
２
( ) ( ) ( )ａ
解析 将点Ｐ １ １ 代入ｆ ｘ ｘａ 得ｆ １ １
， （ ）＝ ＝ ＝
２ ４ ２ ２
１ 解得ａ ． 根据题意 Ａ Ｂ Ｃ ａ Ｄ ａ Ａ→Ｄ
， ＝２ ， （－２，０）， （０，０）， （０， ）， （－１， ）， ＝（１，
４ ａ
１４．（２０２１浙江百校３月联考，１５）已知函数ｆ ｘ ｘ２ ｘ ａ ），
（ ）＝ ２｜ － ＋ ｜＋ 故→ＡＰ ｘＡ→Ｄ ｘ ａｘ ｘ
ｘ２ ｘ ａ 若对任意的ｘ ａ 不等式ｆ ｘ ａ ｘ恒 ＝ ＝（ ， ），０≤ ≤１，
｜ －４ ＋ ｜， ∈（１， ）， （ ）≥（ －１） 故Ｐ ｘ ａｘ
成立 则实数ａ的最大值为 ． （ －２， ），
，
答案 则Ｂ→Ｐ ｘ ａｘ Ｃ→Ｐ ｘ ａｘ ａ
２５ ＝（ －２， ）， ＝（ －２， － ），
解析 由对任意ｘ ∈（１， ａ ）， ｆ （ ｘ ）≥（ ａ －１） ｘ恒成立 ， 得ａ －１ 则ｙ ＝ ｆ （ ｘ ）＝ Ｐ→Ｂ · Ｐ→Ｃ ＝ Ｂ→Ｐ · Ｃ→Ｐ ＝（ ｘ －２） ２ ＋ ａｘ （ ａｘ － ａ ）＝（１＋ ａ２ ）
ｆ ｘ ａ ａ
≤ （ ｘ ） ＝２ ｘ ＋ ｘ －１ ＋ ｘ ＋ ｘ －４ 恒成立． ｘ２ －（４＋ ａ２ ） ｘ ＋４， ( )
２
因为ｘ ａ 所以 ｘ ａ ｘ ａ ａ 当ａ ＝２ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝５ ｘ２ －８ ｘ ＋４＝５ ｘ － ４ ＋ ４ ，０≤ ｘ ≤１，
∈（１， ）， ２ ＋ ｘ －１ ＋ ＋ ｘ －４ ≥２｜２ －１｜＋ ５ ５
故当ｘ ４ 时 ｆ ｘ 取得最小值 ４
ａ ａ ａ ＝ ， （ ） ，
｜２ －４｜≥４ －２＋｜２ －４｜， ５ ５
当ａ 且 ａ 即 ａ 时 有 ａ ａ ａ 当ｘ 时 ｆ ｘ 取得最大值
＞１ ２ －４＜０， １＜ ＜４ ， ４ －２＋４－２ ≥ －１， ＝０ ， （ ） ４，
第二章 函数 ４ ９
[ ] 所以ｆ ｘ ｘ ２ ｘ２ ｘ ．
即值域为 ４ 错误． （ ）＝２（ －２） ＋３＝２ －８ ＋１１
，４ ，① ｙ ｆ ｘ 的图象恒在直线ｙ ｘ ｍ 的上方等价于 ｘ２
５ （２） ＝ （ ） ＝２ ＋２ ＋１ ２ －
∀
ａ
∈（０，＋∞），
ｆ
（１）＝（１＋
ａ２
）－（４＋
ａ２
）＋４＝１，②
正确．
８
ｘ
＋１１＞２
ｘ
＋２
ｍ
＋１，
即ｍ
＜
ｘ２
－５
ｘ
＋５
恒成立
，
ｆ
（
ｘ
）＝（１＋
ａ２
）
ｘ２
－（４＋
ａ２
）
ｘ
＋４
图象的对称轴为ｘ
＝
４＋ ａ
ａ
２
２ ＝
因为ｙ
＝
ｘ２
－５
ｘ
＋５＝
( ｘ
－
５ ) ２
－
５
≥－
５
，
２（１＋ ） ２ ４ ４
( ) ( )
１ ３ １ 所以ｍ ５ 即实数ｍ的取值范围为 ５ ．
＋ ａ２ ∈ ，２ ， ＜－ ， －∞，－
２ ２（１＋ ） ２ ４ ４
方法总结 已知不等式恒成立求参数值（取值范围）问题
当 １ ３ 即 ａ 时 函数ｆ ｘ 在 上单调
＋ ａ２ ≥１， ０＜ ≤ ２ ， （ ） ［０，１］ 常用的方法：
２ ２（１＋ ）
递减 故当ｘ 时 ｆ ｘ 取得最大值 当ｘ 时 ｆ ｘ 取得 （ ）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
， ＝０ ， （ ） ４， ＝１ ， （ ） １
最小值 （ ）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值
１； ２
问题加以解决；
当 １ １ ３ 即ａ 时 根据抛物线的对称性可
＜ ＋ ａ２ ＜１， ＞ ２ ， （ ）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后
２ ２ ２（１＋ ） ３
ａ２ 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的
知 当ｘ 时 函数 ｆ ｘ 取得最大值 当 ｘ ４＋ 时
， ＝０ ， （ ） ４， ＝ ａ２ ， 方法求解．
２（１＋ ）
ａ２ ２ １８．（２０２０山西平遥中学第一次月考，１８）已知二次函数ｆ ｘ 满
ｆ ｘ 取得最小值 （４＋ ） ． （ ）
综 正 （ 上 确 ） 可 ． 知 ，∀ ａ ∈（ ４ ０ － ， ４ ＋ （ ∞ １＋ ） ａ ， ２ 函 ） 数ｆ （ ｘ ） 的最大值都等于 ４， 故 ③ 足 ｜ ｘ １ ｆ － （ 求 ｘ ｘ ２ ） ｜ ｆ ＝ ＝ ｘ ｆ ２ （ ． 的 －４ 解 － ｘ 析 ）， 式 ｆ （０）＝３， 若ｘ １， ｘ ２ 是ｆ （ ｘ ） 的两个零点 ， 且
（１） （ ） ；
取ａ ＝３＞ ２ 时 ， ｆ （ ｘ ） 取得最小值 ４－ ４ （ （ ４ １ ＋ ＋ ａ ａ ２ ） ２ ） ２ ＝４－ ４ １ × ３ １ ２ ０ ＝－ ４ ９ ０ ＜ （２） 若ｘ ＞０， 求ｇ （ ｘ ）＝ｆ （ ｘ ｘ ） 的最大值．
故 正确． 解析 二次函数满足ｆ ｘ ｆ ｘ
０， ④ （１）∵ （ ）＝ （－４－ ），
故答案为 ． ｆ ｘ 的图象的对称轴为直线ｘ
②③④ ∴ （ ） ＝－２，
思路分析 先建立坐标系写出各点的坐标，得到函数ｆ（ｘ） ｘ ｘ 是ｆ ｘ 的两个零点 且 ｘ ｘ
∵ １， ２ （ ） ， ｜ １－ ２｜＝２，
（ ａ２）ｘ２ （ ａ２）ｘ ，利用二次函数的性质依次判断四个 {ｘ {ｘ
＝ １＋ － ４＋ ＋４ １＝－３，或 １＝－１，
结论的正误即可得结果． ∴ ｘ ｘ ．
２＝－１ ２＝－３
四、解答题 设ｆ （ ｘ ）＝ ａ （ ｘ ＋３）（ ｘ ＋１）（ ａ ≠０） ．
１７．（２０２１江西贵溪实验中学一模，１８）已知二次函数ｆ ｘ 的最
由ｆ
（０）＝３
ａ
＝３
得ａ
＝１，∴
ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ２
＋４
ｘ
＋３
．
（ ） ｘ ｘ
小值为 且ｆ ｆ ． 由 得ｇ ｘ １ ｘ
求ｆ
３，
ｘ 的
（
解
１）
析
＝
式
（３）＝５ （２） （１） （ ）＝ｆ
（
ｘ
）
＝ｘ２
＋４
ｘ
＋３
＝
ｘ ３
（ ＞０），
（１） （ ） ； ＋ ｘ ＋４
若ｙ ｆ ｘ 的图象恒在直线ｙ ｘ ｍ 的上方 求实数
（２） ＝ （ ） ＝２ ＋２ ＋１ ，
ｍ的取值范围． ｘ １ １ ３ 当且仅当ｘ ３ 即ｘ
∵ ＞０，∴ ≤ ＝１－ ， ＝ ｘ ， ＝ ３
解析 （１） 因为二次函数ｆ （ ｘ ） 中ｆ （１）＝ ｆ （３）， 所以图象的 ｘ ＋ ３ ｘ ＋４ ４＋２ ３ ２
对称轴方程为ｘ 又二次函数ｆ ｘ 的最小值为 故可设
＝２， （ ） ３，
ｆ ｘ ａ ｘ ２ ａ 时等号成立． ｇ ｘ 的最大值是 ３．
（ ）＝ （ －２） ＋３（ ＞０）， ∴ （ ） １－
所以ｆ ａ ２ ａ 所以ａ ２
（１）＝ （１－２） ＋３＝ ＋３＝５， ＝２，
学生用书Ｐ２５
１．（２０２１ ５·３原创题） 年 新型冠状病毒肺炎在全球蔓延 ２．（多选题）（２０２１ ５·３原创题）若函数ｙ ｘ２ ｘ 在区间
２０２０ ， ， ＝ －４ －４ ［０，
防控形势异常严峻 佩戴口罩成为最基础最必要的防护 正因 ａ 上既有最大值又有最小值 则正整数ａ的值可能是
， ， ） ， （ ）
为如此 口罩一度脱销 成了年度最紧俏商品．为了解决口罩供
， ， Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５
应问题 某地区甲 乙两个口罩生产厂家不断扩大生产规模．已 ２． 答案 ＢＣ
， 、
知 月份甲 乙厂家均月产口罩ａ万个 此后甲厂产量逐月增
２ 、 ， ３．（２０２１ ５·３原创题）已知函数ｆ ｘ ａｘ２ １ ｘ ３ ａ 且
加 并且增加量都是ｍ ｍ 万个 乙厂产量也是逐月增加的 （ ）＝ － － （ ＞０），
， （ ＞０） ， ， ２ ４
并且每月增加的百分率都是ｘ．若 年 月份两厂的产量也 ( )
２０２０ ８ ｆ １ １５．
相同 则关于 月份的产量 下列说法正确的是 ≥－
， ５ ， （ ） ２ １６
月份甲厂产量高于乙厂 是否存在实数 ａ 使得 ｆ ｘ 最小值的最大值是 若存
Ａ．５ （１） ， （ ） －１？
月份甲厂产量低于乙厂 在 求出ａ的值 若不存在 请说明理由
Ｂ．５ ， ； ， ；
月份甲 乙两厂产量相同 在 的条件下 证明对于任意区间长度是 的闭区间上
Ｃ．５ 、 （２） （１） ， ２ ，
月甲 乙两厂产量多少不能比较
Ｄ．５ 、 总存在两点ｘ ｘ 使 ｆ ｘ ｆ ｘ １ 恒成立．
１． 答案 Ａ １， ２， ｜ （ １）－（ ２）｜≥ ４
５ ０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
( )
２
３． 解析 因为 ｆ ｘ ａｘ２ １ ｘ ３ ａ ｘ １ 则ｆ ｔ １ ｔ２ ｆ ｔ １ ｔ２ １ ｔ ３ 令ｘ ｔ ｘ ｔ
（１） （ ）＝ － － ＝ － ａ － （ ＋１）＝ －１， （ ）＝ － － ， １＝ ， ２＝ ＋１，
２ ４ ４ ４ ４ ２ ４
( )
３ １ ａ 所以ｆ ｘ ３ １ 有 ３ １ 解 则 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｔ ｆ ｔ １ ｔ １ １ ．
＋ ａ ， ＞０， （ ）ｍｉｎ＝－ － ａ， － － ａ≤－１， ｜ （ １）－（ ２）｜＝ （ ＋１）－（ ）＝ － ≥
４ １６ ４ １６ ４ １６ ２ ４ ４
得ａ １ 当ｔ 时 ｆ ｘ １ ｘ ２ 在 ｔ ｔ 上单调递减
≤ ， ＜１ ， （ ）＝ （ －１） －１ ［ －１，］ ，
４ ４
( ) ａ
由ｆ １ １ ３ １５ 解得ａ １ 所以ａ １ ． 则ｆ ｔ １ ｔ２ ｔ ｆ ｔ １ ｔ２ １ ｔ ３ 令ｘ ｔ ｘ ｔ
＝ － － ≥－ ， ≥ ， ＝ （ －１）＝ －， （ ）＝ － － ， １＝ －１， ２＝ ，
２ ４ ４ ４ １６ ４ ４ ４ ４ ２ ４
证明 由 知 ａ １ ｆ ｘ １ ｘ ２ 设任意长度为 则 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｔ ｆ ｔ ３ １ ｔ １ ．
（２） ： （１） ， ＝ ， （ ）＝ （ －１） －１， ｜ （ １）－（ ２）｜＝ （ －１）－（ ）＝ － ＞
４ ４ ４ ２ ４
的闭区间为 ｔ ｔ ． 综上所述 对于任意区间长度是 的闭区间上 总存在两点
２ ［ －１，＋１］ ， ２ ，
当ｔ 时 ｆ ｘ １ ｘ ２ 在 ｔ ｔ 上单调递增 ｘ ｘ 使 ｆ ｘ ｆ ｘ １ 恒成立．
≥１ ， （ ）＝ （ －１） －１ ［ ，＋１］ ， １， ２， ｜ （ １）－（ ２）｜≥
４ ４
