69.正（长）方体中的截面问题研究
一．基本原理：过正方体（长方体）上三点做截面.
1.三点中有两点共面
例1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，E，F，G 分别在AB，BC，DD1 上，求作过E，F，
G 三点的截面．
思路：当三点中有两点共面时，做截面的思路就是先找共面两点所在直线与该平面所有的
棱交点，而这些交点由同时在另外一个平面中，即该截面和正方体某个侧面的交点，这样
利用公理1，逐次相连找到所有的交点，即可得到截面.
解析：作法：①.由于
共面，在底面
内，过
作直线
，与
于
，显
F
E,
AC
F
E,
EF
DA
L
然，此时
即在侧面
内，又在欲求截面内，而该截面与侧面
又交于点
，根据
L
D
A1
D
A1
G
公理1，截面与侧面
交于
.
D
A1
L
同理，过
作直线
与
的延长线交于
，此时
即在侧面
内，又在欲求
F
E,
EF
DC
M
M
1
DC
截面内，根据公理1，截面与侧面
交于
.
1
DC
M
②在侧面
内，连接
交
于
.
D
A1
LG
1
AA
K
③在侧面
内，连接
交
于
.
1
DC
GM
1
CC
H
④连接
.则五边形
EFHGK 即为所求的截面．
FH
KE,
EFHGK
练习1.（三点两两共面）P，Q，R 三点分别在直四棱柱AC1 的棱BB1，CC1 和DD1 上，试画
出过P，Q，R 三点的截面作法．
解析：作法：（1）连接QP，QR 并延长，分别交CB，CD 的延长线于E，F.
（2）连接EF 交AB 于T，交AD 于S.
（3）连接RS，TP.则五边形PQRST 即为所求截面．
例2.（三点所在的棱两两异面）
如图，长方体
中，
分别为
上三点，求过这三点
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD
R
Q
P
,
,
1
1
1
,
,
CC
AB
D
A
的截面.
分析：此题的难点在于
三点均不在同一个侧面（底面）中，这样我们就暂时无法
R
Q
P
,
,
通过侧面（底面）中连线与棱的交点来找到截面的边界点，于是需要先做出一个平面来，
让上面三点
中有两点共面，这就转化成例1 的情形，从而解决问题.
R
Q
P
,
,
解：如图，作
交
与
，则
确定一个平面，转化为例1 的情形.
1
// BB
QE
1
1B
A
E
1
, RC
QE
连接
,交于点
；连接
交
延长线于
；连接
交
QR
EC ,
1
F
PF
1
1
1
1
,
B
A
D
C
H
G,
HQ
1
1, BB
AA
延长线于
；连接
交
于
.则
为所作截面.
J
I,
JR
BC
K
KRGPIQK
二．截面的的画法小结
1.确定截面的主要依据有
（1）平面的四个公理及推论．
（2）直线和平面平行的判定和性质．
（3）两个平面平行的性质．
2.作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找
截面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可
以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。
三．正方体中的基本截面类型
三．习题演练
习题1.如图，在棱长为12 的正方体
中，已知E，F 分别为棱AB，
的
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
CC
中点，若过点
，E，F 的平面截正方体
所得的截面为一个多边形，求该
1
D
1
1
1
1
ABCD
A B C D
多边形的周长.
解析：如图，延长DC，与
的延长线交于点G，连接EG，交BC 于点H，延长GE，与DA
1
D F
的延长线交于点M，连接
，交
于点N．连接NE，FH，因为正方体
1
D M
1
AA
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为12，所以
．因为
∥
，所以
，
2
2
1
1
1
1
6 5
D F
D C
C F
1
1
D C
CG
1
1
D C F
GCF
∽
△
△
所以
，所以
，同理可得
，所以
，
1
1
1
1
D C
C F
CG
CF
12
CG
BEH
CGH
∽
△
△
1
2
BH
BE
CH
CG
所以
，
，
2
8
3
CH
BC
1
4
3
BH
BC
所以
，
．易知
，所以
2
2
10
FH
CF
CH
2
2
2 13
EH
BH
BE
BEH
AEM
≌
△
△
，又
，解得
，所以
，
4
AM
BH
1
AM
AN
MD
DD
3
AN
2
2
3 5
NE
AN
AE
，
2
2
1
1
1
1
15
D N
A D
A N
则该多边形的周长为
.
1
1
25
9 5
2 13
D F
FH
HE
EN
ND
习题2.如图，在正方体
中，
，
为棱
的中点，
1
1
1
1
ABCD
A B C D
4
AB
E
BC
为棱
的四等分点（靠近点
），过点
作该正方体的截面，则该截面的周长是
F
1
1
A D
1
D
,
,
A E F
___________.
解析：如图，取
的中点
，取
上靠近点
的三等分点
，连接
1
1
C D
H
1
CC
1
C
G
，易证
，则五边形
为所求截面.
,
,
,
,
AE EG GH HF FA
/ /
,
/ /
AE
HF AF
EG
AEGHF
因为
，所以
，
4
AB
1
1
1
1
8
2,
3,
1,
3
BE
CE
C H
D H
A F
D F
CG
1
4
3
C G
则
，
故该截面的周长是
10
2 5,
3
AE
EG
2 13 ,
5,
5,
3
GH
HF
AF
. 故答案为：
9 5
25
2 13
3
AE
EG
GH
HF
AF
9 5
25
2 13
3
习题3．一块正方体形木料如图所示，棱长为
，点
在线段
上，且
，过
3
P
1
1
AC
1
1
3
1
A P
PC
点
将木料锯开，使得截面过
，则（ ）
P
BC
A．
PC
BD
B．截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台
C．截面的面积为
2 3
D．以
为球心，
为半径的球面与截面的交线长为
A
AB
3π
2
解析：对于A，
是正方体
的对角面，则四边形
为矩形，
1
1
ACC A
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
1
ACC A
，由
平面
，
平面
，得
，而
，
1
1
/ /
AC
AC
1
CC
ABCD
BD
ABCD
1
CC
BD
AC
BD
平面
，则
平面
，又
平面
，因此
1
1
,
,
AC
CC
C AC CC
1
1
ACC A
BD
1
1
ACC A
PC
1
1
ACC A
，A 正确；
PC
BD
对于B，过点
作直线平行于
交
分别于
，连接
，显然
P
1
1
B C
1
1
1
1
,
A B C D
,
N M
,
BN CM
，则四边形
为过点
及直线
的正方体的截面，截得的两个几何
1
1
/ /
/ /
MN
B C
BC
BCMN
P
BC
体分别是三棱柱和四棱柱，B 错误；
对于C，由选项B 得
，则
，
，因此截面矩形
1
1
1
1
1
1
1
3
C M
PC
C D
AC
1
1
C M
2
2
( 3)
1
2
CM
面积
，C 正确；
BCMN
2 3
S
BC CM
对于D，过
作
于
，由
平面
，
平面
，得
，
A
AO
BN
O
BC
1
1
ABB A
AO
1
1
ABB A
AO
BC
而
平面
，则
平面
，因此
为以
为球心，
,
,
BN
BC
B BN BC
BCMN
AO
BCMN
O
A
AB
为半径的球面被平面
所截小圆圆心， 球面与截面的交线为以
为圆心，
为半径
BCMN
O
BO
的半圆弧，显然
，
，因此交线长为
，D 正确.
1
30
BAO
B BN
1
3
2
2
BO
AB
3π
2
故选：ACD
习题4．在棱长为2 的正方体
中，E 是棱
的中点，则平面
截该正
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
DD
1A EC
方体所得截面面积为__________；平面
与底面ABCD 所成锐二面角的余弦值为
1A EC
_________
解析：如图，在正方体
中，
1
1
1
1
ABCD
A B C D
平面
平面
，平面
平面
1
1
//
A D DA
1
1
B C CB
1A EC
1
1
1
A D DA
A E
，
平面
平面
，
，同理可证
，四边形
是平行四
1A EC
1
1
B C CB
CF
1 //
A E CF
1 //
A F CE
1A ECF
边形，
，
，又
，
，
1
1
//
BC A D
1
1
BCF
D A E
1
1
2
BC
A D
1
1
90
CBF
A D E
，
，则
为
的中点，
，同理
1
1
A D E
CBF
A
A
1
1
BF
D E
F
1
BB
2
2
5
CF
BC
BF
，所以截面
是边长为
的菱形，其对角线
，
，
5
CE
1A ECF
5
2 2
EF
BD
1
2 3
AC
故截面面积
．设平面
与底面ABCD 所成锐二面角
1
1
1
2 2
2 3
2 6
2
2
S
AC
EF
1A EC
为
，因为截面在底面的射影为正方形
，所以
.
ABCD
2
2
6
cos
3
2 6
ABCD
S
S
正方形
截面
故答案为：
；
.
2 6
6
3
