文档文本内容
2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（广东卷）02·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
，
因此，
.
故选：A.
2．已知
，则
（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】C
【详解】因为
，
所以
，则
.
故选：C.
3．我们把向量
叫做直线
的正交单位方向向量. 设
分别是直线
与直线
的正交单位方向向量，且
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可知
，
因为
，所以
，解得
.
故选：C.
4．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，得
，
即
，所以
，所以
，
所以
.
故选：C
5．已知函数
的部分图象如图所示，则下列说法错误的是
（ ）
A．
的最小正周期为
B．当
时，
的值域为
C．将函数
的图象向右平移
个单位长度可得函数
的图象
D．将函数
的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点
对称
【答案】B
【详解】对于A，由图可知，
，函数
的最小正周期
，
故A 正确；
由
，
，知
，
因为
，所以
，所以
，
，
即
，
，
又
，所以
，所以
，
对于B，当
时，
，
所以
，故B 不正确；
对于C，将函数
的图象向右平移
个单位长度，
得到
的图象，故C 正确；
对于D
，将函数
的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，
得到
的图象，
因为当
时，
，
所以得到的函数图象关于点
对称，故D 正确.
故选：B.
6．已知双曲线
（
，
）
，
为其左右焦点，以
的实轴为直径的圆记为
，
过
作
的切线分别交
的左右两支于
，
两点．若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【详解】设直线
与
的切点为
，连接
，
则
，
因为
，所以
，
而
，所以
，
，
而
，所以
，
所以
，
．
因此
，所以
，
离心率
.
故选：B．
7．已知函数
，若
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设
，如图所示：
由
的图象知，
，则
，从而
，
，
所以
，
令
，
，则
，
当
时，
，当且仅当
时，
，
所以
在
上为减函数，所以
，
得
，即
的取值范围是
．
故选：A．
8．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为
，则该正四棱台内半径最大的球的表
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】作出如图所示正四棱台，其中
为正四棱台的高，
为其斜高，
因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为
，
则
，
，
，
因为
，故半径最大的球不与上下底面同时相切，
，则
，则
，
过
作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则
，
则
，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切，
即该正四棱台内半径最大的球半径
，球的表面积为
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到正四棱台内半径的最大的球是与侧面和底面同时相切的，再求出
其高，得到侧棱与底面夹角，作出轴截面图形，再求出最大球半径.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．2022 年4 月15 日，因疫情原因，市物价部门对5 家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，
5 家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：
价格x
9
9.5
1
0
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
按公式计算，y 与x 的回归直线方程是：
，相关系数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．变量
线性负相关且相关性较强
C．相应于点
的残差约为0.4
D．当
时，y 的估计值为14.4
【答案】BCD
【详解】对于A，由表格知：
，
所以
，可得
，A 错误；
对于B，由相关系数
且回归方程斜率为负，
则变量
线性负相关且相关性较强，B 正确；
对于C，由
，故残差为
，C 正确；
对于D，由
，D 正确；
故选：BCD.
10．已知点
为圆
上两动点，且
，点
为直线 :
上动点，则
（ ）
A．以
为直径的圆与直线相离
B．
的最大值为
C．
的最小值为8
D．
的最小值为112
【答案】ACD
【详解】对于A，设
的中点为
，连接
，则
，
所以
，
所以点
在以
为圆心，
为半径的圆上，
所以点
到直线的距离的最小值为
，
因为
，所以以
为直径的圆与直线相离，所以A 正确，
对于B，如图，当直线
与直线平行，且
共线时，则
为等腰三角形，
此时
，
则
，
所以
，所以
，所以B 错误，
对于C，因为
,
所以
,
因为
，
所以
，当
，
共线，且
在
之间时取等号，
所以
的最小值为8，所以C 正确，
对于D，因为
，
所以
，
所以
，当
，
共线，且
在
之间时取等号，
所以
的最小值为112，所以D 正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积的运算，解题的关键是画出图形，
结合图形分析判断，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.
11．已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
有2 个零点，则
B．当
时，
是增函数
C．当
时，
恒成立
D．当
时，若
是
的零点，则
【答案】ABD
【详解】显然
，由
，得
，
所以直线
与函数
的图象有2 个交点，又
，
所以当
或
时，
；当
时，
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
从而
在
处取得极小值
.
又
时，
；当
时，
；当
时，
，
在同一直角坐标系中作出
的图象以及直线
，
由图可见，当且仅当
时，直线
与
的图象有两个公共点，故A 正确；
当
时，
，对
求导得
.
再对
求导得
.
令
，即
，解得
.
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
所以
在
处取得最小值，
，
即
恒成立，所以
是增函数，选项B 正确.
当
时，
，
，
所以
不恒成立，选项C 错误.
当
时，
，
，
.
因为
是增函数，且
，
所以由零点存在定理可知，
的零点
满足
，选项D 正确.
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．在
的展开式中，常数项为 .
【答案】
【详解】
的展开式通项公式为
，
令
，得
，
故
.
故答案为：
13．在正项等比数列
中，
，则
.
【答案】
【详解】设等比数列首项为
，公比为
，
则
，
因
为正项等比数列，则
.
即
.
故答案为：10
14．若不等式
对任意的正整数
恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】原不等式
或
，
而
是正整数，于是
或
，
当
时，由
成立，得
；
当
，
时，由
成立，得
，
令
，函数
在
上都为增函数，则
是
上的增函数，
因此要使
对
，
成立，当且仅当
时成立即可，
当
时，
，于是
，
所以使不等式对任意的正整数
恒成立，的取值范围是
.
故答案为：
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）如图，四边形
为圆
的内接四边形，
.
(1)若
，求
；
(2)若
，且
为等边三角形，求圆
的面积.
【详解】（1）∵
，
，
∴
，....................................................................................2 分
在
中由余弦定理可得
，
∴
，解得
（舍去）或
，
∴
..............................................................................................................................................................5 分
（2）设
，
为等边三角形，设
在
中由余弦定理可得
，
在
中由余弦定理可得
，.....................................................................7 分
由∵
，∴
，
即
，
则
，即
①，
又∵正
中
，∴
，
在
中
，
即
，∴
，②
由①②可知，
，
，.................................................................................................................11
如图，取
中点，连接
，由对称性可知圆心
在中线
上，连接
，
∴
，又∵
，
∴半径
，
∴圆的面积为：
.......................................................................................................................13 分
16．（15 分）如图，BCFE 是平行四边形，AEFD 是梯形，
，
，
，
，
平面AEFD，二面角
的平面角是
.
(1)求多面体
的体积;
(2)求直线AB 与平面ACF 的夹角的正弦值.
【详解】（1）
平面
平面
，
又
，
平面
，
平面
，
又因为
平面
，
，
是二面角
的平面角，
．...........................................................................2 分
又
，
.
连接
．则
，
......................................................................................................4 分
是平行四边形，
，又
，
是正三角形，
，
，
同理可证
平面
，
平面
，
，
...............................................................................................6 分
（2）设
中点为
，连接
，易得
，
又因为
平面AEFD，
面AEFD，则
，.............................................7 分
则
两两互相垂直，则以
为原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，..9 分
设平面
的法向量为
，
由
，得
，令
，则
，则
，......12 分
设直线AB 与平面
的夹角为
，则
，
所以直线
与平面
的夹角正弦值为
........................................................................................15 分
17．（15 分）深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了
合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中
的人选择只游览海
滨栈道，另外
的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1 分；
若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2 分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概
率.
(1)从游客中随机抽取2 人，记这2 人的合计得分为
，求
的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取
个人
，记这
个人的合计得分恰为
分的概率为
，求
；
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为
分
的概率为
，随着抽取人数的无限增
加，
是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.
【详解】（1）依题意，随机变量
的可能取值为
，
则
，
，
............................................2 分
所以
的分布列如下表所示：
2
3
4
数学期望为
...............................................................................................5 分
（2）由这
人的合计得分为
分，得其中只有1 人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，
于是
，................................................................................................7 分
令数列
的前
项和为
，
则
，
于是
，
两式相减得
，因此
，........................................................................................9 分
所以
............................................................................10 分
（3）在随机抽取的若干人的合计得分为
分的基础上再抽取1 人，则这些人的合计得分可能为
分或
分，
记“合计得
分”为事件
，“合计得
分”为事件
，
与
是对立事件，
则
，
，
，即
，
由
，得
，则数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
，因此
，....................................................................13 分
随着
的无限增大，
无限趋近于0，
无限趋近于
，
所以随着抽取人数的无限增加，
趋近于常数
.......................................................................................15 分
18．（17 分）已知抛物线
，过点
作两条直线
分别交抛物线于
和
（其中
在
轴上方）．
(1)当垂直于
轴，且四边形
的面积为
，求直线
的方程；
(2)当
倾斜角互补时，直线
与直线
交于点
，求
的内切圆的圆心横坐标的取值范围．
【详解】（1）
设
，倾斜角为
，由对称性知
有两条，且关于对称，
不妨设
，那么
，
则
，则
，.................................................................................2 分
由于
，则
，
则
，
，............................................................................................4 分
则
由对称性，另一条直线：
，
所以直线
的方程为
或
．........................................................................................6 分
（2）设点
，
因为
，同理：
，
所以
，化简可得：
，
同理可得：
，
，
，............................................................................................................................8 分
又因为
，直线
和直线
交于点
，
所以
，且
，即
，
，且
，化简得：
，于是
，
则
，解得
，所以点
，
由于
，则
，所以
，则
轴平分
，..............................10 分
设
的内切圆圆心
，则
到
的距离
，
点
到
的距离
，
所以
，.......................................................................................................12 分
化简可得：
，
由于
，当且仅当
取等号（舍），
则
，
则
．
或由
化简得到：
，................................15 分
令
，当且仅当
取等号（舍），
则
，设
，
，
则
在
单调递减，
．.........................................................17 分
19．（17 分）数列
满足
则称数列
为下凸数列.
(1)证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；
(2)设
，其中
，
分别是公比为
，
的两个正项等比数列，且
，证明：
是下
凸数列且不是等比数列；
(3)若正项下凸数列的前
项和为
，且
，求证：
.
【详解】（1）设正项等比数列
的公比为
，
则
，即
，
所以任意一个正项等比数列
为下凸数列..................................................................................................2 分
（2）显然
，
，
所以正项数列
为下凸数列. .................................................................................................... 5 分
下面证明：正项数列
不是等比数列.
若
是等比数列，则
，
所以
，.................................................................................7 分
因为数列
，
分别为两个正项等比数列，
所以
，
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，与
矛盾，
所以数列
不是等比数列..............................................................................................................................9 分
（3）假设存在一个常数
，使得
，但
，
因为
，所以
，
将
中的
换成
得，
.
进一步得，
.........................................................................................................................11 分
又
，由不等式的可加性得，
，
同理可得，
，
所以
，
所以数列
从
项到
项单调递减，从
项开始向后单调递增，
所以
，
因为该规律是固定的，且
，
所以当
足够大时，必有
，与题设
矛盾，
所以
不可能从某一项开始单调递增，所以
，...................................................................13 分
令
，
，
由
得
，
，
所以
..........................................................................................................15 分
所以
，
即
，
进一步得，
，
所以
，
，
，
，
相加得
，
所以
.................................................................................................................................17 分
