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专题10 正余弦定理在解三角形中的高级灵活应用与最值问题
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：倍长定比分线模型................................................................................................................2
题型二：倍角定理与正弦平方差........................................................................................................5
题型三：角平分线模型与张角定理....................................................................................................7
题型四：隐圆问题.............................................................................................................................. 11
题型五：正切比值与和差问题..........................................................................................................12
题型六：四边形定值和最值与托勒密定理......................................................................................15
题型七：边角特殊，构建坐标系......................................................................................................17
题型八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题..........................................19
题型九：三角形的形状判定..............................................................................................................21
题型十：三角形中的几何计算..........................................................................................................23
题型十一：中线长定理与余弦和为0...............................................................................................26
重难点突破：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围......................................................28
02 重难创新练....................................................................................................................................35
1
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题型一：倍长定比分线模型
1．在①
，②
，③
，这三个条件中任选
一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求C；
(2)若△ABC 的面积为
，D 在边AC 上，且CD=
CA，求BD 的最小值．
【解析】（1）方案一：选条件①．
由
，可得
，
由正弦定理得
，
因为
，所以
，
所以
，
故
，
又
，于是
，即
，
因为
，所以
．
方案二：选条件②．
因为
，所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式得
，即
，
因为
，所以
，
又
2
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所以
，因为
，所以
．
方案三：选条件③．
，由正弦定理得
，
即
，∴
，∴由余弦下定得
．
又
，所以
．
（2）由题意知
，得
．
由余弦定理得
，
当且仅当
且
，即
时取等号，所以
的最小值为
．
2．如图，设
中角
、
、
所对的边分别为
、
、，
为
边上的中线，已知
，
，
．
(1)求边
、的长度；
(2)求
的面积；
(3)点
为
上一点，
，过点
的直线与边
、
（不含端点）分别交于
、
．若
，求
的值．
【解析】（1）因为
，
所以，
，即
，
3
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所以，
，即
，即
．
又因为
，所以
，
.
（2）设
，因为
为
边上的中线，
所以，
，
则
，
，
，①
整理得
，即
，
得
或
，
由①，得
，所以，
，则
，
故
，
因此，
．
（3）由（2）知，
，
为
的中点，则
．
设
，
，其中
、
．
所以
，得
．
又
、
、
三点共线，则
、
共线，
设
，则
，所以，
，
4
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因为
、
不共线，则
，即
，
由
，得
，
又
，
所以
，
即
，
又因为
，
所以，
，所以，
，解得
，
所以：
，
，
所以
．
题型二：倍角定理与正弦平方差
3．记
的内角
的对边分别为
，已知
，且
.
(1)证明：
；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
的取值范围.
【解析】（1）证明：依题意知
，
故
，即
，
由余弦定理得
，
5
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代入
可得
，
因为
，所以
，即
；
（2）由题意
为锐角三角形，且
，
由（1）知，则
，
由正弦定理得，
，其中
为锐角，所以
，
因为
，则
，解得
，
则
，则
，即
，
因此
.
4．已知a，b，c 分别为
三个内角A，B，C 的对边，S 为
的面积，
．
（1）证明：
；
（2）若
，且
为锐角三角形，求S 的取值范围．
【解析】(1)证明：由
，即
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
6
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，
，B，
，
．
(2)
，
，
．
且
，
，
，
为锐角三角形，
，
，
，
为增函数，
．
题型三：角平分线模型与张角定理
5．（2024·江西·模拟预测）在
中，内角
所对的边分别为
，其外接圆的半径为
，且
．
(1)求角
；
7
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(2)若
的角平分线交
于点
，点
在线段
上，
，求
的面积．
【解析】（1）因为
，
由正弦定理可得
，
又
，所以
，
所以
，
即
，
，故
，
，即
，
又B∈(0,π)，则
．
（2）
由（1）可知，
，又外接圆的半径为
；
由正弦定理可知
，
所以
，
因为
是
的平分线，故
，
又
，
由
，
可得
，即
．①
8
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由余弦定理可知，
，即
．②
由①②可知
．
所以
，
又
，则
，
所以
.
6．在①
；②
边上的高为
；③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成
解答．
问题：记
内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
，
，______．
(1)求的值；
(2)设
是
的角平分线，求
的长．
【解析】（1）选条件①：
，
，
由余弦定理
，即
，∴
，
；
选条件②；
边上的高为
，
由三角形的面积公式得
，解得
，
；
选条件③：
，由题意可知
，
所以
．
因为
，
所以
．
9
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由正弦定理得
，即
，解得
，
．
（2）选条件①：因为
是
的角平分线，所以
，
，
，
则
，
由正弦定理
，得
；
选条件②；因为
是
的角平分线，所以
，
，
，
，
则
，
由正弦定理
，得
；
选条件③：因为
是
的角平分线，所以
，
由题意可知
，
，∴
则
，
由正弦定理
，得
．
7．在
中，
，
为
边上的中线，点
在
边上，设
．
(1)当
时，求的值；
10
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(2)若
为
的角平分线，且点
也在
边上，求
的值；
(3)在（2）的条件下，若
，求为何值时，
最短？
【解析】（1）由题意可知：
，则
，
即
，
且
，整理可得
，即
或
（舍去），
所以的值为
.
（2）在
中，由正弦定理可得
，即
，
在
中，由正弦定理可得
，即
，
若
为
的角平分线，则
，即
，
且
，则
，
即
，可知
，
则
，可知
，
又因为
，则
，所以
.
（3）由（2）可知：
，则
，
且
最短，即为
最短，
设
，则
，
，
，
可知
，可得
，
11
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由余弦定理可得
，
则
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
此时
，
由（1）可知：
，即
，
可得
，即
（负值舍去）
所以当
为何值时，
最短.
题型四：隐圆问题
8．古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科
学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A，B，设点P 在同一平面上，且
满足
，当
且
时，点P 的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在
中，
，且
，当
面积取得最大值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
12
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【解析】由题意设
，
，
，
由
得：
，
化简得
，故
，
∵
，∴当
时，
面积最大，
此时不妨设
，则
，
.
∴
.
故选：D.
9．（2023·全国·高三专题练习）若
满足条件
，
，则
面积的最大值为 .
【答案】
【解析】如图，以
的中点为原点，
为x 轴，
的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则
，
，设
，由
，
得
，
化简可得
,
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则点
的轨迹是以
为圆心，半径
的圆，
且去掉点
，
和
，
；
所以
的面积的最大值为
，
故答案为：
.
题型五：正切比值与和差问题
10．在锐角
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，则
的最小值为 ．
【答案】12
【解析】由题意知，在锐角
中，
，
，
等式两边同时除以
，得
，
又
，
所以
，
得
，且
，
所以
，
令
，则
，
故
，
当且仅当
即
时等号成立，此时
，
所以
的最小值为12.
故答案为：12
11．在锐角
中，内角
的对边分别为
，若
，则
的最小值为
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．
【答案】
【解析】因为
，所以
，即
，
即
，
所以
，
又
，
因为
为锐角三角形，所以
，因此
；
所以
，
令
，则
，
当且仅当
，即
时，取等号；
12．在
中，点D 在边BC 上，且
，记
.
(1)当
，
，求
；
(2)若
，求
的值.
【解析】（1）当
，
时，
，
，
设
，
，
，
，
∴在△ACD 中，根据余弦定理得：
，
15
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．
（2）分别过
作
，
，
，
，
易知
，
，且
，
，
，
．
题型六：四边形定值和最值与托勒密定理
13．托勒密是古希腊天文学家､地理学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边
形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.则图四边形
为圆
的内接凸四边形，
，
且
为等边三角形，则圆
的直径为（ ）
16
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，因为
为等边三角形，所以
,
在
中，由余弦定理得到，
，所以
，
由题有
，所以
，解得
，所以
由正弦定理知，
，解得
，
故选：D.
14．（2024·高三·山东·开学考试）克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地
理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，
该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形
是圆
的内接四边形，且
，
．若
，则圆
的半径为（ ）
A．4
B．2
C．
D．
【答案】B
【解析】由托勒密定理，得
．
因为
，所以
．
设圆
的半径为
，由正弦定理，得
．
又
，所以
．
17
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因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，则
，故
．
故选：B
15．在四边形
中，
，
.
(1)若
，求
；
(2)若
，求
.
【解析】（1）在三角形ABD 中，根据余弦定理可得，
，
由题得：
，所以
，
在三角形BCD 中，根据余弦定理可得，
，
所以，
.
（2）设
，在三角形ABD 中，根据余弦定理可得，
，
在三角形BCD 中，根据余弦定理可得，
，
所以
，得：
或
（舍），
则
.
题型七：边角特殊，构建坐标系
16．在
中，
，
，点
在
内部，
，则
的
18
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最小值为______．
【答案】2
【解析】因为
，
，所以
.
在
中，由正弦定理得：
（R 为
的外接圆半径），所以
，解得：
.
如图所示：设
的外接圆的圆心为O，建立如图示的坐标系.
设E 为AC 的中点，所以
，
.
所以点M 的轨迹为：
，可写出
（
为参数）.
因为点
在
内部，所以
（其中
满足
，
）.
所以
因为
满足
，
，所以
，
所以当
时
最小.
19
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故答案为：2
17．在等边
中，
为
内一动点，
，则
的最小值是（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，
以
的BC 边的中点O 为原点，BC 为x 轴，过O 点垂直于BC 的直线为y 轴，建立建立直角坐标系如
图，
再将
延x 轴翻折得
，求得
的外接圆的圆心为Q，
，
M 点
的
劣弧
上，
不妨设等边
的边长为2，可得：
，
，
，
，
点
所在圆的方程为：
.
设参数方程为：
，
，
，
20
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其中
，
即
，解得
，
；
故选：C.
题型八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
18．（2024·广西柳州·一模）记
内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)求
；
(2)若
，
，求
的周长．
【解析】（1）由
得，
，即
，
由于
，
；
（2）由题设条件和正弦定理
，
又
，
，则
，进而
，得到
，
于是
，
，
由正弦定理得
，
解得
，
，
故
的周长为
.
21
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19．已知
的内角
的对边分别为
，若
.
(1)求
；
(2)若
，求
的周长.
【解析】（1）依题意，
，
所以
，
因为
，所以
或
，所以
或
.
（2）由
，
根据正弦定理和三角形内角和定理可得
，
又
，所以
，即
，
又
，所以
，
在
中，因为
，则
，所以
，
所以
.
根据正弦定理可得
，即
，
所以
，
所以
的周长为
.
20．在
中，角
所对的边分别是
，若
，且
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
的面积.
22
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【解析】（1）由
可得：
，
，
则
.
（2）由（1）可得
，
在
中，由正弦定理
，
得：
，则
.
题型九：三角形的形状判定
21．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
为非零实数），则下列
结论错误的是（ ）
A．当
时，
是直角三角形
B．当
时，
是锐角三角形
C．当
时，
是钝角三角形
D．当
时，
是钝角三角形
【答案】D
【解析】对于选项
，当
时，
，根据正弦定理不妨设
，
，
，
显然
是直角三角形，故命题正确；
对于选项
，当
时，
，根据正弦定理不妨设
，
，
，
显然
是等腰三角形，
，
说明
为锐角，故
是锐角三角形，故命题正确；
对于选项
，当
时，
，根据正弦定理不妨设
，
，
，
可得
，说明
为钝角，故
是钝角三角形，故命题正确；
23
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对于选项
，当
时，
，根据正弦定理不妨设
，
，
，
此时
，不等构成三角形，故命题错误.
故选：D.
22．在
中，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，且
，则
的形状为
（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】由
及正弦定理，得
,
所以
,
所以
,
即
，
即
，解得
或
,
当
时，又
，
,所以
或
（舍），所以
为等腰三角形;
当
时，又
，所以
，所以
为直角三角形;
综上所述，
为等腰或直角三角形.
故选：D.
23．在
中，若
，则
的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
所以
，
所以由正弦定理得
，
24
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因为
，所以
，
所以由余弦定理得
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
或
，
所以
或
，
所以
为等腰三角形或直角三角形.
故选：D
题型十：三角形中的几何计算
24．（2024·高三·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形
中，
，
，
，
．
(1)求四边形
的周长；
(2)求四边形
的面积．
【解析】（1）因为
，
，
25
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所以
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
，解得
，
所以四边形
的周长为
；
（2）因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
所以四边形
的面积为
．
25．如图，四边形
中，
．
(1)求
；
(2)
为边
上一点，且
的面积为
，求
的外接圆半径．
【解析】（1）因为
，所以
，
26
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在
中，由余弦定理得：
，
在
中，由余弦定理得：
，
两式作差得：
，解得
，
因为
，所以
．
（2）因为
由（1）知
，可得
，且
，
则
所以
，
在
中，可得
，所以
，
在
中，可得
，
在
中，可得
，
可得
,所以
，则
，
所以
，解得
，
设
的外接圆半径为
，
由正弦定理得
，解得
，
所以
的外接圆半径为
．
26．（2024·河南·三模）已知
是
内一点，
.
(1)若
，求
；
(2)若
，求
.
27
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【解析】（1）如图所示，
在
中，
，所以
.
所以
.
在
中，由正弦定理得
，即
，解得
.
（2）如图所示，
当
时，
.
设
，则
.
在
中，由正弦定理得
.
在
中，由正弦定理得
.
28
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因为
，所以
，即
，
整理得
，即
，解得
，即
.
题型十一：中线长定理与余弦和为0
27．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若
，求B；
(2)若
，求
边上的中线
的长．
【解析】（1）∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
，
由正弦定理可得
，
∵
，∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．∴
.
（2）∵
，
∴
，
∴
，
29
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又∵
，
∴
，
∴
，
∴
.
28．在
中，内角
所对边的长分别为
，且满足
．
(1)求
；
(2)若
，
是
的中线，求
的长．
【解析】（1）因为
，
所以由正弦定理得
，
因为
，所以
，
又
，故
又B∈(0,π)，所以
；
（2）因为
，由余弦定理得，
，
因为
，
所以
，
因为
是
的中线，所以
，
所以
，
故
．
30
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29．（2024·高三·山东滨州·期末）在
中，内角
所对的边分别为
且
(1)求角
；
(2)若
，
是
的中线，
，求
的面积.
【解析】（1）因为
，由正弦定理，得
，
所以
，
因为
，可得
，所以
，
又因为
，所以
.
（2）解法1：因为
，
是
的中线，所以
，
设
，则
，
在
中，由正弦定理得
，所以
，
在
中，可得
，
所以
，
故
的面积
．
解法2：因为
，
是
的中线，所以
，
可得
，即
，
整理得
，所以
，
在
中，可得
，
所以
，
故
的面积
31
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．
重难点突破：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围
30．（2024·高三·辽宁大连·期中）已知函数
，
中的三个内角
，
，
的对边长分别为
，
，，
．
(1)求角
的大小；
(2)若
为锐角三角形，
，求
周长的取值范围．
【解析】（1）
，
由
，则
，则
，
即
，又B∈(0,π)，故
；
（2）由正弦定理
可得
，
，
则
32
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，
由
为锐角三角形，
，则有
，解得
，
则
，由
在
上单调递增，故
，
，
，
故
，故
，
即
周长的取值范围为
.
31．在锐角
中，角A、B、C 的对边分别是a、b、c，且满足
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，求
面积的取值范围．
【解析】（1）因为
，则
，
整理可得
，
利用正弦定理可得
，
又因为
，则
，可得
，即
，
且
，所以
.
（2）由正弦定理
，
可得
，
33
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由题意可知：
，解得
，
则
，可得
，即
，
又因为
面积
，
所以
面积的取值范围为
.
32．记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)证明：
是等腰三角形.
(2)若
，求
的最大值.
【解析】（1）因为
，所以
，
即
，
所以
，
是等腰三角形.
（2）由（1）知
，所以
，
.
.
因为
，所以
.
.
，其中
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最大值为
.
34
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33．在
中，角
、
、
的对边是
、
、，已知
，
为常数．
(1)若
，
，求
面积的最大值；
(2)若
，
，求
的值．
【解析】（1）解法一：当
时，
，
由余弦定理
得
，所以
，
，
设
，则
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
面积的最大值为
.
解法二：
时，
，即
以
所在的直线为
轴，
的中点
为原点建立平面直角坐标系
，
则
、
，设
，
由
得
，化简得
，
35
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即
的轨迹方程为
，
所以
面积的最大值为
.
（2）解法一：由
及正弦定理可知
，
由
及
，
得
，
整理可得
，解得
或
（舍），
故
.
解法二：不妨设
，则
.
由
可得
，
所以
36
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，
解得
，所以
，
因此
.
解法三：不妨设
，则
，即
，
.
以
所在的直线为
轴，
的中点
为原点建立平面直角坐标系
，
显然有
、
，
所以点
的轨迹是以点
、
为焦点，且长轴长为
的椭圆（除去长轴端点），
设椭圆方程为
，则
，
，
，
故椭圆方程为
，即点
在椭圆
上.
设
，其中
，
则
，
，
37
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，
，
因为
，
，
，
，
由
可得
，
化简即得
，从而
.
故
，
从而
.
38
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1．已知
的内角
所对的边分别为
，若
，则
边上中线
长度的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，由正弦定理可得
，
即
，则
，
又
，所以
，因为
，当且仅当
时等号成立，
所以
，则
．
设
边上中线的长度为，则
，
所以
边上中线长度的最大值为
．
故选：C
2．
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
的面积为
，且
，
，则AB 边
上的中线长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
39
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【解析】由
，解得
，
设AB 的中点为D，则⃗CD = 1
2 (⃗CA +⃗CB)，
则
，
则
，
故AB 边上的中线长为
.
故选：D.
3．在锐角
中，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由余弦定理可知：
，
在锐角三角形中又有
，
即
故答案为：C．
4．在
中，
，则
的面积为（ ）
40
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A．6
B．8
C．24
D．48
【答案】C
【解析】设
，根据余弦定理
，
已知
，
，
，代入可得：
，即
，解得
，
由于
，则
为直角三角形，
则
.
故选：C.
5．记
的内角
的对边分别为
，已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由正弦定理与
可得
．
整理，得
．
由余弦定理的推论，得
．
因为
，所以
．
故选：B．
6．在
中内角
所对边分别为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
41
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【解析】因为
，则由正弦定理得
.
由余弦定理可得：
，
即：
，根据正弦定理得
，
所以
，
因为
为三角形内角，则
，则
.
故选：C.
7．在
中，
为边
的中点，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，如图AM 中点为N，过N 做AB 垂线NO，使
，以O 为圆心，
OA 为半径做圆O.由题可得
，则
，即C 点部分轨迹为优弧
（还有部分轨迹为优弧
关于AM 的对称优弧）.如图，设CB 与圆O 交于D，连接AD，
由外角定理，
，当且仅当C 与D 重合，即CB 与圆O 相切时取等号.
由圆幂定理，当CB 与圆O 相切时可知
，
由弦切角定理可知
，设
.
在
中，由正弦定理可得
，
又注意到
，
则
，
解得
，结合图形可得
，则此时
．
42
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故选：B
8．在
中，内角
所对边分别为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】由题可得
，
，
，当且仅当
取等号，
所以
.
故选：B.
9．（多选题）已知
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是
（ ）
A．若
，则
为等腰三角形
B．若
，则
C．若
，
，则
面积最大值为3
D．
，角B 的平分线BD 交AC 边于D，且
，则
的最小值为12
【答案】BCD
【解析】对于A：若
，根据正弦定理则
，
43
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即
，因为
，所以
或
即
或
，所以
为等腰三角形或直角三角形，A 错误；
对B，因为
，则
，
，
则根据正弦定理有
， 故B 正确；
对C，设
，
.
则
，
，
所以
，
当
时，三角形
的面积取得最大值
，故C 正确；
对D，由题意可知，
，
由角平分线性质和三角形面积公式得
，
化简得
，即
，
因此
，
当且仅当
，即
时取等号，即
的最小值为
，则D 正确.
故选：BCD.
10．（多选题）△ABC 的内角A，B，C 的对边为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．
，则△ABC 是锐角三角形
44
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B．若
，则△ABC 是直角三角形
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BCD
【解析】选项A，因为
，
所以
，因为
，所以
为钝角，故
是钝角三角形，故A 错误；
选项B，因为
，
所以
，化简得：
，
由正弦定理得：
，所以
为直角三角形，故B 正确；
选项C，因为
，所以
，可得：
，
又因为
在
上单增，所以
，
所以
，故C 正确；
选项D，因为
，所以
为锐角，
又因为
，所以
为锐角，
所以
，可得
，所以
同理可得：
．
所以
，所以
，故D 正确．
故选：BCD.
11．（多选题）设
的内角
的对边分别是
，若
，且
，则下列
结论正确的是（ ）
A．
B．
的外接圆的面积是
45
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C．
的面积的最大值是
D．
的取值范围是
【答案】BCD
【解析】对于A 项，因为
，
所以
，
所以
，
又因为
，所以
，
又因为
，所以
，故A 项错误．
对于B 项，设
的外接圆的半径为
，由正弦定理可得
，
则
的外接圆的面积是
，故B 项正确．
对于C 项，由余弦定理可得
，即
①．
因为
②，当且仅当
时，等号成立，
所以由①②得
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的面积
，则C 项正确．
对于D 项，由正弦定理可得
，则
，
，
所以
又因为
，所以
，所以
，
所以
，即
的取值范围是
，故D 项正确．
故选：BCD.
12．（多选题）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，则下列结论正确
46
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的有（ ）
A．
B．若
，则
为等腰直角三角形
C．若
，则
的面积为
D．若
为锐角三角形，
的最小值为1
【答案】AB
【解析】对于A：因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，所以
或
，
当
时，此时
显然不成立，所以
，即
，故A 正确；
对于B：因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
，所以
，所以
，
所以
为等腰直角三角形，故B 正确；
对于C：因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
，所以
，所以
，
，
所以
，所以
，故C 错误；
对于D：
，
47
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因为
为锐角三角形，所以
，所以
，
所以
，此时
无最小值，故D 错误；
故选：AB.
13．在
中，
是边
的中点，若
，
，
，则
．
【答案】
/
【解析】
如图，过点
作
的平行线，过点
作
的平行线，两平行线交于点
，
则四边形
为平行四边形，
，
，
∴
，
∴
.
故答案为：
.
14．在
中，
的平分线为
与
交于点
，
，则
．
48
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【答案】
【解析】方法一：设
，
因为
，
所以
，
化简得，
，
故
，
因为
，所以
，
所以
，则
．
因为
，所以
，
所以
，
故答案为：
.
方法二：由余弦定理得
，
由角平分线定理得
，
所以
，
，
所以
，
故答案为：
.
15．在
中，
为边
上一点，且满足
，则
．
49
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【答案】
【解析】
如图，因为
，所以
，
由
，知
，
化简得
，
因
，则有
，
因
,故得
，解得
．
在
中，
．
故答案为：
．
16．在
中，内角
所对的边分别为
（
）.已知
，则
的最大值
是 .
【答案】
/
【解析】由
，则由正弦定理可得
，
，
所以
或
，而
，且
，即
，
所以
，且
，即
，
，
50
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令
，则
，所以
，
当
时，
，则
在
上递增；
当
时，
，则
在
上递减；
所以
.
故答案为：
.
17．在
中，角
的对边分别为
，且
.
(1)求角
的大小;
(2)若
的面积为
，求
.
【解析】（1）由题设
，故
，
所以
，则
，
又
，可得
.
（2）由（1）及题设，有
，
又
，则
.
18．
的内角
的对边分别为
，已知
，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
为锐角三角形，求
的取值范围．
【解析】（1）由
，得
．
51
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因为
，所以
，即
．
．
（2）由
，得
，
因为
为锐角三角形，所以
则
，解得
，即
的取值范围为
．
19．在
中，内角
所对的边分别为
，
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
，
为
的中点，当
取得最小值时，求
的长.
【解析】（1）通由
及正弦定理，
得
，
即
，
即
，
因为
，所以
，所以
.
优因为
，
所以
，
由题意得
，即
，
52
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所以
，得
，即
，
所以
，
又
，所以
.
（2）由（1）得
，
所以
.
在
中，由余弦定理可得，
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
此时
，
故
.
20．
的内角
，
，
的对边分别是
，
，，
，
，____________.
(1)若在横线处填入
，求
；
(2)给出两个条件：
①内角
的平分线长为
；
②BC 边上的中线长为
.
从条件①②中选择一个填入横线，求
的面积.（若选择①②分别作答，则按选择①给分）.
【解析】（1）由
，得
，
因为
中，B∈(0,π)，
所以
或
，
53
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又因为
，所以
，所以
.
（2）选择①：设
的平分线交BC 于点
，
则
，
，
，
，
，即
，
在
中，由余弦定理
，
，
，
，
，
，
.
选择②：以AB、AC 为邻边作平行四边形，记作平行四边形
，
则有
，两式平方相加得：
，
即
又结合已知：
，
，
可解得
，即
，
54
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在
中，由余弦定理得：
，
将
，
，
代入解得：
，
.
21．已知
中，
．
(1)求证：
；
(2)如图，在
中，
，在
边上存在一点
，使得
，
，
的平分线
交
于，求
．
【解析】（1）证法一：由
，则
，
．
证法二：因为
，
所以
，
所以
．
55
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（2）解法一：在
中，由正弦定理得
，解得
．
又因为
，所以
或
．
当
时，
．因为
，所以
；
当
时，
．因为
，所以
，
由
，则不符合题意，舍去，
所以
，则
．
，
在
中，由正弦定理，得
，解得
．
又因为
为
的平分线，所以
，则
，
由
，则
，
由正弦定理可得
，
所以
，即
，
解得
．
解法二：在
中，由正弦定理得
，解得
．
又因为
，所以
或
．
当
时，
．因为
，所以
；
当
时，
．因为
，所以
，
56
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由
，则不符合题意，舍去，
所以
，则
，所以
．
在
中，由正弦定理得
．
因为
，
，所以
．
又因为
，所以
，所以
．
57
