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专题10 借助导函数解决函数的零点（方程的根）问题
目录
一、确定函数零点（方程根）的个数问题................................1
二、函数最值（极值）与函数零点的问题................................3
三、利用函数图象解决零点（方程根）问题..............................4
四、函数零点与方程根综合应用（精选高考模拟题）......................6
一、确定函数零点（方程根）的个数问题
1．（2023 春·安徽池州·高二校联考期中）设
，函数
，
(1)当
时，求
的最小值；
(2)判断
零点的个数.
2．（2023 秋·北京·高三统考开学考试）已知函数
，曲线
在
的切线为
．
(1)求a，b 的值；
(2)求证：函数在区间
上单调递增；
(3)求函数
的零点个数，并说明理由．
3．（2023 秋·河北·高三校联考阶段练习）已知函数
，
为
的导数.
(1)证明：
在区间
上存在唯一极大值点；
1
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(2)求函数
的零点个数.
4．（2023 秋·云南·高三校联考阶段练习）已知
．
(1)当
时，求
在
上的单调性；
(2)若
，令
，讨论方程
的解的个数．
5．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）设函数
，
，其中
，曲线
在
处的切线方程为
(1)若
的图象恒在
图象的上方，求
的取值范围；
(2)讨论关于
的方程
根的个数．
6．（2023 秋·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）已知函数
，则方程
有 个不相等的实数解．
7．（2023 秋·四川成都·高三成都七中校考开学考试）函数
的图像如图所示，已知
，则方程
在
上有 个非负实根．
2
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二、函数最值（极值）与函数零点的问题
1．（2023·江西·校联考模拟预测）若过
轴上任意点
可作曲线
两条切线，则
的取值范围 ．
2．（2023·陕西宝鸡·校考一模）已知函数
，是自然对数的底数.
(1)当
时，求整数
的值，使得函数
在区间
上存在零点；
(2)若存在
使得
，试求
的取值范围.
3．（2023 秋·四川广安·高三四川省广安友谊中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数
只有一个零点，求实数
的取值范围.
4．（2023 春·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，若
的最小值为
，求实数
的值；
(2)若存在
，使得函数
恰有一个零点，求实数
的取值范围．
3
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5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数
．
(1)求证：曲线
仅有一条过原点的切线；
(2)若
时，关于
的方程
有唯一解，求实数
的取值范围．
6．（2023 春·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）已知函数
．
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)若方程
有且仅有一个实数根，求实数a 的取值范围．
三、利用函数图象解决零点（方程根）问题
1．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知
若函数
有两个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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2．（2023 秋·四川泸州·高三四川省叙永第一中学校校考开学考试）已知
，若关于
的方程
恰好有4 个不相等的实数根，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知函数
，若关于
的方程
有5 个不同的实根，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知定义在
上的函数
同时满足下列三个条件：
①
为奇函数；②当
时，
，③当
时，
.
则函数
的零点的个数为 .
5．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知函数
．
(1)若函数
的图象与直线
相切，求实数
的值；
(2)若函数
有且只有一个零点，求实数
的取值范围．
6．（2023 秋·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知函数
（是自然对数的底数）.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
有两个零点，求实数
的取值范围.
5
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7．（2023 秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知函数
(1)求函数
的单调区间；
(2)若方程
有两个实数解，求实数
的取值范围.
四、函数零点与方程根综合应用（精选高考模拟题）
1．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知函数
，若
有且仅有两个零
点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知函数
的导函数
满足：
，且
.若函数
有且只有一个零点，则实数a 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数
有三个不同的零点，其中有两个正零点，则实
数
的取值范围为 .
4．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若对任意的
，总存在三个不同的
，使
得方程
成立，其中
为自然对数的底数，则实数
的取值范围是 .
5．（2023·山西阳泉·统考三模）已知
，若关于x 的不等式
恰好有6 个不同的实数解，则a 的取值范围是 ．
6．（2023·安徽安庆·统考二模）已知函数
，
，
.
.
6
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(1)若曲线
在点
处的切线方程是
，求
和
的值；
(2)若
，且
的导函数
恰有两个零点，求
的取值范围.
7．（2023·湖南岳阳·湖南省平江县第一中学校考模拟预测）已知函数
，
，
.
（1）若
，证明：当
时，
；
（2）讨论
在
上零点的个数.
8．（2023·广东东莞·统考模拟预测）已知函数
.
（1）当
时，讨论函数
的单调性；
（2）若函数
有两个不同的零点，求
的取值范围.
9．（2023·天津西青·天津市西青区杨柳青第一中学校考模拟预测）已知函数
在
处取得极值.
（1）当
时，求曲线
在
处的切线方程；
（2）若函数
有三个零点，求实数
的取值范围.
10．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）已知函数
．
7
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（1）当
时，求证：函数
在
上单调递增；
（2）若函数
有三个不同的零点，求的值．
8
