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跟踪训练
【训练1】（2023•金安区开学）若点
在椭圆
上，
的右焦点为
，点
在圆
上，则
的最小值为
．
【训练2】（2024•临高县模拟）设椭圆
的左、右焦点分别为
、
，
其焦距为
，点
在椭圆内部，点
是椭圆上动点，且
恒成立．
则椭圆离心率的取值范围是
．
【训练4】△
的顶点
，
，△
的内切圆圆心在直线
上，则顶点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【训练5】（2024•多选•浙江月考）设
为双曲线
上一动点，
、
为上、
下焦点，
为原点，则下列结论正确的是
A．若点
，则
最小值为7
B．若过点
的直线交
于
、
两点
、
与
均不重合），则
C．若点
，
在双曲线
的上支，则
最小值为
D．过
的直线交
于
、
不同两点，若
，则有4 条
跟踪训练
【训练1 】（2024• 锦江区校级模拟）已知定点
、
，且
，动点
满足
，则
的最小值是 ．
【训练2】双曲线
过点
，离心率
，
，
为双曲
线的左右焦点．
（1）双曲线
上一动点
到右焦点
的距离和点
到直线
的距离的比为定值
，求
的值；
（2）当点
，
在双曲线右支上时，求△
内切圆的标准方程；
【训练3】（2010•江西）点
，
在双曲线
的右支上，若点
到右焦点的
距离等于
，则
．
跟踪训练
【训练1】（2023 秋•衡阳县期末）已知斜率为2 的直线与椭圆
交
于
，
两点，
为线段
的中点，
为坐标原点，若
的斜率为
，则
的离心
率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【训练2】（2023 春•黄浦区校级期末）设椭圆
的右焦点为
，
点
在椭圆外，
、
在椭圆上，且
是线段
的中点．若直线
，
的斜率
之积为
，则椭圆的离心率为
．
【训练3】（2023•安康二模）已知双曲线
上有不同的三点
，
，
，且
，
关于原点对称，直线
，
的斜率分别为
，
，且
，则离心率的取值范围是
．
【训练4】（2024•武汉模拟）已知点
在椭圆
:
上，点
在第一象
限，点
关于原点
的对称点为
，点
关于
轴的对称点为
，设
，直线
与椭圆
的另一个交点为
，若
，则椭圆
的离心率
( )
A．
B．
C．
D．
跟踪训练
【训练6】（2023•浙江月考）已知双曲线
，过点
的直线与该双曲线相交
于
，
两点，若
是线段
的中点，则直线的方程为
A．
B．
C．
D．该直线不存在
跟踪训练
【训练1】（2023•黄山期末）已知点
是椭圆
的左焦点，过原点作直
线交椭圆于
、
两点，
、
分别是
、
的中点，若
，则椭圆离
心率的最小值为
A．
B．
C．
D．
【训练2】（2024•南宁模拟）已知
是椭圆
的左焦点，经过原点
的直线与椭圆
交于
，
两点，若
且
，则椭圆
的离心
率为
A．
B．
C．
D．
【训练3】已知椭圆和双曲线有共同的焦点
，
，
是它们的一个交点，且
，
记椭圆和双曲线的离心率分别为
，
，则
的最大值是
A．
B．
C．2
D．3
【训练4】已知点P 是双曲线
上的动点，
是其左、右焦点，
O 坐标原点，若存在四个点P 满足
，则此双曲线的离心率取值范围 ．
【训练5】（2024•广东模拟）已知椭圆
的焦点为
，
，若点
在椭圆上，且满足
（其中
为坐标原点）的
的个数
A．0
B．2
C．4
D．8
【训练6】已知椭圆
的两个焦点为
、
，
为该椭圆上一点，
为
坐标原点且
，满足
，则
的取值范围为
，
．
跟踪训练
【训练1】以椭圆
的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为正
三角形，且椭圆
上的点到焦点的最短距离为1，则椭圆
的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【训练2 】已知
，
为椭圆的焦点且
，
，
是椭圆上两点，且
，以
为直径的圆经过
点，则△
的周长为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
【训练3】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
作直线交
的左
支于
，
两点，且
，则△
的周长为 ．
【训练4】（2023•漳州模拟）已知双曲线
的左焦点为
，直线
与双曲线
交于
，
两点，且
，
，则当
取得最小值时，双曲线
的离心率为
A．3
B．
C．2
D．
【训练5】（2024•多选•江苏模拟）在平面直角坐标系
中，已知
，
分别是椭圆
的左，右焦点，点
，
是椭圆
上异于长轴端点的两点，且满足
，则
A．
的周长为定值
B．
的长度最小值为1
C．若
，则
D．
的取值范围是
，
【训练6】（（2024 秋•云南校级期末）已知双曲线
的左、右焦
点分别为
、
，过
且斜率为
的直线与
在第一象限交于
点，若
，
则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．4
C．5
D．6
【训练7】（2026•南通模拟）梯形
中，
，线段
交以
，
为焦点且
过
，
的双曲线于点
，若
，则双曲线的离心率为
．
跟踪训练
【训练8】（2023•涟源市模拟）如图所示，
，
是双曲线
的
左、右焦点，双曲线
的右支上存在一点
满足
，
与双曲线
的左支的交点
平分线段
，则双曲线
的离心率为
A．3
B．
C．
D．
【训练9】（2024•浙江期中）如图，已知
、
分别为
椭圆的左、
右焦点，过
的直线与椭圆交于
、
两点，若
，
，则
，椭圆的离心率为 ．
【训练10】（2023•绵阳月考）已知
，
，
是双曲线
上的三个
点，直线
经过原点
，
经过右焦点
，若
，且
，则该双曲
线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
x
y
F
F'
O
B
A
C
跟踪训练
【训练11】（2023•多选•大理市月考）已知
，
是双曲线
的
左、右焦点，过
的直线与双曲线
交于
，
两点，且
，
，
则下列说法正确的是
A．△
是等边三角形
B．双曲线
的离心率为
C．双曲线
的渐近线方程为
D．点
到直线
的距离为
跟踪训练
【训练1】已知抛物线
的焦点为
，准线为，
为
上一点，
垂直
于点
，△
为等边三角形，过
的中点
作直线
，交
轴于
点，则直
线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【训练2】已知抛物线
的焦点
为椭圆
的右焦点，直线过点
交抛物线于
，
两点，且
．直线
，
分别过点
，
且均与
轴平行，在直
线
，
上分别取点
，
，
均在点
，
的右侧），
和
的角平分线
相交于点
，则
的面积为
．
3．设
为坐标原点，
是以
为焦点的抛物线
上任意一点，
是线段
上的点，
且
，则直线
的斜率的最大值为
．
跟踪训练
【训练4】(2024•江西期末)（多选）已知抛物线
上有两点
、
，焦点为
，下列选项中是“直线
经过焦点
”的必要不充分条件的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【训练5】(2024•重庆期末)(多选)已知抛物线
过点
，过点
的直线交拋物线于
，
两点，点
在点
右侧，若
为焦点，直线
，
分别交抛物线于
，
两点，则（ ）
A．
B．
C．
、
、
三点共线
D．
跟踪训练
【训练6】（2024•多选•湘潭期末）已知抛物线
，点
是抛物线
的焦点，点
是抛物线
上的一点，点
，则下列说法正确的是
A．抛物线
的准线方程为
B．若
，则
的面积为
C．
的最大值为
D．
的周长的最小值为
跟踪训练
【训练1】（2023•新高考Ⅰ）设椭圆
，
的离心率分别为
，
．若
，则
A．
B．
C．
D．
【训练2】（2024•武汉期中）过椭圆
左焦点
作倾斜角为
的直线，与椭圆
交于
，
两点，其中
为线段
的中点，线段
的长为
则椭圆
的离心率为
A．
B．
C．
D．
跟踪训练
【训练3】（2023•安徽模拟）设
是双曲线
的一个焦点，过
作双曲
线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于
，
两点．若
，则双曲线的离
心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【训练4】（2023•山东模拟）已知双曲线
的左焦点为
，过点
的直线与两条渐近线的交点分别为
、
两点（点
位于点
与点
之间），且
，又过点
作
于
（点
为坐标原点），且
，则双曲线
的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练
【训练5 】（2021• 天津）已知双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于
，
两点，交双曲线的渐近线于
，
两点，若
，则双曲线的离心率为
A．
B．
C．2
D．3
【训练6】（2021•浙江）已知椭圆
，焦点
，
，
．
若过
的直线和圆
相切，与椭圆的第一象限交于点
，且
轴，
则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 ．
【训练7】已知
，
分别是双曲线
的左、右焦点，过
且垂直于
轴的直线与双曲线交于
，
两点，若
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练
【训练7】（2022•辽宁三模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，以
为直径的圆与
在第一象限的交点为
，直线
与
的左支交于点
，
且
．设
的离心率为，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【训练8】（多选）（2025•泰安模拟）已知双曲线
的左，右焦点
分别为
，
，则下列选项正确的是（ ）
A．若
，
，则双曲线的任一焦点到渐近线的距离为
B．若点
在双曲线
上，则直线
与
的斜率之积为
C．以线段
为直径的圆与双曲线
在第一象限交于点
，且
，则双曲线
的离心率
D．若过
的直线与
轴垂直且与渐近线交于
，
两点，
，则双曲线
的渐近线方程为
跟踪训练
【训练1】（2025 春•浙江期末）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
为椭圆上一点，射线
是
的角平分线，其与
轴的交点为点
，
的角平分线与直线
交于点
，若
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【训练2】（2025 秋•扬州校级期末）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性
质：从椭圆的一个焦点
发出的光线经过椭圆上的
点反射后，反射光线经过椭圆的另一
个焦点
，且在
点处的切线垂直于法线（即
的角平分线）．已知椭圆
上点
处的法线
交
轴于点
，且
，入射角
，则
的离心率为
【训练3】（2025•宝山区校级模拟）已知椭圆
的左、右焦点分别
是
、
，其离心率
，过
且垂直于
轴的直线被椭圆
截得的线段长为1．
（1）求椭圆
的方程；
（2）点
是椭圆
上除长轴端点外的任一点，过点
作斜率为
的直线，使得与椭圆
有且只有一个公共点，设直线
、
的斜率分别为
、
，若
，证明：
为定值，并求出这个定值；
（3）点
是椭圆
上除长轴端点外的任一点，设
的角平分线
交椭圆
的长轴
于点
，求
的取值范围．
跟踪训练
【训练3】（2025 秋•浦东新区校级期末）已知
、
是椭圆
左、右焦
点，点
是椭圆上任意一点，以
为直径作圆
，直线
与圆
交于点
（点
不在
椭圆内部），则
．
【训练4】1．（2024•牧野区校级模拟）已知抛物线
的焦点为
，点
在
上．若以
为圆心，
为半径的圆被
轴截得的弦长为
，则该圆的
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【训练5】（2023•南京月考）（1）设
是椭圆
上任意一点，
是焦点．证明：以
为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆相切；
（2）设
是双曲线
上任意一点，
是焦点，请你类比（1），
写出一个类似的结论，并证明．
跟踪训练
【训练7】已知正四面体
，空间一动点
满足
，且
的面积为定值，
则点
的轨迹为（ ）.
A.直线
B.圆
C.圆
D.抛物线
【训练8】已知圆柱的轴截面
是边长为2 的正方形，
为正方形
对角线的交
点，动点
在圆柱下底面内（包括圆周）.若直线
与直线
所成的角为
，则点
形成的轨迹为（ ）.
A.椭圆的一部分
B.抛物线的一部分 C.双曲线的一部分
D.圆的一部分
【训练9】设m 是平面
内的一条定直线，P 是平面
外的一个定点，动直线n 经过点P
且与
成
角，则直线
与平面
的交点
的轨迹是（ ）.
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
跟踪训练
【训练10】（2023•武汉模拟）如图所示，在圆锥内放入两个球
，
，它们都与圆锥相
切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为
，
这两个球都
与平面
相切，切点分别为
，
，丹德林
利用这个模型证明了平面
与
圆锥侧面的交线为椭圆，
，
为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为
双球．若
圆锥的母线与它的轴的夹角为
，
，
的半径分别为1，4，点
为
上的一个
定点，点
为椭圆上的一个动点，则从点
沿圆锥表面到达点
的路线长与线段
的长
之和的最小值是
A．6
B．8
C．
D．
【训练11】（2025 秋•雁峰区校级月考）如图，已知圆锥
的高
与母线所成的角为
，
过
的平面与圆锥的高所成的角为
，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆
，椭圆
的
长轴为
，短轴为
，长轴长为
，
的中心为
，再以
为弦且垂直于
的
圆截面，记该圆与直线
交于
，与直线
交于
，
（1）用
，
，
分别表示
，
；
（2）若
；
（ⅰ）求椭圆
的焦距；
（ⅱ）椭圆
左右焦点分别为
，
，
上不同两点
，
在长轴同侧，且
，
设直线
，
交于点
，记
，设
，请写出
的解析式
（不要求求出定义域）．
