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专题10 幂函数与二次函数
考点一
幂函数的定义及图象
考点二
幂函数性质的运用
考点三
二次函数的图象分析与判断
考点四
与二次函数相关的复合函数问题
考点五
根据二次函数的单调性求参数
考点六
二次函数的最值问题
一、幂函数
1．幂函数的概念
一般地，形如
的函数称为幂函数，其中底数x 为自变量，
为常数.
2．几个常见幂函数的图象与性质
函数
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在
上单
调递增
在
上单调递减；
在
上单调递增
在
上单
调递增
在
上单
调递增
在
和
上单调递减
过定点
过定点
过定点
1
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图象
二、二次函数
1．表示形式
(1)一般式：
.
(2)顶点式：
，其中
为抛物线的顶点坐标.
(3)两根式：
，其中
是抛物线与x 轴交点的横坐标.
2．二次函数的图象与性质
函数解析式
图象(抛物线)
定义域
R
值域
对称性
函数图象关于直线
对称
顶点坐标
奇偶性
当b=0 时是偶函数，当b≠0 时是非奇非偶函数
2
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单调性
在
上是减函数；
在
上是增函数.
在
上是增函数；
在
上是减函数.
最值
当
时，
当
时，
考点一
幂函数的定义及图象
例1．（2022 秋·高一单元测试）（多选）下列幂函数中，其图像过点
和
，且为偶函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据偶函数的定义知，偶函数图像关于
轴对称，故可判断选项A 不合条件；选项BD，根据其
函数表达式即可判断出符合条件；选项C，根据函数表达式，可知定义域为
，所以图像不过点
，故可判断选项C 不合条件.
【详解】对于选项A， 因为函数
的定义域为
，图像不关于
轴对称，所以选项A 不合条
件；
对于选项B，易知函数
过点
和
，且有
，所以选项B 符合条件；
对于选项C，因为
的图像不过点
，所以选项C 不符合条件；
对于选项D，易知函数
过点
和
，且有
，所以选项B 符合条件.
故选：BD.
例2．（2023 春·江苏南京·高三江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）请写出一个满足条件①和②的幂函
3
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数
，条件：①
是偶函数；②
为
上的减函数．则
________．
【答案】
(答案不唯一)
【分析】根据幂函数的性质即可求解.
【详解】设
，根据幂函数为偶函数，则
为偶数，又
为
上单调递减，故
，故
可取
，
故答案为：
（答案不唯一）
例3．（2022 秋·高三课时练习）如图，下列3 个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）
A．①
，②
，③
B．①
，②
，③
C．①
，②
，③
D．①
，②
，③
【答案】A
【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.
【详解】由函数
是反比例函数，其对应图象为①；
函数
的定义域为
，应为图②；
因为
的定义域为
且为奇函数，故应为图③.
故选：A.
例4．（2023 秋·云南怒江·高三校考期末）若幂函数
的图象经过
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】C
4
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【分析】设出幂函数的解析式，根据其图象过的点求得参数，可得解析式，即可求得答案.
【详解】设幂函数
，其图象过点
，
则
，故
，
∴
，∴
,
故选：C.
例5．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知函数
是幂函数，且为偶函数，
则实数
______．
【答案】2
【分析】由函数
是幂函数，则
，解出
的值，再验证函数是否为偶函数，得出答案.
【详解】由函数
是幂函数，则
，得
或
，
当
时，函数
，其定义域为
，
，则
是偶函数，
满足条件；
当
时，函数
是奇函数，不合题意.
故答案为：2.
考点二
幂函数性质的运用
例6．（2021 秋·高一课时练习）幂函数
在
上单调递减，则实数
的值为
_______
【答案】2
【分析】根据幂函数建立等式，解出
，将
代入函数检验，看是否在
上单调递减即可确定答案.
【详解】解：因为
是幂函数，所以
，
5
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解得
或
，因为函数在
上单调递减，
当
时，函数化为
，符合题意，
当
时，
，不符合题意，综上
.
故答案为：2
例7．（2022 秋·高三课时练习）已知幂函数
，若
，则a 的取值范围是
__________.
【答案】
【分析】根据题意得到幂函数
的定义域和单调性，得到不等式
的等价不等式组，
即可求解.
【详解】由幂函数
，可得函数
的定义域为
，且是递减函数，
因为
，可得
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
例8．（2023·天津·一模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可判断
，
，再对
，进行取对数，结合对数函数的性
质即可判断
，进而即可得到答案．
【详解】由
，
，
，
6
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则
，
，
又
，
，
则
，即
，
所以
．
故选：D．
例9．（2022 秋·安徽芜湖·高三芜湖一中校考期中）已知幂函数
的图像关于
轴对称，
且在
上是减函数，
(1)求
的值.
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）幂函数在
上单调递减，可得
且
,可得m 的值为1 或2，然后根据
已知条件分析即可；
（2）由（1）可得不等式，由
可得单调性，然后分类讨论，解出不等式求出a 的取值范围.
【详解】（1）因为幂函数
在
上单调递减，
所以
，解得
，
又
，所以
，
当
时，
，
当
时，
，
因为函数图像关于
轴对称，
所以
是偶数，
因此
；
7
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（2）由（1）可得
，故
为
，
因为
在
上均为减函数，
所以
等价于：
或
或
解得
或
，
故
的取值范围为
或
.
例10．（2023 秋·河北邯郸·高三校考期末）（多选）已知点
在幂函数
的图像上，则
函数
是（ ）
A．奇函数
B．
上的增函数
C．偶函数
D．
上的减函数
【答案】BC
【分析】由幂函数定义可得
，将
代入解析式可得
，后可判断奇偶性与单调性.
【详解】由题意得
，因此
，则点
在幂函数
的图像上，
，则
，
故
.则
是偶函数，且在
上是增函数.
故选：BC
考点三
二次函数的图象分析与判断
例11．（2021 秋·陕西渭南·高三统考期末）已知函数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8
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【答案】D
【分析】求出对称轴，确定单调性，然后判断各选项即可．
【详解】
对称轴为
，
则
在
上单调递减，在
上是单调递增，
A：
，故A 错误；
B：
，故B 错误；
C：
，故C 错误；
D：
，故D 正确.
故选：D.
例12．（2022 秋·四川巴中·高三四川省平昌中学校考阶段练习）已知函数
的图象都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分类讨论函数的平方项系数是否为零，根据常数函数、一次函数、二次函数的图象性质即可求出
k 的取值范围.
【详解】因为
的图象都在
轴上方，
①当
时，
或
，
当
时，函数
为一次函数，不满足条件；
当
时，函数
满足条件；
故
；
②当
时，函数
为二次函数，
则
，解得
；
9
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综上，
，即实数k 的取值范围为
.
故选：B.
例13．（2023 春·上海杨浦·高二上海市控江中学校考阶段练习）设
均为非零实数，则直线
和
在同一坐标系下的图形可能是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】假设每个选项中的一次函数图象正确，可得
的正负，由此可确定二次函数的开口方向和对称
轴位置，可排除得到最终结果.
【详解】对于A，若
图象正确，则
，
，
开口方向向上，对称轴为
，与图象符合，A 正确；
对于B，若
图象正确，则
，
，
开口方向向下，与图象不符，B 错误；
对于C，若
图象正确，则
，
，
开口方向向上，与图象不符，C 错误；
10
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对于D，若
图象正确，则
，
，
开口方向向上，与图象不符，D 错误.
故选：A.
例14．（2022 秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考期中）若
，则一元二次方程
有
整数根的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】由方程可得
，作出函数
的图象，结合
即可求解.
【详解】由
，得
．
作出函数
的图象，
由图可知，
，即
，又
，
所以
.
当
时，方程
有整数解
.
综上，
是方程有整数解的充要条件．
故选;A.
例15．（2022 秋·云南曲靖·高三会泽县实验高级中学校校考阶段练习）（多选）如图所示，函数
的图象与
轴交于
，
两点，与
轴交于
点，且对称轴为
，点
坐标为
，则下面结论中正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
时的解集是
【答案】ABD
【分析】根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题的结论是否成立，即可求出答案.
【详解】因为二次函数
的图象的对称轴为
，所以
得
，故B
正确；
因为二次函数
的图象的对称轴为
，
点
坐标为
，所以点
的坐标为
，
当
时，
，故A 正确；
该函数图象与
轴有两个交点，则
，故C 错误；
所以当
时，
或
，故D 正确.
故选：ABD.
考点四
与二次函数相关的复合函数问题
例16．（2022 秋·安徽芜湖·高三安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数
是
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偶函数，函数
的最小值为
，则实数
的值为_________．
【答案】
【分析】由偶函数定义结合对数运算可得
，进而整理可得
，利用换元
法令
，根据题意结合分类讨论解决二次函数的最值问题.
【详解】∵函数
是偶函数，则
，
故
，
∴
，则
，
可得：
，
令
，当且仅当
，即
时等号成立，则
，
由题意可得：
在
上的最小值为
，
∵
的对称轴为
，则有：
若
，即
时，
在
上单调递增，当
时取到最小值，
则
，解得：
；
若
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，当
时取
到最小值，
则
，解得：
（舍去）；
综上所述：
.
故答案为：
.
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例17．（2022 秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）函数
的值域为
___________.
【答案】
【分析】
，令
，换元后求
的值域即可得到.
【详解】函数
的定义域为R.
因为
，
令
，则
.
又函数
在
上单调递增，
所以在
上，有
恒成立.
所以函数
的值域为
.
故答案为：
.
例18．（2023·全国·高三专题练习）下列是函数
的单调减区间的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据
的取值去绝对值符号，画出
的图象即可求解.
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【详解】由
解得
，
所以
，
函数图象如图所示，
由图可知函数
的单调减区间为
和
，
故选：AC
例19．（2023 秋·广东清远·高三统考期末）已知函数
.
(1)若
，求
在
上的值域；
(2)若关于
的方程
有解，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）
，令
，则
，根据二次函数在区间上的最
值求法即可求解；
（2）令
，则问题转化为
在
上有解，从而得到
，求解
即可.
【详解】（1）
时，
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令
，则
.
，即
，
而
的对称轴为
，
所以函数
在
上单调递增，
，即
.
在
上的值域为
；
（2）
令
，则
有解，
在
上有解，
，解得
，
的取值范围为
.
例20．（2023 春·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考开学考试）已知函数
，
.
(1)若函数
的图象关于直线
对称，求实数
的值，并写出函数
的单调区间；
(2)解关于
的不等式
.
【答案】(1)
；单调递增区间为
，单调递减区间为
(2)答案见解析.
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【分析】（1）利用二次函数的对称轴可求得
；利用复合函数的单调性可求得
的单调区
间；
（2）将
化简为一元二次不等式，确定其对应方程的两根，并讨论两根的大小，从而确定不等
式解集.
【详解】（1）由题意函数
，
，
由函数
的图象关于直线
对称，可得
，则
，
此时
，定义域为
，
在
单调递增，
在
单调递减，
故
的递增区间为
，单调递减区间为：
.
（2）不等式
即
化简为：
，
对于
，其图象抛物线开口向上，且
有两根和
，
①
时，此时两根相等，则
的解集为
.
②
时，此时
，则不等式解集为
.
③
时，此时
，则
.
综上所述，当
时，不等式的解集为
；当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
.
考点五
根据二次函数的单调性求参数
例21．（2023 秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）已知函数
在
上是减函数，
则实数
的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定的函数，结合对数函数、二次函数单调性，分类讨论求解作答.
【详解】函数
在
上是减函数，
当
时，
恒成立，
而函数
在区间
上不单调，因此
，不符合题意，
当
时，函数
在
上单调递增，于是得函数
在区间
上单调递减，
因此
，并且
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：D
例22．（2023 春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知函数
，
在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可.
【详解】因为函数
在R 上是减函数，
根据题意：
，解得
.
故答案为：
.
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例23．（2022 秋·高三单元测试）已知函数
与
在区间
上都是减函数，那么
__________.
【答案】
.
【分析】二次函数在区间
单减，则区间
在二次函数的减区间范围内，从而求得
的范围；反比例
型函数在区间
单调递减，得
，取交集即可.
【详解】根据二次函数的表达式可知，
的对称轴为
，开口向下，若
在区间
上
是减函数，则
，
是反比例型函数，若
在区间
是减函数，则
，所以
.
所以
与
在区间
上都是减函数，a 的取值范围为
.
故答案为:
..
例24．（2023 春·四川德阳·高二四川省广汉中学校考阶段练习）“
”是“函数
在区
间
上的增函数”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据二次函数的单调性，结合充分条件和必要条件的定义，即可得到结论.
【详解】解：若函数
在区间
上为增函数，则对称轴
，
当
时，满足
，即充分性成立，
当
时，满足
，但
不成立，即必要性不成立，
所以“
”是“函数
在区间
上的增函数”的充分不必要条件，
故选：C.
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例25．（2021 秋·高三课时练习）已知函数
在
上单调递减，则a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据复合函数单调性同增异减，可得
在区间
上单调递增，由对数函数的
性质，真数恒大于0，可得
，再利用二次函数的单调性和值域求解即可.
【详解】解析：令
．
因为
在
上单调递减，
所以函数
在区间
上单调递增，且恒大于0，
所以对称轴
且
，所以
且
，
解得
，即a 的取值范围为
，
故选：D．
考点六
二次函数的最值问题
例26．（2022 秋·上海闵行·高一校考期末）已知函数
严格单调，且
的最大
值为8，求实数的值.
【答案】
【分析】先求出二次函数的对称轴，再分
，
，
和
四种情况，进行分类讨论，根
据最大值列出方程，求出实数的值.
【详解】
，对称轴为
，开口向上，
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当
时，
在
上单调递增，
故当
时，
取得最大值，
，解得：
，满足
，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，所以当
时，
取得最大值，
由
，解得：
，与
矛盾，舍去；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，所以当
时，
取得最大值，
由
，解得：
，与
矛盾，舍去；
当
时，
在
上单调递减，
故当
时，
取得最大值，
，解得：
，与
矛盾，舍去；
综上：
.
例27．（2022 秋·浙江杭州·高三校考阶段练习）（多选）已知函数
，若存在实数
，
，使
得
在
的取值范围为
，那么
可以为（ ）
A．1
B．0
C．
D．
【答案】BC
【分析】判断二次函数的对称轴和单调性，根据单调性以及定义域和值域建立方程组，然后分析建立不等
式组解出参数的范围即可.
【详解】因为函数
开口向上，对称轴为
的二次函数，
所以
在
上单调递增，
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而
，
所以
在
单调递增，
所以
，
所以
为方程
的两个不相等的非负实数根，
所以
，
故选：BC.
例28．（2022 秋·湖南郴州·高二安仁县第一中学校考阶段练习）已知二次函数
，且满足
条件：①不等式
的解集为
；②函数
的图象过点
．求：
(1)求函数
的解析式；
(2)设
，若函数
在区间
上的最小值为3，求实数
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知得出关于
的方程组，解之可得；
（2）根据二次函数的对称轴分类讨论求得
在区间
上的最小值，从而可得参数
值．
【详解】（1）条件①：因为不等式
的解集为
，所以
，即
．
条件②：函数
的图象过点
，所以
．
22
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所以
，则
，此时
．
（2）由（1）知
，其对称轴为
，
（i）当
，即
时，
，解得
；
(ii)当
，即
时，
，解得
（舍）；
(iii)当
，即
时，
，无解．
综上所述，所求实数
的值为
．
例29．（2022 秋·高一单元测试）设函数
是定义域为
的偶函数，
是定义域为
的奇函数，且
.
(1)求
与
的解析式；
(2)若
在
上的最小值为
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性可得出关于
、
的方程组，即可解得这两个函数的解析式；
（2）设
，可得
，设
，分
、
两种情况讨论，分析函数
在
上的单调性，结合
可求得实数
的值.
【详解】（1）解：
为偶函数，
，
又
为奇函数，
，
23
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，①
，即
，②
由
得：
，
可得
.
（2）解：
，
所以，
，
令
，因为函数
、
在
上均为增函数，
故
在
上单调递增，则
，
设
，
，对称轴
，
①当
时，函数
在
上为减函数，在
上为增函数，
则
，解得：
或
（舍）；
②当
时，
在
上单调递增，
，解得：
，不符合题意.
综上：
.
例30．（2023 秋·安徽芜湖·高三安徽师范大学附属中学校考期末）设二次函数
在
上有最大值，最大值为
，当
取最小值时，
的值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．4
【答案】A
【分析】根据二次函数分析可得
，换元令
，整理得
，
24
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结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意可得：
，即
，
且
的对称轴为
，
故
，
令
，则
，
可得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
即当
时，
取最小值2.
故选：A.
一、单选题
1．（2022 秋·山东青岛·高三校考期中）幂函数
的图像分布在第一、二象限，则实数
（ ）
A．2 或
B．2
C．
D．0
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义求出m，得到解析式，即可判断.
【详解】因为函数
为幂函数，所以
，解得：
或
.
当
时，幂函数为
为偶函数，图像关于y 轴对称，在第一、二象限；
当
时，幂函数为
为奇函数，图像关于原点对称，在第一、三象限.
故选：B
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2．（2023·全国·高三专题练习）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性及幂函数的性质进行排除可得答案.
【详解】因为
，所以
为偶函数，排除A,B 选项；
易知当
时，
为增函数，且增加幅度较为缓和，所以D 不正确.
故选：C.
3．（2023 春·天津河北·高二统考期中）下列四个图象中，有一个图象是函数
的导数的图象，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出函数
的导数，由导函数的特性确定函数图象，进而求出a 值作答.
【详解】函数
，求导得
，
于是函数
的图象是开口向上，对称轴为
的抛物线，①②不满足，
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又
，即函数
的图象对称轴不是y 轴，④不满足，因此符合条件的是③，
函数
的图象过原点，且
，显然
，从而
，
，所以
.
故选：D
4．（2022 秋·河北邢台·高三统考期末）在定义域内存在
，使得
成立的幂函数
称为“亲幂函数”，则下列函数是“亲幂函数”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数的范围即可判断A、D 项；B 项不是幂函数；求出
即可判断C 项.
【详解】对于A 项，
恒成立，故A 项错误；
对于B 项，
不是幂函数，故B 项错误；
对于C 项，因为
，只要
即可，故C 项正确；
对于D 项，
恒成立，故D 项错误.
故选：C.
5．（2023 秋·辽宁丹东·高一统考期末）已知幂函数
的图象经过点
，则
在定义域内（ ）
A．单调递增
B．单调递减
C．有最大值
D．有最小值
【答案】B
【分析】现根据幂函数的定义，求得
，进而求解.
【详解】设
，则
，
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所以
，即
，
则函数
的定义域为
，
且在定义域内单调递减，没有最大值和最小值.
故选：B.
6．（2023·高三课时练习）已知
，且
是方程
的两实数根，
则
，
，m，n 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据方程与函数的关系，结合函数图象以及平移变换，可得答案.
【详解】∵
，
为方程
的两实数根，∴
，
为函数
的图像与x 轴交点的
横坐标，
令
，∴m，n 为函数
的图像与x 轴交点的横坐标，
易知函数
的图像可由
的图像向上平移2022 个单位长度得到，
所以
.
故选：C.
7．（2022 秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）以速度（单位：
）从地面竖直向上发射子
弹，经过时间（单位：）的子弹高度（单位：
）可由二次函数
确定．已知发射后第
末时的子弹高度为
，则子弹在
以上的高度能持续多少秒（ ）
A．10
B．大于5 小于10
C．大于10
D．5
【答案】D
【分析】由题可得函数的解析式，然后利用二次函数的性质结合条件即得．
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【详解】因为
，由题意知，
，
所以
，解得
，
所以
，其开口向下，对称轴为
，
所以子弹在
以上的高度能持续的时间为
(s)．
故选：D．
8．（2022·全国·高三专题练习）若函数
在区间
上的最大值是M，最小值m，则
（ ）
A．与a 无关，且与b 有关
B．与a 有关，且与b 无关
C．与a 有关，且与b 有关
D．与a 无关，且与b 无关
【答案】A
【分析】讨论
、
、
，利用二次函数的性质求
的最值，结合已知求
，即可判断
与参数a、b 是否有关.
【详解】函数
的图象开口朝上，且对称轴为直线
，
①当
时，
在
上单调递减，则
，
，
此时
，故
的值与a 无关，与b 有关，
②当
时，
在
上单调递增，则
，
，
此时
，故
的值与a 无关，与b 有关，
③当
时，
，
若
时，
，有
，
，故
的值与a 无关，与b 有关，
若
时，
，有
，
，故
的值与a 无关，与b 有关，
29
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综上：
的值与a 无关，与b 有关.
故选：A.
9．（2022 秋·山西阳泉·高三统考期末）已知函数
在区间
上的最小值为
，最大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】首先求出函数的最大值及单调区间，依题意可得
在区间
上单调递增，即可得到
，从而得到
、
为方程
的两根，再利用韦达定理计算可得.
【详解】解：因为
，对称轴为
，开口向下，
函数在
上单调递增，在
上单调递减，
依题意
，所以
，所以
在区间
上单调递增，
所以
，即
，所以
、
为方程
的两根，
所以
.
故选：A
10．（2021 秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知函数
的值域
为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的值域知，
是函数
值域的子集，从而得到关于
的不等式组，
30
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解该不等式组可得答案．
【详解】设
，根据题意
，
∴
，解得
，
∴实数
的取值范围为
．
故选：B．
二、多选题
11．（2022 秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）函数
，若函数
在
[2，+∞)上是增函数.则a 的取值有可能是（ ）
A．0
B．-
C．
D．
【答案】ACD
【分析】分
和
时两种类型讨论，利用一次函数二次函数的性质，求解函数在区间内为增函数的
条件.
【详解】解：当
时，
，
在R 上是增函数，符合题意；
当
时，∵函数
在
上是增函数，
，解得
，
则有
时，函数
在
上是增函数.
故选：ACD
12．（2022 秋·高三单元测试）下列函数中，既是奇函数，又在
上单调递增的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
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【分析】AC 选项，根据函数奇偶性定义判断出AC 为偶函数，BD 为奇函数，再数形结合判断出函数的单
调性，求出答案.
【详解】A 选项，因为
定义域为R，且
，故
为偶函
数，A 错误；
B 选项，
定义域为
，且
，故
为奇函数，
且
在
上单调递增，B 正确；
C 选项，
定义域为R，且
，故
为偶函数，C 错误；
D 选项，
定义域为R，且
，故
为奇函数，
且
在
上单调递增，D 正确.
故选：BD
13．（2023 秋·福建漳州·高三统考期末）若函数
，则（ ）
A．
的图象经过点
和
B．当
的图象经过点
时，
为奇函数
C．当
的图象经过点
时，
为偶函数
D．当
时，存在
使得
【答案】BC
【分析】利用幂函数的的性质一一判断求解即可.
【详解】根据幂函数的图象性质可知，当
时，幂函数不经过点
，故A 错误；
当
的图象经过点
时，
，
因为
经过点
，
所以
时，
的定义域为
，
时，
的定义域为
，都关于坐标原点对称，
32
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又
，
所以
为奇函数，B 正确；
当
的图象经过点
时，
，
因为
经过点
，
所以
时，
的定义域为
，
时，
的定义域为
，都关于坐标原点对称，
又
，
所以
为偶函数，C 正确；
当
时，
在
单调递增，
所以
，D 错误，
故选：BC.
14．（2022 秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）设函数
且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
在
上至少有一个零点.
【答案】AD
【分析】直接通过
即可判断A；结合A 将BC 分别选项化简即可判断BC；通过数形结合的思想
结合零点概念可判断D.
【详解】因为
，所以
，化简得
，故A 正确；
由A 可得
，
33
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所以
，
因为
，所以当
时，
，即
，故B 错误；
，故C 错误；
由C 得
，则
与
中至少有一个为正，
函数
为开口向上的二次函数，对称轴为
，
又
，当
，
时，函数图象如图所示：
函数
在
内只有一个零点；
当
，
时，函数图象如图所示：
函数
在
内有两个零点；
当
，
时，函数图象如图所示：
34
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函数
在
内只有一个零点；
综上可得：
在
上至少有一个零点，故D 正确；
故选：AD.
三、填空题
15．（2021 春·陕西渭南·高三校考阶段练习）如图是二次函数
图象的一部分，图象过点
，对称轴为
．给出下面四个结论：①
；②
；③
；④
．其
中正确结论的序号是__________．
【答案】①④
【分析】根据已知条件及函数的部分图象，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】对于①，由图象可知，函数图象与
轴有两个交点，
所以
有两个不相等的实根，
所以
，即
，故①正确；
对于②，因为二次函数
的对称轴为
，
所以
，即
，故②错误；
对于③，由图象可知，
，即
，故③错误；
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对于④，由图可知，
，即
.
由二次函数的对称性可知，
，
所以
，
由
，得
，即
，于是有
，故④正确.
故答案为：①④.
16．（2023 春·江苏南京·高三金陵中学校考阶段练习）已知幂函数
在
上为单调减
函数，则实数
的值为__________.
【答案】2
【分析】根据幂函数的定义以及性质，列出相应的等式和不等式，即可求得答案.
【详解】由题意
为幂函数，在
上为单调减函数，
故
，则
，
故答案为：2
17．（2023 秋·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）已知函数
,若关于x 的函数
有6 个不同的零点,则实数b 的取值范围是______
【答案】
【分析】根据
解析式画出函数图象,对
进行换元,根据图象可知
需要有两个零点,且
,
需各对应
三个根,根据根的分布列出不等式,解出即可.
【详解】解:由题意画
图像如下:
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因为关于x 的函数
有6 个不同的零点,
令
,
则
,
则关于t 的二次函数需要有两个零点,
根据上图可知,
,
需各对应三个根,
即
,
均需在
范围内,
因为二次函数开口向上,
所以有
,
即
,
解得
.
故答案为:
18．（2021 秋·高三课时练习）对于幂函数
，若0<a<b，则
，
的大小关系是
________．
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【答案】
【分析】先作出函数
的图象，设A(a，0)，C(b，0)，其中0<a<b，再作出
即得解.
【详解】幂函数
在(0，＋∞)上是增函数，大致图象如图所示．
设A(a，0)，C(b，0)，其中0<a<b，
则AC 的中点E 的坐标为E
，
则 |AB|＝f(a)，|CD|＝f(b)，|EF|＝f
.
∵|EF|>
(|AB|＋|CD|)，
∴f
故答案为：
四、解答题
19．（2023 春·福建莆田·高二校考阶段练习）已知幂函数
的图象过点
.
(1)求此函数的解析式；
(2)根据单调性的定义判断函数
在
上的单调性；
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(3)判断函数
的奇偶性，并加以证明.
【答案】(1)
(2)
在
上的单调递减
(3)
为非奇非偶函数，证明见解析
【分析】（1）令
，将所过点坐标代入求参数，即得解析式；
（2）令
判断
的符号即可得单调性；
（3）由解析式确定函数定义域
，结合奇偶性定义即可证奇偶性.
【详解】（1）令
，且过
，故
，可得
，
所以
.
（2）令
，则
，
而
，
，故
，即
，
所以
在
上的单调递减.
（3）
为非奇非偶函数，证明如下：
由（1）知：
，即定义域不关于原点对称，
所以
为非奇非偶函数，.
20．（2023 春·湖南·高一校联考期中）已知函数
的最小值为
.
(1)求
的解析式；
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(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据题意可知二次函数
的对称轴为
，分类讨论当
、
、
时函数
的单调性，求出对应的最小值即可；
（2）由（1），结合一次函数、二次函数的性质可知函数
在R 上单调递减，利用函数的单调性解不等
式即可求解.
【详解】（1）函数
，对称轴为
，
当
即
时，函数
在
上单调递增，
所以
，即
；
当
即
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即
；
当
即
时，函数
在
上单调递减，
所以
，即
，
故
.
（2）由（1）知，当
时，
，函数
单调递减，
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当
时，
，对称轴为
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
单调递减，
注意到
是连续函数，所以函数
在R 上单调递减.
由
，得
，解得
，
故实数m 的取值范围为
.
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