文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题11 指数与指数函数
考点一
指数幂的运算
考点二
指数函数图象的辨析及应用
考点三
比较指数式大小或解不等式
考点四
与指数函数相关的最值问题
考点五
与指数函数相关的单调性问题
考点六
指数函数的应用
一、指数与指数幂的运算
1．根式
（1）
次方根的概念与性质
次
方
根
概念
一般地，如果
，那么
叫做
的
次方根，其中
，
.
性质
①当
是奇数时，正数的
次方根是一个正数，负数的
次方根是一个负数.这
时，
的
次方根用符号
表示.
②当
是偶数时，正数
的
次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数
的正的
次方根用符号
表示，负的
次方根用符号
表示.正的
次方
根与负的
次方根可以合并写成
.负数没有偶次方根.
③0 的任何次方根都为0，记作
.
（2）根式的概念与性质
根
式
概念
式子
叫做根式，这里
叫做根指数，
叫做被开方数.
性质
①
.
②当
为奇数时，
.
③当
为偶数时，
.
2．实数指数幂
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（1）分数指数幂
①我们规定正数的正分数指数幂的意义是
.
于是，在条件
下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定
且
.
③0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义.
（2）实数指数幂
对于任意实数
，均有下面的运算性质：
①
；②
；③
.
二、指数函数的图象与性质
1．指数函数的概念
一般地，函数
叫做指数函数，其中
是自变量，函数的定义域是
.
【注】指数函数
的结构特征：
（1）底数：大于零且不等于1 的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：
的系数是1 .
2．指数函数
的图象与性质
定义域
值域
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数
与
的图象关于y 轴
对称
过定点
过定点
，即
时，
图象
单调性
在
上是减函数
在
上是增函数
函数值的变化情况
当
时，
；当
时，
当
时，
；当
时，
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
底数对图象的影响
指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中
①在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；
②在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小
.
即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.
考点一
指数幂的运算
例1．（2022 秋·高三单元测试）化简
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由根式与有理数指数幂的关系及指数幂运算，化简为指数幂形式即可.
【详解】由
.
故选：C
例2．（2022 秋·山东淄博·高三校考期末）下列式子的值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据根式与分数指数幂之间的转化，逐一化简即可得到结果.
【详解】
，
，
，
，
故选:D.
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
例3．（2023 春·四川绵阳·高三校考开学考试）（多选）下列判断正确的有（ ）
A．
B．
（其中
）
C．
D．
（其中
，
）
【答案】BCD
【分析】根据根式的性质判断A，根据分数指数幂的运算性质判断B，C，D.
【详解】对于选项A，
，A 错误；
对于选项B，因为
，所以
，B 正确；
对于选项C，
，C 正确；
对于选项D，因为
，
，所以
，D 正确；
故选：BCD.
例4．（2021 秋·高三课时练习）给出下列4 个等式：①
；②
；③若a∈R，则
；④设n∈N*，则
，其中正确的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】根据根式与指数式的意义及性质求解即可．
【详解】①中
，所以①错误；
②错误；
③因为
恒成立，所以
有意义且恒等于1，所以③正确；
④若n 为奇数，则
，若n 为偶数，则
，
所以当n 为偶数时，
时不成立，所以④错误．
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故选：B．
例5．（2021 秋·高三课时练习）当a>0 时，
等于________．
【答案】
【分析】根据
，
得到
，进而化简求解.
【详解】因为
，
所以
，
所以
＝
，
故答案为：
考点二
指数函数图象的辨析及应用
例6．（2021 秋·江西九江·高一校考阶段练习）当
时，在同一坐标系下，函数
与
的图像
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和一次函数的单调性作出判断.
【详解】
，
∴函数
在定义域内单调递增，AC 选项错误，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
的一次项系数为负，
∴函数
在定义域内单调递减，B 选项错误，D 选项正确，
故选：D.
例7．（2022 秋·高三单元测试）函数
恒过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数函数性质判断题设函数所过的定点坐标.
【详解】由题设，当
，即
时，
，
所以函数过定点
.
故选：B
例8．（2023 秋·吉林白城·高三校考期末）若函数
的图象不经过第一象限,则
的取值范围
为____________.
【答案】
【分析】图象不经过第一象限,只需
,代入解析式,解出不等式即可.
【详解】解:由题知
,
若函数
单调递减，其图象不经过第一象限,必有图象与y 轴交点不在y 轴正半轴上，
只需
即可,
即
,
解得:
.
故答案为:
例9．（2021 秋·高三课时练习）指数函数
与
的图象如图所示，则（ ）
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质即可得答案.
【详解】解：因为函数
的图象是下降的，所以
；
又因为函数
的图象是上升的，所以
.
故选：C.
例10．（2022 秋·高三单元测试）（多选）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：
月）的关系为y＝a．关于下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月的增长率为2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4 个月时，浮萍面积不超过80m2
D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3
【答案】AD
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】先利用特殊点求出函数解析式为y＝3t，再利用指数函数的性质即可判断出正误．
【详解】对于A：因为函数图象过点
，
所以a＝3，即函数解析式为y＝3t，
所以浮萍每月的增长率为：
，
即选项A 正确；
对于B：因为浮萍第1 个月增加的面积为
，
浮萍第2 个月增加的面积为
，
所以浮萍每月增加的面积不相等，
即选项B 错误；
对于C：当t＝4 时，y＝34＝81＞80，
即选项C 错误；
对于D：因为
，
，
，
所以
，
即
所以2t2＝t1+t3，
即选项D 正确.
故选：AD．
考点三
比较指数式大小或解不等式
例11．（2023 春·上海嘉定·高一校考开学考试）不等式
的解集为______．
【答案】
【分析】先化为同底数的指数型函数，利用单调性可求答案.
【详解】原式可化为
，
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
为减函数，所以
，即
，
解得
或
，
所以原不等式的解集为
.
故答案为：
.
例12．（2023 秋·四川泸州·高三统考期末）写出使“不等式
对一切实数
都成立”的
的一个取
值______．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】由指数函数的单调性和不等式的性质，可得所求取值．
【详解】解：当
时，
在
上单调递增，由
，可得
；
当
时，
在
上单调递减，由
，可得
．
因为不等式
对一切实数
都成立，所以
，
所以
的取值可为
．
故答案为：
（答案不唯一）．
例13．（2022 秋·高三单元测试）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、幂函数的单调性判断指数幂的大小即可.
【详解】由
为增函数，故
，
由
为减函数，故
，
综上，
.
故选：D
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
例14．（2023·全国·模拟预测）已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解相应不等式，化简集合，后由补集定义可得答案.
【详解】由题，
，则
；
，则
.则
故选：C
例15．（2021 秋·福建泉州·高三校考期中）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】利用指数函数和幂函数图像比较数的大小.
【详解】对于A，
在定义域上是增函数，
，故A 正确；
对于B，
在定义域上是减函数，
，故B 错误；
对于C，
在
上是减函数，
，故C 正确；
对于D，
故D 正确；
故选：ACD.
考点四
与指数函数相关的最值问题
例16．（2021 秋·高三课时练习）函数
的定义域为_______，值域为_______．
【答案】
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】根据被开方数非负性可以求出定义域，根据指数函数性质可以求出值域.
【详解】由题意得
，即
，
函数
的定义域为
．
由
，
结合指数函数的性质可得
，
函数
的值域为
．
故答案为：
，
.
例17．（2023 秋·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知
，
，
若
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先求出
、
，依题意可得
，即可求出参数的取值范围.
【详解】解：函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
函数
在
上单调递减，所以
，
因为
恒成立，
所以
，解得
，即实数
的取值范围是
.
故选：B
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
例18．（2023·浙江宁波·统考二模）若函数
在区间
上的最大值与最小值的差为2，则
__________．
【答案】2
【分析】根据指数函数的单调性求出函数的最值，即可得解.
【详解】因为函数
在区间
上递增，
所以
，
则
，解得
或
（舍去）.
故答案为：
.
例19．（2021 秋·高三课时练习）函数
在区间［-1，1］上的最大值为___________.
【答案】7
【分析】利用换元法，令
，即可求出最大值.
【详解】令
，则
.
所以
即为
.
因为对称轴为
，所以
在.
上单调递增，
所以当
时，
为最大值.
故答案为：7
例20．（2022 秋·高三单元测试）（多选）函数
的定义域为
，值域
，则下列结
论中一定正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】BCD
【分析】使用换元法，将原函数转化为二次函数，由二次函数的性质对各选项依次进行辨析即可.
【详解】∵
，
∴令
（
），则
，
由已知，
，
∵
，∴由二次函数的性质可知，
当且仅当
，即
时，
；当且仅当
，即
时，
，
∴
，
，故选项A 错误，选项C 正确，选项D 正确；
设集合
，
由二次函数的性质，若当
时，
值域为
，
则
，∴由指数函数的单调性知，
，故选项B 正确.
故选：BCD.
考点五
与指数函数相关的单调性问题
例21．（2022 秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）当
时，函数
的函数值总大于1，则函数
在区间________上是严格增函数
【答案】
【分析】根据指数函数的性质和复合函数的单调性求解.
【详解】当
时，函数
的函数值总大于1，
且
，所以
单调递增，
所以
，所以
，
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由
解得
，
函数
在
单调递增，
单调递减，
所以
在区间
上是严格增函数.
故答案为：
.
例22．（2022 秋·高三单元测试）如果指数函数
是
上的减函数，则函数
的单调
递增区间为____．
【答案】
【分析】先求出
的取值范围，再由复合函数单调性求解即可.
【详解】∵指数函数
是
上的减函数，
∴
，∴
，
设
（
），
，
则当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
∴由复合函数的单调性可知，
的单调递增区间为
.
故答案为：
.
例23．（2023·山东潍坊·统考二模）已知函数
，则
（ ）
A．是奇函数，且在R 上是增函数
B．是偶函数，且在R 上是增函数
C．是奇函数，且在R 上是减函数
D．是偶函数，且在R 上是减函数
【答案】C
【分析】判断
的关系即可得出函数的奇偶性，再根据指数函数的单调性即可得出函数的单调
性.
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】函数的定义域为R，
因为
，所以函数
为奇函数，
又因为函数
在R 上都是减函数，
所以函数
在R 上是减函数.
故选：C.
例24．（2022 秋·高三单元测试）函数
单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据复合函数同增异减，即可判断出单调递增区间．
【详解】由
，设
，则
为减函数，
求
的单调递增区间，等价于求
的单调递减区间，
因为
在
单调递减，
所以函数
的单调递增区间是
，
故选：C．
例25．（2021 秋·高三课时练习）若函数
在R 上单调递增，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．（1，3）
D．（2，3）
【答案】B
【分析】利用分段函数的单调性列不等式组，即可求解.
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】要使函数
在R 上单调递增，
只需
，
解得：
.
故选：B
考点六
指数函数的应用
例26．（2022·高三单元测试）某食品的保鲜时间
（单位：小时）与储存温度
（单位：
）满足函数
关系
（
为自然对数的底数，
为常数）.若该食品在
的保鲜时间设计192 小时，在
的保鲜时间是48 小时，则该食品在
的保鲜时间是______小时.
【答案】24
【分析】把已知的两组值代入函数关系
，得出
，再代入
求最后结果.
【详解】由题意得：
，则
，即
.
所以
时，
.
则该食品在
的保鲜时间是24 小时.
故答案为：24.
例27．（2022 秋·福建漳州·高三福建省华安县第一中学校考阶段练习）当生物死亡后，它机体内原有的碳
14 含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．
按照上述变化规律，生物体内碳14 原有初始质量为Q，该生物体内碳14 所剩质量y 与死亡年数x 的函数关
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合半衰期的定义，建立指数函数模型，从而得到函数关系式.
【详解】设死亡生物体内碳14 含量的年衰减率为
，将刚死亡生物体内碳14 含量看成1 个单位，
根据经过N 年衰减为原来的一半，则
，即
，
且生物体内碳14 原有初始质量为Q
所以生物体内碳14 所剩质量y 与死亡年数x 的函数关系为
即
故选:D.
例28．（2022 秋·四川广安·高三广安二中校考阶段练习）如图所示，将桶1 中的水缓慢注入空桶2 中，开
始时桶1 中有a 升水，t min 后剩余的水符合指数衰减曲线
，那么桶2 中的水就是
．
假设过5min 后，桶1 和桶2 的水量相等，则再过m min 后桶1 中的水只有
升，则m 的值为
_______________．
【答案】10
【分析】代入数据得到
，根据题意得到
，解得答案.
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】当
时，
，即
，
，即
，故
，故
.
故答案为：10
例29．（2022 秋·陕西渭南·高三统考期末）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022 年冬奥会的标志性
场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆､绿色场馆．并
且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统．若过滤过程中废水的污染物数
量
与时间（小时）的关系为
（
为最初污染物数量），且前4 小时消除了
的污
染物，则污染物消除至最初的
还需要过滤__________小时．
【答案】4
【分析】先列出关于还需要过滤时间x 小时的方程，解之即可求得还需要过滤时间为4 小时.
【详解】根据题意有，
，可得
，即
设污染物消除至最初的
还需要过滤x 小时，
则
，即
则
，即
，
则
，解之得
故答案为：4
例30．（2023 春·广东广州·高一广州市第五中学校考阶段练习）已知某品牌手机电池充满电量为
毫安，
每经过小时，电量消耗
，若电池电量不超过
毫安时充电最佳，那么该手机至少可以待机小时．
（待机小时取整数，参考数据：
，
）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分析可知
小时后，该手机剩余的电量为
毫安，解不等式
可
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
得结论.
【详解】由题意可知，小时后，该手机剩余的电量为
毫安，
小时后，该手机剩余的电量为
毫安，
，
以此类推可知，
小时后，该手机剩余的电量为
毫安，
由
，即
，
所以，
，
因此，该手机至少可以待机小时.
故选：A.
一、单选题
1．（2021 秋·高一课时练习）函数
且
的图象恒过某定点，则此定点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用指数函数性质即可得到结果.
【详解】令
，得
，
所以函数
且
的图象恒过定点
.
故选：B.
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2023 春·湖南·高三校联考阶段练习）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值.
【详解】
.
故选：B.
3．（2023 春·浙江·高三校联考期中）据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近
年内减少了
，如果按此速度，设2022 年的冬季冰雪覆盖面积为
，从2022 年起，经过
年后，北冰洋冬季冰雪覆
盖面积
与
的函数关系式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】确定北冰洋冬季冰盖面积的年平均变化率，然后建立函数关系.
【详解】设北冰洋冬季冰盖面积为上一年的
倍，
则
，
，
所以设2022 年的冬季冰雪覆盖面积为
，从2022 年起，经过
年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积
与
的函
数关系式是
，
故选：C.
4．（2022 秋·高三课时练习）若函数
是指数函数，且
，则（ ）
A．
B．
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．
D．
【答案】B
【分析】由指数函数定义可设
，由
可求得
的值，由此可得结果.
【详解】
为指数函数，
可设
且
，
，解得：
，
.
故选：B.
5．（2023 春·河南郑州·高三郑州市第二高级中学校考阶段练习）若函数
在
上有最大
值
，则实数a 的值为（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．1 或
【答案】A
【分析】由题可得
，
，即求.
【详解】∵函数
在
上有最大值
，
∴
，
，
∴
，解得
或
（舍去）.
故选：A.
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数
存在最大值，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】C
【分析】由分段函数在两段上的单调性，确定每一段上函数的取值范围后比较可得．
【详解】易知
在
上单调递增，所以当
时，
；
在
上单调递增，所以当
时，
.
所以要使函数
存在最大值，只需
(易错：注意等号能否取到)，解得
.
故选：C.
7．（2023·青海西宁·统考二模）已知实数
，函数
若
，则a 的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件分
和
两种情况讨论，即可求解.
【详解】由题意，函数
，
当
时，由
可得
，即
，解得
；
当
时，由
可得
，即
，此时方程无解，
综上可得，实数
的值为
.
故选：A.
8．（2022 秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知不等式
对任意上恒成立，则
实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】变形给定的不等式，构造函数，结合指数函数的单调性及基本不等式求解作答.
【详解】
，
，
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
，
，当且仅当
，即
时取等号，
因此当
时，
取得最小值4，则
，
所以实数m 的取值范围是
.
故选：C
9．（2023 秋·四川凉山·高三统考期末）函数
有两个不同的零点，则
（
且
）的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数
有两个不同的零点，求出
的范围，再根据函数
的图象是由
函数
的图象向下平移
个单位得到的，作出函数
的大致图象，即可得解.
【详解】因为函数
有两个不同的零点，
所以
，解得
或
，
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则在函数
中
，
函数
的图象是由函数
的图象向下平移
个单位得到的，
作出函数
的大致图象，如图所示，
所以
（
且
）的图象可能为B 选项.
故选：B.
10．（2022 秋·高三单元测试）若方程
有两个实数解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分
和
讨论，结合函数的单调性及取值范围，数形结合可得出答案.
【详解】当
，易知函数
是减函数，故最多有一个零点，故不成立；
当
时，令
，
，
函数
有两个零点即转化为
与
的图像有两个交点，如下图，
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由图可知，当
时，
与
的图像必有两个交点,即函数
有两个零点.
故选：A.
二、多选题
11．（2023 秋·陕西西安·高三统考期末）若
,且（
，且
）在
上单调递
增，则a 的值可能是（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】BC
【分析】由
在
上单调递增分析，两段函数都要递增，且分段处也要符合递增的情形，故而可得不等
式组，求解即可.
【详解】因为
在
上单调递增，
所以
，解得
，
则BC 符合取值范围.
故选：BC.
12．（2023 秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．函数
是指数函数
B．若
，则
C．函数
的值域是
D．函数
的图像必过定点
【答案】CD
【分析】对于A 项,根据指数函数的定义求解；对于B 项，当
时验证；对于C 项，根据
的范围
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
求解即可；对于D 项，根据
求解.
【详解】对于A 项，函数
的指数位置不符合指数函数，故A 不正确.
对于B 项，当
时，
时，
，故B 不正确.
对于C 项，
，
，故函数
的值域是
所以C 正确.
对于D 项，因为
，函数
的图像必过定点
,故D 正
确.
故选：CD
13．（2022 秋·高三单元测试）若函数
，则下列等式不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】利用指数幂的运算性质判断各项的正误.
【详解】A：
，正确；
B：
，正确；
或
，
而
，
，故C、D 错误；
故选：CD
14．（2023 秋·四川眉山·高三校考期末）下列说法中错误的为（ ）
A．若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
B．若
，则
C．函数的
值域为：
D．已知
在
上是增函数，则实数
的取值范围是
【答案】BC
【分析】根据复合函数定义域判断A；根据凑项法求函数解析式即可判断B；利用指数复合函数结合换元
法与函数单调性求得函数值域，从而判断C；根据分段函数的单调性列不等式求实数
的取值范围，即可
判断D.
【详解】若函数
的定义域为
，则函数
的定义域满足
，解得
，所以函数
的定义域为
，故A 正确；
若
，则
，故B 错误；
对于函数的
，令
，则
，该函数在
上递增，
所以其值域为
，故C 错误；
已知
在
上是增函数，则
，解得
，则实数
的取值范围
是
，故D 正确.
故选：BC.
三、填空题
15．（2022 秋·高三单元测试）当
且
时，函数
过定点________．
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】
【分析】利用指数函数恒过定点的求解方法求解.
【详解】令
，解得
，
所以
，
所以
过定点
.
故答案为:
.
16．（2023 春·北京顺义·高三牛栏山一中校考阶段练习）函数
的定义域为___．
【答案】
且
【分析】根据函数的解析式，列出满足的不等式，即可求得答案.
【详解】要使函数函数
有意义，
需满足
，解得
且
，
故函数
的定义域为
且
，
故答案为：
且
17．（2022 秋·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）设
，当
时，
恒成立，则实数m 的取值范围是____________.
【答案】
【分析】根据题意把不等式
转化为即
，结合函数的单调性和奇偶性，
得到
在
上恒成立，根据二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】由函数
，
均为在
上的增函数，故函数
是在
上的单调递增函数，
且满足
，所以函数
为奇函数，
因为
，即
，
可得
恒成立，即
在
上恒成立，
则满足
，即
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
四、解答题
18．（2022 秋·高二单元测试）已知指数函数
（
，且
）的图象过点
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点
代入
求解即可；
（2）由指数函数的单调性求解即可.
【详解】（1）∵指数函数
（
，且
）过点
，
∴
，∴解得
，
∴函数
的解析式为
.
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）若
，则
，
∴
，
由指数函数的单调性知，
在
上单调递减，
∴
，解得
，
∴实数
的取值范围是
.
19．（2022 秋·福建泉州·高一校考期中）（1）化简求值：
；
（2）已知
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）利用幂的运算直接求解；（2）先判断出
和
，根据式子结构，对待求式平方后即
可求解.
【详解】（1）
．
（2）因为
，所以
，所以
.
因为
，
所以
20．（2023·全国·高一专题练习）已知
在区间
上的值域为
.
(1)求实数
的值；
(2)若不等式
当
上恒成立，求实数k 的取值范围.
【答案】(1)
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)
【分析】（1）根据区间
讨论
的对称轴
的位置，满足值域是
，求出a；
（2）运用换元法构造函数根据单调性求解.
【详解】（1）函数
是开口向上，对称轴为
的二次函数，根据
的图像有：
当
时，
在
上的最小值
，
不符合
，舍；
当
时，
在
上的最小值
或
（舍），
，
，满足题意；
当
时，
在
上的最小值
（舍），
；
（2）由(1)，
，不等式为
，
即
，令
，则
，
在
时恒成立，
令
，是对称轴为
开口向上的抛物线，在
时单调递减，
，
，即k 的取值范围是
；
综上，
.
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
32
