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专题12 利用导函数求极值和最值问题
1．已知函数
.
（1）求函数的图象在点
处的切线方程；
（2）求函数的极值.
2．已知函数
，
（
、
为常数）.
（1）求函数
在点
处的切线方程；
（2）当函数
在
处取得极值
，求函数
的解析式.
1
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3．已知函数
（
为常数），曲线
在点
处的切线平
行于直线
.
（1）求
的值；
（2）求函数
的极值.
4．已知函数
在
与
处都取得极值．
(1)求函数
的解析式及单调区间；
(2)求函数
在区间
的最大值与最小值．
2
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5．已知函数
，其导函数为
，不等式
的解集为
.
（1）求a，b 的值；
（2）求函数在
上的最大值和最小值.
6．已知函数
在点
处取得极大值5，其导函数
的图象经过点
,
,如图所示．
（1）求
及
的值；
（2）求函数
在区间
上的最大值和最小值．
3
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7．已知函数
当
时，求曲线
在点
处的切线方
程；求函数
的极值
8．已知
在
与
时都取得极值．
（1）求
的值；
（2）若
，求
的单调区间和极值.
4
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9．设函数
（1）求
的表达式；
（2）若
，求函数
的单调区间、极大值和极小值
10．已知函数
，且
，
．
（1）求
的值；
（2）若
，求函数
的最大值和最小值．
5
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11．已知
为实数，函数
，且
.
（1）求
的值.
（2）求函数
在
上的最值.
12．已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
，
处有极值．
（1）求
的解析式．
（2）求
在
上的最小值．
6
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《专题12 利用导函数求极值和最值问题》参考答案
1．（1）
；（2）极小值为
.
【解析】（1）求出
和
的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）利用导数求出函数
的极值点，列表分析函数
的单调性，进而可求得
函数
的极值.
【详解】（1）
，
，则
，
，
因此，函数
的图象在点
处的切线方程为
，即
；
（2）函数
的定义域为
，且
，得
，列表如下：
极小
值
所以，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
则函数
在
处取得极小值，且极小值为
.
【点睛】本题考查利用导数求函数图象的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的极值，
考查计算能力，属于基础题.
2．（1）
；（2）
【分析】（1）直接利用导数的几何意义即可；
（2）由题意可得
，解方程组即可，注意要检验.
【详解】（1）由已知，
，
，
，所以函数
在点
处的
1
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切线
方程为
，即
.
（2）
，由题意
，即
，解得
，
经检验，
满足题意，所以
.
【点睛】本题考查导数的几何意义以及函数的极值，考查学生的基本计算能力，要注意第
二问要检验，是一道容易题.
3．（1）
；（2）极大值为
，极小值为
.
【解析】（1）首先求出
，利用导数的几何意义可知
，代入即
可求解.
（2）由（1）可求出
，再令
求出单调递减区间，
，求
出单调递增区间，再根据极值的定义即可求解.
【详解】解：（1）
，
∵在点
处的切线平行于直线
，
∴
，
∴
；
（2）由（1）可得
，
令
得
或
，列表如下：
3
+
0
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
2
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∴极大值为
，极小值为
.
【点睛】本题考查了导数的几何意义求参数值、利用导数研究函数的极值，解题的关键是
求出导函数，属于基础题.
4．（1）
，单调增区间是
，减区间是
（2）
，
【分析】（1）对
求导，根据
在
与
处都取得极值，得
和
，建立方程组求得a,b 的值，得到
的解析式，再分析
取得正负时x
的范围，从而得出
相应的单调区间，得解；
（2）根据（1）可得出
的极值点，再求出边界点
和
的值，与极值点的函数
值比较大小可得解.
【详解】（1）因为
，所以
,
因为
在
与
处都取得极值，
所以
，即
，解得
即
，所以
，
令
或
，令
，
所以
的单调增区间是
，减区间是
.
（2）由（1）可知，
1
3
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+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
的极小值
，
的极大值
，而
，
，
可得
时，
，
.
故得解.
【点睛】本题考查通过导函数研究函数的单调性，极值，最值的问题，属于基础题．
5．（1）
；（2）最大值：
，最小值：.
【分析】（1）根据题意可得
的解集为
，利用韦达定理即可求
解.
（2）利用导数判断函数的单调性，然后求出极值与端点值即可求解.
【详解】解：（1）由
的解集为
，
则
.
（2）由（1）问可知，
，
，则
x
2
大于零
等于零
小于零
单调递增
极大值
单调递减
则
，
由
，
，则
.
【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数、利用导数求函数的最值，考查了计
4
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算求解能力，属于基础题.
6．（1）
，
，
，
；（2）
，
【分析】（1）根据导函数图象可得原函数单调性，知
在
处取得极大值，求得
；利用
，
，
构造方程组可求得结果；（2）根据函数的单
调性，可知
，
，求出函数值即可得到
结果.
【详解】（1）由图象可知：
在
上，
；在
上，
；在
上，
在
，
上单调递增，在
上单调递减
在
处取得极大值
又
且
，
，
得：
，解得：
，
，
（2）由（1）得
，则
可知：
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增
，
又
，
，
，
，
【点睛】本题考查函数图象与导函数图象之间的关系、利用极值求解函数解析式、求解函
数在指定区间内的最值的问题，属于基础题.
5
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7．当
时，函数
无极值
当
时，函数
在
处取得极小值
，无极大值
【详解】函数
的定义域为
，
．
（Ⅰ）当
时，
，
，
，
在点
处的切线方程为
，即
．
（Ⅱ）由
可知：
①当
时，
，函数
为
上的增函数，函数
无极值；
②当
时，由
，解得
；
时，
，
时，
在
处取得极小值，且极小值为
，无极大值．
综上：当
时，函数
无极值
当
时，函数
在
处取得极小值
，无极大值．
此题考查的是最基本的函数切线问题及对极值含参情况的讨论，所以导数公式必需牢记，
对于参数的讨论找到一个合理的分类标准做到不重不漏即可，可这往往又是学生最容易出
现问题的地方．
【考点定位】 本题主要考查函数与导数、不等式的基础．注意对参数的分类讨论，属于函
数中的简单题．
8．（1）
；（2）增区间：
；减区间：
，极大值为
；极小值为
【分析】（1）求出函数
的导函数
，由题意可知：
，
是
的
两个根，利用根与系数的关系可以求出
的值；
（2）根据
可以求出的值，利用导函数可以求出单调区间及极值.
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【详解】（1）
，由题意可知：
，
是
的两个根，由根与系数的关系可知：
.
（2）因为
所以
，由（1）可知
当
时，
，函数
单调递增；当
时，
，函数
单调递减，因此
是极大值点，极大值为
，
是极小值点，极小
值为
，综上所述; 增区间：
；减区间：
，极大值为
；极小值为
.
【点睛】本题考查了已知函数的极值求参数问题.考查了利用导数求函数的单调区间及极值
问题.
9．解：（1）
（2）函数
的单调递增区间是
，
，
函数
的单调递减区间是
；
当
时，
取得极大值，极大值为
；
当
时，
取得极小值，极小值为
.
【分析】（1）直接应用导数的运算法则，进行求解；
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（2）求导数，让导函数等于零，然后通过列表，得到当
变化时，
与
的变化情
况，这样可以求出单调区间和极值.
【详解】（1）
（2）
时，
，
令
,得
或
则当
变化时，
与
的变化情况如下表
+
0
－
0
+
递增
递减
递增
∴ 函数
的单调递增区间是
，
，
函数
的单调递减区间是
；
当
时，
取得极大值，极大值为
；
当
时，
取得极小值，极小值为
.
【点睛】本题考查了导数的运算法则，考查了利用导数求函数的单调区间和极值.
10．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据已知条件，列出方程组，解方程组，求出
的值．
（2）在区间
上，求出函数的极值点，计算函数的极大值、极小值、闭区间两个端点
的函数值，比较它们的大小，求出函数的最大值和最小值．
【详解】（1）由题可知：
，
8
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解得：
.
（2）由（1）知：
令
由
得
由
得
在
上单调递增，在
上单调递减,在
上单调递增，
【点睛】本题考查了待定系法求函数的解析式以及闭区间上求函数的最值．
11．（1）
；（2）最大值为
，最小值为
.
【分析】（1）求出函数
的导数，由
可求出实数
的值；
（2）利用导数分析函数
在
上的单调性与极值，并与端点函数值作大小比
较，即可得出该函数在区间
上的最大值和最小值.
【详解】（1）
，
，
，
则
；
（2）由（1）知
，
，
，令
得
，
.
9
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当
变化时，
，
的变化情况如下表：
极大值
极小值
，
，
，
.
故函数
在
上的最大值为
，最小值为
【点睛】本题考查利用导数求参数，同时也考查了利用导数求函数在区间上的最值，考查
计算能力，属于基础题.
12．（1）
；（2）
【分析】
由题意得到关于a，b 的方程组，求解方程组即可确定函数的解析式；
结合
中求得的函数解析式研究函数的极值和函数在端点处的函数值确定函数的最小
值即可．
【详解】
，
．
曲线
在点P 处的切线方程为
，
即
在
处有极值，所以
，
由
得，
，
，
10
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所以
由
知
．
令
，得
，
．
当
时，
，
单调递增；
当
时，
；
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
．
又因
，所以
在区间
上的最小值为
．
【点睛】本题主要考查由函数的切线方程确定函数解析式的方法，利用导数研究函数的最
值等，属于中等题．
11
