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第09 讲有理数的混合运算
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 有理数四则混合运算
题型2 含乘方的有理数混合运算
题型3 有理数混合运算错题复原问题
题型4 程序流程图与有理数计算
题型5 算“24”点
题型6 新定义型有理数混合运算
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
混合运算、运算顺序、
乘方、乘除、加减、括
号、运算律、简算。
1. 掌握有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级从左
到右；有括号先算括号内。
2. 能正确运用运算律（交换、结合、分配）简化有理数的混合运算。
3. 能准确进行包含加、减、乘、除、乘方及括号的多步混合运算，提高计算
能力。
4. 养成规范书写、认真审题、检验结果的良好运算习惯，培养严谨的数学态
度。
学习重点：有理数混合运算的运算顺序规则，特别是乘方与乘除、加减的优先级关系。
学习难点：在较复杂的混合运算中正确确定运算顺序，灵活运用运算律简化计算，以及避免符号错误
（特别是负号、括号的处理）。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 有理数的混合运算
（1）先乘方，再乘除，最后加减。
（2）同级运算，从左到右的顺序进行。
（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步
走：先确定符号，再求值。
【易错提醒】
有理数混合运算易错警示：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。注意运算律使用可简化，但
需带符号移动。勿跳步导致符号错误或漏算。
即时即练1．下列计算中正确的是（
）
A．6
2
3
1
B．
1
1
3
1
3
C．3
2
( 12)
1
4
3
D．
2
24
2
20
1
2．计算：
2
2
1
3
8
2
3
3．在学习完有理数的混合运算后，老师让小明进行板演，以下是小明板演中的第一步．请根据板演内容解
答下面的问题：
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2
2
1
1
1
2
3
2
2
1
1
1
2
9
2
2
(1)小明第一步板演中共出现______次错误；
(2)请完整的写出此题正确的运算过程．
题型1 有理数四则混合运算
【例1】计算：
1
3
1
1
6
8.5
3.5
1
25
16
6
3
【例2】计算：
1
1
7
5
1
36
6
9
12
【技巧归纳】
有理数混合运算遵循“先乘方、再乘除、最后加减，括号优先”。可先将除法化为乘法，减法化为加法。
运用运算律简化（交换、结合、分配），注意符号处理，逐步计算避免跳步。检验结果合理性。
【变式1-1】计算：
5
3
7
3
1.8
6
16
9
2
2
12
8
12
4
．
【变式1-2】计算：
(1)
2
1
2.5
2
5
5
；
(2)
3
2
5
3
2
2
8
4
．
题型2 含乘方的有理数混合运算
【例3】计算
(1)
5
1
1
3
2
2
4
8
(2)
2
3
1
1
1
0.5
2
3
3
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【例4】计算
(1)
2
4
1
1
1
0.5
2
3
3
(2)
2
23
3
3
2
4
【技巧归纳】
先算乘方（注意符号），再算乘除，最后加减。括号优先。将除法转为乘法，带分数化假分数。运用分配
律简化，如公因数提取。小数化分数可避免精度问题。注意底数为负数时加括号，如(-2)⁴=16。逐步计算。
【变式2-1】计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
(1)
2
2
4
3
3
2
1
2
5
4
(2)
3
2
4
1
18
1
1
3
5
4 1
4
5
【变式2-2】计算
(1)
2.4
1.6
7.6
9.4
；
(2)
1
4
81
2
16
4
9
；
(3)
2
1
1
1
0.5
2
2
5
；
(4)
4
2
1
1
3
1
1
2
3
7
3
4
12
24
1
；
(5)
22
22
22
11
19
6
7
7
7
．
题型3 有理数混合运算错题复原问题
【例5】小明在计算题目：
1
1
1
24
2
4
3
2
时，步骤如下：
解：原式
1
1
6
2
2
3
2
…………第一步
6
6
4
…………第二步
8
…………第三步
根据小明的计算过程解答下列过程：
(1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第__________步；
(2)写出该题正确的解题过程．
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【例6】（1）下面是亮亮同学计算一道题的过程：
3
2
15
5
3
6
2
3
3
2
15
15
6
6
2
3
①
1 9
4
②
6
③
①亮亮计算过程从第___________步开始出现错误的；（填序号）
②请你写出正确的计算过程．
（2）计算：
2
4
1
1
3
2
3
2
．
【技巧归纳】
从错误答案倒推运算过程，对比正解，常见错误：符号漏变、乘除顺序颠倒、乘方漏括号、分配律使用不
当。先定位错误步骤（可分段计算），再修正。建议重算一遍，重点检查负号及指数运算。
【变式3-1】在学习完有理数的混合运算后，老师让小明进行板演，以下是小明板演中的第一步．请根据板
演内容解答下面的问题：
2
2
1
1
1
2
3
2
2
1
1
1
2
9
2
2
(1)小明第一步板演中共出现______次错误；
(2)请完整的写出此题正确的运算过程．
【变式3-2】在计算
3
1
4
5
2
4
30
3
5
6
时，小博的解题过程如下：
解：原式
1
4
5
8
4
30
3
5
6
第一步
1
4
5
2
30
30
30
3
5
6
第二步
2
10
24
25
第三步
11
第四步
(1)上面解题过程从第步开始出现错误；
(2)请你帮小博写出正确的解题过程．
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题型4 程序流程图与有理数计算
【例7】有一数值转换器，原理如图所示．若开始输入的值为1
，则最后输出的结果是
．
【例8】如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为2
时，则输出的值为
．
【技巧归纳】
按流程图顺序计算，入口处代入数值，依次执行运算框（加减乘除乘方）和判断框（是否满足条件）。遇
到分支按结果选择路径。注意循环结构需累加或迭代，可列表记录中间值，避免漏步。输出最终结果。
【变式4-1】如图是一个数值转换机，当输入的数字
3
n 时，按照图中的程序计算，输出的答案为
【变式4-2】按如图所示的程序计算，若输入的数值为3，则输出的结果是
．
题型5 算“24”点
【例9】请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数3, 4,5,7
组成算式（每个数必须用一
次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是
．（写出一种即可）
【例10】你会玩“24 点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4 张，根据牌面上的数字，添
加“
、、、”和括号等符号进行运算，每张牌只能用一次，使得运算结果为24，其中A，J，Q，K 分别代
表1，11，12，13，小明抽到的是如下4 张牌，你凑成24 的算式是
（写出一个即可）
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【技巧归纳】
常用组合：3×8、4×6、12×2、24×1；分数技巧：如(a-b÷c)×d。尝试加减乘除及括号改变顺序。从24 的
因数入手，先选两数运算得中间数，再与另两数组合。注意小括号改变运算优先级，也有(a+b÷c)×d 型。
【变式5-1】生活情境·24 点游戏有一种“24 点”游戏，其游戏规则是：任取1 至13 之间的四个自然数，将
这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行混合运算，使其结果等于24 或24
．将下面的四张扑
克牌凑成24
，结果是
24
．（注：A 表示1，K 表示13）
【变式5-2】从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、
减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24 或24
，其中
黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K 分
别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：
7
3
3
7
24
．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为
．
题型6 新定义型有理数混合运算
【例11】定义一种新的运算“⊕”，规则如下：
3
a
b
ab
．
(1)
1
4
2
______；
(2)求
1
15
3
5
的值．
【例12】用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b，规定
2
2
a b
ab
ab
a
．
例如：
2
1 3
1 3
2 1 3
1
4
．试分别计算出
2
3
和
1
3
3
的值．
【技巧归纳】
先理解新运算规则（如a⊗b=ab-a-b），将自定义式转化为常规有理数算式。注意运算顺序，括号优先。按
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先乘方再乘除最后加减计算。可先代入具体数验证规则，再对字母表达式运算。结果化为最简形式。
【变式6-1】对于有理数m，n，定义新运算“★”，规定：
n
m
n
m
mn
★
．例如：
3
2
3
2
2 3
14
★
．
(1)求
2
4
★的值；
(2)求
4
3
2
★
★
的值．
【变式6-2】在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运
算“”，规则如下：
2
2
a
b
a
ab
．
(1)求3
6
的值；
(2)求
2
3
3
的值．
一、单选题
1．下列运算错误的是（
）
A．
1
1
2
2
3
3
B．
2
2
3.5
7.5
C．
5
6
21
9
D．
2
3
6
2．对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定
2
7
b
a
ab
a
△
，则
5
9
△
（
）
A．77
B．77
C．63
D．13
3．根据如图所示的程序，当输入x 的值为1 时，输出的y 值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．8
4．“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二
进制数的组成数字为0，1，二进制数
2
10110 转化为十进制数：
4
3
2
1
0
2
10110
1 2
0
2
1 2
1 2
0
2
22
．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数
3
211 转化为十进
制数：
2
1
0
3
211
2 3
1 3
1 3
22
．将二进制数
2
1110 化为三进制数为（
）
A．
3
102
B．
3
101
C．
3
111
D．
3
112
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5．定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3
5
n ；②当n 为偶数时，结果为2k
n ，其中k
取使2k
n 为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取
26
n
时，则有：
，将
49
n
进行2025 次“F 运算”的结果
是（
）
A．19
B．31
C．62
D．98
二、填空题
6．计算：
3
2
2
8
1
________．
7．已知,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，m 的绝对值是1，则
2
1
1
3
2
2 a
b
cd
m
的值为____________．
8．定义新运算：对于任意有理数a 、b ，都有
2
a
b
a
b
，例如
2
3
2
3
2
7
，那么1
1
2 __________．
9．有一种“24 点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几
种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四
张牌（A 表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）
．
10．把二进制数
2
1011001
，改写成十进制数，只要把它写成各位数字与基数2 的幂的乘积之和的形式，然
后按通常的方法进行计算即可．
6
5
4
3
2
1
0
2
1011001
1 2
0 2
1 2
1 2
0 2
0 2
1 2
64
0
16
8
0
0
1
89
，
所以二进制数
2
1011001
转换成十进制数为89．（注：规定当
0
a
时，
0
1
a ）
请通过计算将二进制数
2
110011
，改写成十进制数是__________．
三、解答题
11．计算：
(1)
2
3
2
8 14
2
(2)
112 116
34 16
48
12．计算：
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(1)
3
1
1
1
2
4
2
4
；
(2)
3
2
2
( 10)
[
4)
1 3
2
．
13．计算：
(1) 1
1
1
1
3
4
2
12
；
(2)
2
41
1 0.5
2
3
．
14．计算
(1)
5
15
2
4
；
(2)
4
5
8
60
5
6
15
；
(3)
2
2027
1
1
5
3
4
．
15．计算：
(1) 1
3
1
1
8
3
2
3
．
(2)
1
5
7
24
6
4
12
．
(3)
2
1
2
3
1
8
9
4
5
2
．
(4)
3
2
2
3
1
4
2
．
16．小明同学在黑板上计算“
1
1
5
4
4
8
8
”时，他的解答过程如下：
解：
1
1
5
4
4
8
8
1
1
5
2
2
……………………第一步
5 1
………………………………第二步
4
…………………………………第三步
解答下列问题：
(1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程；
(2)计算：
2
2
4
2
4
6
3
．
17．如图，有A、B、C、D 四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“ 4
A
B
”
进行运算，则所列算式为“
4
3
4
”．
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(1)若按“
5
6
B
A
C
”进行计算，先列出算式，再直接写出结果；
(2)若琪琪同学按“ 1
2
D
C
B
A
进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果．
18．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢四进一就是四进制，用数字0，1，2，3
记数，四进制数可以转换为十进制数．例如，四进制数1212记为
4
1212
，由
3
2
4
1212
1 4
2 4
1
0
1 4
2
4
102
，可得
4
1212
是十进制数102．
(1)将
4
201
转换为十进制数，结果是___________；
(2)对于一个用四进制表示的正整数，有下列两个结论：
①如果这个数的末位数字能被2 整除，那么这个数就能被2 整除；
②如果这个数的所有数位上的数字之和能被2 整除，那么这个数就能被2 整除．
从中选出正确结论，并以四位的四进制数
4
abcd
为例，说明该结论正确的道理，若不成立举反例证明即可．
夸克群
群满加Q
秘塔
QQ群
AI
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群
满
或
未
通
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：
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