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第09 讲有理数的混合运算
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 有理数四则混合运算
题型2 含乘方的有理数混合运算
题型3 有理数混合运算错题复原问题
题型4 程序流程图与有理数计算
题型5 算“24”点
题型6 新定义型有理数混合运算
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
混合运算、运算顺序、
乘方、乘除、加减、括
号、运算律、简算。
1. 掌握有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级从左
到右；有括号先算括号内。
2. 能正确运用运算律（交换、结合、分配）简化有理数的混合运算。
3. 能准确进行包含加、减、乘、除、乘方及括号的多步混合运算，提高计算
能力。
4. 养成规范书写、认真审题、检验结果的良好运算习惯，培养严谨的数学态
度。
学习重点：有理数混合运算的运算顺序规则，特别是乘方与乘除、加减的优先级关系。
学习难点：在较复杂的混合运算中正确确定运算顺序，灵活运用运算律简化计算，以及避免符号错误
（特别是负号、括号的处理）。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 有理数的混合运算
（1）先乘方，再乘除，最后加减。
（2）同级运算，从左到右的顺序进行。
（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步
走：先确定符号，再求值。
【易错提醒】
有理数混合运算易错警示：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。注意运算律使用可简化，但
需带符号移动。勿跳步导致符号错误或漏算。
即时即练1．下列计算中正确的是（
）
A．6
2
3
1
B．
1
1
3
1
3
C．3
2
( 12)
1
4
3
D．
2
24
2
20
1
【答案】C
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算顺序和运算法则逐一计算即可判断．
【详解】解：A、6
2
3
5
，此选项错误，不符合题意；
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B、
1
1
3
9
3
，此选项错误，不符合题意；
C、
3
2
12
9
8
1
4
3
，此选项正确，符合题意；
D、
2
24
2
20
24
0.2
23.8
，此选项错误，不符合题意；
故选：C．
2．计算：
2
2
1
3
8
2
3
【答案】5
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算．先计算乘方，然后把除法转化成乘法计算，最后再计算加
减法即可求解，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
2
2
1
3
8
2
3
1
9
8
4
3
3
2
=
5
．
3．在学习完有理数的混合运算后，老师让小明进行板演，以下是小明板演中的第一步．请根据板演内容解
答下面的问题：
2
2
1
1
1
2
3
2
2
1
1
1
2
9
2
2
(1)小明第一步板演中共出现______次错误；
(2)请完整的写出此题正确的运算过程．
【答案】(1)2
(2)5，过程见解析
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是关键．
（１）根据有理数的运算法则指出错误的地方即可；
（２）根据有理数的混合运算法则求解即可．
【详解】（1）解：小明第一步板演中共出现2 次错误，
第一次是计算
21
时结果错误，第二次是计算
2
3
时出现错误，
故答案为：2；
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（2）解：
2
2
1
1
1
2
3
2
2
，
1
1
1
2
9
2
2
，
1
1
1
11
2
2
，
11
1
1
2
2
，
5
题型1 有理数四则混合运算
【例1】计算：
1
3
1
1
6
8.5
3.5
1
25
16
6
3
【答案】2199
400
【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
先算小括号里的加减法，再算中括号里的除法，然后算中括号里的减法，最后算括号外的乘法；
【详解】解：
1
3
1
1
6
8.5
3.5
1
25
16
6
3
1
17
3
7
7
1
6 25
2
16
2
6
3
1
133
2
3
6 25
16
7
2
151
19
3
25
8
2
733
3
200
2
2199
400
．
【例2】计算：
1
1
7
5
1
36
6
9
12
【答案】
1
- 29
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【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，熟练掌握乘法分配律，是解题的关键．求出
1
7
5
1
16
9
12
36
的值，然后根据有理数倒数的定义得出结果即可．
【详解】解：原式的倒数为：
1
7
5
1
16
9
12
36
7
7
5
36
6
9
12
7
7
5
36
36
36
6
9
12
42
28 15
29
，
故原式
1
29
．
【技巧归纳】
有理数混合运算遵循“先乘方、再乘除、最后加减，括号优先”。可先将除法化为乘法，减法化为加法。
运用运算律简化（交换、结合、分配），注意符号处理，逐步计算避免跳步。检验结果合理性。
【变式1-1】计算：
5
3
7
3
1.8
6
16
9
2
2
12
8
12
4
．
【答案】147
80
【分析】本题考查了四则混合运算，先算小括号里的减法，并将除法转化为乘法，再利用乘法分配律算中
括号里的加法，最后算乘法即可．
【详解】解：
5
3
7
3
1.8
6
16
9
2
2
12
8
12
4
9
77
1
3
77
4
5
12
16
8
12
11
9
77
1
3
4
5
12
16
8
11
9
77
7
4
5
12
16
11
147
80
．
【变式1-2】计算：
(1)
2
1
2.5
2
5
5
；
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(2)
3
2
5
3
2
2
8
4
．
【答案】(1) 1.5
(2)5
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则．
（1）先算乘除，再算加减，据此计算求解即可；
（2）先计算乘方运算，然后计算小括号内的运算，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：原式
5
1
2.5
2
2
5
2.5 1
1.5
；
（2）原式
1
8
4
8
1
4
5
．
题型2 含乘方的有理数混合运算
【例3】计算
(1)
5
1
1
3
2
2
4
8
(2)
2
3
1
1
1
0.5
2
3
3
【答案】(1)4
(2) 1
6
【分析】（1）先计算乘方，再利用乘法分配律计算即可；
（2）先计算乘方、小括号内的减法，再计算括号内的减法，然后计算乘法，最后计算减法即可．
【详解】（1）解：原式
1
1
3
32
2
4
8
1
1
3
32
32
32
2
4
8
16
8 12
4
．
（2）解：原式
1
1
0.5
2
9
3
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1
1
1
7
2
3
7
1
6
7
6
1
1
6
．
【例4】计算
(1)
2
4
1
1
1
0.5
2
3
3
(2)
2
23
3
3
2
4
【答案】(1) 1
6
(2) 3
【分析】（1）先计算乘方和括号里的运算，再算乘法，最后算减法即可；
（2）先计算乘方和绝对值，再算乘除，最后加减即可．
【详解】（1）解：
2
4
1
1
1
0.5
2
3
3
1
1
2
1
2
9
3
1
1
1
7
2
3
7
6
1
1
6
；
（2）解：
2
23
3
3
2
4
9
9
3
2
4
1 6
4
3
【技巧归纳】
先算乘方（注意符号），再算乘除，最后加减。括号优先。将除法转为乘法，带分数化假分数。运用分配
律简化，如公因数提取。小数化分数可避免精度问题。注意底数为负数时加括号，如(-2)⁴=16。逐步计算。
【变式2-1】计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
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2
2
4
3
3
2
1
2
5
4
(2)
3
2
4
1
18
1
1
3
5
4 1
4
5
【答案】(1)
66
5
(2) 43
5
【分析】（1）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可；
（2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
2
2
4
3
3
2
1
2
5
4
3
9
4
1
2
5
2
1
9
4
5
2
1
9
4
5
1
9
4
5
21
9
5
66
5
；
（2）解：
3
2
4
1
18
1
1
3
5
4 1
4
5
3
2
5
18
1
2
3
4
5
5
18
1
8
9
4
5
5
1
8
9
18
1
4
5
5
1
2
1
0
2
9
5
43
5
．
【变式2-2】计算
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(1)
2.4
1.6
7.6
9.4
；
(2)
1
4
81
2
16
4
9
；
(3)
2
1
1
1
0.5
2
2
5
；
(4)
4
2
1
1
3
1
1
2
3
7
3
4
12
24
1
；
(5)
22
22
22
11
19
6
7
7
7
．
【答案】(1)13
(2) 1
(3)6
(4) 10
(5) 44
【分析】（1）先化减为加，然后运用有理数加法运算律进行简便运算即可；
（2）先把带分数化成假分数，然后再化除为乘，最后运用有理数乘法法则计算即可；
（3）先算乘方，再按照有理数的混合运算法则计算即可；
（4）先算乘方，再去绝对值，然后按照有理数的混合运算法则计算即可；
（5）直接运用有理数乘法运算律进行简便运算即可．
【详解】（1）解：
2.4
1.6
7.6
9.4
2.4
1.6
7.6
9.4
2.4
1.6
7.6
9.4
4 17
13
．
（2）解：
1
4
81
2
16
4
9
9
4
81
16
4
9
4
4
1
81 9
9
16
4
1
36
9
16
1
16
16
1
．
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（3）解：
2
1
1
1
0.5
2
2
5
1
1
5
2
4
2
1
1
5
2
2
1
5
6
．
（4）解：
2
4
1
1
3
1
1
1
2
3
7
3
4
12
24
1
1
3
1
1
2
9
24
7
3
4
12
1
1
3
1
1
7
24
24
24
7
3
4
12
1 1
8 18
2
2
8
10
．
（5）解：
22
22
22
11
19
6
7
7
7
22
11 19
6
7
22
14
7
44
．
题型3 有理数混合运算错题复原问题
【例5】小明在计算题目：
1
1
1
24
2
4
3
2
时，步骤如下：
解：原式
1
1
6
2
2
3
2
…………第一步
6
6
4
…………第二步
8
…………第三步
根据小明的计算过程解答下列过程：
(1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第__________步；
(2)写出该题正确的解题过程．
【答案】(1)一
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(2) 6
，过程见解析
【分析】此题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是关键．
（1）根据有理数的运算法则进行判断即可；
（2）先计算乘法和括号内的减法，再计算除法，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第一步，原因是除法没有分配律；
故答案为：一
（2）解:
1
1
1
24
2
4
3
2
2
3
6
2
6
6
1
6
2
6
6
2
6
6 12
6
【例6】（1）下面是亮亮同学计算一道题的过程：
3
2
15
5
3
6
2
3
3
2
15
15
6
6
2
3
①
1 9
4
②
6
③
①亮亮计算过程从第___________步开始出现错误的；（填序号）
②请你写出正确的计算过程．
（2）计算：
2
4
1
1
3
2
3
2
．
【答案】（1）①；②见解析；（2）1
6
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算
乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．
（1）根据有理数四则运算法则进行判断即可；根据有理数四则混合运算法则，写出正确的计算工程即可；
（2）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可．
【详解】解：（1）第①步中运算顺序错误；
②原式
3
2
3
3
6
6
9
9
4
22
2
3
．
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（2）解：原式
(
)
1
1
1
2
9
2
3
骣
琪
= - + -
创
-
琪
桫
1
1
7
6
7
6
1
1
6
．
【技巧归纳】
从错误答案倒推运算过程，对比正解，常见错误：符号漏变、乘除顺序颠倒、乘方漏括号、分配律使用不
当。先定位错误步骤（可分段计算），再修正。建议重算一遍，重点检查负号及指数运算。
【变式3-1】在学习完有理数的混合运算后，老师让小明进行板演，以下是小明板演中的第一步．请根据板
演内容解答下面的问题：
2
2
1
1
1
2
3
2
2
1
1
1
2
9
2
2
(1)小明第一步板演中共出现______次错误；
(2)请完整的写出此题正确的运算过程．
【答案】(1)2
(2)5，过程见解析
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是关键．
（１）根据有理数的运算法则指出错误的地方即可；
（２）根据有理数的混合运算法则求解即可．
【详解】（1）解：小明第一步板演中共出现2 次错误，
第一次是计算
21
时结果错误，第二次是计算
2
3
时出现错误，
故答案为：2；
（2）解：
2
2
1
1
1
2
3
2
2
，
1
1
1
2
9
2
2
，
1
1
1
11
2
2
，
11
1
1
2
2
，
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5
【变式3-2】在计算
3
1
4
5
2
4
30
3
5
6
时，小博的解题过程如下：
解：原式
1
4
5
8
4
30
3
5
6
第一步
1
4
5
2
30
30
30
3
5
6
第二步
2
10
24
25
第三步
11
第四步
(1)上面解题过程从第步开始出现错误；
(2)请你帮小博写出正确的解题过程．
【答案】(1)二
(2)见解析
【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
（1）第二步中利用乘法分配律时第二和第三个数没变号；
（2）根据有理数的混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：第二步中利用乘法分配律时第二和第三个数没变号．
故答案为：二；
（2）解：原式
1
4
5
8
4
30
3
5
6
1
4
5
2
30
30
30
3
5
6
2 10
24
25
13
．
题型4 程序流程图与有理数计算
【例7】有一数值转换器，原理如图所示．若开始输入的值为1
，则最后输出的结果是
．
【答案】11
【分析】本题考查程序流程图和代数式求值，将1
代入流程图，进行计算即可．
【详解】解：
1
4
1
4 1
3
5
，
3
4
1
12 1
11
5
，
∴最后输出的结果是11
．
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故答案为：11
．
【例8】如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为2
时，则输出的值为
．
【答案】5
2
【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，先理解运算程序为
2
2
3
x
，把2
代入
2
2
3
x
进
行计算，得
2
2
2
3
1
，因为得数不符合
1
，故再把
1
x 代入
2
2
3
x
进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，把2
代入
2
2
3
x
，
得
2
2
2
3
1
，
∴把
1
x 代入
2
2
3
x
，
得
5
1
2
3
1
2
，
故答案为：5
2
【技巧归纳】
按流程图顺序计算，入口处代入数值，依次执行运算框（加减乘除乘方）和判断框（是否满足条件）。遇
到分支按结果选择路径。注意循环结构需累加或迭代，可列表记录中间值，避免漏步。输出最终结果。
【变式4-1】如图是一个数值转换机，当输入的数字
3
n 时，按照图中的程序计算，输出的答案为
【答案】3
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，先将
3
n 代入程序，然后按照程序图计算即可．
【详解】解：根据题意：
2
3
3
2
3
9
2
6
2
3
故答案为：3
【变式4-2】按如图所示的程序计算，若输入的数值为3，则输出的结果是
．
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【答案】
1
2
/ 0.5
【分析】本题考查了有理数的运算．按照程序把3 代入进行计算，若小于或等于1
，再代入计算即可求解．
【详解】解：当输入的数值为3 时，
2
1
3
6
2
2
1
2
，
故答案为：
1
2
．
题型5 算“24”点
【例9】请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数3, 4,5,7
组成算式（每个数必须用一
次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是
．（写出一种即可）
【答案】
3
4
7
5
（答案不唯一）
【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据有理数的加减乘除运算
法则求解即可得．
【详解】解：因为12
2
24
，
所以列出的算式是
3
4
7
5
，
故答案为：
3
4
7
5
（答案不唯一）．
【例10】你会玩“24 点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4 张，根据牌面上的数字，添
加“
、、、”和括号等符号进行运算，每张牌只能用一次，使得运算结果为24，其中A，J，Q，K 分别代
表1，11，12，13，小明抽到的是如下4 张牌，你凑成24 的算式是
（写出一个即可）
【答案】
6
5
7
3
24
（答案不唯一）
【分析】本题考查有理数运算在实际生活中的应用，“二十四”点的游戏要注意运算顺序与运算符号，以及
题目的要求．
【详解】解：根据题意可知答案不唯一：
如：
6
5
7
3
24
；
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或
6
5
7 ] 3
24
；
或
6
5
7
3
24
；
或
[6
5
7 ] 3
24
等；
∴凑成24 的算式是
6
5
7
3
24
，
故答案为：
6
5
7
3
24
．
【技巧归纳】
常用组合：3×8、4×6、12×2、24×1；分数技巧：如(a-b÷c)×d。尝试加减乘除及括号改变顺序。从24 的
因数入手，先选两数运算得中间数，再与另两数组合。注意小括号改变运算优先级，也有(a+b÷c)×d 型。
【变式5-1】生活情境·24 点游戏有一种“24 点”游戏，其游戏规则是：任取1 至13 之间的四个自然数，将
这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行混合运算，使其结果等于24 或24
．将下面的四张扑
克牌凑成24
，结果是
24
．（注：A 表示1，K 表示13）
【答案】(13 1) (4
6)
（答案不唯一）
【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式．根据题意和题目中
的数据，可以写出一个使得结果为24
的算式，注意本题答案不唯一．
【详解】解：由题意得：(13 1) (4
6)
24
，
故答案为：(13 1) (4
6)
（答案不唯一）．
【变式5-2】从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、
减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24 或24
，其中
黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K 分
别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：
7
3
3
7
24
．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为
．
【答案】
3
2
1
2
24
(答案不唯一)
【分析】本题考查了有理数的混合运算以及正数和负数，根据题意列出算式即可，掌握相关运算法则是解
答本题的关键．
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【详解】解：由题意得：
3
2
1
2
24
或
32
2 1
24
或
3
2
2
1
24
．
故答案为：
3
2
1
2
24
或
32
2 1
24
或
3
2
2
1
24
．
题型6 新定义型有理数混合运算
【例11】定义一种新的运算“⊕”，规则如下：
3
a
b
ab
．
(1)
1
4
2
______；
(2)求
1
15
3
5
的值．
【答案】(1) 5
(2)15
【分析】本题考查了新定义下的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据新定义的运算方式运算求解即可；
（2）根据新定义的运算方式运算求解即可．
【详解】（1）解：
1
1
4
4
3
2
3
5
2
2
，
故答案为：5
；
（2）解：
1
15
3
5
1
15
3
3
5
3 3
3
6
3
6
3
3
18
3
15
．
【例12】用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b，规定
2
2
a b
ab
ab
a
．
例如：
2
1 3
1 3
2 1 3
1
4
．试分别计算出
2
3
和
1
3
3
的值．
【答案】4
；4
3
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、新定义运算等知识点，掌握含乘方的有理数混合运算
法则成为解题的关键。
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分别根据新定义运算将所求式子化成有理数混合运算的形式，然后再计算即可。
【详解】解：
2
2
3
2 3
2
2
3
2
18 12
2
4
．
2
1
1
1
3
3
2 3
3
3
3
3
1
4
2
3
3
3
．
【技巧归纳】
先理解新运算规则（如a⊗b=ab-a-b），将自定义式转化为常规有理数算式。注意运算顺序，括号优先。按
先乘方再乘除最后加减计算。可先代入具体数验证规则，再对字母表达式运算。结果化为最简形式。
【变式6-1】对于有理数m，n，定义新运算“★”，规定：
n
m
n
m
mn
★
．例如：
3
2
3
2
2 3
14
★
．
(1)求
2
4
★的值；
(2)求
4
3
2
★
★
的值．
【答案】(1)8
(2)76
【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算，理解新定义，正确进行有理数混合运算是解题的关键．
（1）按新定义表示出算式，再根据有理数混合运算法则进行计算，即可求解；
（2）按新定义分步表示出算式，再根据有理数混合运算法则进行计算，即可求解．
【详解】（1）解：由题意，知
4
2
4
2
2
4
16
8
8
★
，
所以
2
4
★的值为8．
（2）解：由题意，知
2
3
2
3
3
2
9
6
3
★
，
所以
3
4
3
2
4
3
4
4 3
64 12
76
★
★
★
，
所以
4
3
2
★
★
的值为76．
【变式6-2】在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运
算“”，规则如下：
2
2
a
b
a
ab
．
(1)求3
6
的值；
(2)求
2
3
3
的值．
【答案】(1) 27
(2)16
【分析】（1）根据有理数的新定义运算计算即可求解；
（2 ）根据有理数的新定义运算计算先求出
2
3
的值，进而求出
2
3
3
的值即可；
本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
23
2 3 6
9
36
27
；
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（2）解：∵
2
2
3
2
2
2 3
4 12
8
，
∴
2
2
3
3
8
3
8
2
8
3
64
48
16
．
一、单选题
1．下列运算错误的是（
）
A．
1
1
2
2
3
3
B．
2
2
3.5
7.5
C．
5
6
21
9
D．
2
3
6
【答案】C
【分析】根据绝对值、有理数乘方以及四则运算的法则逐项计算即可．
【详解】解：A、
1
1
1
2
2
2
3
3
3
，运算正确，不符合题意；
B、
2
2
3.5
4
3.5
7.5
，运算正确，不符合题意；
C、
5
6
21
30
21
9
，9
9
，运算错误，符合题意；
D、
2
3
6
，运算正确，不符合题意；
2．对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定
2
7
b
a
ab
a
△
，则
5
9
△
（
）
A．77
B．77
C．63
D．13
【答案】A
【分析】本题为新定义运算题，需根据给定的运算规则，将对应数值代入公式计算求解．
【详解】解：∵
2
7
b
a
ab
a
△
，
∴
2
5
9
5
5
9
7
25
45
7
77
△
，
故选：A．
3．根据如图所示的程序，当输入x 的值为1 时，输出的y 值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．8
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【答案】C
【分析】先输入1，得到结果2
0
，再输入2
，得到结果4
0
，即可．
【详解】解：输入1，
21
2
4
2
0
，
输入2
，
2
2
2
4
4
0
，
所以输出的y 值为4．
4．“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二
进制数的组成数字为0，1，二进制数
2
10110 转化为十进制数：
4
3
2
1
0
2
10110
1 2
0
2
1 2
1 2
0
2
22
．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数
3
211 转化为十进
制数：
2
1
0
3
211
2 3
1 3
1 3
22
．将二进制数
2
1110 化为三进制数为（
）
A．
3
102
B．
3
101
C．
3
111
D．
3
112
【答案】D
【分析】本题考查不同进制之间的转换，解题思路为先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数通过除3
取余法转换为三进制数，即可得到结果
【详解】解：∵二进制数11102 的各位权值从右到左依次为
0
1
2
3
2 ,2 ,2 ,2
∴将11102 转换为十进制数得：
3
2
1
0
1 2
1 2
1 2
0
2
8
4
2
0
14
即11102 对应的十进制数为14，
接下来将十进制数14 转换为三进制，使用除3 取余法：
14
3
4
，余数为2；
4
3
1
，余数为1；
1 3
0
，余数为1；
将所得余数倒序排列，得到三进制数为
3
112
5．定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3
5
n ；②当n 为偶数时，结果为2k
n ，其中k
取使2k
n 为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取
26
n
时，则有：
，将
49
n
进行2025 次“F 运算”的结果
是（
）
A．19
B．31
C．62
D．98
【答案】C
【分析】根据题意，依次求出每次“F 运算”的结果，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为
49
n
，
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所以第1 次“F 运算”的结果是3
5
3 49
5
152
n
，
第2 次“F 运算”的结果
152
19
2
8
k
n
，
第3 次“F 运算”的结果3
5
3 19
5
62
n
，
第4 次“F 运算”的结果
62
31
2
2
k
n
，
第5 次“F 运算”的结果3
5
3 31 5
98
n
，
第6 次“F 运算”的结果
98
49
2
2
k
n
，
第7 次“F 运算”的结果3
5
3 49
5
152
n
，
…，
由此可见，从第1 次“F 运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49 循环．
因为2025
6
337
3
，
所以第2025 次“F 运算”的结果62．
二、填空题
6．计算：
3
2
2
8
1
________．
【答案】0
【分析】按照先算乘方，再算除法，最后算加法的顺序计算即可．
【详解】解：
3
2
2
8
1
8 8 1
=
1 1
0
．
7．已知,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，m 的绝对值是1，则
2
1
1
3
2
2 a
b
cd
m
的值为____________．
【答案】1
2
【分析】本题考查了相反数、倒数和绝对值的性质，有理数的混合运算．
根据相反数、倒数和绝对值的性质，得到
0
a
b
，
1
cd ，
2
1
m ，代入表达式计算．
【详解】解：∵a ，b 互为相反数，
∴
0
a
b
，
∵c ，d 互为倒数，
∴
1
cd ，
∵
1
m ，
∴
1
m 即
2
1
m ，
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原式
1
1
1
1
0 1
3 1
2 1
1
3
2
1
2
2
2
2
．
故答案为：
1
2 ．
8．定义新运算：对于任意有理数a 、b ，都有
2
a
b
a
b
，例如
2
3
2
3
2
7
，那么1
1
2 __________．
【答案】- 3
4
【分析】本题考查有理数的混合运算，理解新定义的运算规则，掌握有理数运算法则即可求解.
【详解】解：由新定义可知
2
a
b
a
b
.
将
1
2
a
，
1
b 代入得
2
1
1
1
1
2
2
1
1
4
3
4
.
9．有一种“24 点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几
种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四
张牌（A 表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）
．
【答案】
5 1 2
8
【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24 的算式，注意本题答案不唯一．
【详解】解：
5 1 2
8
5
2
8
3 8
24
10．把二进制数
2
1011001
，改写成十进制数，只要把它写成各位数字与基数2 的幂的乘积之和的形式，然
后按通常的方法进行计算即可．
6
5
4
3
2
1
0
2
1011001
1 2
0 2
1 2
1 2
0 2
0 2
1 2
64
0
16
8
0
0
1
89
，
所以二进制数
2
1011001
转换成十进制数为89．（注：规定当
0
a
时，
0
1
a ）
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请通过计算将二进制数
2
110011
，改写成十进制数是__________．
【答案】51
【分析】根据题干给出的二进制转化为十进制的规则，列式计算即可．
【详解】解：
5
4
3
2
1
0
2
110011
1 2
1 2
0
2
0
2
1 2
1 2
32
16
0
0
2
1
51
．
三、解答题
11．计算：
(1)
2
3
2
8 14
2
(2)
112 116
34 16
48
【答案】(1) 57
(2)10080
【分析】（1）根据有理数混合运算法则进行计算，先乘方，再乘除，最后加减；
（2）根据有理数混合运算法则进行计算，有括号先算括号里面．
【详解】（1）解：原式
8 8 14 4
1 56
57
；
（2）解：原式
210
48
10080
．
12．计算：
(1)
3
1
1
1
2
4
2
4
；
(2)
3
2
2
( 10)
[
4)
1 3
2
．
【答案】(1)
1
2
(2) 968
【分析】（1）先算
3
3
9
4
2
8
，再把除法转化为乘法，用9
4
1
8
9
2
；
（2）先算中括号内为
16
1 9
2
16
8
2
16 16
32
，再算
3
10
1000
，再把两个得数相加减
即可．
【详解】（1）解：原式
3
3
9
4
2
4
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9
4
8
9
1
2
；
（2）解：原式
1000
16
1 9
2
1000
16
8
2
1000
16 16
1000
32
968
．
13．计算：
(1) 1
1
1
1
3
4
2
12
；
(2)
2
41
1 0.5
2
3
．
【答案】(1)5
(2)
10
9
【详解】（1）解：原式
1
1
1
12
3
4
2
1
1
1
12
12
12
3
4
2
4
3
6
4
3
6
5
；
（2）解：原式
1
1
2
9
2
1
1
9
10
9
．
14．计算
(1)
5
15
2
4
；
(2)
4
5
8
60
5
6
15
；
(3)
2
2027
1
1
5
3
4
．
【答案】(1)8
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(2)34
(3)0
【分析】（1）根据有理数的加减法运算计算即可；
（2）使用乘法运算律求解即可；
（3）根据含乘方的有理数混合运算法则求解即可．
【详解】（1）解：
5
15
2
4
5 15
2
4
8
；
（2）解：
4
5
8
60
5
6
15
4
5
8
60
60
60
5
6
15
48
50
32
34
；
（3）解：
2
2027
1
1
5
3
4
1
1
5
9
4
1
1
4
4
1 1
0
．
15．计算：
(1) 1
3
1
1
8
3
2
3
．
(2)
1
5
7
24
6
4
12
．
(3)
2
1
2
3
1
8
9
4
5
2
．
(4)
3
2
2
3
1
4
2
．
【答案】(1) 7
(2) 12
(3) 8
(4)1
【详解】（1）解：1
3
1
1
8
3
2
3
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1
3
3
8
3
2
4
2
3
3
4
4
1
3
8
8
3
2
9
7
；
（2）
1
5
7
24
6
4
12
1
5
7
24
24
24
6
4
12
4
30 14
12
；
（3）
2
1
2
3
1
8
9
4
5
2
5
2
9
8
9
4
5
4
9
9
4
4
4
4
8
；
（4）
3
2
2
3
1
4
2
4
3
1
8
4
3 8
1
．
16．小明同学在黑板上计算“
1
1
5
4
4
8
8
”时，他的解答过程如下：
解：
1
1
5
4
4
8
8
1
1
5
2
2
……………………第一步
5 1
………………………………第二步
4
…………………………………第三步
解答下列问题：
(1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程；
(2)计算：
2
2
4
2
4
6
3
．
【答案】(1)小明在第一步出现错误；正确计算过程为：
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1
1
5
4
4
8
8
1
1
5
4
2
8
1
5
8 4
2
5
16
11
；
(2) 4
【分析】（1）小明在第一步中先计算了1
4
8 ，因此出现错误；根据有理数混合运算法则进行计算即可；
（2）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：
2
2
4
2
4
6
3
16
2
4
8
4
4
．
17．如图，有A、B、C、D 四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“ 4
A
B
”
进行运算，则所列算式为“
4
3
4
”．
(1)若按“
5
6
B
A
C
”进行计算，先列出算式，再直接写出结果；
(2)若琪琪同学按“ 1
2
D
C
B
A
进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果．
【答案】(1) 1
9
(2)
28
9
【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可；
（2）根据流程图规则列式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
2
2
2
5
10
1
1
4
3
3
6
3
3
9
；
（2）解：根据题意，得
2
1
2
4
3
2
3
，
28 / 28
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∴原式
2
1
1
1
28
4
3
4
3
3
6
36
9
9
．
18．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢四进一就是四进制，用数字0，1，2，3
记数，四进制数可以转换为十进制数．例如，四进制数1212记为
4
1212
，由
3
2
4
1212
1 4
2 4
1
0
1 4
2
4
102
，可得
4
1212
是十进制数102．
(1)将
4
201
转换为十进制数，结果是___________；
(2)对于一个用四进制表示的正整数，有下列两个结论：
①如果这个数的末位数字能被2 整除，那么这个数就能被2 整除；
②如果这个数的所有数位上的数字之和能被2 整除，那么这个数就能被2 整除．
从中选出正确结论，并以四位的四进制数
4
abcd
为例，说明该结论正确的道理，若不成立举反例证明即可．
【答案】(1)33
(2)见解析
【分析】本题考查了有理数的混合运算，能熟练将四进制转化为十进制是解答本题的关键．
（1）根据题意将四进制转化为十进制即可；
（2）根据题意判断出①正确，将四位的四进制数化为十进制的数，经过变形即可验证①．
【详解】（1）解：
2
1
0
4
201
2 4
0 4
1 4
2 16
0 1
33
．
（2）解：选①．将四进制数
4
abcd
转换为十进制数为
3
2
1
0
4
4
4
4
64
16
4
a
b
c
d
a
b
c
d
．
因为64
16
4
a
b
c
一定能被2 整除，
若末位数字d 能被2 整除，那么64
16
4
a
b
c
d
就能被2 整除，
所以如果这个数的末位数字能被2 整除，那么这个数就能被2 整除．
对于②不一定成立．例如四进制数
4
(1001) ，其各位数字之和为2（能被2 整除），但对应的十进制数65 不
能被2 整除，所以②错误．
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