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第十题 数学建模
高考真题
10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 ，其中常数
是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ，则（ ）．
A. B.
C. D.
知识点总结
用函数模型解决实际问题的基本步骤：
1. 审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
2. 建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建
立相应的数学模型．
3. 求模——求解数学模型，得出数学结论．
4. 还原——将数学结论还原为实际问题．题型展示
利用函数的图象(图表)刻画实际问题
高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中
流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
A B C D
根据已知函数模型求解实际问题
某种物质在时刻tmin的浓度M(单位：mg/L)与t的函数关系为M(t)＝art＋24(a，r为常数)．
已知在t＝0min和t＝1min测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L，那么在t＝4min时，
该物质的浓度为 mg/L；若该物质的浓度小于24.001mg/L，则整数t的最小值为 .
(参考数据：lg 2≈0.301 0)
构造函数模型求解实际问题
已知生产口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本p(x)万元，当产量不
足90万箱时，p(x)＝x2＋40x；当产量不小于90万箱时，p(x)＝101x＋－2 180.若每箱口罩售价
100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．
(1) 求口罩销售利润y(单位：万元)关于产量x(单位：万箱)的函数关系式；
(2) 当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得的利润最大？
真题演练一、单选题
1．基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，
0
世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累
计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R ，T近似满足R =1+rT.有学者基于已有数
0 0
据估计出R =3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为
0
(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
2．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大
幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未
配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第
二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
3．根据统计，一名工作组装第4件某产品所用的时间（单位：分钟）为 （A，C为常
数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是
A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16
4．某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位：℃）满足函数关系 （ 为
自然对数的底数， 为常数）.若该食品在 ℃的保鲜时间是 小时，在 ℃的保鲜时间是 小时，则
该食品在 ℃的保鲜时间是
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．21小时
5．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 ，第二年的增长率为 ，则该市这两年生产总值
的年平均增长率为
A． B．C． D．
6．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用
率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数
据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
7．要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒
范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ）
A． B． C． D．
8．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润（单位：万元）分别为L =5.06x－0.15 x 2和L =2x，其中x为
1 2
销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为
A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51
9．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
年 月 日
年 月 日
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每 千米平均耗油量为（ ）
A． 升 B． 升 C． 升 D． 升
10．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超
过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额 税率
不超过500元的部分 5%
超过500元至2000元的部分 10%
超过2000元至5000元的部分 15%
… …
某人一月份交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
二、填空题
11．某日中午12时整，甲船自A处以 的速度向正东行驶，乙船自A的正北 处以 的
速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之距离对时间的变化率是 ．
12．某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃~63℃.精确度
要求±1℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为 .
13．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形．要使正方形和圆的面积之和最小，则
正方形的周长应为 ．
14．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP（GDP是指国内生产总
值）4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制
在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需
年．
按：1999年本市常住人口总数约1300万．模拟训练
一、单选题
1．水车是古老黄河的文化符号，是我国劳动人民智慧的结晶，是最早的自动灌溉系统．黄河边上的一架
水车直径为16米，入水深度4米，为了计算水车的旋转速度，某人给刚出水面的一个水斗（图中点A）做
上记号，经过60秒该水斗到达水车最顶端（图中点B），再经过11分20秒，做记号的水斗与水面的距离
为n米，则n所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．某程序研发员开发的小程序在发布时已有1000名初始用户，经过t天后，用户人数 ，其中k
和m均为常数．已知小程序发布经过10天后有4000名用户，则用户超过2万名至少经过的天数为（ ）
（天数按整数算，取 ）.
A．20 B．21 C．22 D．23
3．一个半球体状的雪堆，假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，其体积 变化的速率与半球面面积
成正比，已知半径为 的雪堆在开始融化的3小时，融化了其体积的 ，则该雪堆全部融化需要（ ）小
时
A． B．4 C．5 D．6
4．2022年8月，中科院院士陈发虎带领他的团队开始了第二次青藏高原综合科学考察．在科考期间，陈
院士为同行的科研人员讲解专业知识，在空气稀薄的高原上开设了“院士课堂”．已知某地大气压强与海
平面大气压强之比为b，b与该地海拔高度 （单位：米）满足关系： （k为常数，e为自然对数的底）． 若科考队算得A地 ，海拔8700米的B地 ，则A，B两地的高度差的绝对值约为（
， ）（ ）
A．3164米 B．4350米 C．5536米 D．6722米
5．里氏震级是一种由科学家里克特 (Richter)和古登堡 (Gutenberg) 在1935年提出的地震震级标度， 其计
算公式为 ，其中 是距震源 100 公里处接收到的 0 级地震的地震波的最大振幅， 是指这次
地震在距震源100公里处接收到的地震波的最大振幅. 震源放出的能量越大，震级就越大，地震释放的能
量 焦耳. 若地震释放的能量增大为原来的1000倍，则地震波的最大振幅增大为原来的（ ）
A．10 倍 B．15 倍 C．48 倍 D．100 倍
6．随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽
车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资g（x）万元，当该款汽车年产量低于
400辆时， ，当年产量不低于400辆时， ，该款汽车售价为每
辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（ ）
A．1500万元 B．2100万元 C．2200万元 D．3800万元
二、多选题
7．若物体原来的温度为 （单位: ），环境温度为 （单位: ），物体的温度冷却到 ，单位:
）与需用时间 （单位:分钟）满足 为正常数.现有一杯开水 放在室温为
的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况（ ，则（ ）
A．当 时，经过10分钟，这杯水的温度大约为
B．当 时，这杯开水冷却到 大约需要14分钟C．若 ，则
D．这杯水从 冷却到 所需时间比从 冷却到 所需时间短
8．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ，那么 后物体的温度
（単位： ）可由公式 求得，其中 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正
常数．已知 ．（ ）
A．若 ，则经过 后，该物体的温度降为原来的
B．若 ，则存在 ，使得经过 后物体的温度是经过 后物体温度的的2倍
C．若 ，且 ，则
D．若 ，且 是 的导数，则
三、填空题
9．农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，
其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：
根据上表所提供信息，第 号区域的总产量最大．
10．小图给出了某池塘中的浮萍蔓延的面积 与时间 （月）的关系的散点图．有以下叙述：①与函数 相比，函数 作为近似刻画 与 的函数关系的模型更好；
②按图中数据显现出的趋势，第 个月时，浮萍的面积就会超过 ；
③按图中数据显现出的趋势，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍；
④按图中数据显现出的趋势，浮萍从 月的 蔓延到 至少需要经过 个月．
其中正确的说法有 （填序号）．
11．某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比一年利润增长8%，则2026年的利润是
万元.（结果精确到1万元）
12．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年4%的速度增加.按这个增长速度，大约经过
年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的4倍或4倍以上.(结果保留整数)(参考数据：
)
