文档文本内容
1 / 36
学科网（北京）股份有限公司
第12 讲整式的加法和减法
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 同类项的判断
题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值
题型3 合并同类项
题型4 去括号
题型5 添括号
题型6 整式的加减运算
题型7 整式的加减中化简求值
题型8 整式的加减中的无关型问题
题型9 整式的加减的应用
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
同类项、合并同类项、
去括号、系数相加、添
括号、整式加减。
1. 理解同类项的概念，能准确判断同类项（所含字母相同，相同字母的指数
也相同）。
2. 掌握合并同类项的法则，能熟练进行合并同类项运算，并体会“系数相加，
字母和指数不变”的算理。
3. 掌握去括号法则，能正确运用去括号法则进行整式的加减运算。
4. 能进行简单的整式加减混合运算（如求几个整式的和或差），并规范书写
计算过程。
学习重点：同类项的判别与合并同类项的法则，去括号法则及其在整式加减中的应用。
学习难点：准确识别同类项（特别是字母顺序不同或系数含负号时），以及去括号时符号变化的处理
（括号前是负号时各项都要变号）。
2 / 36
学科网（北京）股份有限公司
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 同类项、合并同类项
1.同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.
2.合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.
【易错提醒】
同类项易错警示：所含字母相同且相同字母指数相同。合并时系数相加，字母及指数不变。注意：常数项
是同类项，合并时要带符号（如-3+5=2）。勿将不是同类项的强行合并（如x2 与x 不能合并）。
即时即练1．下列各式中，与
2
2xy
是同类项的是（
）
A．
2
5x y
B．12xy
C．
2
13yx
D．
2y x
【答案】D
【分析】本题考查了同类项的概念，关键是抓住同类项概念中的两个相同：一是字母相同；二是相同字母
的指数也相同．根据同类项的概念，字母相同，相同字母的指数也相同的几个单项式叫做同类项，显然所
给的几个选项与
2
xy 的字母都相同，根据同类项的概念判断即可．
【详解】解：A．选项中字母x、y 的指数与
2
2xy
中x、y 的指均数不相同，故不是同类项；
B．选项中字母y 的指数与
2
2xy
中y 的指数不相同，故不是同类项；
C．选项中字母x、y 的指数与
2
2xy
中x、y 的指均数不相同，故不是同类项；
3 / 36
学科网（北京）股份有限公司
D．选项中的x、y 的指数均与
2
2xy
中x、y 的指数相同，故是同类项．
故选：D．
2．下列各题中，运算结果正确的是（
）
A．2
3
5
a
b
ab
B．
2
2
2
3
2
x
x
x
C．
2
7
7
a
a
a
D．
2
2
2
ab
ab
a
【答案】B
【分析】本题考查了合并同类项；根据合并同类项法则，系数相加减，字母及指数不变，逐项判断即可．
【详解】解：A．2
3
5
a
b
ab
中，a 和b 不是同类项，无法合并，故错误；
B．
2
2
2
3
2
x
x
x
中，同类项系数相减，3 1
2
，字母部分
2x 不变，结果为
2
2x ，正确；
C．
2
7
7
a
a
a
中，左侧7
8
a
a
a
，而非
2
7a ，故错误；
D．
2
2
2
ab
ab
a
中，
2
ab 与2ab 中的b 指数不同，不是同类项，无法合并，故错误；
故选：B．
3．若单项式
1
2
m
a
b
与
2
1
5
n
a b 的和仍是单项式，则
m
n 的值是（
）
A．3
B．6
C．8
D．9
【答案】C
【分析】此题考查了合并同类项，以及单项式，利用同类项定义求出m 与n 的值，即可求解．
【详解】
单项式
1
2
m
a
b
与
2
1
5
n
a b 的和仍是单项式，
∴
1
2
m
，
2
n
，
∴
3
m
，
2
n
，
∴
32
8
m
n
，
故选：C．
知识点02 去（添）括号法则
1. 若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；
2. 若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.
【注意】：（1）要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据；
（2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉；
（3）括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,
而忘记改变其余的符号；
（4）括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项；
（5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号.
4 / 36
学科网（北京）股份有限公司
【易错提醒】
去括号易错警示：括号前是“+”，各项不变号；括号前是“-”，各项**全变号**。添括号时，括号前是“-”，
括内各项全变号。注意：勿只变第一项，括号内所有项都要处理。且乘以系数时每项都要乘。
即时即练1．下列去括号或添括号正确的是（
）
A．
2
2
x
y
x
y
B．
1
1
x
y
x
y
C．
1
1
x
y
x
y
D．
1
1
x
y
x
y
【答案】D
【分析】本题考查去括号和添括号法则，解题的关键是熟练掌握去括号和添括号时符号的变化规律．
根据去括号和添括号的法则，对每个选项逐一进行分析判断．
【详解】A、根据去括号法则，
(
2)
2
x
y
x
y
，而不是
2
x
y
，该选项A 错误；
B、根据去括号法则，
(
1)
1
x
y
x
y
，而不是
1
x
y
，该选项B 错误；
C、根据添括号法则，
1
(
1)
x
y
x
y
，而不是
(
1)
x
y
，该选项C 错误；
D、根据添括号法则，
1
(
1)
x
y
x
y
，选项D 正确．
故选：D．
2．下列等式中，正确的是（
）
A．
2
2
m
n
m
m
B．
2
2
2
2
m
n
m
n
C．
5
1
5
5
m
n
m
n
D．
3
2
3
6
m
n
m
n
【答案】D
【分析】本题考查了去括号和添括号法则的应用，注意：当括号前是“ ”时，把括号和它前面的“”去掉，
括号内的各项都不改变符号，当括号前是“ ”时，把括号和它前面的“ ”去掉，括号内的各项都改变符号，
据此求解即可．
【详解】解：A、
2
2
m
n
m
m
，故该选项错误，不符合题意；
B、
2
2
2
1
m
n
m
n
，故该选项错误，不符合题意；
C、
5
1
5
5
m
n
m
n
，故该选项错误，不符合题题意；
D、
3
2
3
6
m
n
m
n
，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
知识点03 整式的加法与减法
1.整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算．几个整式相加
5 / 36
学科网（北京）股份有限公司
减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算．
（2）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算．
（3）运算结果，常将多项式的某个字母的降幂（升幂）排列.
2.整式加减的一般步骤
（1）如果有括号，那么先去括号；（2）观察有无同类项；（3）利用加法的交换律和结合律，分组同类项；
（4）合并同类项.
【易错提醒】
整式加减易错警示：实质是合并同类项。去括号时注意符号（括号前是负号全变号）。先找同类项，系数
相加减，字母及指数不变。结果按某一字母降幂排列，且不含同类项。勿漏项或抄错符号。
即时即练1．化简：
(1)3
4
2
5
ab
a
ab
a
；
(2)
2
2
2
2
3 3
a
ab
a
ab
．
【答案】(1)5
9
ab
a
(2) ab
【分析】（1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即
可；
（2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案．
本题主要考查整式的加减计算，合并同类项，去括号，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：3
4
2
5
ab
a
ab
a
3
2
4
5
ab
a
5
9
ab
a
．
（2）解：
2
2
2
2
3 3
a
ab
a
ab
2
2
2
2
2
3
a
ab
a
ab
ab
．
2．先化简，再求值
2
2
2
2
2
3
3
x y
xy
x y
xy
x y
，其中
2 ,
2
5
x
y
．
【答案】5xy ，4
【分析】本题考查整式加减中的化简求值，正确化简是解答的关键．先根据整式的加减运算法则化简原式，
进而代值求解即可．
【详解】解：
2
2
2
2
2
3
3
x y
xy
x y
xy
x y
2
2
2
2
4
3
9
x y
xy
x y
xy
x y
6 / 36
学科网（北京）股份有限公司
5xy
，
当
2
5
x
，
2
y
时，
原式
2
5
2
5
4
．
3．已知
2
3
4
A
x
x
xy
，
2
2
B
x
y
xy
．
(1)化简：2
3
A
B
；
(2)若2
3
A
B
的值与y 的取值无关，求此时2
3
A
B
的值．
【答案】(1) 2
11
3
x
xy
y
(2)
6
11
【分析】本题考查整式加减运算，代数式求值，熟练掌握整加减运算法则和整式无关型解题方法是解题的
关键．
（1）把
2
3
4
A
x
x
xy
，
2
2
B
x
y
xy
代入2
3
A
B
计算即可；
（2）先变形为
2
11
3
2
3 1
2
3
1
x
xy
y
x
x y
A
B
，再根据2
3
A
B
的值与y 的取值无关，得3 11
0
x
，
从而求出x 值，再代入计算即可．
【详解】（1）解：∵
2
3
4
A
x
x
xy
，
2
2
B
x
y
xy
，
∴2
3
A
B
2
2
6
2
8
6
3
3
x
x
xy
x
y
xy
2
11
3
x
xy
y
．
（2）解：∵
2
11
3
2
3 1
2
3
1
x
xy
y
x
x y
A
B
，
又∵2
3
A
B
的值与y 的取值无关，
∴3 11
0
x
，
∴
3
11
x
，
∴
1
2
3
6
2
3 11
2
0
1
1
3
1
x
x y
A
B
．
题型1 同类项的判断
【例1】下列各组代数式中，不是
．．同类项的是（
）
7 / 36
学科网（北京）股份有限公司
A．2 与2
B．
2
5xy
与
2
3xy
C．3t
与t
D．
2
2a b 与
2
b a
【答案】D
【知识点】同类项的判断
【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，单
独的两个数字也是同类项，据此可得答案．
【详解】解：A、2 与2
是同类项，不符合题意；
B、
2
5xy
与
2
3xy 是同类项，不符合题意；
C、3t
与t 是同类项，不符合题意；
D、
2
2a b与
2
b a 不是同类项，符合题意；
故选：D．
【例2】下列单项式中，与
2
ab 是同类项的是（
）
A．2ab
B．
2
2a b
C．
2
ab
D．
2
3
a b
【答案】C
【知识点】同类项的判断
【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
【详解】解：A、相同字母的指数不相同，不是同类项；
B、相同字母的指数不相同，不是同类项；
C、符合同类项的定义，是同类项；
D、相同字母的指数不相同，不是同类项；
故选：C．
【技巧归纳】
同类项：所含字母相同，且相同字母的指数相同。系数可不同。判断时只关注字母和指数，不关注顺序（如
3x²y 与-yx²是同类项）。常数项都是同类项。注意先化简再判断，如2xy 与x²y 不是同类项。
【变式1-1】下列各组式子中，属于同类项的是（
）
A．a 和2b
B．x 和
2
2x
C．
2x y和
2
2xy
D．1 和2
【答案】D
【知识点】同类项的判断
【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据
此可得答案．
【详解】解：由同类项的定义可知，四个选项中只有D 选项中的式子是同类项，
8 / 36
学科网（北京）股份有限公司
故选：D．
【变式1-2】下列各组式子中为同类项的是（
）
A．x 与y
B．4x 与
2
4x
C．
2
3x y
与
2
1
3 yx
D．
3
4
6x y 与
3
4
6x z
【答案】C
【知识点】同类项的判断
【分析】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易
混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关．
根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，逐项判定即可．
【详解】解：A、x 与y 字母不同不是同类项，故此选项不符合题意；
B、4x 与
2
4x 相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
C、
2
3x y
与
2
1
3 yx 所含字母相同且相同字母的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意；
D、
3
4
6x y 与
3
4
6x z 所含字母不全相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
故选：C．
题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值
【例3】若2
m
x y
与
2x y 是同类项，则m 的值是
．
【答案】2
【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值
【分析】本题主要考查的是同类项的定义，熟练掌握同类项的概念是解题的关键．
根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，得出m 的值．
【详解】解：∵2
m
x y
与
2x y 是同类项，
∴
2
m
．
故答案为：2．
【例4】已知单项式
4
3xy
与
2
a
b
x y
的和是单项式，则ab
．
【答案】2
【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、合并同类项
【分析】本题考查了合并同类项．同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类
项．根据同类项的定义直接可得到a、b 的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵单项式
4
3xy
与
2
a
b
x y
的和是单项式，
∴
4
3xy
与
2
a
b
x y
是同类项，
9 / 36
学科网（北京）股份有限公司
∴
1 2
4
a
b
，
，则
2
b
，
∴
2
ab
．
故答案为：2．
【技巧归纳】
根据同类项条件：相同字母指数相等，列方程。如3xa+1y 与-2x3yb 同类，则a+1=3 得a=2，b=1。若系数含
字母，系数可以不同但字母指数对应相等。解出参数，代入代数式求值即可。注意检验。
【变式2-1】如果单项式
4
2
ax y
与
3
8
b
x y 是同类项，那么b
a
．
【答案】1
【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值
【分析】本题考查了同类项概念，代数式求值，解题的关键在于正确掌握同类项概念．
根据同类项概念得到
3,
4
a
b
，进而代入b
a
求解，即可解题．
【详解】解：
单项式
4
2
ax y
与
3
8
b
x y 是同类项，
3,
4
a
b
，
4
3
1
b
a
；
故答案为：1．
【变式2-2】已知
1
2
2
3
m
m
x
y
与
3
3
n
x y 是同类项，则m
n
的值为
．
【答案】2
或4 ．
【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、绝对值的几何意义
【分析】本题考查了同类项的定义，绝对值的意义，根据同类项的定义求出
,
m n ，代入即可求解，掌握同
类项的定义是解题的关键．
【详解】解：∵
1
2
2
3
m
m
x
y
与
3
3
n
x y 是同类项，
∴2m
n
，
1
3
m
，
∴
2
m
或4
，
当
2
m
时，
4
n
，
2
4
2
m
n
，
当
4
m 时，
8
n ，
4
8
4
m
n
，
题型3 合并同类项
【例5】下列运算正确的是（
）
A．
2
2
4
x
x
x
B．
2
2
2
4
9
5
y
y
y
C．9
2
7
z
z
D．
2x
x
x
10 / 36
学科网（北京）股份有限公司
【答案】B
【知识点】合并同类项
【分析】本题考查了合并同类项，解题关键是能判断两项是否是同类项．
根据合并同类项法则，对四个式子逐一计算后作出判断．
【详解】解：
2
2
2
2
x
x
x
，故A 错误；
2
2
2
4
9
5
y
y
y
，故B 正确；
9
2
7
z
z
z
，故C 错误；
2x
x
中没有同类项，不能合并，故D 错误，
故选：B ．
【例6】下列计算正确的是（
）
A．5
2
3
a
a
a
B．
2
a
a
a
C．2
3
5
ab
ba
ab
D．
2
2
7
7
0
x y
xy
【答案】A
【知识点】合并同类项
【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此判断即可．
【详解】解：A、5
2
3
a
a
a
，写法正确，符合题意；
B、
0
a
a
，原写法错误，不符合题意；
C、2
3
ab
ba
ab
-
= -
，原写法错误，不符合题意；
D、
2
7x y 与
2
7xy 不是同类项，不能合并，原写法错误，不符合题意；
故选：A．
【技巧归纳】
合并同类项：系数相加（带符号），字母和指数不变。如3x²-2x²=(3-2)x²=x²。找同类项时圈出，分别合并，
注意符号。结果中同类项只剩一项。常数项合并为常数。合并后检查是否最简，不再有同类项。
【变式3-1】下面计算正确的是（
）
A．
2
2
2
3
5
2
a b
a b
a b
B．
2
2
4
a
a
a
C．
2
3
5
3
2
5
a
a
a
D．6
5
1
a
a
【答案】A
【知识点】合并同类项
【分析】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据合并同类项的结果，逐
项判断即可求解．
【详解】解：A、
2
2
2
3
5
2
a b
a b
a b
，故本选项正确，符合题意；
11 / 36
学科网（北京）股份有限公司
B、
2
2
2
2
a
a
a
，故本选项错误，不符合题意；
C、
2
3a 和
3
2a 不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
D、6
5
a
a
a ，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
【变式3-2】下列计算正确的是（
）
A．3
2
a
a
B．3
2
1
ab
ab
C．
2
2
2
2
3
5
a b
ba
a b
D．8
3
11
x
y
xy
【答案】C
【知识点】合并同类项
【分析】本题考查了合并同类项，根据含有相同字母，且相同字母的指数也相同的项为同类项，合并同类
项法则进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、3
2
2
a
a
a
，故该选项不符合题意；
B、3
2
1
ab
ab
ab
，故该选项不符合题意；
C、
2
2
2
2
3
5
a b
ba
a b
，故该选项符合题意；
D、8 3
x y
,
不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
故选：C
题型4 去括号
【例7】去括号：
2
3
a
b
．
【答案】2
3
a
b
【知识点】去括号
【分析】本题考查了去括号法则，如果括号前是正号，去掉括号和括号前面的正号，括号里面各项符号不
变；如果括号前是负号，去掉括号和括号前面的负号，括号里面各项符号改变．解决本题的关键是根据去
括号的法则去括号即可．
【详解】解：
2
3
2
3
a
b
a
b
．
故答案为：2
3
a
b
．
【例8】化简：
3
5
x
y
．
【答案】3
5
x
y
/5
3
y
x
【知识点】去括号
【分析】本题考查了整式的加减，掌握去括号法则是解题关键．根据去括号法则计算即可．
【详解】解：
3
5
3
5
x
y
x
y
，
故答案为：3
5
x
y
．
12 / 36
学科网（北京）股份有限公司
【技巧归纳】
括号前是“+”：去括号后各项不变号；是“-”：去括号后各项变号。多重括号从内到外逐层去。注意分
配律：括号前有系数，先乘系数再去括号，或去括号后再乘。如-2(x-1)=-2x+2。移项时也适用。
【变式4-1】化简：
2
3
a
b
c
．
【答案】
2
3
a
b
c
【知识点】去括号
【分析】本题考查了整式的加减．去括号，即可求解．
【详解】解：
2
3
2
3
a
b
c
a
b
c
，
故答案为：
2
3
a
b
c
．
【变式4-2】化简
2
x
x
y
的结果是
．
【答案】
x
y
【知识点】合并同类项、去括号
【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．
根据去括号法则和合并同类项法则逐步化简即可．
【详解】解：
2
x
x
y
2
x
x
y
x
y
，
故答案为：
x
y．
题型5 添括号
【例9】下列各式左右两边相等的是（
）
A．
(
)
a
b
c
a
b
c
B．
a
b
c
a
b
c
C．
2(
)
2
c
a
b
c
a
b
D．
a
b
c
d
a
d
b
c
【答案】B
【知识点】去括号、添括号
【分析】本题考查去括号，添括号，根据去括号和添括号法则，逐一进行判断即可，注意括号外面是负号，
括号内的每一项都要变号，括号外面有系数，括号内的每一项都要乘这个系数．
【详解】解：A、
(
)
a
b
c
a
b
c
，该选项错误，不符合题意；
B、
a
b
c
a
b
c
，该选项正确，符合题意；
C、
2(
)
2
2
c
a
b
c
a
b
，该选项错误，不符合题意；
13 / 36
学科网（北京）股份有限公司
D、
a
b
c
d
a
d
b
c
，该选项错误，不符合题意；
故选B．
【例10】下列式子变形正确的是（
）
A．
a
b
c
a
b
c
B．
2
2
2
a
b
a
b
C．
3
2 2
1
3
4
1
a
b
a
b
D．
a
b
a
b
【答案】D
【知识点】去括号、添括号
【分析】本题主要考查了去括号和添括号，根据去括号法则和添括号法则进行分析即可．
【详解】解：
a
b
c
a
b
c
，故A 选项变形错误；
2
2
2
a
b
a
b
，故B 选项变形错误；
3
2 2
1
3
4
2
a
b
a
b
，故C 选项变形错误；
a
b
a
b
，故D 选项变形正确；
故选D．
【技巧归纳】
添括号法则：括号前添“+”，各项不变；添“-”，各项变号。常用技巧：为凑平方、提公因式或降次。
如a-b+c = a-(b-c)。添加时注意检验去掉括号后能否还原。与去括号互为逆运算，可互验。
【变式5-1】下列去括号或添括号的变形中，正确的是（
）
A．
a
b
c
a
b
c
B．
a
b
c
a
b
c
C．
a
b
c
a
b
c
D．
a
b
c
a
b
c
【答案】B
【知识点】去括号、添括号
【分析】本题考查整式加减中的去括号与添括号，去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括
号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符
号相反．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负
号，括到括号里的各项都改变符号．根据去括号和添括号法则求解判断即可．
【详解】解∶A ．
a
b
c
a
b
c
，原添括号错误，故该选项不符合题意；
B ．
a
b
c
a
b
c
，原去括号正确，故该选项符合题意；
C ．
a
b
c
a
b
c
，原添括号错误，故该选项不符合题意；
D ．
a
b
c
a
b
c
，原去括号错误，故该选项不符合题意；
14 / 36
学科网（北京）股份有限公司
故选：B．
【变式5-2】下列式子变形正确的是（
）
A．
a
b
c
a
b
c
B．
a
b
a
b
C．
3
2 2
1
3
4
1
a
b
a
b
D．
2
2
2
a
b
a
b
【答案】B
【知识点】去括号、添括号
【分析】本题主要考查去括号法则，直接利用去括号法则判断得出即可．
【详解】解：A.
a
b
c
a
b
c
，原变形错误，故此选项不符合题意；
B.
a
b
a
b
，原变形正确，故此选项符合题意；
C.
3
2 2
1
3
4
2
a
b
a
b
，原变形错误，故此选项不符合题意；
D.
2
2
2
a
b
a
b
，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
题型6 整式的加减运算
【例11】计算：
(1)
2
2
2
6
5
5
x
x
x
x
(2)
2
2
3 2
3
5
4
3
x
xy
x
xy
【答案】(1)
2
5
x
x
(2)
2
2
5
3
x
xy
【知识点】整式的加减运算
【分析】本题考查了整式加减混合运算，掌握整式加减混合运算步骤是解题的关键．
（1）进行整式加减运算，即可求解；
（2）先去括号，再进行整式加减运算，即可求解．
【详解】（1）解：原式
2
2
2
6
5
5
x
x
x
x
2
5
x
x
；
（2）解：原式
2
2
6
9
15
4
4
12
x
xy
x
xy
2
2
5
3
x
xy
．
【例12】合并同类项：
(1)9
4
3
2
a
a
b
b
；
(2)
8
2
5
2
a
b
a
b
；
15 / 36
学科网（北京）股份有限公司
(3)
2
2
2 2
3
4
x
xy
x
xy
；
【答案】(1)5a
b
(2)3
4
a
b
(3)10xy
【知识点】合并同类项、整式的加减运算
【分析】本题主要考查了整式的加减计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可；
（2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案；
（3）先去括号，然后合并同类项即可得到答案．
【详解】（1）解：9
4
3
2
a
a
b
b
9
4
3
2
a
b
5a
b
；
（2）解：
8
2
5
2
a
b
a
b
8
2
5
2
a
b
a
b
3
4
a
b
；
（3）解：
2
2
2 2
3
4
x
xy
x
xy
2
2
4
6
4
4
x
xy
x
xy
10xy
．
【技巧归纳】
先去括号，再合并同类项。去括号时注意符号变化。合并后检查是否最简。若含多个字母，按某字母降幂
排列书写。运算结果不含同类项，分母无字母。计算时步骤清晰，避免跳步造成符号错误。
【变式6-1】化简：
(1)
2
2
2
5
4
2
6
3
m n
mn
mn
m n
mn
；
(2)
8
5
2 3
x
y
y
x
；
(3)
2
2
2
2
2 2
3
2 5
4
ab
a b
ab
a b
．
【答案】(1)
2
2
4
m n
mn
mn
(2) 6x
y
(3)
2
2
14
14
ab
a b
【知识点】合并同类项、整式的加减运算
【分析】本题考查了整式的加减运算，其实质是去括号，合并同类项，掌握去括号与合并同类项法则是解
题的关键．
16 / 36
学科网（北京）股份有限公司
（1）直接合并同类项即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可；
（3）先去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
5
4
2
6
3
m n
mn
mn
m n
mn
2
2
2
( 5
6
)
4
( 2
3
)
m n
m n
mn
mn
mn
2
2
4
m n
mn
mn ；
（2）解：
8
5
2 3
x
y
y
x
8
5
6
2
x
y
y
x
6x
y
；
（3）解：
2
2
2
2
2 2
3
2 5
4
ab
a b
ab
a b
2
2
2
2
4
6
10
8
ab
a b
ab
a b
2
2
14
14
ab
a b
．
【变式6-2】计算：
(1)
2
2
3
6
9
6
4
7
x
x
x
x
；
(2)
2
2
2
2
2
3
2
3 2
3
2
a b
ab
a
a b
a
a b
ab
；
(3)
2
2
1
3
2
6
4
8
2
2
x
xy
xy
x
xy
．
【答案】(1)
2
16
x
(2)
2
10
a b
a
(3)
2
5
1
x
xy
【知识点】整式的加减运算
【分析】本题主要考查整式的混合运算
（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可；
（3）先去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）原式
2
2
3
6
9
6
4
7
x
x
x
x
2
16
x
；
（2）原式
2
2
2
2
2
3
2
6
9
2
2
a b
ab
a
a b
a
a b
ab
2
10
a b
a
（3）原式
2
2
3
6
3
2
4
1
x
xy
xy
x
xy
2
5
1
x
xy
17 / 36
学科网（北京）股份有限公司
题型7 整式的加减中化简求值
【例13】先化简，再求值，
2
2
2
]
5
(
6
3
2
[
)
4
2
x
x
x
x
x
，其中
5
x
．
【答案】2
4
x
；6
【知识点】整式的加减中的化简求值
【分析】本题考查整式化简求值，涉及整式加减运算法则、去括号法则与合并同类项法则，熟练掌握相关
运算法则是解决问题的关键．根据整式加减运算法则化简，先去括号，再合并同类项，然后将
5
x
代入求
值即可得到答案．
【详解】解：
2
2
2
]
5
(
6
3
2
[
)
4
2
x
x
x
x
x
；
2
2
2
5
6
3
2
8
4
x
x
x
x
x
；
2
2
2
5
6
3
2
8
4
x
x
x
x
x
；
2
4
x
；
当
5
x
时，原式
10
4
6
．
【例14】先化简，再求代数式
2
2
2
2
2
4
3
x
xy
x
xy
x
的值，其中
1
x ，
2
y ．
【答案】
2
2xy ，8
【知识点】整式的加减中的化简求值
【分析】本题考查了整式加减中的化简与求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．利用整式加
减的运算法则化简，再代入,x y 的值计算即可．
【详解】解：
2
2
2
2
2
4
3
x
xy
x
xy
x
2
2
2
2
2
4
3
x
xy
x
xy
x
2
2
2
2
2
4
3
x
xy
x
xy
x
2
2xy
，
代入
1
x ，
2
y ，原式
2
2 1
2
8
．
【技巧归纳】
先化简（去括号、合并同类项），再将字母值代入化简后的式子。注意负数代入加括号，分数代入可先化
简。如果已知整体值，用整体代入法。化简后计算更简便，减少错误。结果化为最简形式。
【变式7-1】化简求值：
2
2
1
1
3
1
2
2
3
2
3
x
x
y
x
y
，其中
2
3
x
，
3
y
【答案】
2
3x
y
，7
【知识点】整式的加减中的化简求值
18 / 36
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题主要考查了整式的加减计算，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解；
2
2
1
1
3
1
2
2
3
2
3
x
x
y
x
y
2
2
1
2
3
1
2
2
3
2
3
x
x
y
x
y
2
3x
y
，
当
2
3
x
，
3
y
时，原式
2
2
3
3
2
9
7
3
．
【变式7-2】已知
2
1
|
2 |
0
2
a
b
，求
2
2
2
2
2
3
2 2
a b
ab
a b
ab
a b
的值
【答案】1
2
【知识点】绝对值非负性、整式的加减中的化简求值
【分析】本题考查了绝对值的非负性、整式的加减、代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
先根据绝对值的非负性求出a 和b ，化简代数式，代入求值即可．
【详解】解：∵
2
1
2
0
2
a
b
，
∵
2
0
a
，
2
1
0
2
b
，
∴
2
0
a
，
2
1
0
2
b
，
解得：
2
a
，
1
2
b
，
2
2
2
2
2
3
2 2
a b
ab
a b
ab
a b
2
2
2
2
2
3
4
2
a b
ab
a b
ab
a b
2
ab
，
当
2
a
，
1
2
b
时，
2
2
1
1
1
2
2
2
4
2
ab
．
题型8 整式的加减中的无关型问题
【例15】小刚在做一道题“已知两个多项式A，B，计算A
B
”时，误将A
B
看成A
B
，求得的结果是
5
4
2
x
mx
，已知
1
B
mx
x
．
(1)求整式A；
19 / 36
学科网（北京）股份有限公司
(2)若
2
A
B
的值与x 无关，求m 的值．
【答案】(1) 4
3
3
x
mx
；
(2)
2
m
．
【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题
【分析】本题主要考查了整式的加减运算、无关性问题等知识点，灵活运用整式的加减运算法则成为解题
的关键
（1）根据A
A
B
B
，列式计算即可．
（2）由（1）得出多项式A，然后根据整式的加减运算法则化简，然后让x 的系数为零即可．
【详解】（1）解：由题意知，
5
4
2
x
A
x
B
m
，
1
B
mx
x
∴
5
4
2
1
A
x
mx
mx
x
5
4
2
1
x
mx
mx
x
4
3
3
x
mx
．
（2）解：
2
A
B
4
3
3
2
1
x
mx
mx
x
4
3
3
2
2
2
x
mx
mx
x
2
5
x
mx
2
5
m x
，
∵
2
A
B
的值与x 无关，
∴2
0
m
，
∴
2
m
．
【例16】已知代数式．
2
2
2
2
2
1
A
x
xy
y
B
x
xy
x
，
，若代数式2A
B
中不含x 的项．
(1)求y 的值；
(2)求代数式
2
4
4
y
y
的值．
【答案】(1)
1
4
y
(2) 49
16
【知识点】整式加减中的无关型问题、已知字母的值，求代数式的值
【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，注意计算的准确性即可．
（1）计算2A
B
，令x 的项的系数为零即可求解；
（2）将
1
4
y
代入计算即可.
【详解】（1）解：
2
2
2
2
2
2
2
1
A
B
x
xy
y
x
xy
x
2
2
2
2
4
2
2
1
x
xy
y
x
xy
x
2
2
2
2
4
2
2
1
x
xy
y
x
xy
x
20 / 36
学科网（北京）股份有限公司
4
4
1
xy
y
x
4
1
4
1
y
x
y
∵代数式2A
B
中不含x 的项，
∴4
1
0
y
，
解得：
1
4
y
（2）解：
2
4
4
y
y
2
1
1
49
4
4
4
4
16
【技巧归纳】
若结果与某字母无关，则合并后该字母的系数为0。先化简整式，合并含该字母的项，令其系数和为0，解
参数。如结果与x 无关，则所有含x 项的系数之和为0。注意常数项不影响无关性。代入验证。
【变式8-1】已知：
2
2
3
2
1
A
a
ab
a
，
2
1
B
a
ab
(1)化简：A
B
；
(2)若
2
A
B
的值与a 的取值无关，求b 的值．
【答案】(1)
2
3
2
2
a
ab
a
(2)
2
5
b
【知识点】整式加减中的无关型问题
【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟知与a 的取值无关即含a 的项的系数为0 是解题的关
键．
（1）根据整式的加减计算法则求解即可；
（2）根据
2
A
B
的值与a 的取值无关，求出
2
A
B
的式子中含a 的项的系数为0 ，据此求解即可．
【详解】（1）解：
2
2
3
2
1
A
a
ab
a
，
2
1
B
a
ab
，
A
B
2
2
1
2
3
2
1
a
a
ab
a
b
a
2
2
2
3
2
1
1
a
ab
a
a
ab
2
3
2
2
a
ab
a
；
（2）
2
A
B
2
2
2
3
2
1
2
1
a
ab
a
a
ab
2
2
2
3
2
1
2
2
2
a
ab
a
a
ab
5
2
3
ab
a
21 / 36
学科网（北京）股份有限公司
5
2
3
b
a
，
2
A
B
的值与a 的取值无关，
5
2
b
a
的值与a 的取值无关，
5
2
0
b
，
解得：
2
5
b
．
【变式8-2】已知
4
2
3
2
A
a
ab
b
，
15
6
B
a
b
ab
．
(1)当
3
2
a
b
ab
，
时，求2A
B
的值；
(2)若2A
B
的值与a 的取值无关，求b 的值，并求2A
B
的值．
【答案】(1)27
(2)
9
2
b
，
89
2
2
A
B
【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减中的化简求值
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题：
（1）根据整式的加减计算法则求出2A
B
的结果，再把
3
2
a
b
ab
，
整体代入求解即可；
（2）将在（1）的基础上，进一步化简，要使2A
B
的值与a 的取值无关，则令含有a 的项的系数为0 即
可就出b 的值，再带入2A
B
即可求解2A
B
的值．
【详解】（1）解：∵
4
2
3
2
A
a
ab
b
，
15
6
B
a
b
ab
，
∴2A
B
2 4
2
3
2
15
6
a
ab
b
a
b
ab
8
4
6
4
15
6
a
ab
b
a
b
ab
9
9
2
4
a
b
ab
9
2
4
a
b
ab
，
∵
3
2
a
b
ab
，
，
∴原式
9
3
2
2
4
27
；
（2）解；由（1）可得
2
9
9
2
4
9
2
9
4
A
B
a
b
ab
b a
b
，
∵2A
B
的值与a 的取值无关，
∴9
2
0
b
，
∴
9
2
b
，
∴
9
89
2
9
4
9
4
2
2
A
B
b
。
22 / 36
学科网（北京）股份有限公司
题型9 整式的加减的应用
【例17】如图，在一个长方形小广场上，有两块大小相同的正方形空地供人们休息（有关线段的长如图所
示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．（单位：米）
(1)用含x
y
，的式子表示“T”型图形的周长并化简；
(2)若
5
10
x
y
，
，要给“T”型区域围上价格为30 元/米的围栏，请计算围栏的造价．
【答案】(1)
6
6
x
y
米；
(2)围栏的造价是2700 元．
【知识点】已知字母的值，求代数式的值、整式加减的应用、列代数式
【分析】本题考查代数式求值，列代数式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据周长的定义求解；
（2）利用（1）中结论计算即可．
【详解】（1）解：由图形可得阴影部分的周长为
2 2
2
2
x
y
x
y
4
2
2
4
x
y
x
y
6
6
x
y
（米）．
（2）解：当
5,
10
x
y
时，
6
6
6
5
6
10
90
x
y
+
=
´
+
´
=
（米），
90
30
2700
（元）．
答：围栏的造价是2700 元．
【例18】项目式学习．
【项目主题】校园分布图制作．
【项目背景】为了让初一新生更快熟悉校园生活，善思小组成员准备为初一新生制作简易版校园分布图．
【实践操作】操作一：善思小组根据校园的活动区域分布，将校园分布图分为教学区、操场、学生活动中
心、图书馆四个主要区域；
操作二：根据小组成员的实际测量与记录，绘制如图所示的校园总体分布图（单位：m ）．
23 / 36
学科网（北京）股份有限公司
【项目思考】
(1)用整式表示这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积；
(2)若|
| 150
a
，b 的倒数是1
40 ，求这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积．
【答案】(1)
2
250
130
m
a
b
(2)
2
32300m
【知识点】倒数、列代数式、已知字母的值，求代数式的值、整式加减的应用
【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，绝对值意义，倒数定义，解题的关键是理解题意，熟练
掌握长方形的面积公式．
（1）根据长方形的边长和面积公式表示出学校的操场和学生活动中心一共占地的面积即可；
（2）根据|
| 150
a
，b 的倒数是1
40 ，得出
150
a
，
40
b
，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：学校的操场的占地面积为
2
130
m
a
b
，
学生活动中心的占地面积为
2
120 m
b
，
这个学校的操场和学生活动中心一共占地面积为：
2
130
120
130
130
120
250
130
m
a
b
b
a
b
b
a
b
；
（2）解：∵|
| 150
a
，b 的倒数是1
40 ，
∴
150
a
，
40
b
，
∵
0
a
，
∴
150
a
，
把
150
a
，
40
b
代入得：
原式
2
250 150 130
40
32300 m
，
答：这个学校的操场和学生活动中心一共占地
2
32300m ．
【技巧归纳】
应用如求周长、面积、利润等。先设未知数，列代数式（整式），再加减化简。注意单位统一。实际问题
中化简后可能还需代入具体值。利用整式表示数量关系，通过运算简化表达式，便于进一步求解。
24 / 36
学科网（北京）股份有限公司
【变式9-1】某小区的一块长方形绿地的造型如图所示（单位：m），其中两个扇形表示绿地，两块绿地用
五彩石隔开．
(1)绿地的面积为_____平方米；（用含有a，b，π的式子表示）
(2)若
1
2
b
a
，
①若铺设五彩石费用为每平方米160元，种草的费用为每平方米80元，则美化这块长方形区域共需多少元？
（用含有a，π的式子表示）
②若要求绿地面积大于这块地总面积的3
5 ，试问该设计方案是否合乎要求？请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
(
)
4
a
b
(2)①
2
2
(240
25
)
a
a
元；②该设计方案合乎要求，理由见解答
【知识点】列代数式、整式加减的应用
【分析】本题考查了列代数式，根据各数量之间的关系，用含a ，b 的代数式表示出各区域的面积是解题的
关键．
（1）将两个扇形的面积相加，即可用含有a ，b ，的式子表示出绿地的面积；
（2）代入
1
2
b
a
，用含有a ，的式子表示出绿地的面积．
①利用美化这块长方形区域所需费用铺设每平方米五彩石所需费用（这块地的总面积绿地的面积）
种每平方米草所需费用绿地面积，即可用含有a ，的式子表示出美化这块长方形区域所需费用；
②求出这块地总面积的3
5 ，将其与绿地面积比较后，即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：绿地的面积为
2
2
2
2
1
1
1 (
)
4
4
4
a
b
a
b
（平方米）．
故答案为：
2
2
1
(
)
4
a
b
；
（2）解：当
1
2
b
a
时，
2
2
1
(
)
4
a
b
2
2
1
1
[
(
) ]
4
2
a
a
2
5
16
a ．
①根据题意得：
2
2
1
5
5
160[
]
80
2
16
16
a
a a
a
a
2
2
2
3
5
5
160
80
2
16
16
a
a
a
25 / 36
学科网（北京）股份有限公司
2
2
2
3
5
5
160
160
80
2
16
16
a
a
a
2
2
2
240
50
25
a
a
a
2
2
(240
25
)
a
a
（元) ，
美化这块长方形区域共需
2
2
(240
25
)
a
a
元；
②该设计方案合乎要求，理由如下：
这块地总面积的3
5 是
2
2
3
1
9
0.9
5
2
10
a
a a
a
a
（平方米）．
2
2
2
5
0.98
0.9
16
a
a
a
，
该设计方案合乎要求．
【变式9-2】如图，长为60cm，宽为
cm
x
的大长方形被分割成7 小块，除阴影A ，B 外，其余5 块是形状、
大小完全相同的小长方形．其较短一边长为
cm
y
．
(1)从图中可知，这5 块完全相同的小长方形中，每块小长方形较长边的长是_______cm（用含y 的代数式表
示）．
(2)分别计算阴影A ，B 的周长（用含x ，y 的代数式表示）．
(3)阴影A 与阴影B 的周长差会不会随着x 的变化而变化？请说明理由．
【答案】(1)
60
3y
(2)阴影A 的周长为(2
10
120)cm
x
y
，阴影B 的周长为(2
12
120)cm
x
y
(3)阴影A 与阴影B 的周长差不会随着x 的变化而变化，理由见解析
【知识点】整式加减的应用
【分析】本题考查了列代数式、整式加减法的应用；
（1）利用大长方形的长减去形状、大小完全相同的小长方形的宽的3 倍即可得；
（2）先分别求出阴影A
B
，的长与宽，再根据长方形的周长公式计算即可得A
B
，的周长；
（3）根据整式的加减法法则计算即可得．
【详解】（1）解：由图可知，每块小长方形较长边的长是
60
3
cm
y
，
故答案为：
60
3y
；
（2）解：由图可知，阴影A 的长为
60
3
cm
y
，宽为
2
cm
x
y
，
26 / 36
学科网（北京）股份有限公司
阴影B 的长为3 cm
y
，宽为
60
3
3
60 cm
x
y
x
y
，
则阴影A 的周长为
2
2
60
3
2
10
120 cm
x
y
y
x
y
，
阴影B 的周长为
2 3
3
60
2
12
120 cm
y
x
y
x
y
；
（3）解：阴影A 与阴影B 的周长差为
2
10
120
2
12
120
x
y
x
y
2
10
120
2
12
120
x
y
x
y
22
240 cm
y
，
所以阴影A 与阴影B 的周长差不会随着x 的变化而变化．
一、单选题
1．下面不是同类项的是（
）
A．3
与4
B．
2
2a b
与
2
a b
C．
2
2
x y
与
2
2
6x y
D．2m 与2n
【答案】D
【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类
项，所有常数项都是同类项，逐一判断选项即可得到结果．
【详解】解：∵选项A 中，3
和4 都是常数项，所有常数项都是同类项，因此A 是同类项；
∵选项B 中，
2
2a b
与
2
a b 所含字母都是a、b，a 的指数都是2，b 的指数都是1，符合同类项定义，因此
B 是同类项；
∵选项C 中，
2
2
x y
与
2
2
6x y 所含字母都是x、y，x 的指数都是2，y 的指数都是2，符合同类项定义，因
此C 是同类项；
∵选项D 中，2m 所含字母为m，2n 所含字母为n，所含字母不同，不符合同类项定义，因此D 不是同类
项．
2．下面的计算正确的是（
）．
A．
2
2
a
b
a
b
B．
2
3
a
a
a
C．
m
n
m
n
D．3
2
a
a
a
【答案】D
【详解】解：选项A，根据去括号法则，
2
2
2
2
a
b
a
b
a
b
，A 错误；
27 / 36
学科网（北京）股份有限公司
选项B，a 与
2
a 不是同类项，不能合并，B 错误；
选项C，根据去括号法则，
m
n
m
n
m
n
，C 错误；
选项D，根据合并同类项法则，
3
2
3
2
a
a
a
a
，计算正确，D 正确．
3．若
2
5
a
b
x
与
2
1
4 x
为同类项，则4
10
6
a
b
的值为（
）
A．8
B．10
C．12
D．14
【答案】B
【分析】利用同类项的定义得到2
5
a
b
的值，再通过变形所求代数式，整体代入计算结果．
【详解】解：
2
5
a
b
x
与
2
1
4 x
是同类项，
∴2
5
2
a
b
，
4
10
6
2(2
5 )
6
a
b
a
b
2 2
6
10
．
4．已知
2
3
a
b
，则代数式
3
6
2
2
4
a
b
a
b
的值是（
）
A．19
B．20
C．21
D．22
【答案】A
【分析】本题考查代数式化简求值，利用整体代入法求解，先将原式整理为含
2
a
b
的形式，再代入已知条
件计算即可.
【详解】解：
2
3
a
b
Q
∴3
6
2(
2 )
4
a
b
a
b
3(
2 )
2(
2 )
4
a
b
a
b
5(
2 )
4
a
b
5 3
4
19
5．如图，长为
cm
y
，宽为
cm
x
的大长方形被分割为7 小块，除阴影A ，B 外，其余5块是形状、大
小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm ，下列说法中正确的是（
）
①小长方形的较长边为
15
y
；②阴影A 的较短边和阴影B 的较短边之和为
5
x
y
；③阴影A 和阴影B 的
周长之和与y 值无关．
A．①③
B．①②③
C．①②
D．②③
【答案】A
【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长，即可判断①；
28 / 36
学科网（北京）股份有限公司
②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影
,
A B 的较短边长，将其相加可得出阴影A 的较短边和
阴影B 的较短边之和，即可判断②；
③利用长方形的周长计算公式可得出阴影A 和阴影B 的周长之和，即可判断③；
结合图形逐一分析说法的正误是解题的关键．
【详解】解：
其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm ，
①小长方形的较长边为
15
y
，说法正确；
②阴影A 的较短边为：
10
x
，
阴影B 的较短边为：
15
15
x
y
x
y
，
阴影A 的较短边和阴影B 的较短边之和为：
10
15
2
5
x
x
y
x
y
，
故②说法错误；
③阴影A 的周长为：
2
15
10
2
2
50
y
x
x
y
，
阴影B 的周长为：
2 15
15
2
2
60
x
y
x
y
，
阴影A 和阴影B 的周长之和为：2
2
50
2
2
60
4
10
x
y
x
y
x
，
阴影A 和阴影B 的周长之和与y 值无关，说法正确；
综上所述，说法中正确的是①③．
二、填空题
6．化简：
2
3
2
a
b
a
b
-
______．
【答案】
5b
【详解】解：原式
2
3
2
2
a
b
a
b
，
2
2
3
2
a
a
b
b
，
5b
．
7．若
3
5
n
x y 与
2
m
x y
是同类项，则mn 的值为______．
【答案】
6
【分析】同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，根据同类项的定义求出m
和n 的值，再代入计算即可．
【详解】解：
3
5
n
x y 与
2
m
x y
是同类项，
3
m
，
2
n
，
3 2
6
mn
．
8．已知
2
3
a
b
，则
2 2
10
4
a
b
b
_____．
【答案】16
29 / 36
学科网（北京）股份有限公司
【分析】先去括号，再合并同类项化简，然后将
2
3
a
b
整体代入计算即可．
【详解】解：∵
2
3
a
b
，
∴
2 2
10
4
a
b
b
4
2
10
4
a
b
b
4
8
4
a
b
4
2
4
a
b
4 3
4
16
．
9．已知
2
3
8
1
A
x
x
，
2
2
2
3
B
a x
b
x
．若
+
A B 的值与x 的取值无关，则a
b
___．
【答案】1
【分析】本题考查整式的加减运算，理解代数式的值与某个字母取值无关的含义，即该字母各项的系数均
为0 ，掌握合并同类项法则即可求解．
【详解】解：
2
2
3
8
1
2
2
3
A
B
x
x
a x
b
x
2
2
3
8
1
2
2
3
x
x
ax
a
bx
b
2
3
8
2
1 2
3
a x
b x
a
b
，
因为A
B
的值与x 的取值无关，所以x 的各项系数为0 ，可得
3
0
a
，8
2
0
b
，
解得
3
a ，
4
b
，
则
3
4
1
a
b
．
10．如图所示，圆圈中分别填入0 到9 这10 个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间两个
数A 与B 的和是________．
【答案】9
【详解】解：首先，0 到9 这10 个数的总和是：
0 1 2
3
4
5
6
7
8
9
45
，
图中有3 个正方形，每个正方形顶点上的四个数之和都是18，所以三个正方形的总和是：
18 3
54
，
注意到中间的A 和B 被重复计算了一次，其余的数都只计算了一次，
∴54
45
A
B
，
解得：
54
45
9
A
B
．
30 / 36
学科网（北京）股份有限公司
三、解答题
11．化简：
(1)
2
x
x
．
(2)
2
3
3
2
3
2
2
4
3
x y
y x
x y
．
(3)
4
7
2 3
2
x
x
．
(4)
2
2
3
4
2
5
x
x
x
x
．
(5)
2
2
2
4
2
3
x y
x y
y
x y
xy
．
(6)
2
2
5
3
2 2
3
7
x
x
x
x
．
【答案】(1)
x
(2)
3
2
2
3
3
2
x y
x y
(3)10
3
x
(4)
2
1
x
(5)
2
3
2
3
x y
y
xy
(6)
2
2
6
x
x
【详解】（1）解：
2
x
x
x
（2）
2
3
3
2
3
2
2
4
3
x y
y x
x y
2
3
3
2
3
2
2
4
3
x y
y x
x y
3
2
2
3
2
3x y
x y
（3）
4
7
2 3
2
x
x
4
7
6
4
x
x
10
3
x
（4）
2
2
3
4
2
5
x
x
x
x
2
2
3
4
2
5
x
x
x
x
2
1
x
（5）
2
2
2
4
2
3
x y
x y
y
x y
xy
2
2
2
4
2
2
3
3
x y
x y
y
x y
xy
2
3
2
3
x y
y
xy
（6）
2
2
5
3
2 2
3
7
x
x
x
x
2
2)
5
3
4
6
(
7
x
x
x
x
2
2
5
3
4
6
7
x
x
x
x
2
2
6
x
x
31 / 36
学科网（北京）股份有限公司
12．先化简，再求值：
2
2
2
2
3
4
2
5
x
xy
x
xy
x
xy
，其中
1
x ，
2
y
．
【答案】
2
6
4
x
xy
，2
【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入计算即可．
【详解】解：
2
2
2
2
3
4
2
5
x
xy
x
xy
x
xy
2
2
2
2
3
4
2
10
x
xy
x
xy
x
xy
2
6
4
x
xy
，
当
1
x ，
2
y
时，原式
2
6
1
4
1
2
6
8
2
．
13．以下是一道习题及嘉嘉的解答过程：
计算：
2
2
5
2
1
4 3
2
a
a
a
a
．
解：原式
2
2
5
2
1 12
8
a
a
a
a
……第一步
2
2
5
2
8
1 12
a
a
a
a
……第二步
2
6
10
13
a
a
．……第三步
(1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程；
(2)当
1
a 时，求此代数式的值．
【答案】(1)一；过程见解析
(2) 6
【分析】（1）观察嘉嘉的解答过程，可知第一步去括号错误，根据去括号合并同类项的步骤写出正确的步
骤；
（2）把
1
a 代入（1）中化简的结果计算即可．
【详解】（1）解：嘉嘉是从第一步开始出错的，
正确解答过程如下：
原式
2
2
5
2
1 12
8
4
a
a
a
a
2
2
5
4
2
8
1 12
a
a
a
a
2
6
13
a
a
．
（2）解：当
1
a 时，原式
1 6 1 13
6
．
14．如图，某小区有一块长为
2
3
a
米、宽为3b 米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个
长为
2
a
米、宽为b 米的小长方形花园．
32 / 36
学科网（北京）股份有限公司
(1)请用含a，b 的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简）
(2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若
8
a
，
4
b
，预计每平方米地砖的价格是
50 元，求购买所需地砖的费用．
【答案】(1)5
7
ab
b
(2)9400 元
【分析】（1）计算
3
2
3
2
b
a
a
b
解答即可；
（2）求代数式的值，再计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
3
2
3
2
b
a
a
b
6
9
2
ab
b
ab
b
5
7
ab
b
；
（2）解：当
8
a
，
4
b
时，
5
7
5 8 4
7
4
188
ab
b
（平方米），
故购买所需地砖的费用为：188 50
9400
（元）；
15．已知代数式
2
2
3
5
7
3,
2
A
x
xy
y
B
x
xy
．
(1)化简：
3
2
3
A
A
B
；
(2)若
2
|
1|
3
0
x
y
，求
3
2
3
A
A
B
的值；
(3)若
3
2
3
A
A
B
的值与y 的取值无关，求x 的值．
【答案】(1)8
7
9
xy
y
(2)36
(3) 7
8
【分析】（1）利用整式的加减即可解答；
（2）根据绝对值和偶次方的非负性，可得
1,
3
x
y
，代入（1）中化简的结果即可；
（3）根据题意可得含有y 的项相加得零，即可解答．
【详解】（1）解：
3
2
3
A
A
B
3
2
3
A
A
B
3
A
B
2
2
3
5
7
3
3
2
x
xy
y
x
xy
33 / 36
学科网（北京）股份有限公司
2
2
3
5
7
3
3
3
6
x
xy
y
x
xy
8
7
9
xy
y
；
（2）解：
2
1
3
0
x
y
1
0,
3
0
x
y
\
+ =
+ =
，
解得
1
x ，=
3
y
，
把
1
x ，=
3
y
代入，
3
2
3
8
7
9
8
1
3
7
3
9
24
21 9
36
A
A
B
xy
y
；
（3）解：∵
3
2
3
8
7
9
8
7
9
A
A
B
xy
y
x
y
，
且
3
2
3
A
A
B
的值与y 的取值无关，
8
7
0
x
，
解得
7
8
x
．
16．已知有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示．
(1)填空：A 和B 之间的距离为______（用含a，b 的式子表示），若点C 表示1.5
，则点C 和1 之间的距
离为______；将A 移动5 个单位长度所得点为______．
(2)化简：
1
1
1
a
b
c
．
【答案】(1)
,2.5,
5
a
b
a
或
5
a
(2)
1
a
b
c
【分析】（1）根据两点之间的距离得出答案；
（2）先根据数轴可得
1
0,
1
0, 1
0
a
b
c
，再去掉绝对值即可．
【详解】（1）解：A 和B 之间的距离是a
b
，点C 和1 之间的距离是1 ( 1.5)
1 1.5
2.5
，将点A 向右
移动5 个单位长度为
5
a ，或向左移动5 个单位长度为
5
a ；
（2）解：∵
1
1
a
b
c
，
∴
1
0,
1
0, 1
0
a
b
c
，
∴
1
1
1
1 1
1
1
a
b
c
a
b
c
a
b
c
．
17．为了加强体育运动，提高学生身体素质，学校准备购买40 个足球和一些毽球．甲、乙两个商店每个足
球的定价都为70 元，每个毽球的定价都为10 元．
甲商店优惠方案：买一个足球送一个毽球．
乙商店优惠方案：足球和毽球都按定价九折出售．
设学校准备购买毽球x 个
40
x
．
(1)①若在甲商店购买，所需总费用为______________元（用含x 的式子表示）．
34 / 36
学科网（北京）股份有限公司
②若在乙商店购买，所需总费用为______________元（用含x 的式子表示）．
(2)当
80
x
时，解答下列问题．
①若只能在甲、乙两个商店中选择一家购买，通过计算说明在哪家商店购买更优惠
②若可以在甲、乙两个商店中选择一家购买，也可以在甲、乙两个商店中分别购买，请写出最优惠的购买
方案及其所需总费用．
【答案】(1)①
10
2400
x
；②
9
2520
x
；
(2)①在甲商店购买更优惠；②最优惠的购买方案为：在甲商店购买40 个足球（获赠40 个毽球），在乙商店
购买剩余的40 个毽球，所需总费用为3160 元．
【分析】（1）根据两种优惠方案列式即可；
（2）①将
80
x
代入（1）所得式子分别计算比较即可；②先在甲商店购买40 个足球，同时获赠40 个毽球，
然后再在乙商店购买剩余的40 个毽球，即可求出最优惠的购买方案及其所需总费用．
【详解】（1）解：①若在甲商店购买，所需总费用为
70 40 10
40
10
2400
x
x
元；
②若在乙商店购买，所需总费用为
70 0.9 40 10 0.9
9
2520
x
x
元；
（2）（2）①当
80
x
时，10
2400
10 80
2400
3200
x
（元），
9
2520
9 80
2520
3240
x
（元），
∵3200
3240
，
∴在甲商店购买更优惠；
②∵可以在甲、乙两个商店中分别购买，
∴先在甲商店购买40 个足球，同时获赠40 个毽球，然后再在乙商店购买剩余的40 个毽球，
∵在甲商店购买40 个足球的费用为70 40
2800
（元），再在乙商店购买剩余的40 个毽球的费用为
10 0.9 40
360
（元），
∴总花费为2800
360
3160
（元），
∵3160
3200
，
∴最优惠的购买方案为：在甲商店购买40 个足球，在乙商店购买剩余的40 个毽球，所需总费用为3160 元．
18．数学活动-探究日历中的数字规律：如图1 是2025 年1 月份的日历，小乐在其中画出一个3 3
的方框（粗
线框），框住九个数，计算其中位置如图2 所示的四个数“
b
c
a
d
”的值．探索其运算结果的规律．
(1)初步分析：计算图1 中
10
22
8
24
的结果为；将3 3
的方框移动到图1 中的其他位置，通过计算
35 / 36
学科网（北京）股份有限公司
可以发现
b
c
a
d
的值均为；
(2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整．
解：设a
x
，则
2
b
x
，
14
c
x
，d ，
可得b
c
，a
d
，
则
b
c
a
d
；
(3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1 中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B 两题中任
选一题作答．
A．在日历中用“Z 型框”框住位置如图3 所示的四个数，探究“
b
c
a
d
”的值的规律，写出你的结论，
并说明理由；
B．在日历中用“Y 型框”框住位置如图4 所示的四个数，探究“
b
c
a
d
”的值的规律，写出你的结论，
并说明理由．
【答案】(1)0；0
(2)
16
x
，2
16
x
，2
16
x
，0
(3)选择A，
b
c
a
d
的值均为0，理由见解析（选择B，
b
c
a
d
的值均为5
）
【分析】（1）根据对应的数字，计算即可；
（2）根据日历中的数字规律，分别用含x 的式子表示出b，c，d，根据整式加减的计算法则，计算即可；
（3）选择A，设a
x
，则
1
b
x
，
8
c
x
，
9
d
x
，代入计算即可；选择B，设a
x
，则
2
b
x
，
8
c
x
，
15
d
x
，代入计算即可．
【详解】（1）解：
10
22
8
24
32
32
0
；
将3 3
的方框移动到图1 中的其他位置，如
，则
7 19
5
21
26
26
0
；无论移动到哪，
总有
2
b
a
，
14
c
a
，
16
d
a
，则
2
14
16
0
b
c
a
d
a
a
a
a
；
（2）解：设a
x
，则
2
b
x
，
14
c
x
，
16
d
x
，
可得
2
16
b
c
x
，
2
16
a
d
x
，
则
2
16
2
16
0
b
c
a
d
x
x
；
（3）解：选择A，
b
c
a
d
的值均为0，理由如下：
设a
x
，则
1
b
x
，
8
c
x
，
9
d
x
，
1
8
9
2
9
2
9
0
b
c
a
d
x
x
x
x
x
x
，
则
b
c
a
d
的值均为0；
选择B，
b
c
a
d
的值均为5
，理由如下：
36 / 36
学科网（北京）股份有限公司
设a
x
，则
2
b
x
，
8
c
x
，
15
d
x
，
2
8
15
2
10
2
15
5
b
c
a
d
x
x
x
x
x
x
，
则
b
c
a
d
的值均为5
．
夸克群
群满加Q
秘塔
QQ群
AI
【温馨提示】本页为广告页，打印前可以把这页删掉
群
满
或
未
通
过
：
请
至
左
侧
资
料
库
文
档
获
取
最
新
二
维
码
防失联渠道二：https://link3.cc/xbjf
防失联渠道一
