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决胜2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(41)
(数列的通项与求和)
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.已知等差数列
的公差为
，前
项和为
，且
、
、
成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，得
，
解得
，所以
．
故选:C
2.（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）公差不为0 的等差数列
的前
项和为
，且
，
若
，
，
，
，
依次成等比数列，则
（ ）
A．81
B．63
C．41
D．32
【答案】C
【解析】因为
，
所以
，故
，
设等差数列
的公差为
，则
，
所以
，
因为
，
，
，
，
依次成等比数列，
，
所以
，
所以
，
所以
，
故选：C.
3.（2023 秋·山东潍坊·高三期中统考）设等差数列
的前
项和为
，且公差不为
，若
，
，
构成等比数列，
，则
（ ）
1
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A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】因为
是等差数列
的前
项和，
所以
，得
，
因为
，
，
成等比数列，所以
，
设等差数列
的首项为
，公差为
，
则
，
因为
，解得，
，
，
所以
.
故选：D.
4.（2023·湖南郴州·统考三模）已知函数
的图象在点
处的切线的斜率
为
，则数列
的前
项和
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，则
，
所以
，
所以
.
故选：C.
5.（2023 秋·山东德州·高三期中统考）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其
数，三三数之剩二（除以3 余2），五五数之剩三（除以5 余3），七七数之剩二（除以7 余2），问物几
何？现有这样一个相关的问题：已知正整数
满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数
按照从小到
大的顺序排成一列，构成数列
，记数列
的前
项和为
，则
的最小值为（ ）
A. 46
B. 42
C. 41
D. 25
2
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【答案】C
【解析】依题意，
，显然数列
是等差数列，
，
因此
，当且仅当
，即
时取等
号，
所以当
时，
取得最小值41.
故选：C
6.（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）记数列
的前n 项和为
，
，数列
是公差为7
的等差数列，则
的最小项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意，
，因数列
是公差为7 的等差数列，则
，
因此
，当
时，
，而
不满足上式，
当
时，
，即当
时，
，
于是当
时，数列
是递增的，而
，
，则
，
所以
的最小项为
.
故选：C
7.（2023·山东日照·高三一模）已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，设
，若存在正整数
，使得
，
，
成等差数列，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】数列
满足
，
，
当
时，
，解得：
；
3
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当
时，
，
因为
，所以
，所以数列
是首项为1，公差为1 的等差数列，
所以
，
，
若存在正整数
，使得
，
，
成等差数列，
则
，所以
①
因为数列
是单调递减数列，
当
时，由
，解得：
，舍去；
当
时，则
，
；
当
时，
，
，所以
，①式不成立，
所以
，则有
，解得：
，
故选：B.
8.若数列
的前
项和为
，
，则称数列
是数列
的“均值数列”.已知数列
是
数列
的“均值数列”且通项公式为
，设数列
的前
项和为
，若
对
一切
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，数列
的前
项和为
，由“均值数列”的定义可得
，所以
，
当
时，
；
4
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当
时，
，
也满足
，所以
，
所以
，
所以
，
又
对一切
恒成立，
所以
，整理得
，解得
或
.
即实数
的取值范围为
.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分．
9.（2022-2023·南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城·二模）已知数列{an}的前n 项和
为
，
，若
，则k 可能为（ ）
A．4
B．8
C．9
D．12
【答案】AC
【解析】
，
当
时，由
，
解得
或
（舍去），所以A 选项正确.
，
，
，所以B 选项错误.
，所以C 选项正确.
，
所以
，所以D 选项错误.
故选：AC
10.对于给定数列
，如果存在实数t，m，对于任意的
均有
成立，那么我们称数列
5
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为“M 数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．数列
是“M 数列”
B．数列
不是“M 数列”
C．若数列
为“M 数列”，则数列
是“M 数列”
D．若数列
满足
，
，则数列
是“M 数列”
【答案】ACD
【解析】对于选项A，由“M 数列”定义，得
，即
，存在
，
对于任意的
都成立，故选项A 正确；
对于选项B，由“M 数列”定义，得
，即
，存在
，
对
于任意的
都成立，故选项B 错误；
对于选项C，若数列
为“M 数列”，则
，
所以
，
存在m=0 成立所以数列
是“M 数列”，故选项C 正确；
对于选项D，若数列
是“M 数列”，则
，可得
，即
，故
，对于任意的
都成立，则
所以
，
或
.当
，
时，
，此时数列
是“M 数列”；当
时，
，此时数列
是“M 数列”，故选项D 正确.
故选：ACD.
11.（2023 秋·山东德州·高三期中统考）已知等比数列
的公比为整数，
是数列
的前
项
和，若
，
，则（ ）
A.
B.
C. 数列
是公比为
的等比数列
D. 数列
是公差为
的等差数列
【答案】BD
【解析】依题意，设公比为
，又
，
6
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由
，
可得
，
显然
，进而可得
，
则
，
由于公比为整数，所以
，则
，故A 错误，
，故B 正确，
由A 知，
，
而
，
，则
不为常数，故C 错误，
，
，
故
为常数，
故
是公差为
的等差数列，D 正确，
故选：BD
12.（2023 秋·广东广州·高三三校（铁一、广外、广大附中）期中联考分形几何学是数学家伯努瓦·曼
德尔布罗在20 世纪70 年代创立的一门新的数学学科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统
一，而且还有其深刻的科学方法论意义.按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：
记图乙中第
行白圈的个数为
，黑圈的个数为
，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C. 当
时，
均为等比数列
D.
【答案】BCD
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【解析】由题意可知，
，
，
，且有
，故
，
所以
是以1 为首项，3 为公比的等比数列，
是以1 为首项，1 为公比的等比数列，故C
选项正确；
由
是以1 为首项，3 为公比的等比数列，
是以1 为首项，1 为公比的等比数列，
则
，
，所以解得
，故B 选项正确；
，故D 选项正确；
，故A 选项错误.
故选：BCD
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，多空题，第一空2 分，第二空3 分，共20 分．
13.（2023 秋·江苏南通如皋·高三期中统考）已知等差数列
前3 项和
，
，
，
成等比数列，则数列
的公差
_______________．
【答案】
或
【解析】由
，可知
，即
，
又
，
，
成等比数列，
所以
，
即
，解得
或
，
故答案为：
或2
14.（2023·北京·统考高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝
码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9 的数列
，该数列的前3 项成等差数列，后7 项成等比数列，且
，则
；
数列
所有项的和为 ．
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【答案】 48 384
【解析】空1：因为
为等比数列，则
，
且
，所以
；
又因为
，则
；
空2：设后7 项公比为
，则
，解得
，
可得
，所以
.
故答案为：48；384.
15.已知数列
满足
，
，当
时，
______；若数列
的所有项仅取有限个不同的值，则满足题意的所有实数a 的值为______.
【答案】 ①.
②. 2
【解析】∵
∴
∴
.
∵
，∴
，
∴
.
∴当
时，
.
9
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因为
，所以
.
要使
的所有项仅取有限个不同的值，则
，此时
，
.
否则
时，
取值有无穷多个.
故答案为：
；2.
16.已知数列
的前
项即为
，且
，若对任意
，都有
，则的取值范围是
.
【答案】
【解析】
数列
的前
项即为
，且
，
，
两式相减可得：
，
.
，
单调递增，即
.
，
，
.
又
若对任意
，都有
，即
，
.
故答案为：
.
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