《2026初高衔接》[第八讲]——函数概念与有界性_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》教师版

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函数概念与有界性
函数概念与有界性
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
函数及其三要素
掌握求定义域、值域的常规方法，
判断两个函数是否相同
数学抽象、数学运算
函数抽象性与解析
理解函数的抽象性，熟练换元、配
凑法求抽象函数
数学抽象、逻辑推理
一函数的概念
初中我们学习了函数的概念与简单的函数．初中函数定义：一般的在一个变化过程中，有两个变量x 和y，
对于x 的每一个确定值，y 都有唯一确定的值与之对应，称x 为自变量，y 为因变量，y 是x 的函数．
由初中定义出发，y = 100 是函数吗？
显然初中阶段函数的概念侧重变量的运动变化，描述“一个量随着另一个量变化”；我们结合生活中的薪
酬对应重新理解函数．设工作天数为自变量x，当日报酬为因变量y．
变化型对应关系：国庆节来临之际，公司安排加班，加班第1 天薪资100 元，第2 天200 元，第3 天300
元，按此规律递增．随着天数x 改变，报酬y 随之规律变化，且每个确定天数对应唯一报酬，符合函数定义．
固定型对应关系：在正常工作日，每日报酬固定100 元．即便天数x 变化，每日报酬y 始终保持不变．每
个确定天数对应唯一报酬，符合函数定义．
很多同学会误以为“函数必须是变化的”，致使我们忽视了y = 100 这类特殊的函数．但通过这个案例可
以明确：y = 100 也是函数．无论是变化型还是固定型，只要满足“唯一对应”的核心要求，就是函数关系．
我们把范围收束到数集，用更严谨的语言重新定义函数：
函数
设A,B 是非空的实数集，按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B 中都有
唯一确定的数y 和它对应，那么就称f：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作
y = f(x), x ∈A
所有输入值x 组成的集合A 叫作函数f(x) 的定义域．所有输出值y 组成的集合叫作函数f(x) 的值域．
刚刚的薪酬模型，现在可以重新用数集观点定义：
1
2
3
100
200
300
定义域
值域
对应关系f
1
2
3
100
定义域
值域
对应关系f
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高中不再局限于“量与量的变化”，只要满足数集间的唯一对应就是函数，这也是函数走向抽象的起点．
1 (★★☆☆☆)下列对应是从集合A 到B 的函数的是
( B )
A. A = N，B = N，对应关系f：“求平方根”
B. A = R，B = {0，1}，对应关系f：x →y = 1，x≥2
0，x<2

C. A = R，B = Q，对应关系f：x →y =
1
x-3
D. A = N，B = N*，对应关系f：x →y = |x - 2|
A，A 中正元素4 求平方根后，对应±2，-2 ∉B 且A 中4 对应B 两个元素∴A 不是函数；
B，A 中任一元素在B 中都有唯一元素对应，B 是函数；
C，A = R，B = Q，对应关系f：x →y =
1
x-3 ，则A 中元素3 在B 中没有元素对应，C 不是函数；
D，A = N，B = N *，对应关系f：x →y = |x - 2|，则A 中元素2 在B 中没有元素对应，D 不是函数；
1
(★☆☆☆☆)对于函数y = f(x)，以下说法不正确的是
( D )
A. y 是x 的函数
B. 对于不同的x，y 的值可以不同
C. f(a) 表示当x = a 时函数f(x) 的值
D. f(x) 一定可用一个具体的式子表示出来
A、由函数的定义知，y 是x 的函数，故A 正确；B、如常函数y = f(x) = x，故B 正确；
C、由函数值的定义知，f(a) 表示当x = a 时函数f(x) 的值，是一个确定的值，故C 正确；
D、函数的表示方法有解析法、表格法和图象法，对于表格法和图象法有的无法用一个具体的式子表示．
2
(多选•★☆☆☆☆)下列是函数图象的是
( ABD )
A.
x
y
B.
x
y
C.
x
y
D.
x
y
函数定义可得：在一个函数中自变量x 的任意一个值，都有唯一的函数值y 与之对应，由此
可知A、B、D 三项均符合函数的定义；而C 项的图象中，1 个x 有2 个y 与之对应，不符合函数的定义．
3
(★☆☆☆☆)以下一定是y 关于x 的函数的是
( D )
A. y =± x(x > 0)
B. y2= x - 1(x > 1)
C. y =
x ± 1(x > 0)
D. y = 1
x
在A 选项中，当x > 0 时，一个x 对应两个y，与函数的概念不符；
在B 选项中，当x > 1 时，一个x 对应两个y，与函数的概念不符；
在C 选项中，当x > 0 时，一个x 对应两个y，与函数的概念不符；
在D 选项中，当x ≠0 时，一个x 对应一个y，与函数的概念相符．
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二函数三要素
由函数定义可知，两个变量关系要构成函数关系，需要具备以下三个要素：定义域、对应关系f、值域．
函数定义域约束
自变量x 的取值范围叫作函数f(x) 的定义域．目前阶段，函数定义域主要有以下几个约束条件产生：
1 分式的分母不能为零；
2 根号下被开方数大于等于零；
3 零指数幂的底数不能为0
函数对应关系
解析法、表格法和图象法
同一函数
由函数的构成要素：定义域、对应关系和值域．可知值域是由定义域和对应关系决定的，若两个函数
的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数．
函数三要素
没有任何约束时函数
的定义域可以取全体
实数，即x ∈R．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
2 (★★☆☆☆)下列各组函数中为同一函数的是
( B )
A. f(x) =
(x-1)2，g(x) = x - 1
B. f(x) = x2+ 1，g(t) = ( t2+1)2
C. f(x) =
x2-1，g(x) =
x+1 ⋅
x-1
D. f(x) = x，g(x) = x2
x
A，f(x) =
(x-1)2 = |x - 1|，g(x) = x - 1，两函数的对应关系不同，不是同一函数．
B，f(x) = x2+ 1，g(t) = ( t2+1)2 = t2 + 1 两个函数定义域定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．
C，f(x) 定义域是(-∞，-1] ∪[1，+∞)，g(x) 定义域是[1，+∞)，两函数定义域不同，不是同一函数．
D，f(x) = x 的定义域是R，g(x) = x2
x 的定义域是{x|x ≠0}，两函数的定义域不同，不是同一函数．
4 (★☆☆☆☆)求下列函数的定义域
(1) f(x) = 3 - 1
2 x
(2) f(x) = 2 x -
1-7x
(1) 要使函数有意义，则x ∈R，即函数的定义域为R，
(2)
x≥0
1-7x≥0

得
x≥0
x≤1
7

，0 ≤x ≤1
7 ，函数定义域0，1
7




．
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(3) f(x) = (x+1)0
x+2
(4) f(x) =
x+3 +
1
x+2
(3) 由题x+1≠0
x+2>0

，得x≠-1
x>-2

，得x >-2 且x ≠-1，定义域为{x|x >-2 且x ≠-1}．
(4) 要使函数有意义，则x+3≥0
x+2≠0

，x≥-3
x≠-2

，x ≥-3 且x ≠-2，定义域为[-3，-2) ∪(-2，+∞)．
5
(★★☆☆☆)函数f(x) =
3x+1
2x-1 的定义域是
( C )
A. {x - 1
3 ≤x≤1
2


B.
x - 1
3 ≤x< 1
2



C. {x|x ≤- 1
3 或x > 1
2 }
D. {x|x ≤- 1
3 或x ≥1
2 }
需满足：3x+1
2x-1 ≥0，即(3x+1)(2x-1)≥0
2x-1≠0

，得定义域为{x|x ≤- 1
3 ，或x > 1
2 }．
6
(★★☆☆☆)对于函数f:A →B，若a ∈A，则下列说法错误的是
( C )
A. f(a) ∈B
B. f(a) 有且只有一个
C. 若f(a) = f(b)，则a = b
D. 若a = b，则f(a) = f(b)
函数f:A →B，a ∈A，b ∈A，根据函数定义f(a) ∈B，且f(a) 唯一，若a = b，则集合A
不满足互异性，此时有f(a) = f(b)，A，B，D 都正确，若f(a) = f(b)，不一定有a = b，C 错
7
(★★☆☆☆)函数y = 3 - 4x(x ∈(-1，2] 且x ∈Z) 的值域为
( B )
A. [-5，7)
B. {-5，-1，3}
C. (-5，7)
D. {-5．-1，3，7}
因为x ∈(-1，2] 且x ∈Z，则x 的取值有0，1，2，
故y = 3 - 4x 的值域为{3，-1，-5}．故选：B．
8
(★★☆☆☆)下列各组函数中，表示同一函数的是
( C )
A. y = x2-9
x-3 与y = x + 3
B. y =
x2-1 与y = x - 1
C. y = x0(x ≠0) 与y = 1(x ≠0)
D. y = 2x + 1，x ∈Z 与y = 2x - 1，x ∈Z
A，y = x2-9
x-3 = x + 3(x ≠3)，与y = x + 3(x ∈R) 的定义域不同，不是同一函数；
B，y =
x2-1(x ≤-1 或x ≥1)，与y = x - 1(x ∈R) 的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；
对于C，函数y = x0= 1(x ≠0)，与函数y = 1(x ≠1) 的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于D，函数y = 2x + 1(x ∈Z)，与y = 2x - 1(x ∈Z) 的对应关系不同，不是同一函数．
9
(★★★☆☆)已知集合A = {1，2，3}，B = {4，5}，则从A 到B 的函数f(x) 有
( D )
A. 5 个
B. 6 个
C. 7 个
D. 8 个
根据函数的定义可知，利用列表法确定函数的个数，由表格可知，这样的函数有8 个．
f(1)
4
4
4
4
5
5
5
5
f(2)
4
4
5
5
4
4
5
5
f(3)
4
5
4
5
4
5
4
5
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10 (★★★☆☆)若函数y =
ax+1
ax2-4ax+2
的定义域为R，则实数a 的取值范围是
( C )
A.
0, 1
2



B.
0, 1
2


C.
0, 1
2



D.
0, 1
2




根据题意知，不等式ax2 - 4ax + 2 > 0 的解集为R，
(1)a = 0 时，2 > 0 恒成立，满足题意；
(2)a ≠0 时，a>0
△=16a2-8a<0

，解得0 < a < 1
2 ，
∴综上得，实数a 的取值范围是：0, 1
2



．故选：C．
11 (★★★☆☆)若函数y =
ax2+4x+1 的值域为[0，+∞)，则a 的取值范围为
( C )
A. (0，4)
B. (4，+∞)
C. [0，4]
D. [4，+∞)
当a = 0 时，y =
4x+1 ≥0，即值域为[0，+∞)，满足题意；当a ≠0 时，设f(x) = ax2
+ 4x + 1，为使函数y =
ax2+4x+1 的值域为[0，+∞)，
只需f(x) = ax2 + 4x + 1 取尽大于等于零的全体实数，即只需函数f(x) = ax2 + 4x + 1 与x 轴有交点，开口
向上即可，因此a>0
Δ=16-4a≥0

，解得0 < a ≤4，
综上，0 ≤a ≤4．故选：C．
12 (★★★☆☆)已知f(x) = 1-x
1+x (x ≠-1)．求：
(1) f(0) 及f f 1
2




的值；
(2) f(1 - x) 及f(f(x)).
(1) 因为f x


= 1-x
1+x x≠-1


，
所以f 0


= 1-0
1+0 = 1，f 1
2


=
1- 1
2
1+ 1
2
= 1
3 ，
所以f f 1
2




= f 1
3


=
1- 1
3
1+ 1
3
= 1
2 ；
(2) ∵f x


= 1-x
1+x x≠-1


，又1 - x ≠-1，∴x ≠2，
所以f 1-x


= 1- 1-x


1+ 1-x


=
x
2-x , x≠2


，
f f x




=
1- 1-x
1+x
1+ 1-x
1+x
= x, x≠-1


.
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三函数抽象性的初步认识
初中阶段主要学习三类典型函数，仅对函数形成基础认知．通过刚刚对函数的定义和了解，我们能发现，
高中则从抽象视角对所有函数进行整体表达即f(x)．
初中阶段函数用y 表示函数，高中阶段为什么非要引入f x


表示呢？
其一，单纯使用y，无法区分不同函数的特征；而f(x) 可以借助不同的对应关系，区分各类函数的结构．
如：f(x) = x．g x


= x2- 1，h x


= 1
x 等等
其二，初中只用y，本质只聚焦纵轴取值，是单一结果维度．高中f(x) 是二维绑定：x 代表横轴（自变量、
输入值），f 代表对应法则（横到纵的映射规则），合起来f(x) 直接把横坐标、对应规则、纵坐标三者绑定，
完成平面坐标上的完整定位．相比初中阶段更加精准严谨．
如：f(2) 的含义就是x = 2 时对应的函数值．它既明确了横坐标为2，也确定了对应的纵坐标f(2)，能精
准表达这个点在二维平面内的位置．即见到f(2) 便能定位一个点2,f(2)


．
什么是抽象性?
记号f(x) 可以用来指代任意函数．这本身就是一种高度抽象的整体表达．刚刚我们提到了f(x) 可以看出自
变量x 的特征．由此我们可以对自变量作很多改写和变换：如：f 2x


、f x-1


、f x2


．我们将这些没有特
定解析式，只是抽象表达函数概念的符号结构称为抽象函数．
如何深度理解抽象函数f(x)/f 2x


等?
我们把对应法则f 看作一套固定不变的一台加工机器：
- 括号( )：机器的投料口；
- 括号内整体：投入机器的原材料；
- f(原材料)：机器加工后产出的成品（函数值y）．
f(x)/f 2x


二者虽然投入的原材料括号内整体即定义域


不一样两个x并不相同或等价


，但机器的生产
标准已经固定了，它能接受的材料受投料口限制，所以括号的范围要保持一致，然后机器是固定的，所以生产
出来的成品也是一致的，即二者的值域保持不变．由此我们可以知道抽象函数中非常重要的几个特性：
一个确定对应关系f 下：两个抽象表达f A


与f B


存在如下重要性质:
①二者的定义域x 的取值范围不一定一样．但二者的括号范围是一致．
借助此原则，利用A 范围= B 范围，可以求解抽象函数的定义域．
②f A


与f B


的值域相等．
只要对应关系不发生改变，值域不变．这是后面换元法的重要前提．
抽象函数的特性
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3 (★★★☆☆)若函数f(x) 的定义域为[0，3]，则函数g(x) = f(x2-1)
x2-1
的定义域为
( D )
A. (-1，1) ∪(1，8]
B. [-1，1) ∪(1，8]
C. [-2，-1) ∪(-1，1) ∪(1，2]
D. [-2，-1) ∪(1，2]
由于函数f(x) 的定义域为[0，3]，所以g(x) 的定义域需要满足：
0≤x2-1≤3
x2-1≠0

，解得1 < x ≤2 或-2 ≤x <-1，
故定义域为：[-2，-1) ∪(1，2]．
13 (★☆☆☆☆)已知函数f(x) 的定义域为[-3，0]，
则函数f(2x + 1) 的定义域为
( A )
A.
-2，- 1
2




B. [-3，0]
C.
- 3
2 ，0




D. [-2，1]
∵函数f(x) 的定义域为[-3，0]，∴由-3 ≤2x + 1 ≤0，解得-2 ≤x ≤- 1
2 ．
∴函数f(2x + 1) 的定义域为-2，- 1
2




．故选：A．
14 (★☆☆☆☆)若函数y = f(x) 的定义域为[0，4]，则函数y = f(2x)
x-1 的定义域为
( A )
A. [0，1) ∪(1，2]
B. [0，1)
C. (1，2]
D. [0，1) ∪(1，4]
∵函数y = f(x) 的定义域为[0，4]，则对于函数y = f(2x)
x-1 ，
应有0≤2x≤4
x-1≠0

，求得0 ≤x ≤2 且x ≠1，故的函数y = f(2x)
x-1 的定义域为[0，，1) ∪(1，2]，选：A．
15 (★☆☆☆☆)已知函数f(2x + 1) 的定义域为(-1，0)，则函数f(x) 的定义域为
( A )
A. (-1，1)
B.
-1，- 1
2


C. (-1，0)
D.
1
2 ，1


∵函数f(2x + 1) 的定义域为(-1，0)，即-1 < x < 0，可得-1 < 2x + 1 < 1，∴函数
f(x) 的定义域为(-1，1)．选：A．
16 (★★☆☆☆)已知函数f(3x - 1) 的定义域为[-1，3]，则函数g(x) = f(x+2)
x-3
的定义域为
( A )
A. [-6，3) ∪(3，6]
B. [-3，1]
C. [-1，3)
D. [-2，3) ∪(3，6]
函数f(3x - 1) 的定义域为[-1，3]，当-1 ≤x ≤3 时，-4 ≤3x - 1 ≤8，则函数f(x) 的
定义域为[-4，8]，故函数g(x) = f(x+2)
x-3
中，x 需满足x-3≠0
-4≤x+2≤8

，得-6 ≤x ≤6 且x ≠3．
17 (★★☆☆☆)已知函数f(x + 1) 的定义域为(0，2)，则函数f(x) + f(x2- 1) 的定义域为
( C )
A. (1，
2)
B. (1，
3)
C. ( 2，2)
D. (1，8)
函数f(x + 1) 的定义域为(0，2)，则1 < x + 1 < 3，所以函数f(x) 的定义域为(1，3)；
若函数f(x) + f(x2- 1) 有意义，则1<x<3
1<x2-1<3

，解得
2 < x < 2．
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18 (★★★☆☆)设x ∈R，f(0) = 1，对∀x，y ∈R，有f(x - y) = f(x) - y(2x - y + 1)，求f(x) 解析式
由题意，
令x = y 得，f(0) = f(x) - x(2x - x + 1)
则f(x) = x(x + 1) + 1．
19 (★★★☆☆)设f(x) 是定义在R 上的函数，且任意实数x，y 满足f(x - y) = f(x) + f(y) + xy - 1 恒成
立．
(1) 求f(0)，f(1)；
(2) 求函数f(x) 的解析式．
(1) 令x = y = 0，得f(0) = f(0) + f(0) - 1，即f(0) = 1．
令x = y = 1，得f(0) = f(1) + f(1) + 1 - 1，
即1 = 2f(1)，即f(1) = 1
2 ．
(2) 令y = x，得f(0) = f(x) + f(x) + x2- 1，
即1 = 2f(x) + x2- 1，则2f(x) =-x2+ 2
则f(x) =- 1
2 x2+ 1．
20 (★★★☆☆)已知定义域为R 的函数f(x) 满足：
①f(x + y) = f(x)•f(y) 对任何实数x、y 都成立；
②存在实数x1、x2使，f(x1) ≠f(x2)．
求证：(1) f(0) = 1；
(2) f(x) > 0．
(1) 令x = y = 0 则f(0) = f2(0)，
∴f(0) = 0 或f(0) = 1
若f(0) = 0 则令y = 0，即有f(x) = f(x)•f(0) = 0 对x ∈R 均成立，与②矛盾，
故f(0) ≠0，
若f(0) = 1，则f(x) = f(x) 成立，∴f(0) = 1；
(2) 将x，y 均换成x
2 ，则
f(x) = f2 x
2


即f(x) ≥0，
若f(x) = 0 这与②矛盾，
∴f(x) > 0 成立．
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四函数解析式与换元法(选)
进入高中，常常接触抽象函数方程．这类问题需要对式子进行变形、运算与转化，以此推出f(x) 解析式．
换元法
定义：引入一个或多个新的变量代替原来某些变量，将问题所给形式化繁为简的方法．
换元法其实是初中阶段的整体代换思想，但初中阶段的代换过于粗糙．由前面对函数的定义可知，我们所
谓的换元法，也是一种函数的对应关系，根据函数三要素的约束，可得完整换元法的步骤:
换元法的步骤：
1 设出新元(对应关系)；
2 确定新元的范围(定义域、值域)；
3 用新元表示旧元(代换的关键).
换元法完整步骤
此处三个步骤看似很简单，后期
很多学生一做题就只知道设新元，
从来不标新元的范围．一定要把
换元法的完整步骤记完整．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
函数解析式的求解方法
已知函数的类型，我们可以设出函数的解析式，用待定系数法求求未知参数，进而得到函数解析式．
对含两个对应关系描述的解析式(eg:f(x) ± f 1
x


或f(x) ± f(−x))，可用方程组法求出函数解析式．
4 (★★★☆☆)求解下列函数的解析式
1


已知f( x + 1) = x + 2 x，求f(x)
2


g x


满足g x


= 2 x ⋅g 1
x


- 1，求g x


设
x + 1 = t，则x = t−1


2
∵
x ≥0 t ≥1
∴f(t) = t−1


2 + 2 t−1


= t2 −1 (t ≥1)
∴f(x) = x2 −1 (x ≥1).
3


已知二次函数f(x) 满足f(0) = 0，且f(x + 1) = f(x) + 2x - 1．求f(x) 的解析式.
设二次函数f(x) = ax2+ bx + c，
由f(0) = 0，可得c = 0；
由f(x + 1) = f(x) + 2x - 1，
可得a(x + 1)2+ b(x + 1) + c = ax2+ bx + c + 2x - 1，
即ax2+ (2a + b)x + a + b + c = ax2+ (b + 2)x + c - 1，
即2a+b=b+2
a+b+c=c-1

，解得a=1
b=-2

，
故f(x) = x2- 2x．
∵g x


= 2 x ⋅g 1
x


- 1
将x 换成1
x 可得：g 1
x


= 2
x g(x) - 1
∴
g x


=2 x⋅g 1
x


-1
g 1
x


= 2
x g(x)-1

g(x) = 2
3
x + 1
3 (x > 0)
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21 (★☆☆☆☆)已知f( x - 1) = x - 2 x，则g(x) = f(x + 1) 的解析式为
( A )
A. g(x) = (x + 1)2- 1(x ≥-2)
B. g(x) = (x + 1)2+ 1(x ≥-1)
C. g(x) = x2- 1(x ≥-1)
D. g(x) = x2+ 1(x ≥0)
f( x - 1) = x - 2 x = ( x - 1)2 - 1，设t =
x - 1 ≥-1，所以f(t) = t2 - 1，t ≥-1，要使得
g(x) = f(x + 1) 有意义，则需x + 1 ≥-1，解得x ≥-2，所以g(x) = (x + 1)2- 1(x ≥-2)．
22 (★★★☆☆) f(x) 的定义域为(0，+∞)，满足2f(x) - f 1
x


= 2x + 1，则f(x) 的最小值为
( A )
A. 1 + 4 2
3
B. 1 + 2 2
3
C. 1 +
2
3
D. 2 2
3
f(x) 的定义域为(0，+∞)，满足2f(x) - f 1
x


= 2x + 1，得2f 1
x


- f(x) = 2
x + 1，联立消去
f 1
x


，得f(x) = 2
3
2x+ 1
x


+ 1，而x > 0，则f(x) = 2
3
2x+ 1
x


+ 1 ≥2
3 ⋅2
2x⋅1
x + 1 = 4 2
3
+ 1，
当且仅当2x = 1
x ，即x =
2
2
时取等号，所以当x =
2
2
时，f(x) 取得最小值1 + 4 2
3
．
23 (★★☆☆☆)已知函数f(x) = x2- 2kx + m．
(1) 若函数f(x) 满足f(0) = f(4) 且f(x) 的最小值为-3，求f(x) 的解析式；
(2) 当m = 2 时，f(x) ≥0 对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围．
(1) 因为f(0) = f(4)，f(x) = x2- 2kx + m，
所以m = 42- 8k + m，解得k = 2，
又因为f(x) 的最小值为-3，
所以f(x)min = 4m-(-2k)2
4
=-3，得4m-16
4
=-3，解得m = 1，
故f(x) = x2- 4x + 1．
(2) 当m = 2 时，f(x) ≥0 对一切实数x 都成立
即x2- 2kx + 2 ≥0 对一切实数x 都成立，
则Δ = 4k2- 8 ≤0，解得- 2 ≤k ≤
2．
所以实数k 的取值范围为[- 2，
2]．
24 (★★★☆☆)已知f(x - 2) = x - 1．
(1) 求函数f(x) 的解析式；
(2) 当x ∈[-1，8] 时，求g(x) = 2x -
f(x) 值域
(1)f(x - 2) = x - 1，∴f(x) = x + 1，
(2) 由x ∈[-1，8] 可得f(x) = x + 1 ∈[0，9]，
g(x) = 2x -
f(x) = 2x -
x+1 = 2(x + 1) -
x+1 - 2，
令t =
x+1，则t ∈[0，3]，
y = 2t2 - t - 2 的开口向上，对称轴t = 1
4 ，
结合二次函数的性质可知，
当t = 1
4 时函数取得最小值- 17
8 ，
当t = 3 时，函数取得最大值13．
故函数的值域- 17
8 ，13




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1 (★☆☆☆☆) f(x) =
x+3 + (x + 2)0 定义域是
( C )
A. [-3，+∞)
B. [-3，-2)
C. [-3，-2) ∪(-2，+∞)
D. (-2, +∞)
x+3≥0
x+2≠0

，解得x ≥-3 且x ≠-2．∴f(x) 定义域是[-3，-2) ∪(-2，+∞)．故选：C．
2 (★☆☆☆☆)下列四个命题中正确的是
( D )
A. f(x) =
x-2 +
1-x 有意义
B. f(x) 表示的是含有x 的代数式
C. 函数y = 2x(x ∈N) 的图象是一直线
D. 函数y = x2,x≥0
-x2,x<0

的图象是连续曲线
A 中，函数定义域为空集，表达式无意义，命题错误；B 中，当f(x) = C 为常函数，f(x)
是不含有X 的代数式，命题错误；命题C 中，函数y = 2x （x ∈N）的图象是由离散的点组成的，不是直线，
错误；命题D 中，作出函数y = x2,x≥0
-x2,x<0

的图象可知D 正确
3 (★★☆☆☆)下列函数与y = |x| 表示同一函数的是
( C )
A. y = ( x)2
B. y =
3 x3
C. y = x，x≥0，
-x，x<0

D. y = x2
|x|
A，y = ( x)2，x ≥0，与y = |x| 定义域不同，不是同一函数；B，y =
3 x3 = x，x ∈R，与y
= |x| = x，x≥0
-x，x<0

的对应关系不同，不是同一函数；C，y = x，x≥0
-x，x<0

，与y = |x| 的定义域相同，对应关系相
同，是同一函数；D，y = x2
|x| = x，x>0
-x，x<0

，与y = |x| = x，x≥0
-x，x<0

的定义域不同，不是同一函数．
4 (★★☆☆☆)已知函数f(x) 的定义域为[-2，2]，则函数g(x) = f(3x) +
x 的定义域为
( B )
A. (0，1]
B.
0，2
3




C.
- 2
3 ，1




D.
0，2
3



f(x) 定义域[-2，2]，∴由-2≤3x≤2
x≥0

，得0 ≤x ≤2
3 ．∴函数g(x) = f(3x) +
x 的定
义域为0，2
3




．故选：B．
5 (★★☆☆☆)已知函数f(x + 2) 的定义域为(-3，4)，则函数g(x) =
f(x)
3x-1 的定义域为
( C )
A.
1
3 ，4


B.
1
3 ，2


C.
1
3 ，6


D.
1
3 ，1


∵函数f(x + 2) 的定义域为(-3，4)，即-3 < x < 4，
∴x + 2 ∈(-1，6)，即f(x) 的定义域为(-1，6)．
又3x - 1 > 0，∴x > 1
3 ，取交集可得函数g(x) 的定义域为
1
3 ，6


．
C．
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6 (★★★☆☆)函数f(x) =
x
mx2-x+2
的定义域为R，则实数m 的取值范围是
( B )
A.
1
8 ,+∞



B.
1
8 ,+∞


C.
0, 1
8


D.
0, 1
8




∵函数f(x) =
x
mx2-x+2
的定义域为R，∴mx2 - x + 2 > 0 对任意x ∈R 恒成立，当m
= 0 时，有x < 2，不合题意；当m ≠0 时，需要m>0
1-8m<0

，m > 1
8 ．∴m 的范围
1
8 ，+∞


．
7 (★★☆☆☆)已知二次函数f(x) 满足f(x + 1) - f(x) = 2x，f(0) = 1．
(1) 求f(x) 的解析式；
(2) ∀x ∈[-1，3]，f(x) + m > 0 恒成立，求m 的取值范围．
(1) 设f(x) = ax2+ bx + c(a ≠0)，
则a(x + 1)2- ax2+ b(x + 1) - bx + c - c = 2x ⇒2ax + a + b = 2x，则a = 1，b =-1；
f(0) = 1 ⇒c = 1，则f(x) = x2- x + 1；
(2) ∀x ∈[-1，3]，f(x) + m > 0 恒成立⇒m > [- (x2- x + 1)]max．
- (x2 - x + 1) =-x2 + x - 1 =- x2-x+ 1
4


- 3
4 =- x- 1
2


2
- 3
4 ≤- 3
4 ，
当x = 1
2 ∈[-1，3] 时取等号，故m >- 3
4 ．
即m 的取值范围为{m m>- 3
4


．
8 (★★★☆☆)已知函数f(x + 1) = x2- x + 3．
(1) 求f(x) 的解析式；
(2) 设函数g(x) = (a + 3)x + f(x)，若g(x) 在[-1，2] 上的最小值是1，求a 的取值集合．
(1) 设t = x + 1，则x = t - 1，
所以f(t) = (t - 1)2- (t - 1) + 3 = t2- 3t + 5，故f(x) = x2- 3x + 5；
(2) 由(1) 可知f(x) = x2- 3x + 5，则g(x) = x2 + ax + 5 = x+ a
2


2
- a2
4 + 5，
当- a
2 <-1，即a > 2 时，g(x) 在[-1，2] 上单调递增，
则g(x)min = g(-1) = 6 - a = 1，解得a = 5；
当-1 ≤- a
2 ≤2，即-4 ≤a ≤2 时，g(x) 在-1，- a
2



上单调递减，在- a
2 ，2




上单调递增，
则g(x)min = g - a
2


=- a2
4 + 5 = 1，解得a =-4(a = 4 舍去)；
当- a
2 > 2，即a <-4 时，g(x) 在[-1，2] 上单调递减，
则g(x)min = g(2) = 2a + 9 = 1，得a =-4(舍去)，
综上，a 的取值集合是{5，-4}．