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专题17 数列综合大题归类：求和，放缩不等式
目录
题型一：分组求和：公式法.................................................................................................................................................1
题型二：分组求和：奇偶分段型.........................................................................................................................................2
题型三：分组求和：正负相间型.........................................................................................................................................3
题型四：倒序求和型.............................................................................................................................................................3
题型五：裂项相消1：函数型..............................................................................................................................................4
题型六：裂项相消2：指数型..............................................................................................................................................5
题型七：裂项相消3：无理根号型......................................................................................................................................6
题型八：裂项相消4：分子分母齐次分离型......................................................................................................................7
题型九：裂项相消5：等差指数混合型..............................................................................................................................7
题型十：裂项相消6：正负相间裂和型..............................................................................................................................8
题型十一：裂项相消7：三角函数型..................................................................................................................................9
题型十二：裂项型证明数列不等式...................................................................................................................................10
题型十三：三角函数型数列不等式证明...........................................................................................................................11
题型十四：先求和再放缩证明数列不等式.......................................................................................................................12
题型十五：先放缩再求和证明数列不等式.......................................................................................................................13
题型十六：利用导数不等式证明数列不等式...................................................................................................................13
题型一：分组求和：公式法
1．（23-24 高三·河北唐山·模拟）已知数列
，
，
．
(1)证明：数列
，
为等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)求数列
的前n 项和
．
2．（2024·山东·二模）已知数列
，
中，
，
，
是公差为1 的等差数列，数列
是公比为2 的等比数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
等差等比求和是求和的基础。等差等比求和公式：
等差：前n 项和公式：Sn＝na1＋d＝.
等比：前n 项和公式：Sn＝
1
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3．（23-24 高三·重庆九龙坡·模拟）已知等差数列
的前n 项和为
，且满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
求数列
的前n 项和
．
4．（22-23 高三·河南郑州·期中）已知数列
的前n 项和为
，且满足
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)求数列
的前n 项和
.
题型二：分组求和：奇偶分段型
1．（23-24 高三·江苏泰州·模拟）已知等差数列{an}中，
，前n 项和为
，{bn}为各项均为正数的等
比数列，
，且
，
．(1)求
与
；
(2)定义新数列
满足
，
，求
前20 项的和
．
2．（2024·山西·三模）已知等差数列
的公差
，前
项和为
，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
3．（23-24 高三下·广东·模拟）已知数列{an}是公差不为0 的等差数列，其前n 项和为
，
，
，
，
成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若
，
，求数列{bn}的前100 项和
．
4．（23-24 高三·江苏盐城·期末）已知等差数列
的首项为1，公差
.数列
为公比
的等比数
列，且
成等差数列.
(1)求数列
和数列
的通项公式；
分组求和法：
1.形如an＝
，用分组求和法，分别求和而后相加减
2.形如an＝
，用分组求和法，分别求和而后相加减
3.形如an＝
，用分组求和法，分别求和而后相加减
如果涉及到分段数列，则.要注意处理好奇偶数列对应的项：
（1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和
2
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(2)若
，求数列
的前
项和
.
题型三：分组求和：正负相间型
1．（24-25 高三·全国·练习）已知数列
，求数列
的前
项和
．
2．（2023·广西南宁·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，
，求数列
的前n 项和
．
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列
满足
，
，
是数列
的前
项和，对任意
，有
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求
的前100 项的和.
4．（23-24 高三·广东深圳·期末）已知等差数列
的前
项和为
，
，且
，
，
成
等比数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，
，
是数列
的前
项和.求
题型四：倒序求和型
1．（2022 高三·全国·模拟）设
是函数
的图象上任意两点，且
正负相间求和：
1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的
奇数项通项。
倒序求和：
倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有
组合数。
3
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，已知点
的横坐标为
．
(1)求证：
点的纵坐标为定值；
(2)若
且
求
；
2．（20-21 高三·全国·模拟）已知函数
，数列
的前
项和为
，点
均在
函数
的图象上．
（1）求数列
的通项公式；
（2）若函数
，令
，求数列
的前2020 项和
．
3．（20-21 高三·江苏苏州·期中）已知
（1）若
，求
；
（2）若
，求
除以5 的余数
4．（23-24 高三·四川成都·模拟）已知数列
满足：
，数列
满足
.(1)求数列
的通项公式；
(2)求
的值；
(3)求
的值.
题型五：裂项相消1：函数型
1．（24-25 高三·广东·开学考试）已知数列
的各项均为正数，
为
的前
项和，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，记
的前
项和为
，求证：
．
2．（23-24 高三·江西·模拟）已知数列
满足
.
函数型，指的是
（1）f（n）=t（q-p），差型；
（2）f（n）是分离常数型；
4
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(1)求
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，证明：
.
3．（2024·陕西西安·模拟预测）设数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，数列
的前
项和为
恒成立，求实数
的最小值．
4．（23-24 高三·河北石家庄·模拟）已知等差数列{an}的前n 项的和为
成等差数列，且
成等比数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若
，数列{bn}的前n 项的和为
，试比较
与
的大小，并证明你的结论.
题型六：裂项相消2：指数型
1．（23-24 高三·河南·模拟）已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，记数列
的前
项和为
，求证：
.
2．（23-24 高三下·河南·模拟）已知数列
满足
(1)求证:
为等比数列；
(2)数列
的前n 项和为
，求数列
的前n 项和
.
3．（23-24 高三·云南曲靖·模拟）设等差数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
指数型，类似函数型的列项思维
形如
5
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4．（23-24 高三·湖北武汉·模拟）如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人
称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球……，设各层球数构
成一个数列{an}
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}的前
项和
，数列
满足
，求数列
的前
项和
题型七：裂项相消3：无理根号型
1．（23-24 高三·四川南充·期末）已知数列
是等差数列，且
是数列
的前
项
和.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和
，求证：
.
2．（23-24 高三·辽宁本溪·期末）设正项数列
是公差为
的等差数列，其前
项和为
，已知
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
3．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数
，
．
(1)若
在
处取得极值，讨论
的单调性；
(2)设曲线
在点
处的切线为，证明：除点
外，曲线段
总在的下方；
无理根式型裂项：
一般情况下，无理型裂项相消满足：
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(3)设
，证明：
．
4．（2024·福建三明·三模）已知数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
的前n 项和为
，若不等式
对任意的
恒成立，求实数t 的取值范围；
(3)记
，求证：
．
题型八：裂项相消4：分子分母齐次分离型
1．（23-24 高三·浙江丽水·期中）设数列
为等差数列，前
项和为
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
的前
项和为
，证明：
．
2．（2024·河北沧州·模拟预测）设正项数列{an}的前n 项和为
，已知
.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设
，求数列{bn}的前n 项和
.
3．（23-24 高三·安徽芜湖·模拟）设
是正项数列，且其前
项和为
，已知
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求
的前
项和
.
32．（23-24 高三·江苏盐城·期末）数列
中，
，
，设
.
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)若
，
为数列
的前
项和，求不超过
的最大的整数.
分离常数型
分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，
把分子次幂降下来。
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题型九：裂项相消5：等差指数混合型
1．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列
的前
项和为
，且满足
．
(1)求数列
的通项公式．
(2)记
，求数列
的前
项和
．
2．（2024·山西临汾·二模）已知数列
满足
．
(1)计算
，并求数列
的通项公式；
(2)设数列
满足
，求数列
的前
项和
．
3．（2024 高三·全国·模拟）已知等差数列
的前n 项和为
，数列
是等比数列，
，
，
．
(1)求
与
；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
4．（23-24 高三·江苏连云港·期中）已知数列
的前
项和为
，且满足：
，
.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)设
，求数列
的前
项和
；
(3)设数列
的通项公式为
，问:是否存在正整数，使得
成等差数列？
若存在，求出和
的值；若不存在，请说明理由.
题型十：裂项相消6：正负相间裂和型
，
注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的
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1．（23-24 高三·湖北武汉·期中）已知数列
的首项
，且满足
，数列
的前
项
和
满足
，且
.
(1)求证：
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)设
，求数列
的前
项和
.
2．（2024·四川·模拟预测）已知
为正项数列
的前
项和，
且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求
的前10 项和
．
3．（23-24 高三·海南省直辖县级单位·模拟）设数列
的前
项和为
．若对任意的正整数
，总存在正
整数
，使得
，则称
是“
数列”．
(1)若
，判断数列
是否是“
数列”；
(2)设
是等差数列，其首项
，公差
，且
是“
数列”，
①求
的值；
②设
为数列
的前
项和，证明：
4．（23-24 高三·湖北·期中）已知等差数列{an}的前
项和为
，且
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设
，求数列{bn}的前
项和为
．
题型十一：裂项相消7：三角函数型
1．（2024 高三·全国·模拟）已知在数列{an}中，
.
(1)求数列{an} 的通项公式；
正负型：等差裂和型
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(2)若数列{bn}满足
，求数列
的前2024 项和
.
2．（23-24 高三下·河南·模拟）已知数列
的前n 项和为
，
，
，
(1)求
；
(2)若
，求数列
的前1012 项和
．
3．（2024·福建泉州·二模）已知数列{an}和{bn}的各项均为正，且
，{bn}是公比3 的等比数列．数
列{an}的前n 项和
满足
．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
4．（2023·安徽安庆·模拟预测）已知
.
(1)求
；
(2)证明：
是等差数列，并求出
；
(3)设
，求
的前
项和
.
题型十二：裂项型证明数列不等式
45．（23-24 高三·江苏常州·模拟）已知数列
的前
项和为
，满足：
，且
．
(1)求证：数列
为等差数列，并求其通项公式；
(2)记
，数列
的前
项和为
，若不等式
对一切
恒
成立，求
的取值范围．
2．（23-24 高三·安徽·期中）已知数列{an}的前n 项和为
，满足
，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
裂项型证明数列不等式：
1. 裂项求和。
2. 求和后的函数数列式子，具有放缩和单调性两方面的特征。
3. 一些求和后的式子，还可以通过构造新函数，求导证明
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(2)若数列
的前n 项和为
，证明：当
时
.
3．（23-24 高三·山西·期中）已知数列
满足
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，记数列
的前
项和为
，求证：
.
4．（23-24 高一下·上海·期中）设
是数列
的前
项和，且
是
和2 的等差中项.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
；
①求数列
的前
项和
；
②设
，是否存在常数，使
对
恒成立？若存在，求出的
最小值；若不存在，说明理由.
题型十三：三角函数型数列不等式证明
1．（23-24 高三·湖北·期中）18 世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor）
发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当
在
处的
阶导数都存在时，
．其中，f
″ (x)表示
的二阶导数，
即为f
' (x)的导数，
表示
的
阶导数．
(1)根据公式估计
的值；（结果保留两位有效数字）
(2)由公式可得：
，当
时，请比较
与
的大小，
并给出证明；(3)已知
，证明：
．
2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开
成无限项的多项式.当
在
处的
阶导数都存在时，它的公式表达式如下：
三角函数数列不等式：
1. 利用三角函数的周期型。
2. 利用三角函数正余弦函数的有界性。
3. 一些题型，可以借助泰勒公式等导数形式证明的结论
11
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.注：
表示函数
在原点处的一阶导
数，
表示在原点处的二阶导数，以此类推，
表示在原点处的
阶导数.
(1)根据公式估算
的值，精确到小数点后两位；
(2)当
时，比较
与
的大小，并证明；
(3)设
，证明：
.
3．（2024 高三·全国·模拟）已知函数
.
(1)证明：
；
(2)求证：
.
4．（23-24 高三·四川成都·期中）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下
垂，那么项链所形成的曲线是悬链线.1691 年，莱布尼茨等得出悬链线可为双曲余弦函数
的
图象，类似的可定义双曲正弦函数
.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出（不证明）双曲正弦函数的一个正确的结论：
________；
(2)当
时，比较
与
的大小，并说明理由；
(3)证明：
题型十四：先求和再放缩证明数列不等式
1．（24-25 高三·辽宁·开学考试）已知
为数列
的前
项和，
为数列
的前
项和，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求
的最大值；
(3)设
，证明：
.
2．（23-24 高三·江西南昌·模拟）已知数列
的前
项和为
，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
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(2)是否存在实数
，使数列
为等差数列？若存在，求出
的值：若不存在，请说明理由；
(3)已知数列
，
，其前
项和为
，求使得
对所有
都成立的自
然数
的值.
3．（23-24 高三·浙江·模拟）已知数列
满足
，
.
(1)若
，求数列
的前n 项和
；
(2)若
，设数列
的前n 项和为
，求证：
.
4．（23-24 高三·河北承德·期末）已知正项数列
满足
，数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
题型十五：先放缩再求和证明数列不等式
1．（23-24 高三·天津北辰·模拟）已知数列
为等差数列，
，
，数列
的前
项和为
，
且Sn=2bn−2(n∈N
*)，
(1)求
的通项公式．
(2)已知cn={
anbn,n 为奇数
(3an−4)bn
anan+2
,n 为偶数，求数列
的前
项和
．
(3)求证：
．
4．（2024·山东·二模）记
为数列
的前
项和，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，证明：
．
先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标。对于递推公式，不放缩难以
求和，所以放缩成能求和的形式。
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3．（2024·广东肇庆·一模）已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且
，
，
，
.(1)求
；
(2)已知
，求数列
的前
项和
；(3)求证：
.
4．（23-24 高三·辽宁·期末）已知函数
，数列{an}满足
正整
数
(1)求
的最大值；
(2)求证：
；
(3)求证：
．
题型十六：利用导数不等式证明数列不等式
1．（2024·全国·模拟预测）设整数
，
且
，函数
．
(1)证明：
；
(2)设
，证明：
；
(3)设
，证明：
．
2．（24-25 高三·四川成都·开学考试）已知
.
(1)求
的定义域；
(2)若
恒成立，求
能够取得的最大整数值；
(3)证明：
.
3．（24-25 高三·河北·开学考试）已知函数
.
(1)求证
；
(2)求方程
解的个数；
(3)设
，证明
.
4．（23-24 高三·山东日照·期中）已知数列
满足
，且对任意正整数
都有
.
(1)写出
，并求数列
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，若存在正整数
，使得
，求
的值；
14
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(3)设
是数列
的前
项和，求证：
.
15
