函数与导数：指对幂比较大小、函数的实际应用、指对幂函数的零点问题专项训练
考点目录
指对幂比较大小
函数的实际应用
指对幂函数的零点问题
1．（25-26 高三上·天津河北·开学考试）设
3
log 8
a =
，
1.1
2
b =
，
5
log 8
c =
，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A．b
a
c
<
<
B．c
b
a
<
<
C．c
a
b
<
<
D．a
c
b
<
<
2．（25-26 高三上·湖北荆州·开学考试）已知
2
ln 5
a =
，
3
2
b = -
，
e
c = -
，则（ ）
A．a
b
c
>
>
B．b
a
c
>
>
C．b
c
a
>
>
D．a
c
b
>
>
3．（2025·浙江嘉兴·一模）若实数,x y 满足
2
2
log
log 3
log
log 2
y
x
x
y
+
=
+
，则下列结论不可能成立的是（ ）
A．
2
1
x
y
<
<
B．
2
1
y
x
<
<
C．
2
0
1
y
x
<
<
<
D．
2
0
1
y
x
<
<
<
4．（25-26 高三上·北京·阶段练习）已知10
2
a =
，10
5
b =
，则下列不成立的是（ ）
A．
1
4
ab <
B．
2
b
a
>
C．
2
2
1
2
a
b
+
>
D．
5
10
2
b
a =
5．（25-26 高三上·江苏南通·开学考试）设
1
3
a =
，
4
ln 3
b =
，
2
4
log 3
c =
则（ ）
A．b
c
a
<
<
B．c
b
a
<
<
C．b
a
c
<
<
D．a
b
c
<
<
考点一
指对幂比较大小
6．（25-26 高三上·湖北·阶段练习）已知
2
2
a
a +
=
，
3
2
b
b +
=
，则
ba 与
a
b 的大小关系为（ ）
A．
b
a
a
b
<
B．
b
a
a
b
=
C．
b
a
a
b
>
D．不确定
7．（24-25 高二下·黑龙江·期末·多选）已知
6
7
log 7
log 6
m =
+
，且2
3
6
7
m
m
m
n
+
+
=
，
2
3
log 3
log 2
p =
+
，则（ ）
A．
2
m >
B．
2
n >
C．n
m
>
D．m
p
>
8．（25-26 高三上·重庆·开学考试·多选）已知 0
1
a
b
c
<
<
<
< ，则（ ）
A．
b
c
a
a
<
B．log
log
c
c
b
a
a
b
>
C．4
5
4
5
a
b
b
a
-
-
+
>
+
D．ln
sin
sin
a
c
b
b <
-
9．（25-26 高三上·黑龙江·开学考试·多选）若0
1
a
b
<
<
< ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
b
a
a
b
<
B．
b
a
a
b
a b
a b
<
C．
a
b
a
b
<
D．
1
a
b
a
b
+
>
10．（24-25 高一上·广东揭阳·期末）若
0.01
2
a =
，
2
1
log 3
b =
，
0.1
1.1
c
-
=
，则a ，b ，c 的大小关系为
（用“>”
连接）．
11．（24-25 高一上·重庆长寿·期末）已知
0.7
0.7
log
5,
ln 2,
5
a
b
c
=
=
=
，则
（写出, ,
a b c 的大小关系）
12．（24-25 高三下·浙江·开学考试）已知
10
3
10 10
a
b
=
=
，
，则a
b
，的大小关系为：a
.b （填> = <
，，）.
13．（24-25 高二下·陕西西安·阶段练习）已知
lnπ
x =
，
5
log 2
y =
，
1
2
e
z
-
=
，则x ，y ，z 的大小关系为
．
14．（24-25 高二下·甘肃张掖·期末）设
0.25
e
a =
，
1
4
b =
，
ln5
2ln 2
c =
-
，则a，b，c 的大小关系是
.（用
“< ”连接）
1．（2025·浙江嘉兴·一模）为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表：
每户每年天然气用量
天然气价格
不超过
3
300m
2.98 元
3
/m
超过
3
300m 但不超过
3
480m 的部分
3.60 元
3
/m
超过
3
480m 的部分
4.50 元
3
/m
若某户居民一年的天然气费为2082 元，则此户居民这一年使用的天然气为（ ）
A．
3
610m
B．
3
600m
C．
3
558.7m
D．
3
462.7m
2．（25-26 高三上·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系
192ekx
y =
，其中k 为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48 小时，则在30℃的保鲜时间是（ ）
A．20 小时
B．24 小时
C．28 小时
D．32 小时
3．（25-26 高三上·北京顺义·阶段练习）在声学中，声音的强度级（单位：dB）常用于描述声音的强弱.强度级L 计
算方式为：
0
10lg I
L
I
=
，其中I 是声音强度（单位：），
0I 是常数，表示人耳可听到的最小强度.设声源A 单独发声
时，产生的声音强度为
AI ，强度级为
A
L ；声源B 单独发声时，产生的声音强度为
BI ，强度级为
B
L ；且
2
B
A
I
I
=
.当
声源A
B
、同时发声时，产生的声音强度
A
B
I
I
I
=
+
总
；则此时的强度级
A
L
L
-
»
总
（ ）(lg 2
0.30,lg3
0.47)
»
»
A．0.47
B．1.7
C．3
D．4.7
4．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前激情教育，某班主任根
据历年学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间(30
100)
t
t
£ £
（单位：天）与增加总分数
( )
f t （单位：分）的函数模型
( )
1 lg(
1)
kP
f t
t
= +
+
，k 为增分转化系数，P 为“百日冲刺”后的一模总分，
1
(50)
8
f
P
=
.
已知某学生在距离高考还有99 天的一模考试中总分为600 分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为
（ ）
（参考数据：lg51
1.71
»
，结果保留整数）
A．658
B．668
C．678
D．688
考点二
函数的实际应用
5．（25-26 高三上·北京顺义·开学考试）古生物学家经常利用碳14 的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体
生存时，其体内的碳14 含量会保持在一定的水平，设为
0
N .当生物体死亡后，碳14 会发生衰变，且碳14 含量
N t 随时间t （单位：年）的变化规律满足
0e
t
N t
N
l
-
=
，其中l 是衰变常数.已知碳14 的半衰期约为5730 年，
即每经过5730 年，碳14 含量就会变为原来的
1
2 .现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14 含
量为
0
1
6 N .由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（ ）
（参考数据：ln2
0.69
»
，ln3
1.10
»
）
A．
9800,10000
B．
12800,13000
C．
13800,14000
D．
14800,15000
6．（25-26 高三上·江苏扬州·开学考试）倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态
环保思想成为社会生活中的主流文化.为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引进了一种新的
废水净化技术，已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度为
0
1mg / L
P =
，首次净化后所排放的废水中含有
的污染物的浓度为
1
0.94mg / L
P =
，第n 次净化后所排放的废水中的污染物的浓度
0.5
*
0
0
1
3
,
n t
nP
P
P
P
t
n
+
=
-
-
´
Î
Î
R
N
（单位：mg / L ），依据当地环保要求，企业所排放的废水中含有的污染物的
浓度不能超过0.04mg / L ，为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度达标，则废水净化的次数至少为
（ ）
（参考数据：ln2
0.7,ln3
1.1
»
»
）
A．4
B．5
C．6
D．7
7．（24-25 高二下·陕西·阶段练习·多选）生物学家为了研究某生物种群的数量情况，经过数年的数据采集，得到该
生物种群的数量Q （单位：千只）与时间t （
0
t ³
，单位：年）的关系近似的符合
e
e
7
t
t
m
Q t =
+
，且在研究刚开始
时，该生物种群的数量为5000 只．则下列结论正确的是（ ）
A．该生物种群的数量逐年增加
B．该生物种群的数量不超过40000 只．
C．该生物种群数量的增长速度逐年减小
D．该生物种群数量的年增长量不超过10000 只
8．（24-25 高一下·江苏南京·期中·多选）某药物在人体内的血药浓度与时间有关，血药浓度C （单位：mg / L ）与
时间t （小时）的变化规律可近似表述为：
0e kt
C t
C
-
=
，其中
0
C 为初始血药浓度，k 为代谢速率常数，
C t 图象
如图所示，则（ ）
A．
ln2
k =
B．每小时血药浓度降低的数值相等
C．服药后6 小时，血药浓度降至初始值的1
64
D．服药后，人体内的血药浓度随着时间的增加而降低
9．（2025·重庆·二模·多选）从2024 年3 月1 日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每100 mL 血液中乙醇含量
大于或等于20 mg ，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于80mg 则认定为醉驾，属于犯罪行为．张师傅某次饮
酒后，若其血液中的乙醇含量y （单位：mg / mL ）与酒后代谢时间x （单位：h ）的数量关系满足
2
4
4
1
x
y
x
=
+ ．则张师傅此次饮酒后（ ）
A．当代谢时间
0.5
x =
时，血液中的乙醇含量最低
B．血液中的乙醇含量开始是代谢时间x 的增函数，然后是代谢时间x 的减函数
C．若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为
D．若执意驾车，饮酒后0.5 h 接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾
10．（2025·广西·模拟预测·多选）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物的
动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值
(1
)
a
a
a
x
S x
x
x
=
+
-
，
0,1
xÎ
，
0.
a >
其中x 表示污染物浓
度，a 为设备灵敏度参数(a 越大，灵敏度越高) ，则（ ）
A．
S x 过定点1 1
,
2 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
S x 在污染物浓度区间
0,1 上单调递增
C．
S x 关于
1
2
x =
对称
D．取定x 的值
1
(0
)
2
x
<
<
，灵敏度越高，监测值越大
11．（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x 年
底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型
0
1
1 e-
=
æ
ö
+
-
ç
÷
è
ø
px
N
y
N
y
，其中N 为饱和度，
0y 为初始值，p 为年
增长率．若该地区2024 年底的光伏太阳能板保有量约为20 万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10% ，
饱和度为1020 万块，那么2030 年底该地区光伏太阳能板的保有量约
万块．
（结果四舍五入保留到整数，参考数据：
0.5
e
0.61
-
»
，
0.6
e
0.55
-
»
，
0.7
e
0.49
-
»
）
12．（24-25 高一下·云南·期中）某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业2025 年1 月投入该
新产品的研发经费为20 万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025 年1 月
为第1 个月，第n （n
+
ÎN ）个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40 万元，则n 的最小值是
（参考
数据：lg 2
0.301
»
，lg3
0.477
»
）
13．（2025·江苏南通·模拟预测）心理学家有时使用函数
1 e kt
L t
A
-
=
-
来测定在时间
min
t
内能够记忆的量L ，
其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率.假设一个学生有200 个单词要记忆，心理学家测定在5min 后该学生记忆
了20 个单词.该学生记忆38 个单词大约需要
min .
14．（24-25 高二下·北京·期中）Logistic 增长模型描述了受资源限制的种群增长规律，广泛应用于生物学等领
域．该模型的数学表达式为
1
0
0
1
e rt
M
P t
M
P P-
-
= +
-
，其中
( )
P t 表示t 时刻的种群数量，M 为环境的最大承载容量
（种群数量的上限），
0P 为初始时刻的种群数量，r 为种群的内禀增长率（与繁殖率，死亡率相关），
0
r >
．
①若
0
1
1,
2
2
M
P
r
=
=
=
，则初始时刻生物种群的增长速度是
；
②若
0
2
M
P <
，则当种群数量达到环境的最大承载容量一半时，生物种群的增长速度是
．（用M，r 表示）
15．（24-25 高三上·福建漳州·阶段练习）某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5 个月，预测上市初期
和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数：
①
· x
f x
pq
＝
；②
2
1
f x
px
qx
＝
＋＋；③
2
f x
x x
q
p
＝
－
＋（以上三式中
,p q 均为常数，且
1
q >
）.
(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数（不必说明理由）？
(2)若
0
4,
2
6
f
f
＝
＝.求出所选函数
f x 的解析式（注：函数定义域是
0,5 ，其中
0
x＝表示8 月1 日，
1
x＝表
示9 月1 日，以此类推）.
(3)在（2）的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你
预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.
16．（25-26 高三上·广东中山·阶段练习）我国某企业计划在2025 年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，
生产此款手机全年需投入固定成本250 万元，且年产量x （单位：千部）与另投入成本
( )
R x （单位：万元）的关
系式为
2
10
100
750,0
40
10000
701
8700,
40
x
x
x
R x
x
x
x
ì
+
+
<
<
ï
= í
+
-
³
ïî
，由市场调研知，每部手机售价为0.7 万元，且全年内生产的手机当年
能全部销售完.
(1)求2025 年的利润
( )
W x （单位：万元）关于年产量x （单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）；
(2)当2025 年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
1．（24-25 高二下·云南·期末）设函数
lg
f x
x
=
，则函数
f x 的零点所在的区间为（ ）
A．
0,2
B．
1,2
C．
2,3
D．
3,4
2．（25-26 高三上·上海杨浦·开学考试）下列函数中，在区间
0, ¥
+
上是严格增函数且在区间
0, ¥
+
上存在零点
的是（ ）
A．
e
1
x
y =
-
B．
2
y
x
=
-
C．
1
2
log
1
y
x
= -
+
D．
2
1
1
y
x
= -
+
3．（25-26 高三上·北京顺义·开学考试）已知函数
e
1
1
e
1
2
x
x
f x
x
=
-
-
+
，则函数
f x 所有零点之和为（ ）
A．2
-
B．0
C．2
D．4
4．（25-26 高三上·山东青岛·开学考试）已知关于x 的方程
e
1
x
a
x
=
+
恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围是
（ ）
A．( 2,
)
- +¥
B．(0,
)
+¥
C．
2
1
(
,0)
e
-
D．(
,1)
-¥
5．（2024·安徽合肥·模拟预测·多选）已知函数
3
2
0
log
0
x
x
f x
x
x
ì
+
£
ï
= í
>
ïî
，
，
，若关于 x 方程
f x
t
= 有四个不同的
解
1
2
3
4
,
,
,
x x
x x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
<
<
<
，则
4
1
2
2
3
4
1
x
x
x
x x -
+
的可能取值为（ ）
A．2
B．8
C．16
D．32
考点三
指对幂函数的零点问题
6．（24-25 高一上·云南昆明·阶段练习·多选）已知函数
1
3
1 ,
0,
ln ,
0,
x
x
f x
x x
+
ì
-
£
ï
= í
>
ïî
函数
g x
f x
m
=
-
有四个不同的零
点
1
2
3
4
,
,
,
x x
x x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
<
<
<
，则（ ）
A．m 的取值范围是
0 2,
B．
1
2
2
3
3
3
x
x
+
=
C．
3
4
2x
x
+
的最小值是2 2
D．m 越大，
3
4
x
x
+
的值越大
7．（24-25 高一上·重庆沙坪坝·期末·多选）已知函数
2
2
,
1
log
1 ,
1
x
x
f x
x
x
ì
-
£
ï
= í
-
>
ïî
，且关于x 的方程
f x
a
=
恰有四
个不同的根，从小到大依次为
1
2
3
4
,
,
,
x x
x x ，则（ ）
A．
1,2
aÎ
B．
1
2
3
4
4
x
x
x
x
+
+
+
最小值为9
C．
0
f
f x
f x
-
=
恰有6 个不同的根D．
k
$
，使得
f
f x
k
=
恰有8 个不同的根
8．（24-25 高二上·贵州毕节·阶段练习·多选）已知函数
ln ,0
e
1
2,
e
e
x
x
g x
x
x
ì
<
£
ï
= í-
+
>
ïî
（其中e为自然对数的底数），若实数
1
x ，
2x ，
3x 存在并能满足
1
2
3
g x
g x
g x
=
=
，且
1
2
3
x
x
x
<
<
，则下列说法正确的有（ ）
A．
g x 在
0,1 和
e,+¥ 上单调递减
B．
g x 的值域为
0,+¥
C．
1
2
3
x x x 的取值范围是
e,2e
D．
1
0,1
g x Î
9．（24-25 高一上·浙江·阶段练习·多选）关于函数
3
1
x
f x =
-
，实数
1
x ，
2x 满足
1
2
x
x
<
，且
1
2
f x
f x
m
=
=
，
则下列结论正确的是（ ）
A．0
1
m
<
<
B．
1
2
1
x
x < -
C．若
1
0
2
m
<
<
，则
1
2
1
2
x
x
+
< -
D．若
6
1
3
m
<
< ，则
1
2
1
x
x
+
< -
10．（25-26 高三上·湖北恩施·开学考试·多选）已知函数
e ,
0
( )
ln
1,
0
x x
f x
x
x
ì
£
= í
+
>
î
，方程
( ( ))
f f x
m
=
有三个不同的实根
1
x ，
2x ，
3x ，则（ ）
A．方程
( )
f x
m
=
有两个不同的实根
B．
[1,e]
mÎ
C．
1
m - 是方程
( ( ))
f f x
m
=
的一个根
D．
1
2
3
1
e
e
x
x
x
+
+
<
+
11．（2025·河南·模拟预测）已知函数
2
log
1 0
4
3
4
x
x
f x
x
x
ì
-
<
£
ï
= í
-
>
ïî
，
，
，
存在
1
2
3
0
x
x
x
<
<
<
，使得
1
2
3
(
)
(
)
(
)
f x
f x
f x
=
=
，
则
1
2
3
x x x 的取值范围是
.
12．（24-25 高一上·北京房山·期末）已知函数
2
2
,
1,
( )
log
,
1.
x
x
f x
x x
ì
£
= í
>
î
若
( )
2
f x =
，则x =
；若
( )
f x
m
=
有三个不
同的实根
1
2
3
,
,
x x
x ，且满足
1
2
3
x
x
x
<
<
，则
2024
1
2
3
(
)
x
x m
x
+
+
的取值范围是
．
13．（24-25 高三上·陕西商洛·期末）已知函数
2
6ln ,
0,
( )
6 ,
0.
x x
f x
mx
x x
>
ì
= í
+
<
î
若关于a 的方程
( )
(
)
f a
f
a
=
-
恰有四个不同的
解，则正数m 的取值范围为
．
14．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知函数
2
1,
0
ln
,
0
x
x
f x
x x
ì
+
£
ï
= í
>
ïî
，若函数
y
f af
x
=
所有零点的乘积为1，则实
数a 的取值范围是 .
15．（25-26 高二上·广东深圳·开学考试）已知函数
2
2
x
x
f x
a
-
=
+
×
（a 为常数，aÎR ）．
(1)当a 取何值时，函数
f x 为奇函数；
(2)当
1
a = 时，若方程
2
3
f
x
k f x
-
×
=
在
0,1
xÎ
上有实根，求实数k 的取值范围．
