文档文本内容
第 16 讲 导数中的双变量与多变量问题
【典型例题】
例1．（2024·高三·湖北荆门·阶段练习）已知函数 ， 是大于0的常数.记曲线 在点
处的切线为 ， 在 轴上的截距为 ， ．
(1)当 ， 时，求切线 的方程；
(2)证明： .
【解析】（1）因为 ，所以曲线 在点 处切线方程为 ．
即 ，
当 ， 时，
切线 的方程为 ．
（2）对于切线 ： ，
令 ，得 ，
由 得 ，
因为 ，所以 ， ，
，令 ， ，
令 ，由 得 ，
则当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ．
所以，当 ， ，则 ，
①当 时， ， ，因为 ，所以 ，则 ．
②当 时， ，
令 ， ，
，当 时， ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，则 ，
综上， ．
例2．（2024·高三·云南曲靖·阶段练习）关于函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 在 处的切线垂直于直线 ，对任意两个正实数 ， ，且 ，有 ，
求证： .
【解析】（1）因为 ，则
当 时，因为 恒成立，所以函数 在 上单调递增；
当 时，当 ，解得 ，当 时，解得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
综上所诉：当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）因为 在 处的切线垂直于直线 ，
所以 在 处的切线的斜率为 ，
即 ，解得 ，即
设 ，令 ，由 ，即 ，得 ，即 ，
即 ，则 ，所以 ，
要证 ，
设 ，则 ，
则 在 上单调递减， ，故 成立.
例3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，讨论函数 的极值；
(2)已知 ，函数 存在两个极值点 ， ，证明： ．
【解析】（1）当 时， ，∴ ．
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
∴ 的极小值为 ，无极大值．
（2）解法一 ，
∴ ，∵ 有两个极值点 ， ，
∴ 有两个变号零点 ， ，即方程 有两个不相等的实根 ， ，
即方程 有两个不相等的实根 ， ．
设 ，则 ，易知 在 上单调递增，
∴ ，则 ．设 ，则直线 与函数 的图象有两个不同的交点．
∵ ，∴当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
不妨设 ，则 ．要证 ，即证 ，
∵ 在 上单调递增，∴即证 ，
即证 ．设 ，
则 ，∴ 在 上单调递增，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，∴ ，得证．
解法二 ，∴ ，
∵ 有两个极值点 ， ，∴ 有两个变号零点，
即方程 有两个不相等的实根 ， ，
即方程 有两个不相等的实根 ， ，
即方程 有两个不相等的实根 ， ．（关键：化同构）
设 ，易知 在 上单调递增，∴ ，
∴ ， ，则 ，
则 ，
由对数平均不等式得 ，（对数平均不等式：已知实数 ， ，
，则 ）
∴ ，则 ，∴ ，得证．
例4．（2024·山西·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若关于 的方程 有两个不同的正实根 ，证明： .
【解析】（1） 的定义域为 ，
由 ，得 .
设 ，则 .
由 ，得 ，由 ，得 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
从而 .
故 ，即 的取值范围是 .（2）证明：由 ，得 ，
即 ，即 .
设 ，则 等价于 .
易证 在 上单调递增，则 ，即 .
设 ，则 .
由 ，得 ，由 ，得 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
从而 ，且 ，
当x趋于 时， 趋于0.
方程 有两个不同的正实根 ，不妨设 ，
由图可知， .
设
则 在 上单调递增.
因为 ，所以 ，即 .
设 ，则 ，
即 ，则 .因为方程 有两个不同的正实根 ，
所以 ，作差得 .
因为 ，所以 ，所以 ，
则 ，故 .
例5．（2024·高三·四川成都·阶段练习）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求证： 在 上单调递减；
(2)若 有两个不相等的实数根 ．
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）求证： ．
【解析】（1）当 时， ， ，令 ，
，
令 ，得 ， ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
，即 ，
所以函数 在 上单调递减.
（2）（i） 有两个不相等的实数根 ， ，即方程 有两个不相等的实数根 ， ，
令 ， ，
，当 时， ，即函数 在 上单调递减，函数 至多一个零点，不
合题意；
当 时， ， ， ， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
，函数 有两个零点，则 ，解得 ，
又 ， ，不妨设 ， ，
所以实数 的取值范围为 .（ii）要证 ，即证 ，
又 ， ， ，即证 ，
将 ， 两式相减可得， ，
只需证 ，
即证 ，令 ，即证 ；
设函数 ， ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，则 ，即 ，
所以原不等式得证.
例6．（2024·高三·湖北咸宁·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时， ，求实数的取值范围;
(2)若 ，使得 ，求证： ．
【解析】（1）当 时，由 ， ，得 ，即 ，
令 ，求导得 ，
设 ，求导得则 ，则 在 上单调递增，
于是 ，即 ，因此 在 上单调递增，
即 在 上有最大值， ，则 ，
所以m的取值范围为 .
（2） ，由 ，得 ，
整理为 ，令 ，
求导得 ，则函数 在 上单调递增，
不妨令 ，即有 ，从而 ，于是 ，即 ，
下面证明 ，即证 ，令 ，就证 ，只需证 ，
设 ，求导得 ，则 在 上单调递增，于是 ，
因此当 时， 成立，即 ，
于是 ，所以 ．
例7．（2024·高三·福建福州·期中）已知函数 ， 为 的导函数．
(1)当 时，讨论函数 的单调性
(2)已知 ， ，若存在 ，使得 成立，求证： ．
【解析】（1）当 时， ， ，
，
当 时， 在区间 上恒大于0，此时函数的单调递增区间是 ；
当 时，设 ，其中 ，
当 ，函数单调递增，
当 ， ，函数单调递减，
当 时， ，
当 时， ，此时 恒成立，函数的单调递增区间是 ，
当 时， ，
当 且 ，
所以 在区间 上恒大于0，即函数的单调递增区间是 ，
综上可知， 时，函数的单调递增区间是 ，当 时，函数的单调递减区间是 ，函数的单调递减区间是 ；
（2）不妨设 ，因为 ，
则 ，
即 ，
得 ，
由 ，
则 ，
所以 ，
，
设 ，构造函数 ，
，
所以 在 上为增函数，
所以 ，即 ，
又 ， ， ，
所以 .
例8．（2024·高三·山西吕梁·阶段练习）已知函数(1)求函数 的单调区间；
(2)若方程 有两个不等的实数根 ， ，且 ，证明： ．
【解析】（1）因为 ，所以
①当 时， 恒成立， 在 单调递增，
② 时， ，
由韦达定理可得 ， ， 所以 有一正一负两个实数根，
解得 或 （舍去）
所以 在 单调递增， 在 上单调递减，
综上所述：当 时， 在 单调递增，
时 在 单调递增，在 单调递减．
（2）由 得： 即 ，即 ，
则 有两个不等的实数根 ， ，且 ，
设 ，因为 ，所以 ，且 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，得
所以 ，故 ，
从而
设 ，则 ，
设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
又 ，所以 恒成立，故 ，从而 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，从而 ，故 ，所以 ．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）已知正数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由 ，
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，故 ，
当且仅当 ，即 时取等号；
设 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，故 ，
当且仅当 时取等号，
又 ，则 ，
此时 ，则 .
故选：A
二、多选题
2．（2024·广东广州·一模）已知直线 与曲线 相交于不同两点 ， ，曲线
在点 处的切线与在点 处的切线相交于点 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD【解析】令 ，则 ，
故 时， 递增； 时， 递减，
所以 的极大值 ，且 ， ，
因为直线 与曲线 相交于 ､ 两点，
所以 与 图像有2个交点，
所以 ，故A正确；
设 ，且 ，可得 ，
在 点处的切线程为
，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，故B错误；
因为 ，所以 ，
因为 为两切线的交点，
所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
故C正确；
因为 ，所以 ，所以 ，
同理得 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.3．（2024·高三·浙江宁波·期末）已知 ， ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 、 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，当 时， ，
，有 ，故 ，
又 ， ，
故 ，故有 ，
故 ，即C正确， ，即 ，故D错误，
令 ，则 ，
令 ，
则 ，当 时， ，
当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
有 ，故 恒成立，即 恒成立，
故 在 上单调递减，
又 ，
故当 时， ，当 ， ，
即当 时， ，当 时， ，
令 ，即 ，此时 ，
故该方程有两个不相等的实根，设两根为 、 ，且 ，则有 ，
由 ，且 ，故有 ，
由 ，故 ，即 ，故A正确；
令 ，有 ，
则 ，
当 时， ，当 ， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
有 ，又 ，故 ，
令 ，
则 ，
由 ，故 ，即 ，
故 在 上单调递增，又 ，故 恒成立，
即 ，由 ，即有 ，
又 ，即有 ，有 ， ，又 在 上单调递减，故 ，即 ，故B正确.
故选：ABC.
4．（2024·海南海口·模拟预测）设函数 ，则（ ）
A．
B．函数 有最大值
C．若 ，则
D．若 ，且 ，则
【答案】ACD
【解析】对A，由题意知 ，所以 ，故A
正确；
对B，由题意知 的定义域为 ， ，
当 ， ，当 ， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 取到极小值也是最小值 ，故B错误；
对C，当 时，可得 ，由A知 ，
所以 ，
由B知 恒成立，所以 ，故C正确；
对D，当 时，得 ，又因为 ，所以 ，
由B知 在 上单调递增，所以 ，又由A知 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
5．（2024·山西临汾·模拟预测）已知 ， 恒成立，则 ．
【答案】
【解析】依题意， ，
因为 恒成立，
所以 恒成立，令 ，则 ，上式化为 恒成立，
令 ，则 ，
注意到 ，而 恒成立，即 ，
所以 ，即 ，故 ；
当 时， ，显然 在 上单调递增，
而 ，
所以当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ；
综上， .
故答案为： .
四、解答题
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若 存在零点，求a的取值范围；
(2)若 ， 为 的零点，且 ，证明： ．
【解析】（1） 的定义域为 ，
令 ，即 ，等价于 ，
设 ，则 （ ），
令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则 的最小值为 ， ，要使得 存在零点，则 ，
即 ，得 ．
（2）由 为 的零点，得 ，
即 ，即
两式相减得 ，即 .
要证当 时， ，
只需证 ，只需证 ， ，
， ．
令 ， ，只需证 ，
，则 在 上单调递增，
∴ ，即可得证.
7．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数 为实数.
(1)讨论函数 的极值；
(2)若存在 满足 ，求证： .
【解析】（1）由题意知 ，定义域为 ，
，
因为 ，所以 恒成立.
①当 时， ，函数 为 上的增函数，所以函数 无极值.
②当 时，令 ，得 ，当 时 单调递减，
当 时 单调递增，
所以当 时，函数 取得极小值 ，函数 无极大值.
综上，当 时，函数 无极值；
当 时，函数 的极小值为 ，无极大值.
（2）因为 ，
所以欲证 ，只需证明 ，
由（1）知若存在 满足 ，则 ，
不妨设 ，则 ，
设 ，
则
，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，即 ，
故 ，
因为 在 上单调递增，
所以 ，即 ，故 .
8．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数 .
(1)若 是函数 的一个极值点，求实数 的值；
(2)若函数 有两个极值点 ，其中 ，
①求实数 的取值范围；
②若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）易知 ，又 是函数 的一个极值点，，即 .
此时 ，令 ，
在 上单调递增，且 ，
当 ，当 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 是 的极小值点，即 符合题意；
因此实数 的值为 .
（2）①因为 ，且 有两个极值点 ，
所以方程 在 上有两个不同的根，即方程 有两个不同的正数根，
将问题转化为函数 与函数 的图象在 上有两个不同交点，
则 ，令 ，解得 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
且当 时， ，故作出 的图象如下：
由图象可得 满足题意，即 .
即实数 的取值范围为 ；
②由①知 是 的两个根，
故 ，则 ，
不妨设 ，又 ，所以 可得 ，可得 ，即 ，所以 ；
故由 可得 ，
即 ，所以 ；
也即 ，化简得 ，
由于 ，所以等价于 对任意的 恒成立，
令 ，故 对任意的 恒成立，
则 ，
设 ，则 ，
（i）当 时， 单调递增，
故 单调递减，故 ，不满足，舍去；
（ii）当 时， 单调递减，
故 单调递增，故 ，故 恒成立，符合题意；
（iii）当 时，令 ，则 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
又 ，故 时， ，此时 单调递减，故 ，
因此当 时， ，不符合题意，舍去.
综上，实数 的取值范围为 .
9．（2024·高三·北京·开学考试）已知 .
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)设 ，求 的单调区间；
(3)求证：当 时， .【解析】（1）当 时， ，
故 在 处的切线斜率为 ，而 ，
所以 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由题意得 ，则 ，
令 ，即 ，
令 ，即 ，
时，单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
（3）证明：由（2）可知，当 时， 在 上单调递增，而 ，
即 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
设 ，则 ，
因为 ，则 ，故 ，
所以 在 上单调递增，而 ，
则 ，即 ，而 ，
故 ，即 .
10．（2024·四川南充·二模）已知函数 有三个极值点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1）函数 有三个极值点
则 有三个不等实根
即方程 有三个不等实根 ，
令 ，则 ，
由 得 ，由 得 或
在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，所以
（2）由（1）知 ， ，所以 ，令 ，则 ，
令 ，则
令 ，则 ，
即 ， ，故
在 上单调递增，所以 .
11．（2024·高三·甘肃·开学考试）已知函数 .
(1)若 在 上单调递增，求 的取值范围；
(2)若 有2个极值点 ，求证： .
【解析】（1）法一：因为 在 上单调递增，
所以 时 ，即 ，
设 ，则 ，
所以 时 单调递减， 时 单调递增，
所以 ，
所以 ，即 的取值范围是 ；
法二：因为 ，
所以 ，
若 ，则 在 上单调递增；
若 ，令 ，则 ，
时 单调递减； 时 单调递增，
所以 是 的极小值点，所以 ，所以当 ，即 时， 在 上单调递增.
综上， 的取值范围是 .
（2）由（1）知 是方程 的两个不同正根，所以 ，
经验证， 分别是 的极小值点，极大值点，
，
下面证明 .
由 ，得 ，
两边取对数，得 ，即 ，
则 ，
设 ，则 ，则要证 ，即证 ，
即证 .
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，从而 ，
于是 成立，
故 .
12．（2024·四川·一模）已知函数 ．
(1)若 ，求 的最小值；
(2)若 有2个零点 ，证明： ．
【解析】（1）当 ，函数 ，
则 ，可知当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
则当 时， 取得极小值 ，也即为最小值，
所以 的最小值为 ；
（2）由已知， 是 的两个零点，
则 ， ，
两式相减，得 ，
整理得 ，
欲证明 ，
只需证明不等式 ，
即证明 ，也即证明 ，
不妨设 ，令 ，则 ，
只需证明 ，即证明 即可，
令 ，则 ，
又令 ，则 ，
所以，当 时， ，即 单调递减，则 ，
故当 时， 单调递增，则 ，
所以，原不等式成立，故不等式 得证．
13．（2024·高三·湖南·开学考试）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若方程 有两个不相等的根 ，且 的导函数为 ，证明： ．【解析】（1） ，则 ，
当 时， ，函数 在R上单调递增；
当 时，令 ， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）因为方程 有两个不等的根 ，且 ，
由（1）知， ，
令 ，
则
，
所以函数 在 上单调递增，
所以
，
又 在 上单调递增，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 .
14．（2024·高三·全国·阶段练习）已知 是函数 的导函数．
(1)求函数 的单调区间；
(2)设 为函数 的两个零点且 ，证明： ．
【解析】（1）函数 ， ，
令 ， ，
因为 ，令 ， ，
当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在 上单调递增，
即函数 的单调增区间为 ，减区间为 ；
（2）证明：由（1）可知 解得 ，
又 ， ，
所以 ，
因为 是 的两个零点，所以 ， ，
即 ， ，两式相减得 ，
令 ，则 ， ， ，
所以 ， ， ，
要证 ，即证 ，即证 ，
只需证： ，
令 ， ，
，
令 ，
所以 在 上单调递减且 ，
所以 ，则 在 上单调递增且 ，
所以 ，从而得证 ，即 ．
15．（2024·全国·模拟预测）设函数 .
(1)若 ，求函数 的最值；
(2)若函数 有两个不同的极值点，记作 ，且 ，求证： .
【解析】（1）由题意得 ，则 .
令 ，解得 ；令 ，解得 ，在 上单调递增，在 上单调递减，
，
无最小值，最大值为 .
（2） ，则 ，
又 有两个不同的极值点 ，
欲证 ，即证 ，
原式等价于证明 ①.
由 ，得 ，则 ②.
由①②可知原问题等价于求证 ，
即证 .
令 ，则 ，上式等价于求证 .
令 ，则 ，
恒成立， 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，
原不等式成立，即 .
16．（2024·高三·天津宁河·期末）已知函数 ， ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)设 是函数 的两个极值点，证明： ．【解析】（1）当 时， ，
得 ，则 ， ，
所以切线方程为 ，即 ；
（2） ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递增，无减区间，
当 时，令 ，得 ， 单调递增，
令 ，得 ， 单调递减，
综合得：当 时， 的单调递增区间为 ，无减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ；
（3） ，
则 ，
因为 是函数 的两个极值点，
即 是方程 的两不等正根，
所以 ，得 ，
令 ，则 ，
得 ，
则 ，
所以，
则 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
即 .
17．（2024·高二·湖南·期末）设 ， ， ，函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 时，函数 有三个零点 ， ， ，其中 ，试比较 与 的大
小关系，并说明理由．
【解析】（1）由 ，得 ，又因为 ，所以 ，
则 ，所以 ， ，
当 时，令 ，得 或 ；令 ，得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，令 ，得 ；令 ，得 或 ，
所以 在 与 上单调递减，在 上单调递增．
（2） ，理由如下：
因为 ，
令 ，
由 ，得 ，
解得 或，因为 ，
所以 ， 是 的正根，
则 ，
又 ，
所以 ， ，
两式相减得，
令 ， ，则 ，
得 ，则 ，
令 ，则
所以 ，
得 ，
设 ，则 ，
再设 ，则 ，
所以 在 上为增函数，
所以 ，即 ，
则 在 上为增函数，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 .
18．（2024·高三·河北沧州·阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若存在不相等的实数 ，使得 ，证明： ．
【解析】（1）由题得 的定义域为 ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递减；当 时，当 时， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，所以 在 上单调递减．
综上所述，
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）由（1）得，当 时， 在 上单调递减，不合题意，
故 ，则 ．
由 ，可得 ，
即 ，
可设 ，则 ，则 ．
要证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，
设 ，即证 ，
设 ，
可得 ，
所以 在 上单调递增，即 ，
即 ，则 ．
综上可得 ．
19．（2024·高三·江西·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，存在 ，使得 ，求M的最大值；
(2)已知m，n是 的两个零点，记 为 的导函数，若 ，且 ，证明：
.
【解析】（1）当 时， ，则 的定义域为 ，且 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 在 上的最大值为 ，最小值为 ，
由题意知 ，
故M的最大值为 .
（2）证明：由题意知 ， ，
所以 ，
所以 .
因为 ，
所以
，
所以要证 ，只要证 ，
因为 ，所以只要证 ，
令 ，则 ，即证 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，所以 .
