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疑难压轴4 立体几何与解析几何的交汇问题（小题狂练）
一．单选题.
【2025 上重庆期中】
1．如图所示．用过
点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一
部分，已知高
，底面圆的半径为4，
为母线
的中点，平面与底面的交线
，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2024 江苏盐城模拟】
2．设A，B 是半径为3 的球体O 表面上两定点，且
，球体O 表面上动点P 满
足
，则点P 的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2024 高三全国专题练习】
3．如图，在棱长为
的正方体
中，点E，F 在线段BD 上，点H，G 分
别在线段AD，AB 上，且
，
，
，动点P 在平面
内．若PH，PG 与平面
所成的角相等，则BP 的最小值是( )
A．
B．
C．5
D．
【2025 上海闵行期末】
4．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，
其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面
所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，阴影部分
是由双曲线
与它的渐近线以及直线
所围成的图形，将此图形绕
轴旋
转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2025 上江苏苏州期中】
5．已知矩形
，
，
，
为边
上一点且
，
与
交于点
，将
沿棱
折起，使得点
折到点
的位置，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【2024 武汉调研测试】
6．在三棱锥
中，
，
，
，
，且
，
则二面角
的余弦值的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2025 上北京期中】
7．如图，正四面体
的棱长2，过棱AB 上任意一点
作与AD，BC 都平行的截面，
将正四面体分成上下两部分，记
，截面上方部分的体积为
，则函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2025 上江西抚州阶段练习】
8．设A、B 是半径为
的球体O 表面上的两定点，且
，球体O 表面上动点M 满
足
，则点M 的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2025 上山东济南阶段练习】
9．祖暅，字景烁，祖冲之之子，南北朝时代的伟大科学家.祖暅在数学上有突出的贡献，
他在实践的基础上，提出了祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这
两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积
相等.已知双曲线
，若直线
与
在第一象限内与双曲线围成如图阴影
部分所示的图形，则该图形绕
轴旋转一周所得几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【2024 四川成都期末】
10．如图，已知正方体
的棱长为
为底面正方形
内（含边界）的
一动点，则下列结论中:①若点
为
的中点，则
的最小值为
；②过点
作
与
和
都成
的直线，可以作四条；③若点
为
的中点时，过点
作与直线
垂直的平面
，则平面
截正方体
的截面周长为
；④若点
到
直线
与到直线
的距离相等，
的中点为
，则点
到直线
的最短距离是
.
其中正确的命题有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
二．多选题.
【原创】
11．如图，在棱长为1 的正方体
中，
为平面
内一动点，则
（ ）
A．若
在线段
上，则
的最小值为
B．平面
被正方体内切球所截，则截面面积为
C．若
与
所成的角为
，则点
的轨迹为椭圆
D．对于给定的点
，过
有且仅有3 条直线与直线
所成角为
【2025 上河北衡水阶段练习】
12．在圆锥
中，已知高
，底面圆的半径为
为母线
的中点，根据圆锥曲线
的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个选项，
正确的是（ ）
A．圆的面积为
B．椭圆的长轴长为
C．双曲线两渐近线的夹角正切值为
D．抛物线的焦点到准线的距离为
【2024 河北衡水三模】
13．已知在正方体
中，
，点
为
的中点，点
为正方形
内一点（包含边界），且
平面
，球
为正方体
的内
切球，下列说法正确的是（ ）
A．球
的体积为
B．点
的轨迹长度为
C．异面直线
与BP 所成角的余弦值取值范围为
D．三棱锥
外接
球与球
内切
【2025 上浙江宁波期末】
14．胆式瓶创于南宋龙泉窑，康熙时期以郎红釉胆式瓶为贵.如图是18 世纪的窑变红釉胆
瓶，其优美的造型可看作图中曲线
的一部分.已知曲线
上的点到
的距离与到
轴
的距离之积为6，若曲线
上的点
在第一象限，则（ ）
A．
的最大值为
B．
C．曲线
的内接矩形的面积最大值为24
D．一个胆式瓶的剖面图可近似看作曲线
（
），若一正四面体可在胆式瓶内任
意转动（忽略胆式瓶的厚度），则该正四面体棱长的最大值为4
【原创】
15．用平面
截圆柱面，圆柱的轴与平面
所成的角记为
，当
为锐角时，圆柱面的截
线是一个椭圆，数学家Dandelin 创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小
相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于
的上方和下方，并且与圆柱面和
均相切，切点
分别为
．下列关于截口曲线的椭圆的结论中不正确的有（ ）
A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距
相等
C．所得椭圆的离心率
D．其中
为椭圆长轴，
为球
的半径，有
【原创】
16．如图，平面
平面
为线段
的中点，直线
与平面
所
成角的大小为
，点
为平面
内的动点，则（ ）
A．球心为
、半径为2 的球被平面
截得的截痕长为
B．若
到点
和点
的距离相等，则点
的轨迹是一条直线
C．若
到直线
的距离为1，则
的最大值为
D．满足
的点
的轨迹是椭圆
【原创】
17．三棱锥
中，
，
，
，直线
与平面
所成的角为
，直线
与平面
所成的角为
，则下列说法中正确的有（ ）
A．三棱锥
体积的最小值为
B．三棱锥
体积的最大值
C．直线
与平面
所成的角取到最小值时，二面角
的平面角为锐角
D．直线
与平面
所成的角取到最小值时，二面角
的平面角为钝角
【2024 山东淄博模拟】
18．把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱(
中椭圆
长轴
，短轴
，
为下底面椭圆的左右焦点，
为上底面椭圆的右焦点，
， P 为线段
上的动点，E 为线段
上的动点，MN 为过点
的下底面的一
条动弦(不与AB 重合)，则下列选项正确的是（ ）
A．当
平面
时，
为
的中点
B．三棱锥
外接球的表面积为
C．若点Q 是下底面椭圆上的动点，
是点Q 在上底面的射影，且
，
与下底面所
成的角分别为
，则
的最大值为
D．三棱锥
体积的最大值为8
三．填空题.
【2025 上海期末】
19．在三棱锥
中，
，且
，则二
面角
的余弦值的最小值为 .
【2025 上黑龙江哈尔滨期末】
20．三棱锥
中，已知
，
，
，
，当
平面
与平面
的夹角最大时，三棱锥
的体积的最大值为 .
【2025 上山东东营期末】
21．已知平面
平面
，线段
在平面
内，
为线段
的中点，
，
，点
为
内的动点，且点
到直线
的距离为
，则动点
的轨迹
的离
心率为 ，如果
，在平面
内过点
的直线与
交于
两点，则三棱
锥
的体积的最大值为 .
【2024 江苏南通二模】
22．机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为
，开口直径为
．旅
客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点D 时，椭圆的离心率等
于 ．
【2024 山东青岛三模】
23．已知长方体
中，
，点
为矩形
内一
动点，记二面角
的平面角为
，直线
与平面
所成的角为
，若
，则三棱锥
体积的最小值为 .
【2024 上海嘉定期末】
24．“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以
得到不同的截口曲线”，利用这个原理，小强在家里用两个射灯(射出的光锥视为圆锥)在
墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2 是一个射灯
投影的直观图，圆锥
的轴截面
是等边三角形，椭圆
所在平面为
，则椭
圆
的离心率为 ．
【2025 上四川成都期末】
25．假设视网膜为一个平面，光在空气中不折射，眼球的成像原理为小孔成像. 思考如下
成像原理: 如图，地面内有圆
，其圆心在线段
上，且与线段
交于不与
重合的
点
，
地面，且
，
点为人眼所在处，视网膜平面与直线
垂直.
过
点作平面
平行于视网膜平面. 科学家已经证明，这种情况下圆
上任意一点到
点
的直线与平面
交点的轨迹（令为曲线
）为椭圆或圆，且由于小孔成像，曲线
与圆
在视网膜平面上的影像是相似的，则当视网膜平面上的圆
的影像为圆时，圆
的半径
为 . 当圆
的半径满足
时，视网膜平面上的圆
的影像的离心率的
取值范围为 .
1.试题特点分析：在教材中，立体几何与解析几何是互相独立的两章，彼此分
离不相联系，实际上，从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，
因此，立体几何是由平面几何升维而产生;另一方面从立体几何与解析几何的联
系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛
物线)是平面截圆锥面所产生的截线;从轨迹的观点看，空间中的曲面(曲线)是空
间中动点运动的轨迹，正因为平面几何与立体几何有这么许多干丝万缕的联系，
因此，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新型
题型的生长空间也相当宽广，这一点，在高考卷中已有充分展示，应引起我们
在复习中的足够重视.
2.解题方法阐述：解析几何和立体几何交汇的问题因为其新颖性、应用性和综
合性备受命题者的青睐，主要有以下题型：
（1）以解析几何为背景的立体几何题：有些几何体通过投影、切割等方式得到解析几何中
的曲线或解几中的一些曲线经过翻转和旋转得到立几中的几何体，通过研究解几中的曲线，
从而计算几何体的面积、体积等度量.
（2）以立体几何为背景的解析几何题：有些问题以几何体为背景，通过研究立体几何中点、
线、面的位置关系或数量关系，从而转化为平面图形问题，在坐标系的基础上，从而判断
动点的轨迹、求曲线的方程等.
（3）解析几何和立体几何综合应用题：在实际生活中有很多立体几何和解析几何相结合的
实例，它们是高考数学应用题命题的源泉，平时通过用数学的眼光观察生活，就能够顺利
解决该类型问题.
3.解题经验分享：第一、熟记相关定理和公式，只有准确记忆相关知识点，才
能进行后续的解题步骤. 第二、对各种交汇知识建立联系，这样可以借助已有
的知识和解题经验来解决问题.第三、识别关键信息，正确进行推理，尤其是
“立体问题平面化”.
