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创新考法 7 分层考查“一题两空”题（小题狂练）
一、填空题.
【函数的定义域 2024年广东惠州模拟预测】
1．若函数 定义域为 ，则实数 实数b的取值范围 ．
【答案】 2
【分析】利用函数的定义域求解即可.
【详解】函数 ，故 ，即
函数 的定义域为 ，故 .
故答案为：2；
【三角恒等变换 2024年青海一模】
2．若锐角 满足 ，则 ，
．
【答案】
【分析】根据条件求 和 ，再代入两角和的正切公式，即可求解.
【详解】 ，因为 为锐角，所以
．
又 为锐角，所以 ．故 ．故答案为： ， .
【统计 2025上山西大同期末】
3．我市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的
身高都处在 五个层次内，根据抽样结果得到如图的统计图表，则样本中人数最
多的是 层，样本中 层的男生人数为 人.
【答案】
【分析】运用条形统计图得到女生人数，进而得到男生人数，最后按照比例求出各层人数
即可.
【详解】解析：由图可知女生人数为60，则男生人数为40，
样本中 层的人数为 ；样本中 层的人数为 ；
样本中 层的人数为 ；样本中 层的人数为 ；
样本中 层的人数为 .故样本中 层的人数最多．
样本中 层的男生人数为 .
故答案为： ；6.
【离散型随机变量的分布列和期望 2024新疆乌鲁木齐模拟预测】
4．已知 ，随机变量X的分布列为
Ｘ 1 2 3 4
P a b
的最小值为 ，此时X的数学期望为 ．【答案】 ##
【分析】根据分布列性质求得 ，然后由基本不等式求得最小值，并求得 值，再
由期望公式计算出期望．
【详解】依题意可得 ．则 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最小值为 ．
此时 ．
故答案为： ； ．
【直线和圆 2024浙江台州一模】
5．已知圆 ，其中 ，若圆 上仅有一个点到直线
的距离为1，则 的值为 ；圆 的半径取值可能为 （请写出一个可能的半
径取值）．
【答案】 （满足 即可，答案不唯一）
【分析】根据题意，圆 过原点且原点到直线 的距离为1，则
在直线 上，且与 相切，与 无交点，可解问题.
【详解】根据题意，与直线 的距离为1的点都在直线 和
上，
又圆 过原点且原点到直线直线 的距离为1，则 在直线 上，且与 相切，
所以 ，
又因为圆 与 无交点，所以 ，如图.
故答案为： ； （满足 即可，答案不唯一）
【点睛】关键点点睛：根据题意，发现圆 过原点且原点到直线 的距离为1
是解题关键.
【解三角形 2024河南新乡一模】
6．在 中，角 的对边分别为 ， 的面积 ，
则 的最小值为 ，此时 的周长为 ．
【答案】 8 ##
【分析】根据正余弦定理边角互化可得 ，进而根据三角形面积公式可得 ，即
可根据基本不等式求解最值，利用余弦定理可得 ，即可求得答案.
【详解】由 和正弦定理可得
，
故 ,，
，故 ,
当且仅当 ，即 时取等号，
，故 ，
此时周长为 ，
故答案为：8，
【条件概率 2024天津市耀华中学模拟】
7．盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从
盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为 ；（2）设事件
为“甲所取的2个球为同色球”， 事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事
件 发生的条件下，求事件 发生的概率 .
【答案】 ； .
【分析】（1）利用超几何分布求概率即可；
（2）利用条件概公式求解即可.
【详解】解：（1）设事件A为“甲所取的2个球为同色球”
所以 .
（2） ， .
故答案为： ； .
【函数的性质 2024福建宁德二模】
8．定义在 上的函数 满足 是奇函数，则 的对称中心为 ；若 ，则数列 的通项公式为
.
【答案】
【分析】根据函数对称中心定义判断函数对称中心，再应用对称中心性质用倒序相加法求
和计算即可.
【详解】因为 是奇函数，则 ，
整理得 ，所以 的对称中心为 ；
由 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
故答案为： ；
【复数 2024广东广州一中模拟】
9．已知 是关于x的方程 的一个根，则实数 ，实数
.
【答案】
【分析】由条件可得 ，根据复数相等定义列方程求 即可.
【详解】∵ 方程 的一个根，∴
即 .
∴ 解得 .
故答案为： ； .
【独立事件的乘法公式 2025上天津南开期末】
10．已知甲､乙､丙三人参加射击比赛，甲､乙､丙三人射击一次命中的概率分别为 ，
且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为 ；
在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为 .
【答案】 ； ．
【分析】记甲､乙､丙三人射击一次命中分别为事件 ，则每人各射击一次，则三人中
恰有两人命中的概率为 ，由互斥事件、对立事件、独立事件概率公式
计算可得，然后由条件概率公式计算在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率．
【详解】记甲､乙､丙三人射击一次命中分别为事件 ，由题意
，
则每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为
,
记三人中恰有两人命中为事件 ，“三人中恰有两人命中的前提下，甲命中”为事件 ，
则 ，
，，
故答案为： ； ．
【基本不等式 原创】
11．已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为 ； 的最
大值为 ．
【答案】 ##0.5
【分析】根据基本不等式分别求最值.
【详解】由已知 ， ，则 ，
即 ，整理得 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
又当 ， 时，
，当且仅当 ，即
， 时取等号；
又由 ，故 ，当且仅当 ， 时取等号；
所以 ，
当且仅当 ， 时取等号，
故答案为： ， .
【等差数列 2025上山东济宁阶段练习】
12．已知 是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为 ，且成等比数列.则数列 的通项公式为 ；若定义在数列 中，使
为整数的 叫做“调和数”，则在区间 内所有“调和数”之和为
.
【答案】 1086
【分析】空1，利用题意建立等式求解即可；空2，根据题意求出可能的 的值，然后求
和即可.
【详解】因为 成等比数列，所以 ，
因为 是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为 ，
所以 ，所以 ，所以 .
设 ，所以 ，令 ，且b为整数，
又由 ， ，
所以b可以取1，2，3，4，5，6，此时 分别为 ，
所以区间 内所有“调和数”之和
故答案为： ；1086
【三角函数的应用 2025天津期中】
13．折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能
折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形 ，其中 ， ，，点 在 上（包含端点），则 ； 的取值范围是
．
【答案】
【分析】由图形特征，以O为坐标原点，OB为x轴建立平面直角坐标系，由点坐标写出向
量坐标，利用平面向量的坐标运算，即可得到结果.
【详解】以O为坐标原点，OB为x轴建立平面直角坐标系，
由 ， ，得 ，
则 ，所以 ；
设 ， ，则
，
由 ，得 ， ， ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： ；【分组（并项）法求和 2024江苏泰州模拟预测】
14．设 为数列 的前 项和， ， ，则
（1） ；
（2） .
【答案】 ## ##
【分析】（1）令 解方程即可求解；（2）分 为奇数和偶数两种情况即可求解.
【详解】（1）令 ，所以 ，
所以 ，（2）因为 ，
所以 ，
当 为偶数时，可得 ，
所以 ，当 为奇数时，可得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： ； .
【三角函数新定义 2024福建泉州模拟预测】15．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机
分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识
别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离
和余弦距离．若二维空间有两个点 ，则曼哈顿距离为：
；余弦相似度为：
；余弦距离为 ．若
，则A，B之间的曼哈顿距离 和余弦距离和为 ；已知
，若 ，则
的值为 ．
【答案】
【分析】根据公式直接计算即可得空一；根据公式得到 ，
，计算即可得空二.
【详解】 ，
，
故余弦距离等于 ，即A，B之间的曼哈顿距离 和余弦距离和为 ；
，
，
故 ， ，则 .
故答案为： ； .
【抛物线 链接人教A选必一P146复习参考题3T10】
16．抛物线 的焦点为 ，顶点为 ，其上两点 （均异于原点 ）满足
，则直线 过定点 ；过点 作 于点 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设直线 ，与抛物线方程联立，再根据 ，由 求解；
由 ，设 ，与抛物线方程联立，求得点C的坐标，再利用两点间的距离
求解.
【详解】如图所示，不妨设直线 ， ，
由 ，得 ，
所以 ，从而 ．
由 可知 ，解得 ，
此时 满足题意，
所以直线 ，过定点 ．
因为 ，所以不妨设 ，
由 ,得 ,即 ，又 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
即 的取值范围是 ．
多解
由二级结论“若直线 与抛物线 交于 两点， 为坐标原点，且 ，则直线 过定点 ，反之亦成立”，知直线 过定点 ．
设 ，直线 与 轴的交点为 ，则 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ．
设圆心 ，所以 ，
又 两点均异于原点 ，所以 ，
即 的取值范围是 ．
故答案为： ，
【曲线的切线 2024重庆市南开中学模拟】
17．定义关于 的曲线 ，则与曲线 和 都相切的直
线 的方程为 ， ，已知 ，若关于 的方程
有三个不同的实根，则 .
【答案】 8
【分析】空1：根据导数的几何意义，结合题意进行求解即可；
空2：根据一元二次方程的判别式，结合题意进行求解即可.
【详解】令 ， ， 在 上
单调递增， 在 上单调递减，由 和 可得 ，且，即两函数有一个公共点，两曲线有过该点的公切线，公切线方程为
，即 .
∵ ，∴ ，令 ，
当 时，
由 整理可得 ，由 可得 或 ，而 ，所以
，因为两根之和为负数，两根之积为正数，所以两根为负数，显然符合 ；
当 时，由 整理可得 ，由 可得 或 ，而
，所以 .因为两根之和为正数，两根之积为正数，所以两根为正数，显然符合
.
若方程 有三个根，则直线 与 的图象有三个交点，易得当
与 左侧图象相交与 右侧图象相切时，方程 有三个不
同的实根，则 .
故答案为： ；8
【数列的求和 2024辽宁实验中学测试】
18．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其
意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.已知长度为 的线段 ，取 的
中点 ，以 为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为 ，再取 的中
点 ，以 为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为 ，以此类推，则 ， .
【答案】 ##
【分析】先由题意推导每个正三角形的面积可构成等比数列，再利用等比数列求和公式及
裂项相消求解.
【详解】由题可得， ，
从第2个等边三角形起，每个三角形的面积为前一个三角形面积的 ，
故每个正三角形的面积可构成一个以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，
所以 .,
故答案为： ； .
【点睛】方法点睛：常见的裂项相消的方法有：
，
，
，
，
【解三角形的应用 2024云南大理期末】
19．周末，小华到崇圣寺三塔景区进行研学活动，他准备测量主塔——千寻塔的高度.如图，
小华身高1.7米，他站的地点 和千寻塔塔底 在同一水平线上，他直立时，测得塔顶
的仰角 （点 在线段 上， .忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.
他沿线段 向塔前进100米到达点 ，在点 直立时，测得塔顶 的仰角 ，
则可求得塔高 为 米（参考数据 0.68）；若塔顶端包含一个
塔尖 ，且 约8米，小华在线段 间走动到点 时，他直立看塔尖 的视角最大（即 最大），则此时他距离塔身的距离（即 ）为 米.
【答案】
【分析】根据题意在 中，由正弦定理可求 的值，进而求解 的值，即可根据
即可计算 ；设 ，利用两角差的正切公式，基本不等式可求
的最大值，即可求解.
【详解】因为 ， ，所以 ，在 中， ，
由正弦定理得， ，
所以 ，
，
所以 .
因为 ，所以 ，
设 ， ， ，
所以
，当且仅当 ，即 时，最大，所以 .
故答案为： ； .
【几何中的三角函数模型 2024江苏南通阶段测试】
20．在数学建模探究课上，某小组同学将一张矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落
在矩形的左边上 如图所示 ，其中 cm若 ，则 的面积是
cm2随着点P的位置不同，折痕EF的长度在改变，其最小值是 cm
【答案】
【分析】设 ， ，由 ，得
，当 时，得出AF，AP，可得 的面积；由三角恒等变换和
换元法，运用导数可得EF的最小值.
【详解】设 ， ，则
又因为 ，所以
又由 ，解得
若 ，则 ，所以 ，
所以 ， ，所以 的面积是
因为 ，所以
设 ，则 ，当 时， ，y单调递增，
当 时， ，y单调递减，
所以当 时， ，故
故答案为： ； .
【平面向量的应用 原创】
21．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图1是一个正八边形窗
花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．在正八边形 中，若
，则 的值为 ；若正八边形 的边长为2，
是正八边形 八条边上的动点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】以点 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴， 轴建立平面直角坐标系，
由 得到方程组，求出 即可求得 ；设 ，则
，令 ，则 ，移动直线 ，数形结合即可得答
案.
【详解】正八边形的性质可知 ，以点 为坐标原点，
分别以 所在直线为 轴， 轴建立如图1所示的平面直角坐标系．正八边形内角和为 ，则 ，
所以 ， ，
，
因为 ，即
所以
解得 所以 ．
设 ，则 ，则 ，
令 ，则 ，移动直线 ，
当直线运动到过线段 时， 取最小值，将 代入 ，得 ；
当直线运动到过线段 时， 取最大值， 点坐标代入 ，得
．
所以 的取值范围为 ．
故答案为： ， .
【数列新定义 2025山东临沂阶段测试】22．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反
复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 ．这就是数学史上
著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数 ，根据上述运算法则得出
，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．
现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列 满足： （m为正整数），
，当 时，使得 需要 步雹程；若 ，则m
所有可能的取值集合M为 ．
【答案】 12
【分析】根据题中条件，由 ，根据数列的递推公式，逐步计算，即可得出结果；由
，根据递推公式，逐步计算，即可得出集合M.
【详解】当 时，即 ，由 ，
可得 ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ，
因此使得 需要12步雹程；
由题意， 为正整数，
若 ，由 ，解得 ；当 时，由 ，解得 ，
当 时，由 ，解得 或 ，
当 时，由 ，解得 ，
当 时，由 ，解得 ，
当 时，由 ，解得 ，
当 时，由 ，解得 或 ，
当 时，由 ，解得 或 ，
当 时，由 ，解得 ，
当 时，由 ，解得 ，
当 时，由 ，解得 ，当 时，由 ，解得 ，
当 时，由 ，解得 或 ，
当 时，由 ，解得 或 ，
所以则m所有可能的取值集合M为
故答案为：12， .
【点睛】思路点睛：由数列递推公式求数列中的项时，一般根据题中条件，由某一项的值，
结合递推公式，逐步计算，即可得出结果.
【空间中两点间的距离 2024江西新余模拟预测】
23．在空间直角坐标系中， , , , , ，设点O关
于 所确定的平面对称的点为 ， 的长度记为以 为自变量的函数 ，则当
时， 取最小值；这个最小值为： .
【答案】 ## ##
【分析】根据点与点关于平面对称，点与点关于直线对称，结合三角形两边和与差的最值
可得解.
【详解】如图所示，由已知可得 ， ， ，
则 ， ，
即 ， ，
又 ， ， 平面 ，
则 平面 ，
①当 ， 两点在平面 同侧或一点在平面上时， ，当
且仅当 ， 有一点在平面 上时取等号；即 ；
②当 ， 两点在平面 异侧时：设平面 与直线 交于点 ，
将 延拓，如图所示，
则 ，
由 ， ， ， 平面 ，
则 平面 ，即 ，
抽象出平面 如图所示，
则 ，
设点 关于直线 的对称点为 ，则 ，
当且仅当 时， 取得最小值，
如图，由 ，且 ， ， ，
则 ，
即 ， ，
则 ， ，
又 ，则 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： ， .
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于建立空间直角坐标系，将问题转化为线的长度
问题，从而得解.
【圆锥曲线 2024年云南模拟预测】
24．已知椭圆 与双曲线 的左、右焦点相同，分别为 ， ， 与 在第一象限内交于点 ，且 ， 与 的离心率分
别为 ， ．则 ， 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用椭圆以及双曲线定义联立方程组可得 ，因此可求得 ；
求出 的表达式再根据三角形三边关系可求得 ，利用函数单调性即可求得结果.
【详解】如下图所示：
根据椭圆定义以及双曲线定义可得 ，解得 ；
显然 ，可得 ；
又 且 ，其中 ；
可得 ，所以 ，即 ；
所以 ．令 ，则 ．
因为 ，所以 ．
又 ，所以有 ，所以有 ；
又 ，所以有 ，所以有 ，
所以可得 ．
设函数 ，则 ，函数 在区间 上单调递增，
所以 ，所以 ．
即可得 的取值范围是 .
故答案为： ； .
【点睛】易错点点睛：在求解椭圆以及双曲线离心率问题时，最容易忽略利用它们的定义
来求得线段长度表达式，再进行相关问题求解.
【导数的应用 2024年江苏宿迁一模】
25．设集合 则集合 中最小的元素是 ，集合 中最大的元
素是 ．
【答案】 1
【分析】构造函数 ，借助函数 的单调性找到 的单调性即可求解.
【详解】 ， ，则 ，
构造函数 ，则 ，
令 ，则 ，当 ， ，当 ， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，则 ，
令 ，则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 时， ，
因此结合函数 的性质知， ， ，
当 时， ，
又当 时， ，当 时， ，
又 ，故 ，因此当 时， .
故答案为：1； .
【点睛】思路点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学
的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在
联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此
对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根
据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问
题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
1.试题特点分析：一题两空题一般有两种形式：平行设计和递进设计. 平行式，关联性
较弱，往往两空互不影响；递进式，采用层层深入的方式，一般都是前基础后延伸，前特
殊后一般，前后关联，从而步步推进， 一般第一个空较为简单，第二个空增加难度.
2.解题方法阐述：解决一题两空题目，解题过程一般不超过3步，解题方法力求通法通
解与“秒杀大招”的多样化，题目中的第一空往往比较简单，可以实施分步得分.
3.解题经验分享：第一、准确读懂题意，快速链接所学知识； 第二、搞清前后两空的关联关系（平行式或递进式）.第三、通过逻辑推理、数学运算等得到答案.
