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创新考法10 真实情境创新命题（小题狂练）
一.单选题.
【第19 届亚运会 2024 上山西吕梁阶段练习】
1．第19 届亚运会于2023 年9 月23 日至10 月8 日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在
比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖
的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15 元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45
枚，每枚售价每提高1 元，日销售量将减少3 枚，为了使这批纪念章每天获得600 元以上
的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可.
【详解】由题意，得
，
即
，∴
，
解得
.又每枚的最低售价为15 元，∴
.
故选：B.
【《增广贤文》 2025 下北京开学考试】
2．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明•《增广贤文》）是勉励
人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是
；如果
每天的“退步”率都是1%，那么一年后是
.那么大约经过（ ）天后
“进步”的是“退步”的2 倍.请选出最接近的一项.（
，
，
）（ ）
A．25
B．30
C．35
D．40
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可．
【详解】假设经过
天，“进步者”是“退步者”的2 倍，
列方程得
，即
，
解得
，
即经过约35 天，“进步者”是“退步者”的2 倍．
故选：C．
【天然气表观消费量 2024 黑龙江大庆实验中学调研】
3．近年来，天然气表观消费量从2006 年的不到
m3激增到2021 年的
m3.
从2000 年开始统计，记k 表示从2000 年开始的第几年，
，
.经计算机拟合后发
现，天然气表观消费量随时间的变化情况符合
，其中
是从2000 年后第k
年天然气消费量，
是2000 年的天然气消费量，
是过去20 年的年复合增长率.已知2009
年的天然气消费量为
m3，2018 年的天然气消费量为
m3，根据拟合的模型，
可以预测2024 年的天然气消费量约为（ ）
（参考数据：
，
A．
m3
B．
m3
C．
m3
D．
m3
【答案】B
【分析】由题意，
，
，由已知数据解出
，再由
，代入参考数据计算即可.
【详解】据题意
，
，两式相除可
得
，
又因为
，
故选：B．
【累数制 2024 山东潍坊模拟】
4．12 世纪以前的某时期，盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些
场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等．罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数
目：
I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000
例如：
，
．依据此记数方法，
（ ）
A．2025
B．2035
C．2050
D．2055
【答案】B
【分析】根据给定的信息，直接写出该数即可.
【详解】依题意，每个
表示1000，左起两个
就表示2000，
每个
表示10，中间3 个
就表示30，最后一个
表示5，
因此
表示的数是
所以
.
故选：B
【中国剩余定理 2024 福建三明联考】
5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算
经》．1852 年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874 年，英国数学家马西森指出
此法符合1801 年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余
定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1 到2023 这2023 个数中，能被7 除余1 且被
9 除余1 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列
，则该数列的和为（ ）
A．30014
B．30016
C．33297
D．33299
【答案】C
【分析】得到
，从而得到
为等差数列，首项为1，公差为63，利用等差数
列求和公式求出答案.
【详解】由已知可得
既能被7 整除，又能被9 整除，
故
能被63 整除，所以
，即
，
所以
，
故
为等差数列，首项为1，公差为63，
由
可得：
，
因为
，所以
，
，
故该数列的和为
.
故选：C
【新莽嘉量 2024 全国一模】
6．汉代刘歆等人设计的“新莽嘉量”，是集龠、合、升、斗、斛五量为一器的标准量器，
各器均为圆筒形（可视为圆柱）．如图，正中的圆柱体的上部为斛量，下部为斗量，左耳
为升量，右耳上为合量，下为龠量．某兴趣小组制作一“新莽嘉量”模型，设升、斗、斛
圆柱的底面半径分别为
，高分别为
，体积分别为
．若
成等比
数列，且
，
，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】根据给定的信息，利用圆柱的体积公式及等比数列定义求解即得.
【详解】依题意，
，即
所成等比数列的公比为10，则
，
所以
.
故选：B
【水轮 2025 上湖南长沙阶段练习】
7．如图所示，一半径为4 米的水轮，水轮圆心
距离水面2 米，已知水轮每60 秒逆时针
转动一圈，如果当水轮上点
从水中浮现时（图中点
）开始计时，则下列说法错误的是
（ ）
A．点
第一次到达最高点需要20 秒
B．当水轮转动155 秒时，点
距离水面1 米
C．当水轮转动50 秒时，点
在水面下方，距离水面2 米
D．点
距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为
【答案】B
【分析】根据题意求出点
距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为
，结合选项依次判断即可.
【详解】设点
距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为
，
，
由题意，
，
，解得
,
，则
.
当
时，
，则
，
又
，则
.
综上，
，故D 正确；
令
，则
，
若
，得
秒，故A 正确；
当
秒时，
米，故B 不正确；
当
秒时，
米，故C 正确.
故选：B.
【阳爻和阴爻 2024 广东佛山模拟预测】
8．在《周易》中，长横“
”表示阳爻，两个短横“
”表示阴爻.有放回地取阳
爻和阴爻三次合成一卦，共有
种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，
两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2 种不同的情况，有放回地取阳
爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是
两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一
次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
E．均不是
【答案】B
【分析】由题意，基本事件的总数为
，这六爻恰好有三个阳爻包含基本事件数
为
，由此能求出这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率.
【详解】在一次所谓“算卦”中得到六爻，
基本事件的总数为
，
这六爻恰好有三个阳爻包含的基本事件数为
，
所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是
.
故选：B.
【人脸识别 2025 上江苏盐城期中】
9．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.
假设二维空间中有两个点
，
，O 为坐标原点，定义余弦相似度为
，余弦距离为
.已知
，
，若
A，B 的余弦距离为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题设距离定义及差角余弦公式、已知得
，再应用倍角余弦公式
求结果.
【详解】由题设
，
，
所以
，
由
，
所以
.
故选：B
【幂势既同，则积不容异 2025 上黑龙江阶段练习】
10．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的原理:“幂势既同，则积不容异”，这句话
的意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体. 被平行于这两个平面的任意平面所截. 如
果截得的这两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.一段弯曲的水管，如图
（1），其横截面为圆面，最大纵截面是由曲线
与两直线
围
成的平面区域，如图（2），根据祖暅原理，计算该段水管的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造一个底面直径为
，高为的圆柱
，利用正切函数的性质及祖暅原理，
即可求解.
【详解】根据正切函数的周期性，在图（2）中，平行于直线
的任一直线与曲线
两个交点的距离都为
，
构造一个底面直径为
，高为的圆柱
，如图（3），
如图，用距离上底面为的平面分别去截水管、圆柱
，所得截面圆
、圆
的面积都
为
，
根据祖暅原理，水管和圆柱
的体积相等，而圆柱
的体积为
，所
以水管的体积为
.
故选：C.
【新能源汽车 2024 云南模拟预测】
11．当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，汽车与能源､交通､信息通信等领域
有关技术加速融合，电动化､网联化､智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势.某车企为转型
升级，从2024 年起大力发展新能源汽车，2024 年全年预计生产新能源汽车10 万辆，每辆
车的利润为2 万元.假设后续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的
提升，每年新能源汽车的产量都比前一年增加
（假设每年生产的新能源汽车都能销售
出去），每辆车的利润都比前一年增加2000 元，则至2030 年年底，该汽车集团销售新能
源汽车的总利润约为（ ）参考数据：
，结果精确到0.1）
A．320.5 亿元
B．353.8 亿元
C．363.2 亿元
D．283.8 亿元
【答案】B
【分析】先求得每辆车的利润
和该汽车的销量
的表达式，故可得
，再结合错位相减法可求得答案
【详解】设第
年每辆车的利润为
万元，则每辆车的利润
是以2 为首项，0.2 为公差
的等差数列，
所以
，设第
年新能源汽车的销量为
辆，
则该汽车的销量
是以100000 为首项，1.2 为公比的等比数列，所以
，
设该车企销售新能源汽车的总利润为
，
①，
，②
-
①②得：
，
所以
万元，即
亿元，
故选：B.
【汉诺塔 2024 浙江绍兴二模】
12．汉诺塔（Tower of Hanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根
相邻的标号分别为A、B、C 的柱子， A 柱子从下到上按金字塔状叠放着
个不同大小的
圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B 上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出
现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为
，例如：
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为等差数列
C．
为等比数列
D．
【答案】C
【分析】由题意可得
，判断A；归纳得到
，结合等差数列以及等比数
列的概念可判断B，C；求出
，判断D.
【详解】由题意知若有1 个圆盘，则需移动一次：
若有2 个圆盘，则移动情况为：
，需移动3 次；
若有3 个圆盘，则移动情况如下：
，共7 次，故
，A 错误；
由此可知若有n 个圆盘，设至少移动
次，则
,
所以
，而
，故
为等比数列，
故
即
，该式不是n 的一次函数，
则
不为等差数列，B 错误；
又
，则
，
，则
为等比数列，C 正确，
，D 错误，
故选：C
【正八边形窗花隔断 2024 宁夏一模】
13．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八
边形窗花隔断，图
是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图
，若正八边形
的边长为
，
是正八边形
八条边上的动点，则
的最小
值为（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
的位置进行分类讨论，根据向量数量积运算求得正确答案.
【详解】设
，
当
与
重合时，
；
当
在线段
（除
）、线段
、线段
，线段
，线段
（除
）点上运动时，
，所以
，
当
与
重合时，
，所以
，
以
为原点，
、
分别为
轴建立平面直角坐标系，
根据正八边形的性质可知
，
，
则
，
直线
的方程为
，直线
的方程为
，直线
的方程为
，
当
在线段
（除
）上运动时，设
，
所以
，
当
在线段
上运动时，设
，
所以
，
当
在线段
（除
）上运动时，设
，
所以
.
综上所述，
的最小值为
.
故选：C
二.多选题.
【“一带一路” 2024 新课标Ⅰ卷】
14．随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动
出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样
本均值
，样本方差
，已知该种植区以往的亩收入
服从正态分布
，假设推动出口后的亩收入
服从正态分布
，则（ ）（若随机变量
Z 服从正态分布
，
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据正态分布的
原则以及正态分布的对称性即可解出.
【详解】依题可知，
，所以
，
故
，C 正确，D 错误；
因为
，所以
，
因为
，所以
，
而
，B 正确，A 错误，
故选：BC．
【电瓶新闻灯 2024 江西南昌二模】
15．“双曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．
这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反
射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．并且过双曲线上任意一点的切线平分该点
与两焦点连线的夹角，如图所示：
已知左、右焦点为
的双曲线C 的离心率为
，并且过点
，坐标原点O 为双
曲线C 的对称中心，点M 的坐标为
，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．若从
射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为
C．
D．过点
作
垂直
的延长线于H，则
【答案】ACD
【分析】A 选项根据离心率找到
关系，代点求方程即可；B 选项可由双曲线渐近线的斜
率得到；C 选项判断直线
为切线，再由题中所给定义得到结论；D 选项联立两条直线
方程求出
点坐标，求出
.
【详解】A 选项：设焦点在
轴上的双曲线方程为
.由离心率
，可得
，
于是方程为
.代入点
，解得
.双曲线方程为
.故A
正确.
B 选项: 根据题中条件分析可知，反射光线所在直线的斜率介于两条渐近线斜率之间.
焦点在
轴上的双曲线渐近线斜率
，答案应为
.故B 错误.
C 选项：利用点斜式求得
，与双曲线方程联立，得到
，
可知该直线与双曲线只有一个交点，即直线
为双曲线在
点处的切线.
根据题中条件“过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角”可知，
.故C 正确.
D 选项：由C 选项的计算结果
.因为直线
垂直于直线
，所以
.
因为
，可求得
.
两方程进行联立
，解出
，因此
.故D 正确.
故选：ACD
【四尖瓣线 2025 上贵州遵义阶段练习】
16．星形线或称为四尖瓣线，是一个有四个尖点的内摆线.已知星形线
上的点到
轴的距离的最大值为1，则（ ）
A．
B．
上的点到原点的距离的最大值为1
C．
上的点到原点的距离的最小值为
D．当点
在
上时，
【答案】ABD
【分析】令
得
，即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD.
【详解】对于A，∵星形线
上的点到
轴的距离的最大值为1，令
得
，∵
，可得
，故A 正确；
对于B，由图可得
上的点到原点的距离的最大值为1，故B 正确；
对于C，设点
在
上，则
，∵
，
当且仅当
等号成立，即星形线上的点到原点距离的最小值为
，故C 错误；
对于D，当点
在
上时，∵
，得
，
当且仅当
等号成立，即星形线上的点到
，
轴距离的乘积的最大值为
，
故D 正确.
故选：ABD.
【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的
等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的
取值范围.
【甲醛的最高容许浓度 2025 全国专题练习】
17．中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气中甲醛的最
高容许浓度为：一类建筑
，二类建筑
，二类建筑室内甲醛浓度小于
等于
为安全范围.已知某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，
处于良好的通风环境下时，竣工2 周后室内甲醛浓度为
，4 周后室内甲醛浓度
为
，且室内甲醛浓度
（单位：
）与竣工后保持良好通风的时间
（单位：周）近似满足函数关系式
，则（ ）（参考数据：
，
，
）
A．
B．
C．3 周后室内甲醛浓度为
D．该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为6 周
【答案】ACD
【分析】根据题意列式求解得
，
，即可求出
，即可判断选
项ABC，令
，利用指对互化解不等式即可判断选项D.
【详解】由题意可得
，
解得
，
，
所以A 正确，B 错误；
所以
，
，故C 正确；
令
，得
，
两边取对数得
，
即
，
所以该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，
至少需要放置的时间为6 周，故D 正确.
故选：ACD
【潮汐 2025 上湖北开学考试】
18．受潮汐影响，某港口5 月份每一天水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的关系都
符合函数
（
，
，
，
）.根据该港口的安全
条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5 米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货
物，吃水（即船底到水面的距离）6 米，计划于5 月10 日进港卸货（该船进港立即可以开
始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3 米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3 米
（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5 月某天的时刻与水深关系：
时刻
2：00
5：00
8：00
11：00
14：00
17：00
20：00
23：00
水
深/米
10
7
4
7
10
7
4
7
以下选项正确的有（ ）
A．水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的函数关系为
，
B．该船满载货物时可以在0：00 到4：00 之间以及12：00 到16：00 之间进入港口
C．该船卸完货物后可以在19：00 离开港口
D．该船5 月10 日完成卸货任务的最早时间为16：00
【答案】ABD
【分析】根据题意求出函数的解析式，即可判断A；解不等式组
，即可判断B；求出19 时水的深度，即可判断C；求出函数
与
的图象的交点，即可判断D.
【详解】解：依题意
，
，
，解得
，
显然函数
的图象过点
，
即
，又
，因此
，
所以函数表达式为
，
，故A 对；
依题意，
，整理得
，
即有
，
即
,
解得
或
，
所以该船可以在0 点到4 点以及12 点到16 点进入港口，故B 对；
该船卸完货后符合安全条例的最小水深为5.5，
19 时水深为
，故C 错；
该船0 点进港即可以开始卸货，设自0 点起卸货x 小时后，
该船符合安全条例的最小水深为
函数
与
的图象交于点
，
即卸货5 小时后，在5 点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5 米，
下次水深为7 米时刻为11 点，
故该船在11 点可返回港口继续卸货，5 小时后完成卸货，此时为16 点，
综上，该船在0 点进港开始卸货，5 点暂时驶离港口，11 点返回港口继续卸货，16 点完成
卸货任务，故D 对.
故选：ABD.
【大衍数列 原创】
19．大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统
文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列
满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】当
时，
，当
时，
，联立可得
，利用累加法可得
，从而可求得
的通项公式，再逐项判断
即可.
【详解】因为
，
，
令
且
，
当
时，
①；
当
时，
②，
由①②联立得
.
所以
，
累加可得
.
令
(
且为奇数)，得
，
当
时
满足上式，
所以当
为奇数时，
.
当
为奇数时，
，
所以
，其中
为偶数.
所以
，故C 正确.
所以
，故A 错误.
当
为偶数时，
，即
，
当
为奇数时，
，即
，
综上可得
，故B 正确.
因为
，故D 正确.
故选：BCD.
三.填空题.
【《九章算术》 2024 湖北宜昌模拟】
20．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，
广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“现在有底面为矩形，一条侧棱垂直
于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7 尺和5 尺，高为8 尺，问它的体积是多少？”
若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为 平方尺．
【答案】
【解析】由题意可知，此阳马的外接球半径等于以底面长、宽分别为7 尺和5 尺，高为8
尺的长方体的外接球半径，即半径为长方体体对角线的一半,求出半径，然后得出表面积.
【详解】根据该几何体的特点可知，此阳马的外接球半径等于以底面长、宽分别为7 尺和
5 尺，高为8 尺的长方体的外接球半径，
则外接球半径
，
所以外接球的表面积为
.
故答案为：
.
【点睛】常见的空间几何体的外接球半径计算方法如下：
（1）长方体的外接球半径：
(其中
分别为长方体的长、宽、高)；
（2）直棱柱的外接球半径：
(其中为棱柱的高，为直棱柱底面外接圆的半
径).
【赵爽弦图 2024 山西太原三模】
21．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222 年，赵爽为《周髀算经》一书作
序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方
形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个
小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且
，点
在
上，
，点
在
内 (含边界)一点，若
，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】先利用向量线性运算得到
，作出辅助线，得到
，且
，
从而得到答案.
【详解】
，
取
的中点
，连接
，
因为
，故
，
又
，所以
，故
，且
，
所以
的最大值为
，此时点
与点
重合.
故答案为：
【四叶玫瑰花瓣曲线 2025 上河北沧州阶段练习】
22．如图，曲线
是四叶玫瑰花瓣曲线，若点
是曲线
上一点，则
的最大值为 ，玫瑰花瓣及其边界内包含整点（横､纵坐标均为整数）的
个数为 .
【答案】 8 17
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值；求出圆
及内部的整点个
数，再剔除在玫瑰花瓣外的点即可得解.
【详解】由基本不等式
，解得
，
当且仅当
时取等号，所以
的最大值为8；
在圆
及其内部的整点横向最上面一排有
，共5 排；
纵向每一列也有5 个点，有5 列，共25 个，验证知只有坐标轴上除原点外的8 个点不在花
瓣内，所以共有17 个.
故答案为：8；17
【点睛】关键点点睛：确定圆
及其内部的整点个数是解决第2 空的关键.
【悬链线形状问题 2025 上上海奉贤期中】
23．意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔
细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问
题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为
，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移
个单位，
再向上平移2 个单位，得到函数
的图象，并且数列
满足条件
，
则数列
的前2024 项和
【答案】4048
【分析】根据函数图象平移的性质可得
的图象关于
对称，即
，即可求解.
【详解】由于
为奇函数，图象关于原点对称，故
的图象关于
对称，即
，
因此
，
,
因此
,
故答案为：
【《九章算术》 2025 上北京房山期末】
24．《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积
的计算等多方面.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日
织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2 倍，已知她5 天共织
布5 尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件，该女子第5 天织布 尺；若要织
布50 尺，该女子所需的天数至少为 .
【答案】
##
【分析】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，由题
意求出数列的首项后可得第5 天织布的尺数；再令
，求出
，即可得出
答案.
【详解】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，前5
项的和为5，
设首项为
，前
项和为
，
则由题意得
，∴
，
∴
，即该女子第5 天所织布的尺数为
．
令
，解得：
，所以
.
所以若要织布50 尺，该女子所需的天数至少为.
故答案为：
；．
【世界名画《星月夜》 2024 浙江二模】
25．如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了
充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1 的圆
的一段圆弧
，且弧
所对的圆心
角为
.设圆
的圆心
在点
与弧
中点的连线所在直线上.若存在圆
满足：弧
上存
在四点满足过这四点作圆
的切线，这四条切线与圆
也相切，则弧
上的点与圆
上的
点的最短距离的取值范围为 .（参考数据：
）
【答案】
【分析】设弧
的中点为
，根据圆与圆相离，确定两圆的外公切线与内公切线，确定圆
的位置，分析可得弧
上的点与圆
上的点的最短距离.
【详解】如图，
设弧
的中点为
，弧
所对的圆心角为
，
圆
的半径
，在弧
上取两点
，则
，
分别过点
作圆
的切线，并交直线
于点
，
当过点
的切线刚好是圆
与圆
的外公切线时，劣弧
上一定还存在点
，使过
点
的切线为两圆的内公切线，
则圆
的圆心
只能在线段
上，且不包括端点，
过点
，分别向
作垂线，垂足为
，则
即为圆
的半径，
设线段
交圆
于点
，则弧
上的点与圆
上的点的最短距离即为线段
的长度.
在
中，
，
则
，
即弧
上的点与圆
上的点的最短距离的取值范围为
.
故答案为：
.
【点睛】结论点睛：本题考查了根据两圆位置关系求距离的范围的问题.可按如下结论求解：
相离的两个圆（圆心分别为
和
,半径分别为
和）上的两个动点之间的距离
的最
小值是两圆心之间的距离减去两圆的半径，最大值是两圆心之间的距离加上两圆的半径，
即
.
1.试题特点分析：近年來高考数学试卷已经是“无情境不命题”了，高考数学
试题合理融入创新问题情境与数学活动，让学生借助数学的基础知识与基本能
力等来分析与解决具体的数学模型，通过知识的应用与模型的解答来分析与解
决问题.
2.解题方法阐述：解决真实情境创新问题的一般思路是“读懂数学情境——提
炼数学知识——探寻问题解决——回归真实问题”，其关键是提取数学知识，
建立合适数学模型.
3.解题经验分享：第一、激发内在动力，主动探索未知，做到对真实情境问题
不畏惧； 第二、融合信息技术手段，拓宽阅读广度，关注前沿信息，；第三、
加强数学思维训练，奠定解决问题基础，识别关键信息，合理建立数学模型.
