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专题2.2 基本不等式
题型一
直接法求最值
题型二
配凑法求最值
题型三
“1”的代换求最值
题型四
消参法求最值
题型五
商式求最值
题型六
对勾函数求最值
题型七
利用基本不等式证明不等式
题型八
利用基本不等式解决实际问题
题型九
基本不等式与其余知识的综合应用
题型一
直接法求最值
例1．（2022 秋·海南海口·高三校考阶段练习）已知实数x，y 满足
，那么
的
最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据重要不等式
即可求最值，注意等号成立条件.
【详解】由
，可得
，当且仅当
或
时等号成立.
故选：C.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知
，当
取最大值时，则
的值为
（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】先根据已知
使用基本不等式，整理求出
取最大值时的
和
值，
再得出结果.
【详解】由已知
可得
，
则
，即
，
所以
，当且仅当
时取等号，即
，
，
此时
.
1
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故选：B．
练习1．（2023 春·湖南·高三桃江县第一中学校联考期中）若正实数
、
满足
，
则当
取最大值时，
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式等号成立的条件可求得
取最大值时
的值.
【详解】因为正实数
、
满足
，则
，可得
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立.
故选：A.
练习2．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数
，则“
”是“
”的
（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
条件
【答案】D
【分析】利用基本不等式由
可得
，可得充分性不成立；当
时可
得必要性不成立，即可得出结果.
【详解】根据基本不等式可得
，即
，可得
，
所以充分性不成立；
若
，可令
满足
，此时
；
即必要性不成立；
所以“
”是“
”的既不充分也不必要条件.
故选：D
练习3．（2021 春·广西南宁·高二校考阶段练习）函数
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．2
D．4
【答案】D
【分析】利用基本不等式运算求解.
【详解】∵
，则
，
2
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∴
，当且仅当
，即
时，等号成立，
故函数
的最小值为4.
故选：D.
练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数
（
）的值域为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．8
D．
【答案】B
【分析】根据
的值域求得
，结合基本不等式求得
的最小值.
【详解】由于二次函数
（
）的值域为
，
所以
，所以
，
所以
，
当且仅当
即
时等号成立.
故选：B
练习5．（2022 秋·高三课时练习）已知正数
，
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．8
B．12
C．
D．
【答案】B
【分析】可通过已知条件，先找到
与
的等量关系，然后把等量关系带入要求的式子，
消掉
，从而得到关于
的两项乘积为定值的和的关系，然后再使用基本不等式完成求解.
【详解】由已知，
，
均为正数，
，故
，即
，所以
，当且仅当
时等号成立.
故选：B.
题型二
配凑法求最值
例3．（2023·上海·高三专题练习）函数
在区间
上的最小值为
3
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_____________．
【答案】
．
【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.
【详解】
，
因为
，所以
，故
，
故
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故答案为：
例4．（2022 秋·新疆克拉玛依·高三克拉玛依市高级中学校考期中）（1）已知
，求函
数
的最小值；
（2）已知
，求函数
的最大值.
【答案】（1）4；（2）
.
【分析】（1）先构造出乘积的定值，再用基本不等式求和的最小值；
（2）先构造出和的定值，再用基本不等式求积的最大值.
【详解】（1）
时，
，根据基本不等式，
可得：
当
，即
时取得等号，
故
时，
取得最小值是4；
（2）
，故
，
根据基本不等式可得：
，
当
，即
时取得等号，故
时，
的最大值是
.
练习6．（2021 春·陕西渭南·高二校考阶段练习）设实数x 满足
，则函数
4
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的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．6
【答案】A
【分析】将函数变形为
，再根据基本不等式求解即可得答案.
【详解】由题意
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以函数
的最小值为
.
故选：A
练习7．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在下列函数中，最小值是
的函数有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A 选项，
，
，所以A 选项不符合.
B 选项，
，
当且仅当
时等号成立，所以B 选项不符合.
C 选项，对于函数
，
当
时，
，当且仅当
时等号成立.
当
时，
，当且仅当
时等号成立，
综上所述，
的最小值是
，符合题意.
5
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D 选项，
，
，
当且仅当
时等号成立，所以D 选项符合.
故选：CD
练习8．（2022 秋·吉林·高三吉林毓文中学校考阶段练习）已知
，函数
的最大值是__．
【答案】
/0.125
【分析】由基本不等式
，得
，由此即可求出函数
的最大值．
【详解】
，
∴
,
当且仅当
时，即
时等号成立，
因此，函数
的最大值为
.
故答案为:
.
练习9．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知
，则
的最小值为______．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用同角公式，结合均值不等式求解作答.
【详解】
，
，
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
．
6
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故答案为：
练习10．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式
对
恒成立，则a 的取
值范围是__________，
的最小值为__________．
【答案】
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得
，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】当
时，不等式
对
不恒成立，不符合题意（舍去）；
当
时，要使得
对
恒成立，
则满足
，解得
，所以实数
的取值范围为
.
因为
，可得
，所以
，
当且仅当
时，等号成立，所以
的最小值为．
故答案为：
；.
题型三
“1”的代换求最值
例5．（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数
，
满足
．则
的最小
值为（ ）
A．12
B．25
C．27
D．36
【答案】C
【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可；
【详解】解：因为
，所以
．
因为
，所以
，当且仅当
，即
，
时，等
号成立，
所以，
的最小值为27．
故选：C
例6．（2023·安徽蚌埠·统考二模）若直线
过点
，则
的最小
值为______．
【答案】
/
7
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【分析】由直线
过点
，可得
，利用基本不等式“1”的
代换，求出最小值．
【详解】∵直线
过点
，
．
，当且仅当
，即
，
时取等号．
的最小值为
．
故答案为：
．
练习11．（2023·北京·高三专题练习）已知
，
，
，则
的
最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
【答案】B
【分析】条件等式两边取对数后，得
，再结合换底公式，以及基本不等式
“1”的妙用，即可求解.
【详解】因为
，所以
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
所以
的最小值为6.
故选：B.
练习12．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知实数
满足
，则
的最小值是（ ）
A．5
B．9
C．13
D．18
【答案】B
【分析】根据对数的运算法则，求得
，且
，利用
，
8
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结合基本不等式，即可求解.
【详解】由
，可得
，所以
，
即
，且
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为.
故选：B.
练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知
，则
的最小值为（ ）
A．20
B．32
C．
D．
【答案】D
【分析】将
化为
，再用“1”的代换，乘以
，展开后用基
本不等式即可求得最小值，注意取等条件.
【详解】解：因为
，所以
，
则
，因为
，
，
所以
，
当且仅当
，即
（舍）或
时取等，
故
的最小值为
.
故选：D
练习14．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知
，则
的最小值
是______．
【答案】
9
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【分析】变形条件等式得
，然后展开，利用基
本不等式求最小值.
【详解】
，
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
的最小值是
.
故答案为：
.
练习15．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数
，且
，则
的最
小值为___________.
【答案】
/0.5
【分析】运用基本式中的“1”的活用，即可得出结果.
【详解】
，
，
，
当且仅当
时，取等号.
故答案为：
.
题型四
消参法求最值
例7．（2023·辽宁大连·统考三模）已知
，且
，则
的最小值为
__________.
【答案】
【分析】先对已知式子变形得
，然后代入
中，整理后利用基本不等式即可
10
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求出结果.
【详解】因为
，所以
，
又
，所以
，
所以
，
（当且仅当
时取等号），
所以
的最小值为
，
故答案为：
.
例8．（2022 秋·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若
，且
，则
的最大值为___________.
【答案】
【分析】由题得
，分
，
两种情况解决即可.
【详解】由题知，
，且
，即
所以
，
当
时，
，即
，此时
，
所以
的最大值为1，
当
时，
，当且仅当
时取等号，此
时
；
所以
的最大值为
.
综上，
的最大值为
.
故答案为：
11
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练习16．（2023·全国·高三专题练习）设
，且
，则
（ ）
A．有最小值为
B．有最小值为
C．有最大值为
D．有最大值为
【答案】A
【分析】对
变形得到
，利用基本不等式求出最小值.
【详解】因为
，
所以
，
当且仅当
，故
，
即
取等号.
故选：A.
练习17．（2022 秋·江苏常州·高三江苏省奔牛高级中学校考阶段练习）实数a，b，c 满足
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】利用因式分式法，结合分式的运算性质、基本不等式进行求解即可.
【详解】
，
，
，
，
，
12
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当且仅当
，即
时等号成立，
的最小值为1，
故选：B
【点睛】关键点睛：利用因式分法，得到
是解题的关键.
练习18．（2022 秋·陕西西安·高三西安市第三中学校考阶段练习）已知正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】用
来表示
得
，代入得
，再利用基本不等式即可求出最小
值.
【详解】
,
，则有
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，此时
，
故选：B.
练习19．（2022 秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期中）正数a，b 满足
，则
的最小值为______；
的最大值为______．
【答案】
/
【分析】利用基本不等式，结合换元法、一元二次方程根的判别式、二次函数的性质进行
求解即可.
【详解】因为正数a，b 满足
，
所以有
，当且仅当
时取等号，
即
时取等号；
由
，而
，因此
，
令
13
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，因为
，
所以方程
在区间
内有解，
设
，
或
，
解得
，
因此
的最大值为
，
故答案为：
；
【点睛】关键点睛：利用换元法，结合一元二次根的分布性质求解是解题的关键.
练习20．（2023·浙江·二模）若
，则
的取值范围是______.
【答案】
【分析】利用基本不等式结合
求得
，将
整理变形为
，令
，结合二次函数知识即可求得答案.
【详解】由
可得
，
而
，当且仅当
时，等号成立，
即
，解得
，
由
可知
，
所以
，
令
，则
，
函数
在
单调递增，在
单调递减
故
，
14
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即
的取值范围是
，
故答案为：
题型五
商式求最值
例9．（2023·全国·高三专题练习）设
,则
的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】A
【分析】首先由等式把
转化为
，再应用常数分离得到
，最后应
用基本不等式得到最小值.
【详解】由题意
，所以
，
得到
，
当且仅当
，即
时， 等号成立，则
的最小值为．
故选：A.
例10．（2022·江苏·高一专题练习）求下列函数的最小值
（1）
；
（2）
；
（3）
.
【答案】（1）3；（2）
；（3）10.
【分析】对分式函数利用分离常数法构造基本不等式（对勾函数）的结构，或利用基本不
等式（1,、2）或利用函数单调性求最值.
【详解】（1）
∵
（当且仅当
，即x=1 时取“=”）
即
的最小值为3；
15
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（2）令
，则
在
是单增，
∴当t=2 时，y 取最小值
；
即y 的最小值为
（3）令
，则
可化为：
当且仅当t=3 时取“=”
即y 的最小值为10
练习21．（2022·全国·高三专题练习）已知
，且
，则
的最小值是
（ ）
A．6
B．8
C．14
D．16
【答案】A
【分析】利用基本不等式可求解.
【详解】因为
，所以
.因为
，所以
，
所以
，即
，
当且仅当
时，等号成立，故
的最小值是6.
故选：A
练习22．（2021 秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第五中学校考阶段练习）已知正实数x，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求
，当且仅当
时等号成立，化简
已知即可求解.
16
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【详解】解：因为
，
又因为
，所以
，
所以
，当且仅当
时，即
时等号成立，
所以
，
即y 的最大值是
.
故选：D.
练习23．（2023·全国·高三专题练习）已知
，则函数
的最小值是______．
【答案】
【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果.
【详解】因为
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以函数
的最小值是
故答案为: .
练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知
，且
，则
最大值为
______．
【答案】
【分析】由
且
，可得
，可得
，再将
化为
后利用基本不等式求解即可．
【详解】解：由
且
，可得
，代入
，
17
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又
，
当且仅当
，即
，
又
，可得
，
时，不等式取等，
即
的最大值为
，
故答案为：
．
练习25．（2021 秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）若存在
，使
成
立，则
的取值范围是___________.
【答案】
【分析】依题意
，再利用基本不等式计算可得；
【详解】解：依题意存在
，使
成立，即存在
，使得
，即
，因为
，所以
，当且仅
当
，即
时取等号，所以
，即
的最大值
为
，所以
，即
；
故答案为：
题型六
对勾函数求最值
例11．（2023·高三课时练习）设
，则
的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据对勾函数的单调性，分别求得
和
时
的取值范围，
即可得答案.
【详解】设函数
，则当
时，
单调递增，此时
18
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；
当
时，
单调递减，此时
，
故
，则
的取值范围是
，
故答案为：
例12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知关于
的
的解集是
，
则（ ）
A．
B．
C．关于
的不等式
的解集是
D．
的最小值是
【答案】AB
【分析】由一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系，结合韦达定理可求得
，
，
，由此可确定AB 正确；结合一元二次不等式的解法可知C 错误；将
化为
，根据对勾函数单调性可确定
，知D 错误.
【详解】对于A，
的解集为
，
，且
和是方程
的两根，A 正确；
对于B，由A 得：
，
，
，
，B 正确；
对于C，由
得：
，
即
，解得：
，
即不等式
的解集为
，C 错误；
对于D，
，
，
19
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在
上单调递增，
，D 错误.
故选：AB.
练习26．（2022 秋·高三课时练习）若函数
的值域是
，则函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据对勾函数的单调性求值域.
【详解】令
，则
，
由对勾函数的性质可知：
在
上单调递减，在
上单调递增，
故当
时，
取得最小值，最小值为
，
又当
时，
，当
时，
，
故
的值域为
.
故选：B
练习27．（2022 秋·吉林长春·高三东北师大附中校考期中）已知函数
的定义
域为
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将函数变形为
，利用对勾函数的单调性求得
的值域，结合
不等式的性质即可求解.
【详解】
，定义域为
，且
，
20
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取
，则化简得
令
，
，
利用对勾函数的性质知，当
时，函数单调递减；当
时，函数单调递增；
，即
，
时，
又
，所以，
时，函数
的值域为
故选：C
练习28．（2023 秋·江苏苏州·高三统考期末）已知关于
的不等式
的解集为
，其中
，则
的最小值为（ ）
A．－4
B．4
C．5
D．8
【答案】C
【分析】根据不等式
的解集求出
的值和
的取值范围，在代入
中利用
对勾函数的单调性求出它的最小值.
【详解】由
的解集为
，
则
，且
，
是方程
的两根，
由根与系数的关系知
，
解得
，
，当且仅当
时等号成立，
故
， 设
，
函数
在
上单调递增，
所以
所以
的最小值为5.
故选：C
练习29．（2023 秋·江苏常州·高三统考期末）（多选）下列函数中，以3 为最小值的函数
有（ ）．
21
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A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】对A：根据余弦函数的有界性分析运算；对B：换元结合二次函数分析运算；对
C：换元结合对勾函数分析运算；对D：利用基本不等式分析运算.
【详解】对A：∵
，则
，
故
的最小值为3，当且仅当
时取到最小值，A 正确；
对B：令
，则
，
故
的最小值为3，当且仅当
，即
时取到最小值，B 正确；
对C：令
，且
在
上单调递减，故
，
故
的最小值为
，C 错误；
对D：
，当且仅当
，即
时等号成立，
故
的最小值为3，D 正确.
故选：ABD.
练习30．（2022 秋·高三校考期中）（多选）已知函数
，则下列结论正确的
是（ ）
A．若
，则
有最小值
B．若
，则
有最小值
C．若
，则
有最大值
D．若
，则
有最大值
【答案】AC
【分析】分
和
两种情况，结合均值不等式即可得出结果.
【详解】当
时，
，当且仅当
时，等号成立；故A 正确，B 错误；
当
时，
，
当且仅当
时，等号成立；故C 正确，D 错误；
故选：AC.
22
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题型七
利用基本不等式证明不等式
例13．（2023·贵州黔西·校考一模）设
，
，均为正数，且
，证明：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由
，则
，根据
，
，
，即可得证；
（2）由已知得若证
，即证
，再根据
，
，
，即可得证.
【详解】（1）由
，得
，
又由基本不等式可知当
，
，均为正数时，
，
，
，
当且仅当
时，上述不等式等号均成立，
所以
，
即
，
所以
，当且仅当
时等号成立；
（2）因为
，
，均为正数，
所以若证
，
即证
，
又
，
，
，当且仅当
时，不等式等号均成立，
则
，
即
，当且仅当
时等号成立.
例14．（2021 秋·广西钦州·高二校考期中）证明：
(1)
；
(2)
．
23
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【答案】(1)见解析；
(2)见解析﹒
【分析】(1)a－2＞0，将原式构造成
即可用基本不等式求解；
(2)利用
即可证明﹒
(1)
，
，当且仅当
时取等号；
(2)
，
∴
，当且仅当a＝b 时取等号﹒
练习31．已知
，
，
，证明：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据柯西不等式或基本不等式证明不等式.
（2）根据基本不等式证明不等式.
【详解】（1）解法一：由柯西不等式得：
，
当
时，等号成立．所以原式得证．
解法二：
24
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当
时，等号成立．即
．
（2）解法一：由
及
．
即
．
当
时，等号成立．所以
.
解法二：因为
，
所以：
．
又
，
，所以：
，当
时，等号成立．
所以，
．
练习32．已知
，
，且
．
(1)求
的最小值；
(2)证明：
．
25
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【答案】(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）由基本不等式即可求出
的最小值．
（2）化简已知得
，即
，利用
基本不等式即可得证.
【详解】（1）（2）因为
，所以
，所以
．
因为
，
，所以
，当且仅当
时，等号成立，
则
，即
的最小值是2．
（2）证明：因为
，当且仅当
时，等号成立，
，当且仅当
时，等号成立，
所以
．当且仅当
时，等号成立
则
，即
，当且仅当
时，等号成立．
【点睛】关键点睛：本题第二小问中用配凑法将
的证明转化为
的证明，其中
是解题关键，本题考查不等式的证明，基
本不等式的应用，属于较难题.
练习33．（2022 秋·云南昆明·高一云南民族大学附属中学校考阶段练习）（1）求函数
的最大值；
（2）已知
，求证：
．
【答案】（1）
；（2）证明过程见解析.
【分析】（1）运用换元法，结合基本不等式进行求解即可；
（2）运用基本不等式进行证明即可.
【详解】（1）令
，
由
，
因为
，所以由
，
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当且仅当
时取等号，即
时，函数有最大值
；
（2）因为
，
所以
，
即
，当且仅当
时取等号.
练习34．已知
，且
，求证：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件，利用基本不等式计算，即可得证．
（2）根据已知条件，利用基本不等式计算，即可得证．
【详解】（1）证明：因为
，且
，所以
，当且仅当
时取等号，所以
；
（2）证明：
，
，
，
，当且仅
当
，即
时，等号成立，
，即得证．
练习35．（2021·全国·高一专题练习）证明：
.
【答案】证明见解析.
【分析】根据
，得到
，进而开方得到答案.
【详解】因为
，则
，
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所以
，当且仅当a=1 时取“=”.
题型八
利用基本不等式解决实际问题
例15．目前，我国汽车工业迎来了巨大的革命时代，确保汽车产业可持续发展，国内汽车
市场正由传统燃油车向新能源、智能网联汽车升级转型.某汽车企业决定生产一种智能网联
新型汽车，生产这种新型汽车的月成本为400（万元），每生产x 台这种汽车，另需投入成
本
（万元），当月产量不足40 台时，
（万元）；当月产量不小于40 台时，
（万元）．若每台汽车售价为20（万元），且该车型供不应求．
(1)求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；
(2)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润?并求出最大月利润．
【答案】(1)
，
；
(2)月产量为100 台时，该企业能获得最大月利润，最大月利润为300 万元．
【分析】（1）利用利润等于总收入减去总成本，分段表示月利润y（万元）关于月产量x
（台）的函数关系式；
（2）根据分段函数的解析式，利用一次函数的性质和基本不等式逐段求解最大值即可.
【详解】（1）当
时，
，
，
当
时，
，
，
所以月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式为
，
；
（2）当
，
时，
，
时，该函数取最大值为224，
当
，
时，
，
当且仅当
时，等号成立，
综上所述，月产量为100 台时，该企业能获得最大月利润，最大月利润为300 万元．
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例16．（2022 秋·浙江衢州·高一校考期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，
它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为
的十字形地
域．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为
元
；在四个相同的矩形（图中阴
影部分）上铺花岗岩地坪，造价为
元
；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，
造价为
元
．受地域影响，AD 的长度最多能达到
，其余边长没有限制．
(1)设总价为（单位：元），AD 长为
（单位：
），试建立关于
的函数关系式；
(2)当
为何值时，最小？并求出这个最小值．
【答案】(1)
，
(2)当
时，S 最小，最小值为118000 元
【分析】（1）先设
，又
，建立等式找出
得关系计算即可；
（2）利用均值不等式计算即可，注意等号成立的条件.
【详解】（1）设
，又
，
，
则
，∴
，
∴
（2）由（1）得
，
利用均值不等式得
，
当
时，即
时等号成立，
所以当
时，S 最小，最小值为118000 元.
练习36．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，有一批材料长为24 m，如果用材料在一
边靠墙（墙足够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩
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形，那么围成的矩形场地的最大面积是多少？
【答案】矩形面积最大为48 平方米
【分析】根据二次函数的性质即可求解.（或者利用均值不等式求解）
【详解】由题意所示
，
，
∵
，∴
，
∴
，
函数的对称轴为
，
∴当
时，面积取得最大值，为
，
（或者：由于
，所以
，当且仅
当
，即
时取等号.）
∴矩形面积最大为48 平方米．
练习37．（2023 春·内蒙古呼和浩特·高二统考阶段练习）已知某公司计划生产一批产品总
共万件（
），其成本为
（万元/万件），其广告宣传总费用为
万元，
若将其销售价格定为
万元/万件．
(1)将该批产品的利润
（万元）表示为的函数；
(2)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?
【答案】(1)
，
(2)宣传费用为
万元时，利润最大为
万元．
【分析】（1）根据利润与成本及产量的关系直接列式；
（2）利用基本不等式求最值.
【详解】（1）
，
；
（2）
，
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，
，
当
即宣传费用为
万元时，利润最大为
万元．
练习38.为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最
核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款
新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200 万元，每生产
台
需要另投入
成本
（万元），当年产量
不足45 台时，
万元，当年产量
不
少于45 台时，
万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为
万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.
(1)求年利润
（万元）关于年产量
（台）的函数关系式；
(2)年产量
为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是
多少万元？
【答案】(1)
(2)当年产量为49 台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701 万
【分析】（1）根据题目给出的函数解析式，利用收益减去成本，可得答案；
（2）根据二次函数的性质以及基本不等式，可求得最值，可得答案.
【详解】（1）当
，
时，
；
当
，
时，
；
综上所述：
（2）当
，
时，
，则当
时，
的最大值为650；
当
，
时，
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（当且仅当
，即
时等号成立）；
∴当年产量为49 台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701 万.
练习39．（2022·高三课时练习）用
的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通
部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是______．
【答案】
【分析】设长方体长为
m，高为m，依题意，可求得
，利用基本不等式
可求得
，从而可得车厢的最大容积．
【详解】设长方体长为
m，高为m，则有
，即
．
∵
，当且仅当
时，取等号
∴
，即
，解得
∴
∴
，当且仅当
时，等号成立
∴车厢的最大容积是
故答案为：
．
练习40．（2022 秋·安徽马鞍山·高三安徽工业大学附属中学校考期中）如图，安工大附中
欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地
面面积为
，高度为3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000 元，屋顶的造价为
6000 元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为______元.
【答案】
【分析】设房屋的长为
，由题可得总造价
，再利用基本
不等式即得；
【详解】设房屋的长为
，则宽为
，则总造价
，当且仅当
，即
时
取等号，
32
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故当长等于
，宽等于
时，房屋的最低总造价为
元.
故答案为：
.
题型九
基本不等式与其余知识的综合应用
例17．（2023·浙江·二模）记
为正数列
的前
项和，已知
是等差数列.
(1)求
；
(2)求最小的正整数
，使得存在数列
，
.
【答案】(1)1
(2)3
【分析】（1）根据题意可推得
，即得
，即可得答案；
（2）利用（1）中结论可得
，结合基本不等式求得
，验证后即
得答案.
【详解】（1）由题意
是等差数列，设其公差为d，
则
，
则
，故
.
（2）由（1）可知
，一方面
，
故
，当且仅当
时，
取等号，
由于m 为正整数，故
，
另一方面，
时，
﹐
满足条件，
综上所述，正整数m 的最小值是3．
18．（河北省名校2023 届高三5 月模拟数学试题）已知平面向量
满足
且
，当向量
与向量
的夹角最大时，向量
的模为______．
【答案】
【分析】由
可平方求得
，利用向量夹角公式可化简得到
，
采用换元法，令
，结合基本不等式可求得
，根据取等条件可确
定
.
【详解】
，
，
，即
；
33
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设向量
与向量
的夹角为
，
，
令
，则
，
（当且仅当
，即
时取等号）；
当
最大时，
最小，此时
，解得：
.
故答案为：
.
练习41．（2022 秋·黑龙江牡丹江·高三校考期末）某港口的水深y（米）随着时间t（时）
呈现周期性变化，经研究可用
来描述，若潮差（最高水位与最低水位
的差）为3 米，求
的取值范围.
【答案】
【分析】利用辅助角公式可得
，进而利用基本不等式求出结果.
【详解】由题意可知
（
为辅助角），
由题意可得
，
故
，
由
，得
，
解得
.
故a+b 的取值范围为
.
练习42．（2021·北京·高三强基计划）在
中，角A，B，C 的对边长分别为a，b，
c，且
，则
的周长为（ ）
A．17
B．18
C．19
D．前三个选项都不对
【答案】C
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【分析】利用基本不等式可得
，从而可求三角形的周长.
【详解】注意到
，
结合均值不等式，可得
且
，因此
的周长为
．
故选：C.
练习43．（2023·全国·高三专题练习）若
且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先化简
，得
，得
，
将
变形后分子、分母同除以
，转化为关于
的式子，利用基本不等式求
得
，即可得解．
【详解】由
，得
，得
，
则
，
因为
，
因为
，所以
，故
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
，
35
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所以
，所以
的最小值是
，
故选：B
练习44．（2023 春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）在
中，若向量
在
上的投影
向量为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，
上的高为
，可用
表示出
，利用两角和差正切公
式可得
，结合基本不等式可求得最大值.
【详解】设
，
上的高为
，
在
上的投影向量为
，
，
，
（当且仅当
时取等号），
，
，
，
，
，
.
故选：C.
练习45．（2022 秋·四川攀枝花·高三统考阶段练习）已知正项等比数列
的前n 项和为
，若S4＝8．则
（ ）
A．有最小值
B．有最大值
C．小于
D．大于
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为
，求出
，再求出
，再换元利用基本不等式求解.
【详解】解：设等比数列的公比为
，
36
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由题得
，
所以
，
解得
，
，
令
，则
.
所以
.
（当且仅当
时等号成立），所以
有最大值
.
故选：B
37
