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专题2.4函数的性质:单调性、奇偶性、对称性与周期性(解析版)_2027版高中《举一反三》同步讲义(数学)

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文档文本内容

专题2.4 函数的性质:单调性、奇偶性、对称性与周期性(举一反三
专项训练)
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1
确定函数的单调性(区间)】...................................................................................................................1
【题型2
根据函数的单调性求参数】.......................................................................................................................3
【题型3
求函数的最值】...........................................................................................................................................4
【题型4
函数单调性的应用:比较大小、解不等式】...........................................................................................6
【题型5
函数的奇偶性及应用】...............................................................................................................................9
【题型6
函数的周期性及应用】............................................................................................................................. 11
【题型7
函数的对称性】.........................................................................................................................................13
【题型8
函数性质的综合应用】.............................................................................................................................14
【题型9
抽象函数的性质】.....................................................................................................................................17
【题型10
函数新定义】........................................................................................................................................... 20
第二部分分层突破
A 组
基础跟踪练
B 组
培优提升练
C 组
真题·实战演练
【题型1
确定函数的单调性(区间)】
1.(25-26 高一上·山东枣庄·期中)函数f(x)=8 + 2�−�2的单调递减区间是(
)
A.−∞, 1
B.1, + ∞
C.[1,4]
D.[-2,1]
【答案】C
【解题思路】先求出函数的定义域,再换元,然后利用复合函数单调性“同增异减”的方法求解.
【解答过程】由题可知,−�2 + 2�+ 8 =−(�+ 2)(�−4) ≥0,解得−2 ≤�≤4.
令�=−�2 + 2�+ 8,则�=
�,
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因为�=−�2 + 2�+ 8 在�∈[1,4]上单调递减,而�=
�在[0, + ∞)上单调递增,根据复合函数单调性“同增
异减”,
所以�(�)在[1,4]上单调递减.
故选:C.
2.(25-26 高一上·广东广州·期中)函数��= 3 −�⋅�+ 1 的单调递减区间为(
)
A.−∞, 1
B.1,2
C.1,3
D.3, + ∞
【答案】C
【解题思路】写出函数的分段形式,结合二次函数的性质确定单调递减区间即可.
【解答过程】由题设��= (3 −�)(�+ 1) =−�2 + 2�+ 3 =−(�−1)2 + 4, �≤3
(�−3)(�+ 1) = �2 −2�−3 = (�−1)2 −4, �> 3
,且函数连续,
所以�(�)在( −∞, 1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3, + ∞)上单调递增,
所以单调递减区间为1,3 .
故选:C.
3.(25-26 高三上·北京·阶段检测)下列函数中,既是偶函数,又在0, + ∞上单调递增的是(
)
A.��=
�
B.��= e�
C.��=
1
�2
D.��= ln �
【答案】D
【解题思路】先判断各选项的奇偶性,再判断在区间0, + ∞内的单调性,从而确定正确答案.
【解答过程】选项A:∵��=
�的定义域为�≥0,不关于原点对称,不具奇偶性,故A 错误;
选项B:∵�−�= e−�=
1
e�≠e�,∴��不是偶函数,故B 错误;
选项C:�−�=
1
−�2 =
1
�2 = ��,是偶函数,因为��= �2在0, + ∞上单调递增,且恒大于0,
∴��在0, + ∞上单调递减,故C 错误;
选项D:∵�−�= ln −�= ln �= ��,
当�> 0 时,��= ln�,根据对数函数性质知��在0 + ∞内单调递增,故D 正确.
故选:D.
4.(25-26 高一上·安徽·期中)已知函数��= �2�−3 ,若��在区间�上单调递减,则区间�可能为(
)
A.−∞,
3
4
B.2,4
C.
3
2 , + ∞
D.
3
4 ,
3
2
【答案】D
【解题思路】先去绝对值分段,画出��图象,进而判断选项区间是否单调递减.
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【解答过程】依题意,��= �2�−3 =
3 −2��, �<
3
2
2�−3 �, �≥
3
2
,画出��图象,
观察可知��在−∞,
3
4 和
3
2 , + ∞上单调递增,在
3
4 ,
3
2 上单调递减.
故选:D.
【题型2
根据函数的单调性求参数】
5.(25-26 高一上·重庆·阶段检测)已知函数��= 3�2−2��+4在区间2, + ∞上单调递增,则实数a 的取值
范围是(
)
A.−∞, 2
B.−∞, 2
C.2, + ∞
D.2, + ∞
【答案】A
【解题思路】根据复合函数的单调性,结合指数函数的单调性和二次函数的单调性即可求解.
【解答过程】令�= �2 −2��+ 4,
因为函数�= 3�在定义域上单调递增,
则�= �2 −2��+ 4 在区间2, + ∞上单调递增,
函数�= �2 −2��+ 4 的图象开口向上,对称轴为�= �,
所以�≤2,
则实数a 的取值范围是−∞, 2 .
故选:A.
6.(25-26 高一上·广东肇庆·阶段检测)已知函数�(�) = (3�−1)�+ 4�, �< 1
�2 −��+ 6, �≥1
在R 上是增函数,则实数�
的取值范围是(
)
A.
1
3 , 1
B.
1
3 , 2
C.[2, + ∞)
D.1,2
【答案】A
【解题思路】利用分段函数为增函数的性质并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可.
【解答过程】因为函数�(�) = (3�−1)�+ 4�, �< 1
�2 −��+ 6, �≥1
在R 上是增函数,
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所以
3�−1 > 0
�
2 ≤1
3�−1 + 4�≤1 −�+ 6
,
�>
1
3
�≤2
�≤1
,解得
1
3 < �≤1,所以实数�的取值范围是
1
3 , 1 .
故选:A.
7.(25-26 高三上·陕西榆林·阶段检测)“�> 1”是“函数��= �+ �2在0, + ∞内单调递增”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要
【答案】A
【解题思路】先根据二次函数的单调性求出�的范围,再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【解答过程】函数��= �+ �2的单调递增区间为[ −�, + ∞),
由函数��在0, + ∞内单调递增,得−�≤0,解得�≥0,
所以“�> 1”是“函数��= �+ �2在0, + ∞内单调递增”的充分而不必要条件.
故选:A.
8.(25-26 高一上·福建厦门·阶段检测)若函数��= 2�2−��+1在区间(1,2)上单调递增,则a 的取值范围是
(
)
A.−∞,1
B.−∞,2
C.−∞,2
D.4,+ ∞
【答案】C
【解题思路】先令�= �2 −��+ 1,将原函数��转化为函数�= 2�与�= �2 −��+ 1 的复合函数,再根据复
合函数单调性的判断方法,结合二次函数的性质确定�的范围.
【解答过程】令�= �2 −��+ 1,则原函数��= 2�2−��+1可以看作函数�= 2�与�= �2 −��+ 1 的复合函数.
因�= 2�为R 上的增函数,要使函数��= 2�2−��+1在1,2 上单调递增,则函数�= �2 −��+ 1 在1,2 上单
调递增.
所以
�
2 ≤1,即�≤2,所以�的取值范围−∞, 2 .
故选:C.
【题型3
求函数的最值】
9.(25-26 高三上·甘肃白银·阶段检测)已知函数��=
�2
1+�,则��在区间1,3 上的最大值、最小值分别
为(
)
A.最大值为1,最小值为
1
4
B.最大值为
9
4,最小值为
1
2
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C.最大值为1,最小值为
1
3
D.最大值为
9
4,最小值为
1
3
【答案】B
【解题思路】令�= �+ 1 ∈2,4 ,结合对勾函数的性质求出外层函数的最值即可.
【解答过程】函数��=
�2
�+1 =
�+1 2−2 �+1 +1
�+1
= �+ 1 +
1
�+1 −2,
令�= �+ 1 ∈2,4 ,则��= ��= �+
1
�−2,
由对勾函数的性质得,函数��在2,4 上单调递增,
故当�= 2,即�= 1 时,��min =
1
2,当�= 4,即�= 3 时,��max =
9
4.
故选:B.
10.(25-26 高一上·广东江门·阶段检测)已知函数��=
−
1
�, �< 0,
�+ �, �≥0
的最小值为0,则�=(
)
A.0
B.1
C.−1
D.2
【答案】A
【解题思路】根据分段函数的最值计算求参.
【解答过程】因为函数��=
−
1
�, �< 0,
�+ �, �≥0
的最小值为0,且当�< 0 时,��=−
1
�> 0,
所以当�≥0 时,��= �+ �的最小值为0.
��= �+ �在0, + ∞上单调递增,所以�0 = �= 0.
故选:A.
11.(25-26 高一上·天津·阶段检测)已知函数��的定义域为(0, + ∞),若对于任意的�, �∈(0, + ∞),都
有��+ ��= ���+ 2,当�> 1 时,都有��> 2,�3 = 3.则函数��在区间[1,27]上的最大值为
(
)
A.4
B.5
C.6
D.7
【答案】B
【解题思路】根据给定条件,利用函数单调性定义确定在(0, + ∞)上的单调性,再利用单调性求出最大值.
【解答过程】任取�1, �2 ∈(0, + ∞), �1 < �2,则
�2
�1 > 1,
由当�> 1 时,都有�(�) > 2,得�(
�2
�1 ) > 2,
任意的�, �∈(0, + ∞),都有�(�) + �(�) = �(��) + 2,
即�(��) = �(�) + �(�) −2,
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则�(�2) = �(�1 ⋅
�2
�1 ) = �(�1) + �(
�2
�1 ) −2 > �(�1),
因此函数�(�)在(0, + ∞)上单调递增,
故�∈1,27 时,�(�)max = �(27) = �(3) + �(9) −2
= 3 + �(3 × 3) −2 = 1 + �(3) + �(3) −2 = 3 + 3 −1 = 5.
故选:B.
12.(25-26 高三上·湖北武汉·阶段检测)已知��是�上的奇函数,且��= �2 −�,若��在0,1 上单
调递增,且�1 = 2,则��在�上的最小值是(
)
A.−1
B.−2
C.−3
D.4
【答案】B
【解题思路】分析可知,函数��是周期为4 的周期函数,且该函数的图象关于直线�= 1 对称,只需求该
函数在−1,1 上的最小值,结合单调性与奇偶性可得答案.
【解答过程】因为��是�上的奇函数,且��= �2 −�,则��= �2 −�=−��−2 ,
所以��+ 2 =−��= ��−2 ,即��+ 4 = ��,
故函数��是周期为4 的周期函数,
又因为��= �2 −�,所以函数��的图象关于直线�= 1 对称,
要求函数��在�上的最小值,只需求该函数在区间−1,3 上的最小值,
由对称性,只需求该函数在区间−1,1 上的最小值,
因为函数��是奇函数且在0,1 上单调递增,则该函数在−1,0 上单调递增,
故函数��在−1,1 上单调递增,故��min = �−1 =−�1 =−2.
故选:B.
【题型4
函数单调性的应用:比较大小、解不等式】
13.(2026·山东日照·一模)定义在R 上的函数�= ��满足以下条件:①�−�−��= 0;②对任意�1, �2 ∈
0, + ∞,当�1 ≠�2时都有
��1 −��2
�1−�2
> 0.则�−
5 , �π , �−3 的大小关系是(
)
A.�π > �−3 > �−
5
B.�π > �−
5 > �−3
C.�π < �−3 < �−
5
D.�π < �−
5 < �−3
【答案】A
【解题思路】根据等式判断函数的奇偶性,根据不等式判断函数的单调性,结合函数的奇偶性和单调性进行
比较大小即可.
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【解答过程】因为定义在R 上的函数�= ��满足条件�−�−��= 0,
即�−�= ��,所以函数��是偶函数,
对任意�1, �2 ∈0, + ∞,当�1 ≠�2时都有
��1 −��2
�1−�2
> 0,
所以不妨设�1 > �2,则有��1 −��2 > 0 ⇒��1 > ��2 ,
因此�∈0, + ∞时,函数��是增函数,
因为函数��是偶函数,
所以�−
5 = �
5 , �−3 = �3 ,
因为�∈0, + ∞时,函数��是增函数,
所以�π > �3 > �
5 ,即�π > �−3 > �−
5 .
故选:A.
14.
(2026·海南省直辖县级单位·模拟预测)已知定义在1 −3�, 4�−2 上的偶函数��,且当�∈0,3�−1
时,��单调递增,则关于�的不等式��−1 > �2�−3�的解集是(
)
A.
4
3 , 2
B.
7
8 ,
5
4
C.
2
3 ,
5
3
D.
2
3 , 2
【答案】A
【解题思路】先利用偶函数性质可得�= 1,再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可.
【解答过程】由题意,函数��是定义在1 −3�, 4�−2 上的偶函数,所以1 −3�+ 4�−2 = 0,
解得�= 1,即函数��的定义域为−2,2 ,
当�∈0,2 时,��单调递增,所以当�∈−2,0 时,��单调递减,
关于�的不等式��−1 > �2�−3�,即��−1 > �2�−3 ,
所以
−2 ≤�−1 ≤2
−2 ≤2�−3 ≤2
�−1 > 2�−3
,解得
4
3 < �< 2,所以原不等式解集为
4
3 , 2 .
故选:A.
15.(2026·重庆·三模)已知函数�= �(�+ 1)是R 上的偶函数,对任意�1, �2 ∈1, + ∞,且�1 ≠�2都有
�(�1)−�(�2)
�1−�2
> 0,若�= �log36 ,�= �(ln
e
2 ),�= �(e
ln4
2 ),则�, �, �的大小关系是(
)
A.b<a<c
B.a<b<c
C.c<b<a
D.b<c<a
【答案】A
【解题思路】根据函数�= �(�+ 1)为偶函数,推出函数�= �(�)的图象关于直线�= 1 对称,再由条件推出
函数�= �(�)在(1, + ∞)上单调递增,于是可得ln(2 −ln
e
2 ) = ln(
e
2 ),利用幂和对数的运算性质和换底公
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式,以及对数函数的单调性化简比较得1<2 −ln
e
2 < log36 < e
ln4
2 = 2,再由�= �(�)的单调性即可判断.
【解答过程】因函数�= �(�+ 1)是R 上的偶函数,则�= �(�)的图象关于直线�= 1 对称,
因对任意�1, �2 ∈1, + ∞,且�1 ≠�2都有
�(�1)−�(�2)
�1−�2
> 0,即函数�= �(�)在(1, + ∞)单调递增.
因1<log36 = log32 + 1 < 2,1<2 −ln
e
2 = ln( 2e) =
1
2 ln2 + 1 < 2,e
ln4
2 = eln2 = 2,
由log32 −
1
2 ln2 =
ln2
ln3 −
1
2 ln2 = ln2(
1
ln3 −
1
2 ) > 0,可得1<2 −ln
e
2 < log36 < e
ln4
2 = 2,
又由对称性可得:ln(2 −ln
e
2 ) = ln(
e
2 ),
故再由单调性,可得ln(2 −ln
e
2 ) = ln(
e
2 ) < �(log36) < �(e
ln4
2 ),即�< �< �.
故选:A.
16.(2026·陕西·模拟预测)已知函数��的定义域是�,��−1 的图象关于点1,0 中心对称,若�3 = 0,
且对任意�1, �2 ∈  −∞, 0 ,�1 ≠�2,都有
��2 −��1
�2−�1
< 0,则不等式
�3�−1
�
≥0 的解集为(
)
A.−
2
3 , 0 ∪
1
3 ,
4
3
B.−
2
3 , 0 ∪
1
3 ,
4
3
C.−
2
3 , 0 ∪
1
3 ,
4
3
D.−
2
3 , 0 ∪
1
3 ,
4
3
【答案】C
【解题思路】根据题意可得�= ��为奇函数,进而得到在−∞, 0 ,0, + ∞上为减函数,再由分式不等式
的等价条件得��3�−1 ≥0
�≠0
,再根据奇偶性和单调性解不等式即可.
【解答过程】因为对任意�1, �2 ∈  −∞, 0 ,�1 ≠�2,都有
��2 −��1
�2−�1
< 0,
所以�= ��在−∞, 0 上为减函数,
因为��−1 的对称中心为1,0 ,所以��的对称中心为0,0 ,
所以�= ��为奇函数,
所以0, + ∞上为减函数.
则�= ��在−∞, 0 ,0, + ∞上为减函数,
因为�3 = 0,所以�−3 = 0,
�3�−1
�
≥0 ⇔��3�−1 ≥0
�≠0
,
即
�< 0
�3�−1 ≤0 或
�> 0
�3�−1 ≥0 ,
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则
�< 0
−3 ≤3�−1 ≤0 或3�−1 ≥3 或
�> 0
3�−1 ≤−3 或0 ≤3�−1 ≤3 ,
解得−
2
3 ≤�< 0 或
1
3 ≤�≤
4
3,
所以解集为−
2
3 , 0 ∪
1
3 ,
4
3 .
故选:C.
【题型5
函数的奇偶性及应用】
17.(2026·云南·模拟预测)已知��是定义域为R 的偶函数,且��+ 1 −1 为奇函数,则�2 + �3 +
�4 =(
)
A.6
B.5
C.4
D.3
【答案】D
【解题思路】根据奇函数与偶函数的性质,可得函数的对称性,可得答案.
【解答过程】由函数��为偶函数,则�轴为该函数图像的一条对称轴;
由函数��+ 1 −1 为奇函数,则原点为该函数图象的一个对称中心.
由函数��+ 1 −1 的图象先向右平移一个单位,再向上平移一个单位,
可得到函数��的图象,则1,1 是函数��的一个对称中心.
所以直线�= 2 是函数��图象的对称轴,3,1 是函数��图象的对称中心,
因为3,1 是函数��图象的对称中心,所以�3 −�+ �3 + �= 2,则�2 + �4 = 2,
将�= 0 代入�3 −�+ �3 + �= 2 中得到�3 + �3 = 2,解得�3 = 1,
所以�2 + �3 + �4 = 3.
故选:D.
18.(2026·四川内江·一模)设奇函数��的定义域为R,当�≥0 时,��= �1 + �,则当�< 0 时,��=
(
)
A.�1 + �
B.��−1
C.�1 −�
D.−�1 + �
【答案】C
【解题思路】设�< 0,由奇函数的定义可得出��=−�−�,即可得解.
【解答过程】当�< 0 时,−�> 0,
由奇函数的定义可得��=−�−�=−
−�
1 + −�
= �1 −�.
故选:C.
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19.(2026·安徽·二模)已知函数��= ln �2 −2�+ 2 ,下列函数中为偶函数的是(
)
A.��+ 1
B.��−1
C.��+ 1
D.��−1
【答案】C
【解题思路】求出函数的定义域,根据偶函数的定义逐项判断即可.
【解答过程】因为�2 −2�+ 2 = �−1 2 + 1 ≥1,故��的定义域为�.
选项A:��+ 1 = ln �2 −2�+ 2 + 1 = ln e �2 −2�+ 2 ,
�−�+ 1 = ln e
−�2 −2 −�+ 2
= ln e �2 + 2�+ 2 ,
��+ 1 ≠�−�+ 1,所以��+ 1 不是偶函数,故A 错误;
选项B:��−1 = ln �2 −2�+ 2 −1 = ln
�2−2�+2
e
,�−�−1 = ln
−�2−2 −�+2
e
= ln
�2+2�+2
e
,
��−1 ≠�−�−1,所以��−1 不是偶函数,故B 错误;
选项C:��+ 1 = ln
�+ 1 2 −2 �+ 1 + 2 = ln �2 + 1 ,
�−�+ 1 = ln
−�+ 1 2 −2 −�+ 1 + 2 = ln �2 + 1 ,
��+ 1 = �−�+ 1 ,所以��+ 1 为偶函数,故C 正确;
选项D:��−1 = ln
�−1 2 −2 �−1 + 2 = ln �2 −4�+ 5 ,
�−�−1 = ln
−�−1 2 −2 −�−1 + 2 = ln �2 + 4�+ 5 ,
��−1 ≠�−�−1 ,所以��−1 不是偶函数,故D 错误.
故选:C.
20.(2026·四川乐山·模拟预测)已知函数��是定义域为�的偶函数,当�≥0 时,��= �2 + 4�,若��>
5,则�的取值范围是(
)
A.−∞, −5 ∪5, + ∞
B.−∞, −1 ∪1, + ∞
C.−1,1
D.−5,5
【答案】B
【解题思路】根据题意和偶函数的性质求出�<0 时,��= �2 −4�,再根据�的范围,解不等式��> 5.
【解答过程】当�<0 时,则−�> 0,由题意得�−�= �2 −4�,因为函数��是定义域为�的偶函数,所以
�−�= ��= �2 −4�,即�<0 时,��= �2 −4�;
又因为��> 5,所以当�≥0 时,�2 + 4�> 5,解得�> 1;当�<0,�2 −4�> 5,解得�< −1,综上所
述�的取值范围是−∞, −1 ∪1, + ∞,
故选:B.
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【题型6
函数的周期性及应用】
21.(2026·新疆·模拟预测)已知定义在�上的函数��满足��+ 3 + ��= 4,且�1 = 1,则�2026 =
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C
【解题思路】先得到��的一个周期为6,从而得到�2026 = �4 ,赋值得到�4 = 3,得到答案.
【解答过程】��+ 3 + ��= 4,故��+ 6 + ��+ 3 = 4,
两式相减得��+ 6 = ��,故��的一个周期为6,
�2026 = �337 × 6 + 4 = �4 ,
��+ 3 + ��= 4 中,令�= 1 得�4 + �1 = 4,
又�1 = 1,故�4 = 3,所以�2026 = 3
故选:C.
22.
(2026·四川凉山·一模)已知��是定义在�上的函数,��+ 1 =−��.当2 ≤�< 3 时,��= 5 −2�,
则�2025 =(
)
A.−5
B.−1
C.1
D.4
【答案】B
【解题思路】分析函数的周期性,再利用周期性将�(2025)转化为已知区间内的函数值.
【解答过程】依题意函数��满足��+ 1 =−��,可得��+ 2 =−��+ 1 = ��,即函数的周期为2,
因此�2025 = �2 × 1012 + 1 = �1 ,
当2 ≤�< 3 时,��= 5 −2�,由�2 = 5 −22 = 1,且�2 =−�1 ,得�1 =−1,
因此�2025 = �1 =−1.
故选:B.
23.(2026·福建泉州·模拟预测)定义在R 上的奇函数��满足��+ 2 = ��,且当0 < �≤1 时,��=−
�2 + �,则�
11
2
=(
)
A.
1
2
B.−
1
2
C.
1
4
D.−
1
4
【答案】D
【解题思路】根据条件,利用函数的性质,得�
11
2
=−�
1
2 ,再将�=
1
2代入��=−�2 + �,即可求解.
【解答过程】因为��奇函数,又��+ 2 = ��,知��的一个周期为�= 2,
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所以�
11
2
= �2 × 3 −
1
2 = �−
1
2 =−�
1
2 ,
又当0 < �≤1 时,��=−�2 + �,所以�
1
2 =−
1
2
2
+
1
2 =
1
4,则�
11
2
=−
1
4,
故选:D.
24.(2026·湖南郴州·一模)函数��对∀�∈�, ��+ 2 = �4 −�,且��+ 6 为奇函数,则下列说法正
确的是(
)
A.若�∈0,3 时��= 2�,则�8 = 4
B.��的周期为6
C.��的图象关于−6,0 中心对称
D.�2025 + �3 ≠0
【答案】C
【解题思路】对于A 选项,首先通过奇偶性得:�−�+ 6 =−��+ 6 ,然后根据已知条件通过赋值进行求
解;
对于B 选项,根据奇偶性及周期性的结论进行求解即可;
对于C 选项,通过奇偶性可得函数关于6,0 中心对称,再根据函数周期性即可判断正误;
对于D 选项,利用函数周期性可得:�2025 = �9 ,再根据�−�+ 6 =−��+ 6 通过赋值可得:�9 =−
�3 ,进而可以判断选项正误.
【解答过程】对于A 选项,已知��+ 6 为奇函数,则有�−�+ 6 =−��+ 6 ,
令�=−2,得:�8 =−�4 ,
又��+ 2 = �4 −�,令�= 0,得:�4 = �2 ,
因此可得:�8 =−�4 =−�2 =−4,故A 选项错误.
对于B 选项,已知��+ 6 为奇函数,则有�−�+ 6 =−��+ 6 ,
又��+ 2 = �4 −�,则有��= �6 −�,
由此可得:��=−��+ 6 ,即有:��+ 12 =−��+ 6 =−−��
= ��
因此可得:��的周期为12,故B 选项错误.
对于C 选项:已知��+ 6 为奇函数,则有�−�+ 6 =−��+ 6 ,
因此可得:函数��关于6,0 中心对称,又函数��的周期为12,
所以��关于−6,0 中心对称,故C 选项正确;
对于D 选项:已知函数��的周期为12,则有�2025 = �168 × 12 + 9 = �9 ,
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又�−�+ 6 =−��+ 6 ,令�= 3,得:�9 =−�3 ,
因此可得:�2025 =−�3 ,即�2025 + �3 = 0,故D 选项错误.
故选:C.
【题型7
函数的对称性】
25.(2026·江苏南通·模拟预测)已知函数�(�) = (�+ 1)(�2 + ��+ �)的图象关于点(1,0)对称,则�+ 2�=
(
)
A.−10
B.10
C.2
D.−2
【答案】C
【解题思路】根据给定条件,利用中心对称的性质列式求出�, �,进而求出目标值.
【解答过程】函数�(�) = (�+ 1)(�2 + ��+ �) = �3 + (�+ 1)�2 + (�+ �)�+ �,
则�(2 −�) =−�3 + (�+ 7)�2 −(5�+ �+ 16)�+ (6�+ 3�+ 12),
由函数�(�)的图象关于点(1,0)对称,得�(2 −�) + �(�) = 0 恒成立,
即(2�+ 8)�2 −(4�+ 16)�+ (6�+ 4�+ 12) = 0 恒成立,
因此
2�+ 8 = 0
4�+ 16 = 0
6�+ 4�+ 12 = 0
,解得�=−4, �= 3,所以�+ 2�= 2.
故选:C.
26.(2026·安徽马鞍山·模拟预测)若函数�(�) = ln
�+�
�+1 + �的图象关于(2,2)对称,且�≠1,则实数�=(
)
A.−5
B.−1
C.0
D.5
【答案】A
【解题思路】利用函数的定义域,结合对称性特点求出�,再验证得解.
【解答过程】函数�(�) = ln
�+�
�+1 + �有意义,则
�+�
�+1 > 0,由�(�)的图象关于点(2,2)对称,
得�(�)的定义域关于数2 对称,由−1 不在�(�)的定义域内,得5 不在�(�)的定义域内,
则−�= 5,即�=−5,此时�(�) = ln
�−5
�+1 + �,�∈( −∞, −1) ∪(5, + ∞),
�(4 −�) + �(�) = ln
−�−1
5−�+ 4 −�+ ln
�−5
�+1 + �= ln
�+1
�−5 + ln
�−5
�+1 + 4 = 4,
因此函数�(�)的图象关于点(2,2)对称,符合题意,
所以�=−5.
故选:A.
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27.(2026·四川·三模)已知函数��= �3 −�,则函数�= ��+ 2 + 2 的图象(
)
A.关于点−2,2 对称
B.关于点2, −2 对称
C.关于直线�= 2 对称
D.关于直线�=−2 对称
【答案】A
【解题思路】由函数的奇偶性可得��为奇函数,再结合函数的平移变换即可得到结果.
【解答过程】因为�−�= −�3 −−�=−�3 + �=−��,则��为奇函数,
所以��的图象关于原点对称,
函数�= ��+ 2 + 2 的图象可由��的图象先向左平移2 个单位,再向上平移2 个单位得到,
所以函数�= ��+ 2 + 2 的图象关于点−2,2 对称.
故选:A.
28.(2026·辽宁·三模)已知定义在R 上的函数�(�)满足�(2�+ 1)为奇函数,且�(�)的图象关于直线�= 2
对称,则
�=1
2025 �(�)
σ
=(
)
A.−1
B.0
C.1
D.2
【答案】B
【解题思路】通过已知条件推导出函数的对称中心、对称轴,进而得出函数的周期,再利用周期的性质计算
给定求和式的值.
【解答过程】由�(2�+ 1)为奇函数,得�( −2�+ 1) + �(2�+ 1) = 0,
所以�(�)图象的对称中心为(1,0),令�= 0 ⇒�1 = 0
由�(�)的图象关于直线�= 2 对称,得�(2 + �) = �(2 −�),
由�(�) + �(2 −�) = 0,
�(2 + �) = �(2 −�), 得�(�+ 2) =−�(�),所以�(�+ 4) =−�(�+ 2) = �(�),
则�(�)的一个周期为4,则�(1) + �(3) = 0, �(2) + �(4) = 0,
则
�=1
2025 �(�)
σ
= 506 × [�(1) + �(2) + �(3) + �(4)] + �(2025) = 506 × [�(1) + �(2) + �(3) + �(4)] +
�(1) = 0.
故选:B.
【题型8
函数性质的综合应用】
29.(2026·四川绵阳·模拟预测)已知��是定义在R 上的偶函数,且在区间−∞,0 上单调递减,若实数a
满足�2∣�−1∣> �−
2 ,则a 的取值范围是(
)
A.−∞,
1
2
B.
3
2 , + ∞
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C.
1
2 ,
3
2
D.−∞,
1
2 ∪
3
2 , + ∞
【答案】D
【解题思路】由题意得��在区间0, + ∞上单调递增,所以可将不等式转换为∣�−1∣>
1
2即可求解.
【解答过程】因为��是定义在R 上的偶函数,且在区间−∞,0 上单调递减,
所以��在区间0, + ∞上单调递增,因为2∣�−1∣> 0,�−
2 = �
2 ,
所以2∣�−1∣>
2 = 2
1
2,所以�−1 >
1
2,
即�−1 <−
1
2或�−1 >
1
2,解得�<
1
2或�>
3
2,
所以a 的取值范围是−∞,
1
2 ∪
3
2 , + ∞.
故选:D.
30.(2026·全国·模拟预测)已知函数��的定义域为�,且满足�1 + �=−�1 −�, ��+ 2 为偶函数,
当�∈1,2 时,��= ��2 + ��,若�0 + �3 = 5,则�
43
5
=(
)
A.
7
5
B.−
7
5
C.
5
7
D.−
5
7
【答案】A
【解题思路】通过分析得��的周期为4,��的图象关于点1,0 对称,当�∈1,2 时,��=−
5
2 �2 +
5
2 �,
结合�
43
5
= �
3
5 =−�
7
5 即可求解.
【解答过程】因为�1 + �=−�1 −�,所以��= −�2 −�①,
则函数��的图象关于点1,0 对称.
因为��+ 2 为偶函数,所以�−�+ 2 = ��+ 2 ②,
则函数��的图象关于直线�= 2 对称.
由①②得��+ 2 =−��,则��+ 4 =−��+ 2 = ��,故��的周期为4,
所以�
43
5
= �8 +
3
5 = �
3
5 .
由�−�+ 1 =−��+ 1 ,令�= 0,得�1 = 0,即�+ �= 0③.
已知�0 + �3 = 5,由函数��的图象关于直线�= 2 对称,得�3 = �1 = 0.
又函数��的图象关于点1,0 对称,得�0 =−�2 ,
所以�0 + �3 =−�2 = 5,即�2 =−5,所以4�+ 2�=−5④.
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联立③④解得�=−
5
2 , �=
5
2,故当�∈1,2 时,��=−
5
2 �2 +
5
2 �.
由��的图象关于点1,0 对称,
可得�
43
5
= �
3
5 =−�
7
5 =−−
5
2 ×
7
5
2
+
5
2 ×
7
5 =
7
5.
故选:A.
31.(2026·广东·模拟预测)已知��是R 上的奇函数,��−1 −�3 −�= 0,若��在0,1 上单调递
增,且�1 = 2,则��在R 上的最小值是(
)
A.−4
B.−3
C.−2
D.−1
【答案】C
【解题思路】由已知可得��的对称中心和对称轴,进而得到周期性,再根据单调性可得一个周期内的最小
值.
【解答过程】由��是奇函数,可得�−�=−��.
由��−1 −�3 −�= 0,可得��的图象关于�= 1 对称,
即�−�=��+ 2 ,则有��+ 2 = −��,
所以��+ 4 =−��+ 2 =��,即��的周期为4.
因为��在0,1 单调递增,且是奇函数图像关于原点对称,
则��在−1,0 单调递增,即��在−1,1 单调递增.
又因为��的图象关于�= 1 对称,则��在1,3 单调递减.
所以在一个周期内[��]min = �3 = �−1 =−�1 =−2,
即��在R 上的最小值是−2.
故选:C.
32.(2026·四川攀枝花·模拟预测)已知函数��的定义域�关于原点对称,�
π
4
=−1 且��满足:
(1)当�∈0,
π
2 时,��< 0;
(2)∀�1, �2 ∈�且�1 ≠�2, ��1 ≠��2 , ��1 −�2 =
��1 ��2 +1
��2 −��1 .则下列关于��的判断错误的是(
)
A.��为奇函数
B.�
π
2 = 0
C.π是��的一个周期
D.��在0,
π
2 上单调递减
【答案】D
【解题思路】利用奇偶性的定义解结合(2)可判断A 选项;由奇函数的性质结合(2)可判断B 选项;根据
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(2)以及B 选项推导出��−
π
2 =−
1
��,可得出��−π = ��,再结合函数周期性的定义可判断C 选项;
利用(2)结合函数单调性的定义可判断D 选项.
【解答过程】因为∀�1、�2 ∈�,��1 −�2 =
��1 ��2 +1
��2 −��1 =−
��2 ��1 +1
��1 −��2
=−��2 −�1 ,
所以��为�上的奇函数,A 对;
因为�
π
4
=−1,所以�−
π
4 = 1,
所以�
π
2
= �
π
4 −−
π
4
=
�
π
4 �−π
4 +1
�−π
4 −�
π
4
= 0,B 对;
因为��−
π
2 =
���
π
2 +1
�
π
2 −��=−
1
��,
所以��−π = ��−
π
2 −
π
2 =−
1
��−π
2
= ��,
所以π是��的一个周期,C 对;
∀�1、�2 ∈�,且0 < �1 < �2 <
π
2,则0 < �2 −�1 <
π
2,
因为当�∈0,
π
2 时,��< 0,所以��1 、��2 、��2 −�1 均小于0,
又��2 −�1 =
��1 ��2 +1
��1 −��2 ,所以��1 −��2 < 0,所以��1 < ��2 ,
所以��在0,
π
2 上单调递增,D 错.
故选:D.
【题型9
抽象函数的性质】
33.(25-26 高三上·山东青岛·阶段检测)已知函数��,对任意的�, �∈R,恒有��+ �+ ��−�= 2��⋅
��,且�1 =
1
2,则下列说法正确的是(
)
A.�0 = 0
B.��为奇函数
C.��为周期函数
D.�2025 = 1
【答案】C
【解题思路】通过赋值法确定�0 的值,判断函数奇偶性;利用递推关系推导函数周期,结合周期计算特定
点的函数值,进而判断选项.
【解答过程】令�= 0,�= 0,则�0 + 0 + �0 −0 = 2�0 ⋅�0 ,
即2�0 = 2�(0)2,得�0 = 0 或�0 = 1.
若�0 = 0,令�= 0,则��+ 0 + ��−0 = 2��⋅�0 ,
即2��= 0,与�1 =
1
2矛盾,故�0 = 1,A 错误.
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令�= 0,则�0 + �+ �0 −�= 2�0 ⋅��,即��+ �−�= 2��,
得�−�= ��,故��为偶函数,B 错误.
令�= 1,则��+ 1 + ��−1 = 2��⋅�1 = ��,即��+ 1 = ��−��−1 .
由此得��+ 2 = ��+ 1 −��= ��−��−1
−��=−��−1 ,
��+ 3 = ��+ 2 −��+ 1 =−��−1 −��−��−1
=−��,
��+ 6 =−��+ 3 = ��,故��是周期为6 的周期函数,C 正确.
�2025 = �6 × 337 + 3 = �3 =−�0 =−1,D 错误.
故选:C.
34.(25-26 高三上·福建龙岩·期中)已知函数��对任意的�,�∈�,都有��+ �= ��+ ��,且当�> 0
时,��< 0,则不等式��2 −3�+ �6 −2�> 0 的解集是(
)
A.−2,3
B.−∞, 2 ∪3, + ∞
C.2,3
D.−∞, −2 ∪3, + ∞
【答案】C
【解题思路】先判断函数��是奇函数,然后判断该函数是减函数,进而根据奇偶性对不等式进行化简,最
后根据单调性求解不等式的解集.
【解答过程】令�= �= 0,则�0 = 2�0 ,所以�0 = 0.
令�=−�,则�0 = ��+ �−�,所以�−�=−��.
所以函数��为奇函数.
设�1, �2 ∈�,且�1 < �2,则�2 −�1 > 0.
由题意知,当�> 0 时,��< 0,所以��2 −�1 < 0.
因为��2 = �
�2 −�1 + �1 = ��2 −�1 + ��1 ,所以有��2 −��1 < 0.
即��2 < ��1 ,所以��在�上是减函数.
不等式��2 −3�>−�6 −2�= �2�−6 ,
根据单调性可得�2 −3�< 2�−6,
化简得�2 −5�+ 6 = �−2
�−3 < 0,
解得�∈2,3 .
故选:C.
35.(25-26 高一上·安徽合肥·期中)已知函数��的定义域为�,且��+ �= ��+ ��+ 1,�1 = 0,
则(
)
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A.�0 = 1
B.��有最小值
C.�2025 = 2025
D.��+ 1 是奇函数
【答案】D
【解题思路】根据题意,利用抽象函数的性质,结合选项,逐项判定,即可求解.
【解答过程】对于A:令�= �= 0,可得�0 =−1,所以A 错误;
对于B:令�= �1, �= �2 −�1,不妨令�1 < �2,则��1 + �2 −�1 = ��1 + ��2 −�1 + 1,
可得��2 −��1 = ��2 −�1 + 1,
若�> 0 时,��>−1 时,��2 −��1 > 0,此时函数��为单调递增函数;
若�> 0 时,��<−1 时,��2 −��1 < 0,此时函数��为单调递减函数,
所以函数��不一定有最小值,所以B 错误;
对于C:令�= 1,可得��+ 1 = ��+ �1 + 1 = ��+ 1,即��+ 1 −��= 1,
所以�2 −�1 = 1,�3 −�2 = 1,
,�2025 −�2024 = 1,
各式相加得�2025 −�1 = 2024,所以�2025 = �1 + 2024 = 2024,所以C 错误;
对于D:令�=−�,可得�0 = ��+ �−�+ 1,可得��+ 1 + �−�+ 1 = 0,
即�−�+ 1 =−��+ 1 ,所以函数��+ 1 是奇函数,所以D 正确;
故选:D.
36.(25-26 高一上·浙江嘉兴·期末)已知定义在�上的函数��的图象是一条连续不断的曲线,且对于任意
的实数�,�,都有��+ �= ��+ ��+ 2��,�1 = 1,当�> 0 时,��> 0,则(
)
A.�0 = 2
B.��是奇函数
C.��在0, + ∞上单调递增
D.�1 −�= ��
【答案】C
【解题思路】令�= �= 0,求得�0 = 0,可判定A 错误;令�=−�,得到��+ �−�= 2�2,根据奇偶
性的定义,可判定B 错误;任取0 < �1 < �2,令�= �1, �= �2 −�1,结合函数单调性的定义,可判定C 正
确;取函数��= �2,结合�1 −�= ��不能恒成立,可判定D 错误.
【解答过程】对于任意的实数�, �,都有��+ �= ��+ ��+ 2��,�1 = 1,
且当�> 0 时,��> 0,
对于A,令�= �= 0,可得�0 = �0 + �0 + 0,可得�0 = 0,所以A 错误;
对于B,令�=−�,可得��−�= ��+ �−�+ 2�( −�),
所以��+ �−�= �0 + 2�2 = 2�2,所以��+ �−�= 0 不恒成立,
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所以函数��不满足�−�=−��,所以��不是奇函数,所以B 错误;
对于C,任取0 < �1 < �2,则�2 −�1 > 0,令�= �1, �= �2 −�1,
则��2 = ��1 + ��2 −�1 + 2�1 �2 −�1 ,
所以��2 −��1 = ��2 −�1 + 2�1 �2 −�1 ,
因为�> 0 时,��> 0,所以��2 −�1 > 0,且2�1 �2 −�1 > 0,
所以��2 −��1 > 0,即��1 < ��2 ,
所以��在0, + ∞上单调递增,所以C 正确;
对于D,取函数��= �2,此时函数��= �2满足��+ �= ��+ ��+ 2��,
且当�> 0 时,��> 0,满足�1 = 12 = 1,
则�1 −�= (1 −�)2 = 1 −2�+ �2, ��= �2,
所以�1 −�= ��不能恒成立,所以D 错误.
故选:C.
【题型10
函数新定义】
37.(2026·福建宁德·二模)设��是定义在�上的函数,若∀�1, �2 ∈�,当�1 < �2 时,��1 < ��2 ,
称函数��具有性质�,则下列函数具有性质�的是(
)
A.��= �+ sin�
B.��=
−�, �≤0
�3 + 1, �> 0
C.��=
1
2�+1 −
1
2
D.��= �−1 e�
【答案】C
【解题思路】对于ABD:举反例说明即可;对于C:分析可知��为偶函数,在0, + ∞内单调递增,进而
分析判断.
【解答过程】对于选项A:例如�−π =−π + sin −π =−π,�0 = 0 + sin0 = 0,
即0 < −π ,但�−π < �0 ,故A 错误;
对于选项B:例如�−1 = 1,�
1
2 =
9
8,
即
1
2 < −1 ,但�−1 < �
1
2 ,故B 错误;
对于选项C:令��=
1
2�+1 −
1
2,则��的定义域为�,
且��+ �−�=
1
2�+1 −
1
2 +
1
2−�+1 −
1
2 =
1
2�+1 +
2�
2�+1 −1 = 0,
即��=−�−�,可知��为奇函数,
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又因为�= 2�+ 1 在定义域�内单调递增,则��在定义域�内单调递减,且�0 = 0,
当�< 0 时,��> 0;当�≥0 时,��≤0;
则�−�= �−�
= −��
= ��
= ��,可知��为偶函数,则��= ��,
当�≥0 时,��=−��在0, + ∞内单调递增,
若�1 < �2 ,即0 ≤�1 < �2 ,则��1
< ��2 ,可得��1 < ��2 ,故C 正确;
对于选项D:�−3 =−
4
e3,�2 = e2,
即2 < −3 ,但�−3 < �2 ,故D 错误.
故选:C.
38.(25-26 高三下·上海浦东新·期中)定义在�上的非常值函数�= ��,若存在一个非零常数�,使得对
任意�∈�,都有��+ �= �⋅��成立,那么称函数�= ��为�函数.则下列说法正确的是(
)
A.存在函数�= ��+ ��≠0 为�函数
B.若函数�= ��为�函数,且当�> 1 时函数在0, �上是严格增函数,则函数�= ��在0, + ∞上
是严格增函数
C.若函数�= ��为�函数,且在�= 0 处取得最小值,则0 < �< 1
D.若函数�= ��为�函数,且��
≤1 恒成立,则�= ��为周期函数
【答案】D
【解题思路】利用定义计算可得A;举出反例可得B、C;利用定义计算可得��+ ��= ����,��−��=
1
����,再利用��
≤1 可得�的值,最后利用周期性定义即可得D.
【解答过程】对A:存在一个非零常数�,使得对任意�∈�,都有��+ �= �⋅��成立,
则��+ �+ �= ���+ �,整理得��+ ��+ �= ���+ ��,
则有�= ��且��+ �= ��恒成立,由�≠0,则由�= ��可得�= 1,
此时有�+ �= �,则�= 0,矛盾,故不存在这样的非零常数�,故A 错误;
对B:假设�= 2,当�∈0,2 时,��= �−1,
且函数�= ��为定义在�上的�函数,则�= ��在0,2 上是严格增函数,
但�2 = �0 + 2 = 2 ⋅�0 =−2,不满足在0, + ∞上严格递增,故B 错误;
对C:假设�= 2,当�∈0,2 时,��= �,
且函数�= ��为定义在�上的�函数,则��+ 2 = 2 ⋅��,
当�= 2��∈�时,�2�+ 2 = 2�2�= 22�2�−2 = ⋯= 2�+1�0 = 0,
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即对任意整数�,都有�2�= 0,
当�= 2�+ �, �∈�, �∈0,2 时,
�2�+ �= 2�2�−2 + �= ⋯= 2���> 0,
故当�≠2��∈�时,��> 0,
故满足�= ��在�= 0 处取得最小值,但�= 2,故C 错误;
对D:由题意可得��+ ��= ���+ �−1 �= ⋯= ����,
��−��=
��−�−1 �
�
= ⋯=
1
����,
因为��为非常值函数,所以存在�0使得�(�0) ≠0,
由��
≤1 恒成立,可得����0
≤1 和
1
����0
≤1 对任意正整数�成立,
若�> 1 或�< 1,则当�足够大时,上述不等式至少有一个不成立,
故必有�= 1,即�= 1 或�=−1,
若�= 1,则��+ 1 = ��,则�= ��为周期函数,且周期为1;
若�=−1,则��−1 =−��,故��−2 =−��−1 = ��,
则�= ��为周期函数,且周期为2;
综上可得�= ��为周期函数,故D 正确.
故选:D.
39.(25-26 高二下·浙江绍兴·期末)若函数�= ��满足:对任意的�1,�2 ∈�,�1 + �2 ≠0,都有
��1 +��2
�1+�2
> 0,则称函数��在区间�上具有性质�.
(1)设函数��= 2�,��= �3 + 3�,分别判断��,��是否在�上具有性质�;
(2)设函数��= ln
1+�
1−�+ ��,若��在其定义域上具有性质�,求实数�的取值范围;
(3)已知函数��具有性质�,且图象是一条连续曲线,若�= ��在�上单调递增,求证:��是奇函数.
【答案】(1)函数��在�上不具有性质�;��在�上具有性质�.
(2)�≥−2
(3)证明见解析
【解题思路】(1)证明函数不具有性质P 时,可通过举反例的方式快速验证;证明函数具有性质P 时,需
对目标表达式进行代数变形,通过配方等方式证明其恒正.
(2)首先根据性质P 的定义转化出对应不等式,再结合函数的奇偶性,将不等式转化为函数单调递增的判
定条件,最后通过导数恒非负求解参数�的取值范围.
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(3)围绕奇函数定义�( −�0) =−�(�0),构造辅助函数ℎ(�) = �(�) + �(�0),结合性质�判断ℎ(�)在不同区
间的符号,再利用ℎ(�)的单调性与零点存在性确定零点位置,即可推导出奇函数定义式.
【解答过程】(1)函数��= 2�在�上不具有性质�,��= �3 + 3�在�上具有性质�.
一方面:对于函数��= 2�,取�1 = 1,�2 =−2,则有
�1 +�−2
−1
=−
9
4 < 0,
故函数��= 2�在�上不具有性质�.
另一方面:对任意的�1,�2 ∈�,�1 + �2 ≠0,
��1 +��2
�1+�2
=
�1
3+3�1+�2
3+3�2
�1+�2
= �1
2 −�1�2 + �2
2 + 3 = �1 −
�2
2
2
+
3
4 �2
2 + 3 > 0,
故函数��= �3 + 3�在�上具有性质�.
(2)函数��的定义域为−1,1 ,由��具有性质�,可知
对任意的�1,�2 ∈−1,1 ,�1 −�2 ≠0,都有
��1 +�−�2
�1−�2
> 0,➀
因为�−�= ln
1−�
1+�−��=−ln
1+�
1−�−��=−��,即函数��为奇函数,所以➀可化为
��1 −��2
�1−�2
> 0,
从而��在−1,1 上单调递增,故�′ �≥0,
即�′ �=
1
1+�+
1
1−�+ �≥0,即�≥−
1
1+�+
1
1−�=
2
�2−1在−1,1 上恒成立,
∵0 ≤�2 < 1, −1 ≤�2 −1 < 0,∴
2
�2−1 ≤−2,
从而�≥−2.
(3)证明:
函数��的定义域为�,
要证��是奇函数,只要证:对任意的实数�0,�−�0 =−��0 即可.
对任意实数�0,由函数��具有性质�,可知:
当�+ �0 ≠0 时,
��+��0
�+�0
> 0.①
设ℎ�= ��+ ��0 ,
当�+ �0 > 0,即�>−�0时,由①得��+ ��0 > 0,
即当�∈−�0, + ∞时,ℎ�> 0;②
当�+ �0 < 0,即�<−�0时,由①得��+ ��0 < 0,
即当�∈−∞, −�0 时,ℎ�< 0;③
由曲线�= ℎ�的连续性,可知ℎ�在�上存在零点�ത,即ℎ�ത= ��ത+ ��0 = 0.④
由于函数��在�上单调递增,故�= ℎ�在�上也单调递增,
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由②得�ത≤−�0,由③得�≥−�0,故有�ത=−�0.
代入④得,ℎ−�0 = �−�0 + ��0 = 0.
故��为奇函数.
40.(25-26 高一下·上海·期末)对于定义域在�上的函数�= ��,定义��=
��−�0
�
.设区间�= −∞, 0 ∪
0, + ∞,对于区间�上的任意给定的两个自变量的值�1、�2,当�1 < �2时,总有��1 ≤��2 ,则称��
是��的“�函数”.
(1)求证:函数�=−2�不存在“�函数”,请说明理由;
(2)若非常值函数�= ��,�∈�是奇函数,求证:�= ��存在“�函数”的充要条件是存在常数�,使得��=
��;
(3)若函数��= �⋅2�−99�与函数ℎ�=−�⋅2−�+ �的定义域都为�,且均存在“�函数”,求实数�的值.
【答案】(1)证明见解析;
(2)证明见解析;
(3)�= 0
【解题思路】(1)先写出��的表达式,然后取�1 =−2 < �2 =−1,说明�−2 > �−1 即可证明;
(2)先证明��是偶函数,充分性直接证明即可;必要性利用反证法结合偶函数的性质即可证明;
(3)先写出��, ℎ�的解析式,然后说明��(�)既单调不减又单调不增,即��(�)为常数即可求出�.
【解答过程】(1)由题意,�(�) =−2�,则�(0) =−1,因此:�(�) =
�(�)−�(0)
�
=
−2�+1
�
(�≠0),
取�1 =−2 < �2 =−1 计算得:�( −2) =
−1
4+1
−2 =−
3
8 , �( −1) =
−1
2+1
−1 =−
1
2,
�−2 > �−1 不满足�−2 ≤�−1 ,
因此函数�=−2�不存在“�函数”
(2)因为�(�)是定义域为R 的奇函数,故�(0) = 0,因此�(�) =
�(�)−�(0)
�
=
�(�)
�(�≠0),
且�( −�) =
�(−�)
−�=
−�(�)
−�= �(�),即�(�)是偶函数.
充分性:若�(�) = ��(�≠0,非常值),此时�(�) =
��
�= �
�≠0 ,�(�)为常数函数,
对任意�1、�2,当�1 < �2时,总有��1 = ��2 ,满足��1 ≤��2 ,
必要性:若�(�)存在“�函数”即�(�)在( −∞, 0) ∪(0, + ∞)上单调不减,
由�(�)是奇函数得:�( −�) =
�(−�)
−�=
−�(�)
−�=
�(�)
�= �(�),即�(�)是偶函数,
若��不为常数函数,对任意两个正数�< �,则��≤��,
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但此时−�< �,�−�= ��≥��,不满足“�函数”的定义.
因此��恒为常数�,此时��= ���= ��.
综上,原命题得证.
(3)对�(�) = �⋅2�−99�,�(0) = �,因此:���=
�(�)−�(0)
�
=
�(2�−1)
�
−99 �≠0 ,
对ℎ(�) =−�⋅2−�+ �,ℎ(0) =−�,因此:�ℎ(�) =
ℎ(�)−ℎ(0)
�
=
�(2�−1)
�⋅2�
+ 1 = ��( −�) + 100,
因为�(�), ℎ(�)都存在“�函数”,故��(�)单调不减,�ℎ(�) = ��( −�) + 100 也单调不减,
即��( −�)单调不减,等价于��(�)单调不增,��(�)既单调不减又单调不增,故��(�)为常数,
即:
�(2�−1)
�
= �⟹�⋅2�= �+ ��(C 为常数),
指数函数恒等于一次函数+常数,仅当指数项系数为0,即�= 0.
验证:�= 0 时,��(�) =−99(常数),�ℎ(�) = 1(常数),均满足“�函数”定义,
故�= 0.
一、单选题
1.(2026·上海黄浦·一模)下列函数中,既是偶函数、又在0,1 上严格减的函数是(
)
A.�=−�
B.�=−�
C.�= �2
D.�= 2−�
【答案】B
【解题思路】根据基本初等函数的奇偶性、单调性逐项判断ACD,利用奇偶性定义及一次函数的单调性判断
B 即可.
【解答过程】对于A,�=−�为奇函数,不是偶函数,在0,1 上严格减,故A 错误;
对于B,��=−�定义域为R,关于原点对称,且�−�=−−�=−�= ��,所以函数�=−�为偶
函数,
当�∈0,1 时,�=−�=−�,显然在0,1 上严格减,故B 正确;
对于C,由幂函数性质知,�= �2为偶函数,在0,1 上严格增,故C 错误;
对于D,由指数函数性质知,�= 2−�=
1
2
�
既不是奇函数也不是偶函数,故D 错误.
故选:B.
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2.(2026·广东深圳·模拟预测)若函数�(�) =
�e��
e�−1的图象关于y 轴对称,则�=(
)
A.−
1
2
B.
1
2
C.−2
D.2
【答案】B
【解题思路】根据题意得到�( −�) = �(�),从而得到方程,变形化简得到2��−�= 0,求出�=
1
2.
【解答过程】�(�) =
�e��
e�−1图象关于y 轴对称,故�( −�) = �(�),
即
−�e−��
e−�−1 =
�e��
e�−1,即−�e−��e�−1 = �e��e−�−1 ,
即�e��1−e�
e�+ �
e�−1
e��= 0 ⇔�1 −e�
e��−�−
1
e��= 0,
要想上式恒成立,则e��−�−
1
e��= 0 恒成立,即e2��−�−1 = 0,故2��−�= 0,
所以�=
1
2.
故选:B.
3.(2026·海南海口·模拟预测)已知函数��= �−2
��+ �为偶函数,且�−2 > �3 ,则�2 −�> 0
的解集为(
)
A.{�|0 < �< 4}
B.{�|�< 0 或�> 4}
C.{��> 2 或�<−2}
D.{�| −2 < �< 2}
【答案】A
【解题思路】由奇偶性结合单调性求得函数解析式,然后解不等式.
【解答过程】因为�(�) = (�−2)(��+ �) = ��2 + (�−2�)�−2�是偶函数,
所以�−2�= 0,即�= 2�,所以�(�) = ��2 −4�,
因为�(2) = �( −2),�( −2) > �(3),所以�(2) > �(3),因此�(�)在(0, + ∞)上是减函数,
所以�< 0,
由�(�) = ��2 −4�> 0,得�2 −4 < 0,所以−2 < �< 2,
所以�(2 −�) > 0 时,−2 < 2 −�< 2,解得0 < �< 4,
即�(2 −�) > 0 的解集为{�|0 < �< 4}.
故选:A.
4.(2026·四川成都·一模)已知定义在�上的奇函数�(�)在[0, + ∞)上的图象如图所示,则不等式(�−
3)�(�) > 0 的解集为(
)
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A.( −3,0) ∪( 3, 3)
B.( −3,0) ∪(0,3)
C.( −∞, −3) ∪(0,3)
D.( −∞, −3) ∪( 3, 3)
【答案】A
【解题思路】根据函数为奇函数可得函数的图象,进而由数形结合可得不等式的解集.
【解答过程】因为�(�)是定义在�上的奇函数,所以函数�(�)图象关于原点对称,故得函数的图象如下:且�( −
3) =−�(3) = 0.
由图象可知,要使(�−
3)�(�) > 0,当�>
3时,�(�) > 0,得3 < �< 3;
当�<
3时,�(�) < 0,得−3 < �< 0;
当�=
3,不等式不成立;
综上,不等式(�−
3)�(�) > 0 的解集为( −3,0) ∪( 3, 3).
故选:A.
5.(2026·安徽·模拟预测)“函数�= �(�)的图象关于直线�= 2 对称”是“函数�= �(�+ 2)为偶函数”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【答案】C
【解题思路】根据对称和偶函数定义判断.
【解答过程】若函数�= ��的图象关于直线�= 2 对称,则�2 + �= �2 −�,
令��= ��+ 2 ,则�−�= �−�+ 2 ,所以�−�= ��,��是偶函数,
所以函数��+ 2 是偶函数,
所以“函数�= ��的图象关于直线�= 2 对称”是“函数��+ 2 是偶函数”的充分条件;
若函数��+ 2 是偶函数,令��= ��+ 2 ,则��是偶函数,
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所以�−�= ��,又�−�= �−�+ 2 ,所以��+ 2 = �−�+ 2 ,
即�2 + �= �2 −�,所以��的图象关于直线�= 2 对称,
所以“函数�= ��的图象关于直线�= 2 对称”是“函数��+ 2 是偶函数”的必要条件.
综上可知,“函数�= ��的图象关于直线�= 2 对称”是“函数��+ 2 是偶函数”的充要条件,
故选:C.
6.(2026·广东·模拟预测)已知��是定义域为R 的奇函数,当�< 0 时,��= �+
1
�+ 1,则当�> 0 时,
��的最小值为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】A
【解题思路】由奇函数性质求出当�> 0 时,��= �+
1
�−1,再由基本不等式求解.
【解答过程】当�> 0 时,得−�< 0,
由函数��是定义域为R 的奇函数,
得��=−�( −�) =−
−�+
1
−�+ 1 = �+
1
�−1,
即当�> 0 时,��= �+
1
�−1 ≥2 �⋅
1
�−1 = 1,等号成立时,�= 1,
则当�> 0 时,��的最小值为1,
故选:A.
7.(2026·河南周口·模拟预测)若定义在�上的函数��满足��+ 1 + ��−1 = �2 ,��+ 1 是奇函
数,�
1
2 = 1,则
�=1
9
෌
��(
2�−1
2
) =(
)
A.−1
B.−9
C.1
D.9
【答案】D
【解题思路】根据条件结合赋值法计算可得��+ 1 + ��−1 = 0,即可得该函数周期,再利用�
1
2 = 1,
则可计算出�
2�−1
2
的值,即可得解.
【解答过程】因为��+ 1 是奇函数,所以�−�+ 1 =−��+ 1 .
由��+ 1 + ��−1 = �2 ,令�= 1,得�2 + �0 = �2 ,故�0 = 0,
由�−�+ 1 =−��+ 1 ,令�= 1,得�2 =−�0 = 0,
所以��+ 1 + ��−1 = 0,即��+ 1 =−��−1 ,
所以��+ 4 =−��+ 2 = ��,故��以4 为周期,
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由�
1
2 = 1,则�
3
2 = �1 +
1
2 =−�
1
2 =−1,�
5
2 = �2 +
1
2 =−�
1
2 =−1,
�
7
2 = �−
1
2 =−�
3
2 = 1,�
9
2 = �4 +
1
2 = �
1
2 = 1,
�
11
2
= �4 +
3
2 = �
3
2 =−1,�
13
2
= �4 +
5
2 = �
5
2 =−1,
�
15
2
= �4 +
7
2 = �
7
2 = 1,�
17
2
= �8 +
1
2 = �
1
2 = 1,
所以
�=1
9
��
2�−1
2
෍
= 1 × �
1
2 + 2 × �
3
2 + 3 × �
5
2 + 4 × �
7
2
+5 × �9
2 + 6 × �11
2
+ 7 × �13
2
+ 8 × �15
2
+ 9 × �17
2
= 1 × 1 + 2 × −1 + 3 × −1 + 4 × 1 + 5 × 1 + 6 × −1 + 7 × −1 + 8 × 1 + 9 × 1
= 9.
故选:D.
8.(2026·江苏淮安·模拟预测)已知函数��定义域为�,且满足:��= �2 −�,∀�1, �2 ∈1, + ∞,
�1 ≠�2,
��1 −��2
�1−�2
< 0,若�2 < �lg�,则实数�的取值范围为(
)
A.1 < �< 100
B.
1
10 < �< 100
C.10 < �< 100
D.1 < �< 10
【答案】A
【解题思路】根据函数的对称性和单调性求解.
【解答过程】因为��= �2 −�,所以��关于�= 1 对称,
又∀�1, �2 ∈[1, + ∞), �1 ≠�2,
��1 −��2
�1−�2
< 0,所以��在[1, + ∞)单调递减,
所以��在( −∞, 1]单调递增.
又�2 = �0 ,所以0 < lg�< 2,所以1 < �< 100,
所以实数�的取值范围为1 < �< 100.
故选:A.
二、填空题
9.(2026·安徽安庆·模拟预测)设��是周期为4 的奇函数,当0 ≤�≤1 时,��=−�1 −�,则
�−
9
2 =___________.
【答案】
1
4
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【解题思路】根据函数的奇偶性及周期性求解即可.
【解答过程】因为��是周期为4 的奇函数,所以�−
9
2 =−�
9
2 =−�
1
2 ,
又当0 ≤�≤1 时,��=−�1 −�,所以�
1
2 =−
1
2 × 1 −
1
2 =−
1
4.
所以�−
9
2 =−�
1
2 =−−
1
4 =
1
4.
故答案为:
1
4.
10.(2026·河北保定·三模)已知定义在R 上的函数��满足1 −��
⋅1 + ��+ 2
= 2,且�0 = 2,
则�2026 = ___________.
【答案】−3
【解题思路】利用条件1 −��
⋅1 + ��+ 2
= 2 可得��+ 4 =−
1
�(�),由此可得函数��是周期为8 的
函数,故转化�(2026)为�(2),利用�0 = 2 求解可得.
【解答过程】由1 −��
⋅1 + ��+ 2
= 2 可得��+ 2 =
2
1−�(�) −1 =
1+�(�)
1−�(�),
所以��+ 4 =
1+��+2
1−��+2 =
1+1+�(�)
1−�(�)
1−1+�(�)
1−�(�)
=−
1
�(�),
所以��+ 8 =−
1
�(�+4) =−
1
−1
�(�)
= �(�),
所以��是周期为8 的函数,所以�2026 = �(253 × 8 + 2) = �(2),
又�2 =
1+�0
1−�0 =
1+2
1−2 =−3,故�2026 = �(2) =−3.
故答案为:−3.
11.(25-26 高二下·湖南长沙·期中)已知定义在�上的奇函数��满足�3 −�= ��,且当�∈0,1 时,
��= 3�−1 + 1,则�2026 =___________.
【答案】−2
【解题思路】根据奇函数的性质及�3 −�= ��得��是周期为6 的函数,再应用周期性和奇函数的性质
求函数值.
【解答过程】由题设�−�=−��=−�3 −�,
用�代替−�,则��=−�3 + �,故�3 + �=−�6 + �,
所以��= ��+ 6 ,即��是周期为6 的函数,
所以�2026 = �338 × 6 −2 = �−2 =−�3 + −2
=−�1 =−31−1 + 1 =−2.
故答案为:−2.
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12.(2026·西藏日喀则·模拟预测)已知��是定义在�上的连续函数,��= ��+ 1 −3.若��为奇函
数,��+ 1 为偶函数,且�2 = 0,则
�=1
2026 ��
σ
=___________.
【答案】−3
【解题思路】根据函数的奇偶性得出周期,利用周期性求解即可.
【解答过程】因为��为定义在�上的奇函数,所以�0 = 0,
因为��+ 1 为偶函数,所以�−�+ 1 = ��+ 1 ,
则��= �2 −�=−�−�,
所以�2 + �=−��,
则��+ 4 =−��+ 2 = ��,
所以函数��的一个周期为4,
则�0 = �4 = 0.又�2 = 0,
所以�1 = �2 −3 =−3,
因为�0 = �2 −0 = 0,
所以�2 = 0,�3 = �2 −3 = �−1 =−�1 = 3,
所以�1 + �2 + �3 + �4 = 0,
则
�=1
2026 �(�)
σ
= �(1) + �(2) =−3.
故答案为:−3.
一、单选题
1.(2026·湖北武汉·三模)已知函数��的定义域为0,+ ∞,对任意的�, �> 0,均有
�(�)−�(�)
�
<
1
��(
�
�+ 1),
且�1 =−1,则下列结论中一定正确的是(
)
A.�2 < 0
B.2�(3) < �(2)
C.
�(4)
�(3) +
�(3)
�(2) > ln2
D.3�(4) < �(3)
【答案】C
【解题思路】令�= �= 1,即可判断A;令�= 1,可得��+ 1 < ��(�+ 1),令�= 2,可判断B;令�= 3,
可判断D;由题意可得��+ 1 >
�(�)
�,结合�3 > 0,�(2) > 0,可得
�(4)
�(3) +
�(3)
�(2) >
1
3 +
1
2 =
5
6,再根据对数的
运算性质及单调性,即可判断C.
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【解答过程】解:对于A,令�= �= 1,则有0 < �(2),即�(2) > 0,故A 错误;
对于B,令�= 1,则有
�(�)−�(1)
�
< �(�+ 1),
又因为�1 =−1,�> 0,
所以��+ 1 < ��(�+ 1),
令�= 2,
则有2�3 > �(2) + 1 > �(2),故B 错误;
对于C,因为��+ 1 < ��(�+ 1),�> 0,
所以��+ 1 >
�(�)+1
�
>
�(�)
�,
令�= 2,则有�3 >
�(2)
2 ,令�= 3,则有�4 >
�(3)
3 ,
由B 可知2�3 > �(2) > 0,
所以�3 > 0,
所以
�4
�(3) >
1
3,
同理可得
�3
�(2) >
1
2,
所以
�(4)
�(3) +
�(3)
�(2) >
1
3 +
1
2 =
5
6 = lne
5
6 = ln
6 e5 > ln
6 2.75 > ln
6 64 = ln2,故C 正确;
对于D,由B 可知��+ 1 < ��(�+ 1),
令�= 3,则有3�4 > �(3) + 1 > �(3),故D 错误.
故选:C.
2.
(2026·宁夏吴忠·二模)定义在�上的函数��满足�−1 + �+ �−1 −�= 0,且�1 + �+ �1 −�= 0,
当�∈−1,0 时,��= e�−�,当�∈0,1 时,��= 2�−�,则��的最小值为(
)
A.−6
B.−4
C.−3
D.−2
【答案】D
【解题思路】由题,可得��的周期为4,由�−1 = �1 = 0 求得�=
1
e,�= 2,结合对称性求得��在一
个周期内的值域,得解.
【解答过程】由�−1 + �+ �−1 −�= 0,即�−�=−��−2 ,可得��的图象关于点−1,0 对称;
由�1 + �+ �1 −�= 0,即�−�=−��+ 2 ,可得��的图象关于点1,0 对称,
∴��+ 2 = ��−2 ,所以��的周期为4.
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易知�−1 = �1 = 0,所以e−1 −�= 2 −�= 0,所以�=
1
e,�= 2,
所以��在−1,1 上的值域为−2,1 −
1
e .
又��的图象关于点1,0 对称,所以当�∈1,3 时,��∈
1
e −1,2 ,
即��在一个周期内的值域为−2,2 ,所以��的最小值为−2.
故选:D.
3.(2026·辽宁盘锦·三模)已知定义域均为R 的函数�(�),�(�)满足�2 −�+ ��= 2,�4 −�= ��,
�2 = 3,若��= �2 + �+ 4,则下列说法错误的是(
)
A.�(�)的图象关于y 轴对称
B.−8 为�(�)的一个周期
C.�2023 =−1
D.
�=1
22
෌
�(�) = 16
【答案】C
【解题思路】根据抽象函数的奇偶性和对称性,求出周期,确定对称轴,求函数值的和分别判断各个选项.
【解答过程】因为��= �2 + �+ 4,所以�−�= �2 −�+ 4,又因为�4 −�= ��,所以�2 + �=
�2 −�,所以��= �−�,所以�(�)的图象关于y 轴对称,故A 正确;
又因为�2 −�+ ��= 2,所以�−�+ �2 + �= 2,所以��+ �2 + �= 2,即�2 + �= 2 −��,
所以�4 + �= �2 + 2 + �
= 2 −�2 + �= 2 −2 −��
= ��,所以�= 4,故B 正确;
在��+ �2 −�= 2 中,令�= 1,得�1 = 1,所以�2023 = �3 = �−1 = �1 = 1,故C 错误;
因为�2 = 3,所以�0 = �2 + 4 = 7,所以�4 = 7,所以�2 = 2 −�0 =−5,�3 = �−1 = �1 =
1,
故
�=1
22 �(�)
σ
= [�(1) + �(2) + �(3) + �(4)] × 5 + �(1) + �(2) = (1 −5 + 1 + 7) × 5 + 1 −5 = 16,故D 正
确.
故选:C.
4.(2026·上海杨浦·一模)函数�= ��的定义域、值域均为�,定义集合��= ��= ��−��, �≥�.
给出如下两个结论:①存在函数�= ��,使得对任意实数�均有��= 0, + ∞;②对任意函数�= ��,
都存在实数�,使得对任意实数�均有��⊆��.下面判断正确的是(
)
A.①正确,②正确
B.①正确,②错误
C.①错误,②正确
D.①错误,②错误
【答案】B
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【解题思路】对于①,根据定义找到满足条件的一个函数进行说明即可;对于②,假设�(�) =
0, �= 0
1
�, �≠0 ,分
�> 0, �= 0, �< 0 讨论即可说明②不成立.
【解答过程】假设�(�) = �,�(�)在�上单调递增函数,
对于任意实数�,�= ��−��= �−�, �≥�,
∵�≥�,∴��≥��,∴�≥0,∴��= 0, + ∞,故①正确;
设�(�) =
0, �= 0
1
�, �≠0 ,当�= 0 时,�= ��, �≥0,��= ��≥0 ,
此时取�= 2,则��= ��= ��−
1
2 , �≥2
= �−
1
2 < �≤0 ,不满足��⊆��;
当�> 0 时,��= �−��< �≤0 ,取�> �,则��= �−��< �≤0 ,
因为�> �> 0,所以��< ��,所以−��>−��,
此时��⊇��,不满足��⊆��;
当�< 0 时,��= −∞,0 ∪−��, + ∞,
取�= 2,则��= �−
1
2 < �≤0 ,不满足��⊆��.
综上,不存在实数�,使得对任意�∈�均有��⊆��.故②错误.
故选:B.
二、解答题
5.(2026·安徽·一模)已知函数��= �e�−e−�−�+ 1 �−1 �∈�.
(1)当�= 0 时,求函数��的最大值;
(2)当�> 0 时,讨论函数��的单调性;
(3)若函数��的图象关于点0, �中心对称,求实数�的值.
【答案】(1)−2
(2)当�∈(0,1)时,�(�)在( −∞, 0), ( −ln�, + ∞)上单调递增,在(0, −ln�)上单调递减;
当�= 1 时,�(�)在�上单调递增;
当�∈(1, + ∞)时,�(�)在( −∞, −ln�), (0, + ∞)上单调递增,在( −ln�, 0)上单调递减.
(3)−1
【解题思路】(1)先化简,再求导分析单调性,进而求出最大值;
(2)先对函数求导,再根据导数确定函数的单调性;
(3)利用中心对称的性质得出关于�的等式,进而求出实数�.
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【解答过程】(1)当�= 0 时,��=−
1
e�−�−1,求导得�' �=
1
e�−1,
∵当�< 0 时,�′ �> 0,函数��单调递增;当�> 0 时,�′ �< 0,��单调递减,
∴函数��在�= 0 时取得最大值,即�(�)max = �0 =−2.
(2)∵��= �e�−e−�−�+ 1 �−1 �> 0 ,求导得�' �= �e�+
1
e�−�+ 1 =
�e2�−�+1 e�+1
e�
=
�e�−1
e�−1
e�
,
令�' �= 0,解得�= 0 或�=−ln�.
当�∈0,1 时,令�' �> 0,解得�< 0 或�>−ln�;令�′ �< 0,解得0 < �<−ln�,
∴��在−∞, 0 , −ln�, + ∞上单调递增,在0, −ln�上单调递减;
当�= 1 时,�' �≥0,��在�上单调递增;
当�∈1, + ∞时,令�′ �> 0,解得�<−ln�或�> 0;令�′ �< 0,解得−ln�< �< 0,
∴��在−∞, −ln�, 0, + ∞上单调递增,在−ln�, 0 上单调递减,
∴当�∈0,1 时,��在−∞, 0 , −ln�, + ∞上单调递增,在0, −ln�上单调递减;
当�= 1 时,��在�上单调递增;
当�∈1, + ∞时,��在−∞, −ln�, 0, + ∞上单调递增,在−ln�, 0 上单调递减.
(3)∵函数��的图像关于点0, �中心对称,
∴函数�= ��−�的定义域为�,且关于点0,0 中心对称,
∴�0 −�= 0,即�= �−2①,
∴�= ��−�为奇函数,
∴�−�−�+ ��−�= 0,
∴
�
e�−e�+ �+ 1 �−1 −�+ �e�−
1
e�−�+ 1 �−1 −�= 0,整理得
�−1
e�+ �−1 e�−2 −2�= 0②.
①代入②得
�−1
e�+ �−1 e�−2 �−1 = 0,即�−1
1
e�+ e�−2 = 0,
∵
1
e�+ e�−2 ≥2 −2 = 0,当且仅当�= 0 时,等号成立,即
1
e�+ e�−2 不恒为0,
∴�−1 = 0,即�= 1,
∴�= 1 −2 =−1.
6.(2026·上海黄浦·三模)对于定义域为R 的函数�= ��与实数�0,定义集合��0 = {�|[��0 + �−
��0
⋅��0 −�−��0 ]<�2,�>0}
(1)若��= �2,求�1 ;
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(2)若��= ��3 −�,�> 0,且对任意实数x 均有��= 0, + ∞,求实数k 的取值范围;
(3)是否存在定义域为�的图像连续的函数�= ��,使得�0 = �1 = 0,1 ?若存在,给出一个满足要求
的函数;若不存在,请给出证明.
【答案】(1) �|0 < �<
5
(2) 0,
3
3
(3)见解析,不存在
【解题思路】(1)根据集合定义,结合��= �2,得到不等式�2 + 2�
�2 −2�<�2求解;
(2)法一:根据集合定义,结合��= ��3 −�得到9�0
4 −3�2 + 6 �0
2 + �2 −1
2 >−
1
�2恒成立求解;法
二:因为对任意实数�均有�(�) = (0, + ∞),所以等价于对任意�∈�、�> 0,不等式[�(�+ �) −�(�)] ⋅[�(�−
�) −�(�)] < �2恒成立,所以将��+ �,��,��−�代入不等式,化简得到关于�和�的式子,将式子
转化为关于�的二次型恒成立问题,利用二次函数恒成立的条件求解�的范围;
(3)考虑构造满足条件的函数,通过反证法证明不存在.
【解答过程】(1)由题意得�1 + �−�1
�1 −�−�1
< �2,
即1 + �2 −1
1 −�2 −1 < �2,
即�2 + 2�
�2 −2�<�2,化简得�4 −5�2 < 0,
因为�>0,所以0 < �<
5,所以�(1) = 0,
5 ;
(2)法一:由题意得��0 + �−��0
· ��0 −�−��0
< �2,
即�2 3��0
2 + 3�2�0 + �3 −�
−3��0
2 + 3�2�0 −�3 + �<�2,
即9�0
4 −3�2 + 6 �0
2 + �2 −1
2 >−
1
�2,
当�0
2 =
�2+2
6 时,9�0
4 −3�2 + 6 �0
2 + �2 −1
2
min =
3
4 �4 −3�2,
而
3
4 �4 −3�2 =
3
4 �2 −2
2 −3 ≥−3,
所以−3 >−
1
�2,解得−
3
3 < �<
3
3 ,
因为�> 0,所以�∈0,
3
3 ;
法二:由题意得�(�+ �) −�(�) = �3��2 + 3�2�+ �3 −�,
�(�−�) −�(�) = �−3��2 + 3�2�−�3 + �,
[�(�+ �) −�(�)][�(�−�) −�(�)] = �2 ⋅(3�2�)2 −(3��2 + �3 −�)2
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= �2 ⋅−9�2�4 + 3�2 �2 + 2 �2 −�2 �2 −1
2
< �2,
即�2 ⋅−9�4 + 3(�2 + 2)�2 −(�2 −1)2 < 1,
整理为关于�= �2 ≥0 的二次函数恒成立问题9�2�2 −3�2(�2 + 2)�+ �2(�2 −1)2 + 1 > 0, ∀�≥0,
该二次函数开口向上(9�2 > 0),对称轴�=
�2+2
6
> 0,
要对所有�≥0 恒正,需判别式Δ < 0:
可得Δ = −3�2(�2 + 2)
2 −4 ⋅9�2 ⋅�2(�2 −1)2 + 1 < 0,
化简得−3�2�4 + 12�2�2 −4 < 0 ⇒3�2�4 −12�2�2 + 4 > 0, ∀�> 0,
令�= �2 > 0,式子变为3�2�2 −12�2�+ 4 > 0,
该二次函数开口向上,对称轴�= 2 > 0,
最小值在�= 2 处3�2 ⋅4 −12�2 ⋅2 + 4 > 0 ⇒−12�2 + 4 > 0,
结合�> 0,解得0 < �<
3
3 ;
(3)当�≥1 时,[�(�) −�(0)][�( −�) −�(0)] ≥�2 > 0,
故��−�0 与�−�−�0 同号,
取�= 1 得[�(1) −�(0)][�( −1) −�(0)] ≥1 > 0,
不妨设�1 > �0 ,则�−1 > �0 ,
由连续性与零点定理可证,对任意�≥1,�( −�) > �(0),�(�) > �(0),
当�≥1 时,[�(1 + �) −�(1)][�(1 −�) −�(1)] ≥�2 > 0,
取�= 1 得[�(2) −�(1)][�(0) −�(1)] ≥1 > 0,
因�0 −�1 < 0,故�2 −�1 < 0,
同理可证:对任意�≤0,�(�) < �(1),即对任意�≥1,�( −�) < �(1),
记�= �1 −�0 > 0,则对任意�≥1,0 < �( −�) −�(0) < �,
结合[�(�) −�(0)][�( −�) −�(0)] ≥�2,
得�(�) −�(0) >
�2
�⇒�(�) > �(1) −�+
�2
�①,
对任意�≥2,令�= �−1 ≥1,
代入�1 的不等式得[�(�) −�(1)][�(2 −�) −�(1)] ≥(�−1)2,
因2 −�≤0,故0 < �1 −�2 −�< �,
结合��−�1 < 0,得�(�) < �(1) −
(�−1)2
�
②,
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结合①②,对任意�≥2 有�(1) −�+
�2
�< �(1) −
(�−1)2
�
,
化简得2�2 −2�+ (1 −�2) < 0,但左边是开口向上的二次函数,
当�→+ ∞时趋向+∞,不可能恒成立,矛盾.
因此不存在满足条件的函数.
7.(2026·上海·模拟预测)设函数��的定义域为R,若对任意实数�,恒有���
+ ��= 2�成立,则
称函数具有“性质Ω”.
(1)若一次函数��= ��+ �具有性质Ω,其中�> 0,求实数�,�的值;
(2)若函数��具有性质Ω,且��在R 上严格增,证明:��= �;
(3)若具有性质Ω的函数��满足:存在常数�> 0,使得对任意�∈R,都有��−�≤�.证明:具有该
性质的函数��是唯一的,并写出其解析式.
【答案】(1)�= 1,�= 0;
(2)证明见解析;
(3)证明见解析
【解题思路】(1)由函数新定义列出方程,利用对应系数相等即可求出�, �;
(2)由反证法结合严格增函数的性质推导,分��> �与��< �两种情况讨论;
(3)利用函数的递推,求证与��
≤�矛盾,即可求解.
【解答过程】(1)因一次函数��= ��+ �具有性质Ω,
则���
+ ��= ���+ �+ �+ ��+ �= �2 + ��+ ��+ 2�= 2�,
则可得:�2 + �= 2
��+ 2�= 0 ,解得�= 1 或�=−2,
因为�> 0,所以�= 1,�= 0.
(2)假设存在实数�,使得��≠�,分两种情况讨论:
若��> �,结合函数严格增,可得���
> ��,
再由���
= 2�−��,代入得2�−��> ��,整理可得��< �,与��> �矛盾;
若��< �,因为��严格增,可得���
< ��,
结合���
= 2�−��,代入得2�−��< ��,整理可得��> �,与��< �矛盾,
综上可知,假设不成立,即对任意的�∈R,都有��= �,得证.
(3)已知��−�≤�对所有�∈R 成立,令��= ��−�,即��
≤�,��= �+ ��,
则���
= ��+ ��
= �+ ��+ ��+ ��,
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代入���
+ ��= 2�,可得�+ ��+ ��+ ��
+ �+ ��= 2�,
化简得:��+ ��
=−2��,
对任意�0 ∈R,构造数列{��}满足��+1 = ��+ �(��).
由��+ ��
=−2��可知,�(��+1) = �[��+ �(��)] =−2�(��),
则数列{�(��)}为等比数列,则���=−2�(��−1) = ( −2)2�(��−2) = ⋯= −2 ���0 ,
所以���
=
−2 ���0
= 2���0 ,若��0 ≠0,
则当�→+ ∞时,2���0
→+ ∞,与��
≤�矛盾,因此必须有��0 = 0,
即对任意的�∈R,��= 0,故��= �,其函数唯一.
8.(2026·上海·三模)设�, �∈R,对于定义域为D 的函数�= ��与�= ��,ℎ�= ���+ ���,若
函数�= ℎ�是区间D 上的单调函数,则称�= ��与�= ��在区间D 上满足“性质��, �”.
(1)设�= 2, + ∞,��= �2,��= �,若�= ��与�= ��在区间D 上满足“性质�1, �”,求t 的取
值范围;
(2)设�> 0,�= 0,1 ,��= �,��=−
3
2�.若�= ��与�= ��在区间D 上满足“性质��, �”,求
�
�
的取值范围;
(3)设�= R,若对任意s、t,函数�= ��与�= ��在R 上都满足“性质��, �”.求证:存在不全为零的
实数A、B,使得函数�= ���+ ���为常值函数.
【答案】(1)�≥−4;
(2) −∞, −
2
3 ∪0, + ∞;
(3)证明见解析
【解题思路】(1)先求出ℎ�,根据单调可得对称轴的位置关系,故可求参数的取值范围;
(2)依据单调性定义可得2�+
3�
�1�2 ≥0 在0,1 上恒成立,其中�1, �2 ∈0,1 , �1 < �2,据此可求
�
�的取值范围;
(3)利用性质��, �对任意s、t 成立,先取1,0 和0,1 知��与��均单调,假设不存在不全为零的实数
A、B 使得函数�= ���+ ���为常值函数,则存在两点使��与��的增量比值不同,从而可构造s、t
使ℎ(�)在两点处单调性相反,产生矛盾,即可得证.
【解答过程】(1)因为��= �2,��= �在区间D 上满足“性质�1, �”,
故ℎ�= �2 + ��在�= 2, + ∞上为单调函数,
因为ℎ�为开口向上的抛物线,对称轴为�=−
�
2,故−
�
2 ≤2,即�≥−4.
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(2)由题设有ℎ�= ��−
3�
2�在0,1 上为单调函数,
设任意�1, �2 ∈0,1 ,�1 < �2,
则ℎ�1 −ℎ�2 = ��1 −�2 −
3�
2
1
�1 −
1
�2 = �1 −�2
2��1�2+3�
2�1�2 ,
因为�1, �2 ∈0,1 ,�1 < �2,故�1 −�2 < 0,�1�2 ∈0,1 ,
而ℎ�为0,1 上的单调函数,
故2��1�2 + 3�≥0 在0,1 上恒成立或2��1�2 + 3�≤0 在0,1 上恒成立,
而0 < �1�2 < 1,�> 0,故3�≥0 或2�+ 3�≤0,故
�
�≥0 或
�
�≤−
2
3.
(3)若函数�= ��为常值函数,取�, �= 1,0 ;
同理,若函数�= ��是常值函数,取�, �= 0,1 ;
因此,以下考虑函数�= ��与�= ��都不为常值函数的情况.
分别取�, �= 1,0 和0,1 ,可以得到函数�= ��与�= ��,
不妨设函数�= ��与�= ��都是增函数(否则,若函数�= ��为减函数,将−��替换为��).由于
函数�= ��与�= ��都不为常值函数,
因此存在�1 < �2,使得��2 > ��1 且��2 > ��1 ,
令��2 −��1 = ���2 −��1
,其中�> 0.
首先证明:对任意�3 > �1都有��3 −��1 = ���3 −��1
.
反证法:假设存在�3 > �1使得��3 −��1 = ���3 −��1
,其中�≠�且�≠0,
不妨设�> �,取�=−
�+�
2 ,�= 1,对于函数ℎ�= ���+ ���= ��−
�+�
2 ��,
则ℎ�2 −ℎ�1 = ��2 −��1 −
�+�
2
��2 −��1
< ��2 −��1 −���2 −��1
= 0,
ℎ�3 −ℎ�1 = ��3 −��1 −
�+�
2
��3 −��1
> ��3 −��1 −���3 −��1
= 0,
因此ℎ�2 < ℎ�1 ,ℎ�3 > ℎ�1 ,与�= ℎ�是单调函数矛盾.
同理可以证明对任意�3 ≤�1都有��3 −��1 = ���3 −��1
,
因此,对任意�∈R,��−��1 = ���−��1
,
所以ℎ�=−���+ ��= ��1 −���1 = �为常值函数,
取�, �= −�, 1 ,则A、B 不全为零,且�= ���+ ���为常值函数.得证.
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一、单选题
1.(2026·北京·高考真题)下列函数��是奇函数且在定义域上单调递增的是(
)
A.��=
1
�2+1
B.��= sin�
C.��= 2−�−2�
D.��= ln
5+�
5−�
【答案】D
【解题思路】根据题意,逐项判断即可.
【解答过程】A,在��=
1
�2+1中,�∈R,则�−�=
1
−�2+1 =
1
�2+1 = ��,函数为偶函数,故错误;
B,在��= sin�中,�∈R,函数为奇函数,但在定义域上不单调递增,故错误;
方法一:
C,在��= 2−�−2�中,�∈R,则�−�= 2�−2−�=−��,
�′ �=−2−�ln2 −2�ln2 < 0,函数单调递减,故错误;
D,在��= ln
5+�
5−�中,
5+�
5−�> 0,解得−5 < �< 5,
��= ln 5 + �−ln 5 −�,则�−�= ln 5 −�−ln 5 + �=−��为奇函数,
�′ �=
1
5+�+
1
5−�=
5−�+ 5+�
25−�2
=
10
25−�2 > 0,即函数在定义域上单调递增,故正确.
法二:
C,在��= 2−�−2�中,�∈R,则�−�= 2�−2−�=−��,为奇函数,
∵�= 2−�和�=−2�是减函数,
∴函数��= 2−�−2�单调递减,故错误;
D,在��= ln
5+�
5−�中,
5+�
5−�> 0,解得−5 < �< 5,
��= ln 5 + �−ln 5 −�,�−�= ln 5 −�−ln 5 + �=−��为奇函数,
∵�= ln 5 + �和�=−ln 5 −�是增函数,则��为增函数,
∴函数��= ln
5+�
5−�单调递增,故正确.
故选D.
2.(2026·全国二卷·高考真题)已知��是定义域为R 的偶函数,��+ ��−2 = 0,且当�∈
3
2 , 3 时,
��= �2 + ��+ �,则(
)
A.�=−2,�=−3
B.�=−2,�= 3
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C.�=−4,�=−3
D.�=−4,�= 3
【答案】D
【解题思路】根据�(�) + �(�−2) = 0 推出周期性�= 4,分析可得�(1.5) = �(2.5),得到�,再由�( −1) = 0
可得�.
【解答过程】�(�) + �(�−2) = 0,则�(�+ 2) + �(�) = 0,
�(�+ 4) =−�(�+ 2) = �(�),即�(�)的周期为4,
结合奇偶性,周期性,故�(1.5) = �( −2.5) = �(2.5),
在[1.5,3]上满足�(1.5) = �(2.5),说明�(�) = �2 + ��+ �的对称轴为�= 2,
则−
�
2 = 2,解得�=−4,
又根据�(�) + �(�−2) = 0 知�(1) + �( −1) = 0,而�(1) = �( −1),
则�( −1) = 0,于是�(3) = �( −1) = 0,
即�(3) = 9 + 3�+ �= 9 −12 + �= 0,解得�= 3,
故选D.
3.(2026·上海·高考真题)对于函数�= ��,�∈�,设��=
�, �|�≥��, �∈�.对于点集�,若存在
�0, �0 ∈�,使得任取�, �∈�,总有�≥�0,则称�0, �0 为“最低点”.对于函数�= ��和�= ��,以
下说法中正确的是(
)
A.若�= ��和�= ��都有最小值,则��∩��有最低点;
B.若��∩��有最低点,则�= ��和�= ��都有最小值;
C.若�= ��或�= ��有最小值,则��∪��有最低点;
D.若��∪��有最低点,则�= ��或�= ��有最小值.
【答案】D
【解题思路】可以举反例证明选项A、B、C 的命题均为假命题,对D,根据“最低点”的定义分析得�0, �0 ∈��
或�0, �0 ∈��,再分类讨论即可.
【解答过程】对于A 项,取��= �,�∈[0,1],取��= �,�∈[2,3],
则��min = 0,��min = 2;而��∩��= ∅无最低点,故A 错误;
对于B 项,取��= �,�∈(0,3],取��= �,�∈[2,3],
则��无最小值,��min = 2;而��∩��= ��有最低点2,2 ,故B 错误;
对于C 项,取��=−�2,�∈�,取��= �2,�∈�,
则��无最小值,��min = 0;
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因为��=−�2的函数值可趋向于负无穷大,所以��=
�, �|�≥−�2, �∈�无最低点,则��∪��亦无最
低点,故C 错误;
对于D 项,因为��∪��有最低点,不妨设�0, �0 为��∪��的最低点,�= ��且�∈�1,�= ��且�∈�2,
所以�0, �0 ∈��或�0, �0 ∈��,
若�0, �0 ∈��,则�0 = ��0 且对任意的�∈�1,总有�= �(�) ≥�0,即�(�)min = �0;
若�0, �0 ∈��,同理可知�(�)min = �0;
所以若��∪��有最低点,则�= ��或�= ��有最小值,故D 正确.
故选:D.
4.(2025·天津·高考真题)已知函数�= ��的图象如下,则��的解析式可能为(
)
A.�(�) =
�
1−|�|
B.�(�) =
�
|�|−1
C.�(�) =
|�|
1−�2
D.�(�) =
|�|
�2−1
【答案】D
【解题思路】先由函数奇偶性排除AB,再由�∈0,1 时函数值正负情况可得解.
【解答过程】由图可知函数为偶函数,而函数��=
�
1−�和函数��=
�
�−1为奇函数,故排除选项AB;
又当�∈0,1 时1 −�2 > 0, �2 −1 < 0,此时��=
�
1−�2 > 0, ��=
�
�2−1 < 0,
由图可知当�∈0,1 时,��< 0,故C 不符合,D 符合.
故选:D.
5.(2025·全国一卷·高考真题)已知�(�)是定义在�上且周期为2 的偶函数,当2 ≤�≤3 时,�(�) = 5 −2�,
则�−
3
4 =(
)
A.−
1
2
B.−
1
4
C.
1
4
D.
1
2
【答案】A
【解题思路】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为[2,3]的范围中求解.
【解答过程】由题知�(�) = �( −�), �(�+ 2) = �(�)对一切�∈�成立,
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于是�( −
3
4 ) = �(
3
4 ) = �(
11
4 ) = 5 −2 ×
11
4 =−
1
2.
故选:A.
6.(2024·天津·高考真题)下列函数是偶函数的为(
)
A.�=
e�−�2
e�+�2
B.�=
cos�−�2
�2+1
C.�=
e�−�
e�+�
D.�=
sin�−�
�2+1
【答案】B
【解题思路】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【解答过程】对A,设��=
e�−�2
e�+�2,函数定义域为R,但�−1 =
e−1−1
e−1+1 =
1−e
e+1,�1 =
e−1
e+1,则�−1 ≠�1 ,
故A 错误;
对B,设��=
cos�−�2
�2+1 ,函数定义域为R,
且�−�=
cos −�−−�2
−�2+1
=
cos�−�2
�2+1 = ��,则��为偶函数,故B 正确;
对C,设ℎ�=
e�−�
e�+�,ℎ−1 =
e−1+1
e−1−1 =
1+e
1−e , ℎ1 =
e−1
e+1,
ℎ−1 ≠ℎ1 ,则ℎ�不是偶函数,故C 错误;
对D,设��=
sin�−�
�2+1 ,函数定义域为R,
因为�−�=
sin −�−−�
−�2+1
=
−sin�+�
�2+1
=−��,且��不恒为0,
则��不是偶函数,故D 错误.
故选:B.
二、填空题
7.(2026·上海·高考真题)已知函数��是偶函数,当�≥0 时,��=
�−�,若�−4 = 3,则
�=__________.
【答案】−1
【解题思路】根据偶函数的性质求解.
【解答过程】因为函数��是偶函数,当�≥0 时,��=
�−�,
所以�−4 = �4 =
4 −�= 3,解得�=−1.
故答案为:−1.
8.(2024·上海·高考真题)若函数�(�) = �3 + �(�∈R)是奇函数,则实数�=__________.
【答案】0
【解题思路】根据奇函数的定义求解.
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【解答过程】�(�)是奇函数,则�( −�) =−�(�)恒成立,
所以−�3 + �=−(�3 + �),解得�= 0
故答案为:0.
三、解答题
9.(2026·全国一卷·高考真题)已知函数��的定义域为�,且当�< 0 时,��= 2�.对任意�0 ∈�,定
义集合��0 = �∈R ��0 + �> ��0
.
(1)若当�≥0 时,��= 1 −�,求�−1 ;
(2)若��是奇函数,��1 ≤��2 ,且�1�2 ≠0,证明:��2 ⊆��1 ;
(3)设��满足:①若��1 ≤��2 ,则��2 ⊆��1 ;②当0 < �< 1 时,��< �0 .
(i)证明:�(0) ≥1;
(ii)证明:�(�)在区间0, + ∞单调递增.
【答案】(1)�−1 = 0,
3
2 ;
(2)证明见解析;
(3)(i)证明见解析;
(ii)证明见解析
【解题思路】(1)求出�−1 ,写出��表达式,即可求出�−1 ;
(2)求出��表达式,化简集合��0 并得出表达式,利用�1�2 ≠0 得出��1 ≠0 与��2 ≠0,对��1 ≤
��2 的三种情况进行分类讨论,即可证明结论;
(3)
(i)法一:假设�0 < 1,则存在�∈−1,0 ,使得��≥�0 ,取�0 =−
�
2,求出�0 ∈��,与�0 =−
�
2 ∈0,
1
2
矛盾,进而证明结论;
法二:假设�0 < 1,则存在�∈0,2 ,使得�−�= 2−�≥�0 ,取�1 =
�
2 ∈0,1 ,求出�1 ∈��,与�1 =
�
2 ∈
0,1 时�
�
2 < �0 矛盾,进而证明结论;
(ii)将证明转化为证∀�0 > 0,�> 0,都有��0 + �> ��0 ,先证明:当�> 0 时,��≤0,再证明对
∀�0 > 0,�> 0,都有�∈��0 ,进而证明出��在0, + ∞上单调递增.
【解答过程】(1)由题意,
在��中,��=
2�, �< 0
1 −�, �≥0 ,�−1 =
1
2,
在��0 = �∈R ��0 + �> ��0
中,
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�−1 = �∈R �−1 + �> �−1
= �∈R �−1 + �>
1
2 ,
∴�−1 + �>
1
2,
当−1 + �< 0 时,2−1+�>
1
2 = 2−1,−1 + �>−1,解得�> 0,
当−1 + �≥0 时,1 −−1 + �>
1
2,解得�<
3
2,
∴0 < �<
3
2,
∴�−1 = 0,
3
2 .
(2)由题意证明如下:
在��中,��是奇函数,当�< 0 时,��= 2�∈0,1 .
∴�0 = 0,当�> 0 时,��=−�−�=−2−�∈−1,0 ,
∴��=
2�, �< 0
0, �= 0
−2−�, �> 0
在集合��0 = �∈R ��0 + �> ��0
中,
当�0 < 0 时,��0 = �∈R ��0 + �> ��0
= 0, −�0 ,
当�0 = 0 时,��0 = �∈R ��0 + �> ��0
= −∞, −�0 ,
当�0 > 0 时,��0 = �∈R ��0 + �> ��0
= −∞, −�0 ∪0, + ∞,
∴��=
0, −�, �< 0
−∞, 0 , �= 0
−∞, −�∪0, + ∞, �> 0
,
∵�1�2 ≠0,
∴�1 ≠0 且�2 ≠0,即��1 ≠0,��2 ≠0,
∵��1 ≤��2 ,
∴①当��1 ≤��2 < 0 时,解得0 < �1 ≤�2,
��1 = −∞, −�1 ∪0, + ∞,��2 = −∞, −�2 ∪0, + ∞,
此时��2 ⊆��1 ,
②当��1 < 0 < ��2 时,解得�2 < 0 < �1,
��1 = −∞, −�1 ∪0, + ∞,��2 = 0, −�2 ,
此时��2 ⊆��1 ,
③当0 < ��1 ≤��2 时,解得�1 ≤�2 < 0,
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��1 = 0, −�1 ,��2 = 0, −�2 ,
此时��2 ⊆��1 ,
综上,��2 ⊆��1 .
(3)(i)由题意证明如下,
法一:
若�0 < 1,则存在�∈−1,0 ,使得��≥�0 ,
条件①:若��1 ≤��2 ,则��2 ⊆��1 ,
∴�0 ≤��,则��⊆�0 ,
取�0 =−
�
2,则��+ �0 = �
�
2 > ��,此时�0 ∈��,
∵�0 =−
�
2 ∈0,
1
2 ,则��0 < �0 ,即�0 ∉�0 ,
但�0 ∈��⊆�0 ⇒�0 ∈�0 ,相矛盾,
∴�(0) ≥1
法二:
假设�0 < 1,则存在�∈0,2 ,使得�−�= 2−�≥�0 ,
从而�1 =
�
2 ∈0, �⊆�−�⊆�0 ,这导致�
�
2 > �0 ,
但
�
2 ∈0,1 ,
∵根据条件又有�
�
2 < �0 ,矛盾,
∴假设不成立,�0 ≥1.
(ii)由题意,(2)及(3)(i)证明如下,
在集合��0 = �∈R ��0 + �> ��0
中,
要证��在0, + ∞上单调递增,
即需证∀�0 > 0,�> 0,都有�∈��0 ,
即需证∀�0 > 0,�> 0,都有��0 + �> ��0 ,
①先证明:当�> 0 时,��≤0,
假设∃�0 > 0,使得��0 > 0,
∵当�< 0 时,��= 2�,
∴∃�1 < 0,使得��1 ≤��0 ,
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∴��0 ⊆��1 ,
而当�1 < 0 时,��1 ⊆0, + ∞,
否则∃�< 0,使得�∈��1 ,��1 + �> ��1 ,与��1 + �≤��1 矛盾,
∴��0 ⊆0, + ∞,
∴−�0 ∉��0 ,
∴�0 = ��0 + −�0
≤��0 ,
由(3)(i)得,�0 ≥1,
则��0 ≥1,
由条件②:当0 < �< 1 时,��< �0 ,
则�0 ≥1,
否则�0 < 1 时,��0 < �0 与�0 ≤��0 矛盾,
∴若∃�0 > 0,使得��0 > 0,则�0 ≥1,��0 ≥1,(*)
∴∃�2 < �3 < 0,使得��2 < ��3 < ��0 ,
则��2 ⊇��3 ⊇��0 ,
令�= �0 −�3 > 1,��3 + �= ��0 > ��3 ,
此时�∈��3 ,则�∈��2 ,则��2 + �> ��2 > 0,
∴��0 −�3 −�2
> 0,
∵�3 −�2 ∈0, + ∞,
∴易取�3,�2满足�0 −�3 −�2 ∈0,1 ,∃�∈0,1 使得��> 0,
根据(*)可得,此时�≥1,与�∈0,1 矛盾,
∴当�> 0 时,��≤0,
②证明:对∀�0 > 0,�> 0,都有�∈��0 ,
∵∀�0 > 0,�4 < 0,都有��0 < 0 < ��4 ,
∴��0 ⊇��4 ,
对任意给定的�> 0,取�4 <−�,则��4 + �> ��4
⇒�∈��4 ⊆��0 ,
∴对∀�0 > 0,�> 0,都有�∈��0 ,
∴��在0, + ∞上单调递增.
10.(2026·上海·高考真题)已知�, �, �是1,2,3 的一个排列,若函数�1 �,�2 �,�3 �,对任意�∈�,
都有�1 �≤���且�1 �+ �2 �≤���+ ���,则称�, �, �是关于�1 �,�2 �,�3 �的一个�排列,则
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关于�1 �,�2 �,�3 �的�排列总数记为��.
(1)已知�= 3, + ∞,�1 �= �,�2 �= 0,�3 �= �2 + 1,判断3,1,2 是否为�排列;
(2)对�= 0, + ∞,�1 �= �−1,�2 �= �+ �,�3 �= �2满足条件的��= 6,求�的取值范围;
(3)对�∈0, + ∞,且对任意�∈0, + ∞,0 < ��< 1,令�= �, + ∞,�1 �= ��,�2 �=
1
2 ��+ �+
��−�
,�3 �= 1 −e−�,证明:若��严格减,则存在�> 0,使��≥4;若��严格增,则存在�∈0,1 ,
��≠2.
【答案】(1)是�排列;
(2)−1 ≤�≤−
1
4;
(3)证明见解析
【解题思路】(1)根据�排列的定义判断即可;
(2)分析得1,2,3 的全排列均符合题意,则得到不等式组,解出即可;
(3)第一个结论分�1(�) ≤�3(�)和�2(�) ≤�3(�)讨论即可证明,第二个结论利用反证法即可证明.
【解答过程】(1)由题意得�= 3, �= 1,
则当�= [3, + ∞),�1(�) −�3(�) = �−�2 −1 =−�−
1
2
2
−
3
4 ≤0,
则�1(�) ≤�3(�)恒成立,
�1(�) + �2(�) −�3(�) + �1(�) = 0 + �−�2 + 1 + �=−�2 −1 ≤0,
则�1(�) + �2(�) ≤��(�) + ��(�)恒成立,
故(3,1,2)是为�排列.
(2)若��= 6,则1,2,3 的全排列均满足题意,
①(�, �, �) = (1,2,3),则有:�1(�) ≤�1(�), �1(�) + �2(�) ≤�1(�) + �2(�),此时两个不等式显然成立.
②(�, �, �) = (1,3,2),则有:�1(�) ≤�1(�), �1(�) + �2(�) ≤�1(�) + �3(�),即�2(�) ≤�3(�).
③(�, �, �) = (2,1,3),则有:�1(�) ≤�2(�), �1(�) + �2(�) ≤�2(�) + �1(�),即�1(�) ≤�2(�).
④(�, �, �) = (2,3,1),则有:�1(�) ≤�2(�), �1(�) + �2(�) ≤�2(�) + �3(�),即�1(�) ≤�2(�), �1(�) ≤�3(�).
⑤(�, �, �) = (3,1,2),则有:�1(�) ≤�3(�), �2(�) ≤�3(�).
⑥(�, �, �) = (3,2,1),则有:�1(�) ≤�3(�), �1(�) + �2(�) ≤�3(�) + �2(�),即�1(�) ≤�3(�).
则上述不等式均要成立,取它们的交集有
�1(�) ≤�2(�)
�1(�) ≤�3(�)
�1(�) + �2(�) ≤�1(�) + �3(�)
�1(�) + �2(�) ≤�2(�) + �3(�)
�> 0
,
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即�1(�) ≤�2(�) ≤�3(�),即�−1 ≤�+ �≤�2对∀�> 0 恒成立,
分离参数得
�≥−1
�≤�2 −�,因为当�> 0 时,�= �2 −�= �−
1
2
2
−
1
4 ≥−
1
4,
所以−1 ≤�≤−
1
4.
(3)首先证明第1 个结论,
观察(2)问的6 个情况,若�1(�) ≤�3(�)和�2(�) ≤�3(�)在�= [�, + ∞)上同时成立,
那么排列(1,2,3), (1,3,2),(3,1,2),(3,2,1)都将是�排列,此时��至少为4.
当�1(�) ≤�3(�)时,即�(�) ≤1 −e−�,
因为�(�)是定义在[0, + ∞)上的函数,且严格单调递减,实数�> 0, �= [�, + ∞),
则�(0) ≥��恒成立,
又因为函数�= 1 −e−�在[�, + ∞)上单调递增,
则在区间�= [�, + ∞)上,�(�)max = ��,�3 �min = 1 −e−�.
若�1(�) ≤�3(�)恒成立,则��≤1 −e−�,
则只需�(0) ≤1 −e−�,即e−�≤1 −�(0),因为对任意的�∈[0, + ∞),0 < ��< 1,
则�0 ∈0,1 ,则1 −�(0 ) ∈0,1 ,则解得�≥−ln(1 −�(0)),
当�2(�) ≤�3(�)时,即
1
2 [�(�+ �) + �(�−�)] ≤1 −e−�,
因为�(�)严格递减,所以�(�+ �) < �(0)且�(�−�) ≤�(0),
�2(�) ≤
1
2 [�(0) + �(0)] = �(0),
只要�≥−ln(1 −�(0)),就有�2(�) ≤�(0) ≤1 −e−�= �3 �min ≤�3 �,
则可取�=−ln(1 −�(0))即可满足题意.
即存在�> 0,使得��≥4.
再证明第2 个结论.
假设对于任意的�∈(0,1),都有��= 2,
因为(2)中①排列(1,2,3)始终满足条件,
则在剩下的5 种排列中,只有唯一的一个是�排列.
首先,我们证明�1 �≤�2 �不可能恒成立:
假设对于某个�> 0,在[�, + ∞)上恒有�1(�) ≤�2(�).
即�(�) ≤
1
2 [�(�+ �) + �(�−�)],
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即�(�+ �) −�(�) ≥�(�) −�(�−�),
取��= 2�+ �⋅�(�= 0,1,2, …).由于�(�)严格递增,
令Δ = �(2�) −�(�) > 0,
则���+ �−���≥���−1 + �−���−1 ≥⋯≥�(2�) −�(�) = Δ,
于是对任意正整数�:
���−��0 =
�=0
�−1 ���+ �−���
෌
≥�⋅Δ,
当�→+ ∞时,���→+ ∞,这与0 < �(�) < 1 矛盾!
因此,�1(�) ≤�2(�)不可能恒成立.则排列③排列(2,1,3)和④排列(2,3,1)永远不可能是�排列.
接下来只剩②排列(1,3,2),其需满足�2(�) ≤�3(�),
⑤排列(3,1,2),其需满足�1(�) ≤�3(�), �2(�) ≤�3(�),
⑥排列(3,2,1),其需满足�1(�) ≤�3(�),
下面证明:对于任意�∈(0,1), �1 �≤�3 �在�上恒成立"与"�2 �≤�3 �在�上恒成立"这两个命题,
必须有且只有一个为真.
(i)若对任意�> 0,都有�1 �≤�3 �,即都有�(�) ≤1 −e−�,
对于任意�∈(0,1)和�≥�,
则�2(�) =
�(�+�)+�(�−�)
2
≤
1−e−(�+�)+1−e−(�−�)
2
= 1 −e−�⋅
e�+e−�
2
≤1 −e−�⋅
e�⋅e−�= 1 −e−�,
当且仅当�= 0 时等号成立,又因为�> 0,故等号无法取到,
所以�2(�) < 1 −e−�= �3(�)恒成立,
则�2 �≤�3 �对所有的�∈(0,1)恒成立.
则此时②排列(1,3,2),⑤排列(3,1,2),⑥排列(3,2,1)均成立,
则��= 4,与假设��= 2 矛盾!
(ii)并非对于所有�> 0 都有�1 �≤�3 �,即�(�) ≤1 −e−�,
则必定存在�0 > 0,使得��0 > 1 −e−�0,
设��0 = 1 −e−�0 + 2Δ(Δ > 0),
因为�= 1 −e−�是严格单调递增的连续函数,
则对于已知的�> 0,总可以找到�1 > �0,使得1 −e−�1 −1 −e−�0 < Δ,
即1 −e−�1 < 1 −e−�0 + Δ,即1 −e−�0 > 1 −e−�1 −Δ,
同时,因为�(�)严格递增且�1 > �0,必有��1 > ��0 .
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即��1 > 1 −e−�0 + 2Δ > 1 −e−�1 −Δ + 2Δ,
即��1 > 1 −e−�1 + Δ > 1 −e−�1,即�1 �1 > �3 �1 ,
则可取充分小的�使得�< �0 < �1,即存在�1 > �,使得�1 �1 > �3 �1 ,
所以"�1 �≤�3 �恒成立"这个命题是假的.
既然�1 �≤�3 �为假,那么"�2 �≤�3 �恒成立"必须为真.
即除①排列外剩余的5 个排列中,只有②排列(1,3,2)成立,此时满足��= 2,
则对于∀�∈0, �1 ,在�≥�时都有:
�(�+�)+�(�−�)
2
≤1 −e−�,
即�(�+ �) + �(�−�) ≤2 1 −e−�,
取�= �1,则对于任意�∈0, �1 :
��1 + �+ ��1 −�≤2 1 −e−�1 ,
因为�(�)严格递增,则��1 + �> ��1 .
则��1 + ��1 −�< 2 1 −e−�1
又因为��1 > 1 −e−�1 + Δ,
则1 −e−�1 + Δ + ��1 −�< 2 1 −e−�1
即��1 −�< 1 −e−�1 −Δ,对任意�∈0, �1 都成立.
取�= �1 −�,因为�∈0, �1 ,则�∈0, �1 ,
则对于0, �1 内的任意�,都满足�(�) < 1 −e−�1 −Δ,
因为0 < �0 < �1,故有��0 < 1 −e−�1 −Δ,
但是,之前我们得到1 −e−�0 > 1 −e−�1 −Δ,
即1 −e−�1 < 1 −e−�0 + Δ,则1 −e−�1 −Δ < 1 −e−�0,
则有:��0 < 1 −e−�0,这与我们的假设相矛盾.
综上,原命题成立,必然存在�∈(0,1),使得��≠2.
11.(2026·上海·高考真题)设��是定义在�上的函数.定义性质�:若对任意�1, �2 ∈�,当�1 < �2 时,
��1 < ��2 ,则称函数��具有“性质�”.
(1)判断函数��= e�是否具有“性质�”;
(2)若分段函数��=
��, �≤0
�+ �, �> 0 具有“性质�”,求所有满足条件的实数�和�的解;
(3)已知��的值域为0,1 ,且在0, + ∞上是严格增函数,证明:��是偶函数的充要条件是:��具有“性
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质�”.
【答案】(1)没有,理由见解析
(2)�=−1, �= 0
(3)证明见解析
【解题思路】(1)运用特例法,结合指数函数的单调性进行判断即可;
(2)根据一次函数的单调性,结合“性质�”的特性进行求解即可;
(3)根据充要条件的定义,结合偶函数的性质、“性质�”的特性进行运算证明即可.
【解答过程】(1)函数��= e�不具有“性质�”,理由如下:
例如当�1 =−2, �2 =−3 时,显然�1 < �2 成立,
e�1 = e−2, e�2 = e−3,根据指数函数的单调性可知e−2 > e−3,
所以有��1 > ��2 ,这与“性质�”矛盾,故函数��= e�不具有“性质�”;
(2)因为函数��具有“性质�”,所以取�1 = 0,有�1 = 0 < �2 ,
于是有��1 < ��2 ,
当�2 ∈0, + ∞时,由��1 < ��2 ⇒0 < �2 + �⇒�≥0,
当�2 ∈−∞, 0 时,由��1 < ��2 ⇒0 < ��2 ⇒�< 0,
若�> 0,若�2 ∈
�
�, 0 ,则有��2 ≤�
�
�= �⋅
�
�= �,
取�1 =−
�2
2 > 0 ⇒��1 = �1 + �> �≥��2 ,
此时�1 < �2 ,但是��1 > ��2 ,不符合“性质�”,所以�> 0 不符合题意,
故�= 0,此时��= ��, �≤0
�, �> 0 ,
若�1 > 0, �2 < 0, �1 <−�2时,则
�1
�2 >−1,
由��1 < ��2 ⇒�1 < ��2 ⇒
�1
�2 > �⇒�≤−1,
若�1 < 0, �2 > 0, −�1 < �2时,则
�2
�1 <−1,
由��1 < ��2 ⇒��1 < �2 ⇒
�2
�1 < �⇒�≥−1,
因此�=−1,
综上所述:当且仅当�=−1, �= 0 时,满足条件;
(3)充分性:若��具有“性质�”,则��是偶函数.
若存在�0 > 0,��0 ≠�−�0 ,不妨设��0 > �−�0 ,
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记��0 = �, �−�0 = �,即�> �,
因为函数��的值域为0,1 ,
所以0 ≤�< �< 1,
若�< −�0 ,则有��< �−�0 = �,
若�> �0,则有��> ��0 = �,
故对任意�∈�,��≠
�+�
2
∈0,1 ,这与��的值域为0,1 矛盾,
所以��0 ≠�−�0 不成立,则有��0 = �−�0 ,因此函数��是偶函数;
必要性:若��是偶函数,则��具有“性质�”.
当�1 < �2 时,因为��在0, + ∞上是严格增函数,
所以��1
< ��2 ,
又因为函数��是偶函数,
所以由��1
< ��2
⇒��1 < ��2 ,因此��具有“性质�”.
所以��是偶函数的充要条件是:��具有“性质�”.
12.(2025·上海·高考真题)已知函数�= ��的定义域是�.对于�∈�,定义集合���= ���≥��
.
(1)��= log2�,求��16 ;
(2)对于集合�,若对任意�∈�都有−�∈�,则称�是对称集.若�是对称集,证明:“函数�= ��是偶函数”
的充要条件是“对任意�∈�,���是对称集”;
(3)若�∈�,��= e�−
1
2 ��2.求�的取值范围,使得对于任意�1 < �2 ∈�,都有���2 ⊆���1 .
【答案】(1) ��≥16
(2)证明见详解
(3) 0,e
【解题思路】(1)根据对数函数的单调性即可求解;
(2)根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性;
(3)根据定义判断出函数单调不减,得到导函数大于等于0 恒成立即可求解.
【解答过程】(1)由定义得,��16 = ���≥�16
= �log2�≥log216
= ��≥16 .
(2)证明:
必要性:因为函数�= ��是偶函数,所以对任意�∈�,��= �−�,
对任意�∈�,若�∈���,即��≥��,则�−�= ��≥��,
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所以−�∈���,所以对任意�∈�,���是对称集.
充分性:若对任意�∈�,���是对称集,
因为对任意�∈�,�∈���,所以−�∈���,即�−�≥��①,
又−�∈��−�,所以�∈��−�,即��≥�−�②.
由①②得,对任意�∈�,��= �−�,
所以函数�= ��是偶函数.
综上,“函数�= ��是偶函数”的充要条件是“对任意�∈�,���是对称集”,得证.
(3)因为对于任意�1 < �2 ∈�,都有���2 ⊆���1 ,
所以若�∈���2 ,则�∈���1 ,即若��≥��2 ,则��≥��1 ,
所以��2 ≥��1 ,所以��在R 上单调不减,
所以对任意�∈R,�′ �= e�−��≥0 恒成立.
当�= 0 时,显然成立,�∈R;
当�> 0 时,�≤
e�
�恒成立,令��=
e�
�,�′ �=
�−1 e�
�2
,
所以��在0,1 单调递减,1, + ∞单调递增,所以�≤��min = �1 = e;
当�< 0 时,�≥
e�
�恒成立,此时�′ �=
�−1 e�
�2
< 0
因为��在−∞, 0 上单调递减,当�→−∞时,��→0, ��< 0,
�< 0, �→0 时,��→−∞,
所以�≥0;
综上,�∈0,e .
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