第 小题 数列
8
第8小题 数列...................................................................1
一、主干知识归纳与回顾......................................................2
4.1 数列的概念...........................................................2
4.2 等差数列.............................................................2
4.3 等比数列.............................................................3
（一）命题角度剖析..........................................................4
（二）考情分析..............................................................4
（三）高考预测..............................................................4
二、题型分类与预测..........................................................5
命题点一：数列的概念及其运算.............................................5
1.1母题精析（三年高考真题）..........................................5
1.2解题模型..........................................................5
1.3对点训练（四年省市模考）..........................................5
命题点二：数列的性质及其应用.............................................6
1.1母题精析（三年高考真题）..........................................6
1.2解题模型..........................................................6
1.3对点训练（四年省市模考）..........................................7
三、类题狂刷（五年区模、校模）：............................................8
一、主干知识归纳与回顾
4.1 数列的概念
1.定义：我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.第一项叫首项，常用 表示.
a
2.通项公式：如果数列 的第 项 n与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那这个式子
叫做这个数列的通项公式.
3.递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个
数列的递推公式.
4.数列 的前 项和：把数列 从第1项起到第 项止的各项之和，称为数列 的前 项和.记作
，即 .
a a+bi=c+di⇔a=b,且c=d
5.通项 n与 之间的关系：
4.2 等差数列
1.等差数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用 表示.
2.等差中项：有三个数 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，此时 叫做 与 的等差中
项.可知 .
3. 等差数列的通项公式： . 引申式： ， ，
4.等差数列的前 项和公式：
m+n=p+q (m,n,p,q∈N ) a +a =a +a
5.等差数列常用性质：①若 + ，则 m n p q；
(a ,a ,a ,⋯)
k k+m k+2m
②下标为等差数列的项 ，仍组成等差数列；{λa +b} λ,b
n
③数列 （ 为常数）仍为等差数列；
④若 、 是等差数列，则 、 ( 、 是非零常数)、 ，…也成
等差数列.
{a
n
} d d>0⇔ {a
n
} d<0⇔ {a
n
}
⑤单调性： 的公差为 ，则：ⅰ） 为递增数列；ⅱ） 为递减数列；ⅲ）
d=0⇔ {a
n
}
为常数列；
a
n
⑥数列{ }为等差数列 （p,q是常数）
{a } n S S S S S S
⑦若等差数列 n 的前 项和 n，则 k、 2k k、 3k 2k …是等差数列.
4.3 等比数列
1.等比数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，常用 来表示（ ）.
2.等比中项：若三数 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项.此时 .
3.通项公式： 引申式： ， .
；
4.等比数列前 项和公式：
5.等比数列常用性质：
m+n=p+q (m,n,p,q∈N )
+
①若 ，则 ；
a ,a ,a ,⋯ qk
② k k+m k+2m 为等比数列，公比为 (下标成等差数列,则对应的项成等比数列)
③数列 （ 为不等于零的常数）仍是公比为 的等比数列；
对于正项等比数列 ，则 是公差为 的等差数列；{a }
n
④若 是等比数列，则 是等比数列，公比依次是
⑤单调性： 为递增数列； 为
递减数列； 为常数列； 为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列.
{a } n S S S S S S
⑦若等比数列 n 的前 项和 n，则 k、 2k k、 3k 2k …是等比数列.
（一）命题角度剖析
1.数列的概念及其运算★★★☆☆ 2.数列的性质及其应用★★★★☆
（二）考情分析
高考频率：100% 试题难度：中等 呈现形式：以选择题或填空题（三）高考预测
重点考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式和前n项和公式，考查错位相减法、
裂项相消法等求和方法，有时考查数列的创新问题。
二、题型分类与预测
命题点一：数列的概念及其运算
1.1母题精析（三年高考真题）
一．数列的函数特性（共1小题）
1．（2020•浙江）已知数列 满足 ，则 1 0 ．
【分析】求出数列的前3项，然后求解即可．
【解答】解：数列 满足 ，
可得 ， ， ，
所以 ．
故答案为：10．
【点评】本题考查数列求和，数列通项公式的应用，是基本知识的考查．
二．等差数列的性质（共1小题）
2．（2019•新课标Ⅰ）记 为等差数列 的前 项和．已知 ， ，则A． B． C． D．
【分析】根据题意，设等差数列 的公差为 ，则有 ，求出首项和公差，然后求出通项公
式和前 项和即可．
【解答】解：设等差数列 的公差为 ，
由 ， ，得
， ，
， ，
故选： ．
【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前 项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基
础题．
三．等差数列的通项公式（共1小题）
3．（2021•上海）已知等差数列 的首项为3，公差为2，则 2 1 ．
【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．
【解答】解：因为等差数列 的首项为3，公差为2，
则 ．
故答案为：21．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
四．等差数列的前n项和（共7小题）
4．（2023•甲卷）记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则
A．25 B．22 C．20 D．15
【分析】由已知结合等差数列的性质及通项公式先求出 ， ，然后结合等差数列的求和公式可求．【解答】解：等差数列 中， ，
所以 ，
，
故 ，
则 ， ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
5．（2021•全国）等差数列 中，若 ，则 的前15项和为
A．1 B．8 C．15 D．30
【分析】由题意，利用等差数列的性质、等差数列的前 项和公式，求得结果．
【解答】解：等差数列 中，
， ，
则 的前15项和为 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前 项和公式，属于基础题．
6．（2022•乙卷）记 为等差数列 的前 项和．若 ，则公差 2 ．
【分析】根据已知条件，可得 ，再结合等差中项的性质，即可求解．
【解答】解： ，
，
为等差数列，，
，解得 ．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查等差数列的前 项和，考查转化能力，属于基础题．
7．（2020•新课标Ⅱ）记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 2 5 ．
【分析】由已知结合等差数的性质及求和公式即可直接求解．
【解答】解：因为等差数列 中， ， ，
所以 ，
，即 ，
则 ．
故答案为：25
【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础试题．
8．（2019•新课标Ⅲ）记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 10 0 ．
【分析】由已知求得首项与公差，代入等差数列的前 项和公式求解．
【解答】解：在等差数列 中，由 ， ，得 ，
．
则 ．
故答案为：100．
【点评】本题考查等差数列的通项公式与前 项和，是基础的计算题．
9．（2019•新课标Ⅲ）记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 4 ．
【分析】根据 ，可得公差 ，然后利用等差数列的前 项和公式将 用 表示，化简即可．【解答】解：设等差数列 的公差为 ，则
由 ， 可得， ，
，
故答案为：4．
【点评】本题考查等差数列前 项和性质以及等差数列性质，考查了转化思想，属基础题．
10．（2019•江苏）已知数列 是等差数列， 是其前 项和．若 ， ，则
的值是 1 6 ．
【分析】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，
再由等差数列的前 项和求得 的值．
【解答】解：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
则 ，解得 ．
．
故答案为：16．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前 项和，是基础题．
五．等比数列的性质（共3小题）
11．（2020•新课标Ⅰ）设 是等比数列，且 ， ，则
A．12 B．24 C．30 D．32
【分析】根据等比数列的性质即可求出．
【解答】解： 是等比数列，且 ，则 ，即 ，
，
故选： ．
【点评】本题考查了等比数列的性质和通项公式，属于基础题．
12．（2023•甲卷）记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为 ．
【分析】由已知结合等比数列的求和公式即可直接求解．
【解答】解：等比数列 中， ，
则 ，
所以 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
13．（2023•乙卷）已知 为等比数列， ， ，则 ．
【分析】根据等比数列的性质即可求解．
【解答】解： 等比数列 ，
，解得 ，
而 ，可得 ，
即 ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查等比数列的性质，是基础题．六．等比数列的通项公式（共5小题）
14．（2023•天津）已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的值为
A．3 B．18 C．54 D．152
【分析】由已知递推关系先表示出 ， ，然后结合等比数列的性质可求首项 ，公比 ，进而可求 ．
【解答】解：因为 为等比数列， ，
所以 ， ，
由等比数列的性质可得， ，
即 ，
所以 或 （舍 ，
所以 ， ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，属于基础题．
15．（2022•乙卷）已知等比数列 的前3项和为168， ，则
A．14 B．12 C．6 D．3
【分析】由题意，利用等比数列的定义、性质、通项公式，求得 的值．
【解答】解：设等比数列 的公比为 ， ，由题意， ．
前3项和为 ， ，
， ，
则 ，故选： ．
【点评】本题主要考查等比数列的定义、性质、通项公式，属于基础题．
16．（2022•全国）设等比数列 的首项为1，公比为 ，前 项和为 ．令 ，若 也是等
比数列，则
A． B． C． D．
【分析】由题意可知， ， ， ，再结合等比数列的性质，即可求解．
【解答】解：由题意可知， ， ， ，
，若 也是等比数列，
，即 ，即 ，解得 或 （舍去）．
故选： ．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
17．（2020•全国）设函数 ，若 （1）， （2）， （3）成等比数列，则
A． B． C．2 D．6
【分析】根据根据等比数列的性质建立方程即可求解．
【解答】解： ，
（1） ， （2） ， （3） ，
又 （1）， （2）， （3）成等比数列，
（1） （3） （2） ，
，
解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查等比数列的性质，方程思想，属基础题．18．（2019•新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且 ，则
A．16 B．8 C．4 D．2
【分析】设等比数列 的公比为 ，根据条件可得 ，解方程即可．
【解答】解：设等比数列 的公比为 ，
则由前4项和为15，且 ，有
， ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了方程思想，属基础题．
七．等比数列的前n项和（共6小题）
19．（2023•新高考Ⅱ）记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则
A．120 B．85 C． D．
【分析】由题意知公比 ，设首项为 ，由 求出 ，再代入 求出 ，由此求得 ．
【解答】解：等比数列 中， ， ，显然公比 ，
设首项为 ，则 ①， ②，
化简②得 ，解得 或 （不合题意，舍去），
代入①得 ，
所以 ．故选： ．
【点评】本题考查了等比数列的前 项和公式计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
20．（2023•甲卷）已知正项等比数列 中， ， 为 前 项和， ，则
A．7 B．9 C．15 D．30
【分析】利用已知条件求解等比数列的公比，然后求解即可．
【解答】解：等比数列 中，设公比为 ，
， 为 前 项和， ，显然 ，
（如果 ，可得 矛盾），
可得 ，
解得 ，即 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查等比数列前 项和的求法，是中档题．
21．（2021•甲卷）记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】由等比数列的性质得 ， ， 成等比数列，从而得到关于 的方程，再求出 ．
【解答】解： 为等比数列 的前 项和， ， ，
由等比数列的性质，可知 ， ， 成等比数列，
，2， 成等比数列，
，解得 ．
故选： ．【点评】本题考查了等比数列的性质，考查方程思想和运算求解能力，是基础题．
22．（2020•新课标Ⅱ）记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据求和公式即可求出．
【解答】解：设等比数列的公比为 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
故选： ．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．
23．（2023•上海）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前 项和为 ，则 18 9 ．
【分析】直接利用等比数列的前 项和公式求解．
【解答】解： 等比数列的首项为3，公比为2，
．
故答案为：189．
【点评】本题主要考查了等比数列的前 项和公式，属于基础题．24．（2019•新课标Ⅰ）记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则 ．
【分析】根据等比数列的通项公式，建立方程求出 的值，结合等比数列的前 项和公式进行计算即可．
【解答】解：在等比数列中，由 ，得 ，
即 ， ，
则 ，
故答案为：
【点评】本题主要考查等比数列前 项和的计算，结合条件建立方程组求出 是解决本题的关键．
八．数列的求和（共1小题）
25．（2021•上海）已知 为无穷等比数列， ， 的各项和为9， ，则数列 的各项和为
．
【分析】设 的公比为 ，由无穷递缩等比数列的求和公式，解方程可得 ，进而得到 ， ，求得数
列 的首项和公比，再由无穷递缩等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】解：设 的公比为 ，
由 ， 的各项和为9，可得 ，
解得 ，
所以 ，
，
可得数列 是首项为2，公比为 的等比数列，则数列 的各项和为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和无穷递缩等比数列的求和公式，考查方程思想和运算能力，属于
基础题．
九．数列递推式（共2小题）
26．（2020•新课标Ⅰ）数列 满足 ，前16项和为540，则 7 ．
【分析】在已知数列递推式中，分别取 为奇数与偶数，可得 与 ，利
用累加法得到 为奇数时 与 的关系，求出偶数项的和，然后列式求解 ．
【解答】解：由 ，
当 为奇数时，有 ，
可得 ，
，
累加可得
；
当 为偶数时， ，
可得 ， ， ， ．
可得 ．
．，
，即 ．
故答案为：7．
【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列的前 项和，考查运算求解能力，是中档题．
27．（2019•上海）已知数列 前 项和为 ，且满足 ，则 ．
【分析】由已知数列递推式可得数列 是等比数列，且 ，再由等比数列的前 项和公式求解．
【解答】解：由 ，①
得 ，即 ，
且 ，②
① ②得： ．
数列 是等比数列，且 ．
．
故答案为： ．
【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前 项和的求法，是中档题．
一十．等差数列与等比数列的综合（共1小题）
28．（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质
量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9的数列 ，该数列的前3项成
等差数列，后7项成等比数列，且 ， ， ，则 48 ，数列 的所有项的和为
．【分析】根据数列 的后7项成等比数列， ，可得 ， ，可得公比 ，进
而得出 ，利用求和公式即可得出结论．
【解答】解： 数列 的后7项成等比数列， ，
，
，
公比 ．
，
又该数列的前3项成等差数列，
数列 的所有项的和为 ．
故答案为：48；384．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及性质、方程思想方法，考查了推理能力
与计算能力，属于中档题．
1.2解题模型
等差数列、等比数列问题的求解策略
(1)抓住基本量，如首项 、公差d或公比q。
(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为S =an²+bn(a,b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公
n
式为 (p,q≠0)的形式的数列为等比数列。(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，故常用两式相除(即比值的
方式)进行相关计算。
1.3对点训练（四年省市模考）
一．等差数列的通项公式（共1小题）
1．（2021•莆田二模）已知等差数列 满足 ，则 的值为
A． B．6 C． D．12
【分析】利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．
【解答】解： ，
，解得 ．
设等差数列 的公差为 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二．等差数列的前n项和（共7小题）
2．（2023•福建模拟）已知等差数列 的前 项和为 ， ，则
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】通过已知求出 ，再利用等差数列的前 项求和公式即可求出 ．
【解答】解：设 的公差为 ，
则 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
3．（2023•厦门模拟）等差数列 的前 项和为 ， ， ，则A．9 B． C．12 D．
【分析】根据等差数列前 项和的性质可得 ， ， 成等差数列，从而可列方程可求出结果．
【解答】解：由已知 ， ， ，即3， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查等差数列前 项和的性质，属于基础题．
4．（2023•泉州模拟）等差数列 中， ，则 的前9项和为
A． B． C．90 D．180
【分析】根据下标和性质求出 ，再根据等差数列前 项和公式及下标和性质计算即可．
【解答】解：因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
5．（2023•漳州模拟）已知等差数列 的前 项和为 ， ，则
A．66 B．72 C．132 D．144
【分析】根据题意，由等差数列的性质可得 ，代入数据计算可得答案．
【解答】解：根据题意，等差数列 中， ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．6．（2021•厦门模拟）已知等差数列 ，其前 项和为 ，若 ， ，则
A．80 B．160 C．176 D．198
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设等差数列 的公差为 ， ， ，
， ，
解得 ， ，
则 ，
故选： ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基
础题．
7．（2021•莆田模拟）跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，
加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8
千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要
A．16天 B．17天 C．18天 D．19天
【分析】利用题中的条件，易知每天跑步的里程为等差数列，求其前 项和即可解出．
【解答】解：设需要 天完成计划，由题意易知每天跑步的里程为，以8为首项，0.5为公差的等差数列，
，
，
因为 在 上单调递增，
当 时， ，
当 时， ，
故满足条件的最小 ．
故选： ．【点评】本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．
8．（2021•漳州模拟）已知 为等差数列 的前 项和，若 ，则 的值为
A．49 B．54 C．102 D．135
【 分 析 】 根 据 等 差 数 列 的 性 质 可 得 ， 结 合 易 知 ； 又 根 据
即可得出结果．
【解答】解：由 是等差数列，得 ；又 ，则 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查等差数列的性质；考查运算求解能力，属于简单题．
三．等比数列的性质（共1小题）
9．（2023•福建模拟）记正项等比数列 的前 项和为 ，则下列数列为等比数列的有
A． B． C． D．
【分析】利用等比数列的定义和性质直接求解．
【解答】解：正项等比数列 的前 项和为 ，
对于 ， ， 是等比数列，故 正确；
对于 ， ， 是等比数列，故 正确；
对于 ，当公比 不为1时， ， 不是等比数列，故 错误；对于 ，当公比 不为1时， ， 不是等比数列，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四．等比数列的通项公式（共3小题）
10．（2023•漳州模拟）已知数列 为递减的等比数列， ，且 ， ，则 的公
比为
A． B． C． D．2
【分析】由等比数列下标和性质，结合数列单调性可求得 ， ，根据等比数列通项公式可求得结果．
【解答】解： 为递减的等比数列，
，解得 （舍 或 ，
的公比 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
11．（2023•福建模拟）已知 是单调递增的等比数列， ， ，则公比 的值是 2
．
【分析】利用等比数列性质得到 ，再解方程组即可．
【解答】解：由等比数列性质知 ，
联立 ，解得 或 ，因为 是单调递增的等比数列，所以 ， ，
即 ．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．
12．（2023•泉州模拟）已知等比数列 的公比 ，则 ．
【分析】根据给定条件，求出等比数列 的首项及公比，即可求解．
【解答】解：在等比数列 中， ，
，
，即 ，
，
， ，
，解得 ，
， ，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查等差比数列的性质，属于基础题．
五．等比数列的前n项和（共2小题）
13．（2022•泉州模拟）记等比数列 的前 项和为 若 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】根据题意，等比数列 中，设其公比为 ，求出 的值，又由 ，即 ，求出 的值，由等比数列前 项和公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，等比数列 中，设其公比为 ，
若 ，即 ，即其公比 ，
又由 ，即 ，则 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和，属于基础题．
14．（2020•福建二模）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的公比为
A． 或 B． 或 C． 或2 D．3或
【分析】由等比数列的通项公式和求和公式即可求出．
【解答】解：设等比数列 的公比为 ，则 ， ，
两式相除可得 ，
即 ，
解得 或 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查等比数列的前 项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键．
六．数列的求和（共1小题）
15．（2019•厦门一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则
A．410 B．400 C．210 D．200
【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前 项和公式的应用求出结果．
【解答】解：数列 的前 项和为 ，且 ， ①，当 时，解得： ，
当 时， ②
① ②得： ，
当 为奇数时，数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
故： ，
当 为偶数时，数列 是以2为首项，2为公差的等差数列，
故： ，
所以当 为正整数时：
则： ．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前 项和公式的应用，主要考
查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
七．数列递推式（共2小题）
16．（2022•三明模拟）已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则
A． B． C． D．8
【分析】先由 求 ，判断出 是从第二项起为公比为 的等比数列，得到
，代入 即可解出 ．
【解答】解： ①，
当 时，有 ，即 ．当 时，有 ②，
① ②得： ，
，
即 ，
数列 ，是从第二项起为公比为 的等比数列．
，即 ．
， ， ．
，解得： ．
故选： ．
【点评】本题主要考查数列的递推公式，由 求 ，再构造等比数列，求通项公式．
17．（2022•漳州模拟）已知 是数列 的前 项和， ， ， ，记 ，
且 ，则
A．171 B．278 C．351 D．395
【分析】根据递推关系式求得 ，进而求解结论．
【解答】解： ，且 ，
，即 ，
， ， ，
数列 的第1，4， 项构成首项为1，公差为2的等差数列，
第2，5， 项构成首项为2，公差为2的等差数列，
第3，6， 项构成首项为3，公差为2的等差数列，．故选： ．
【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
命题点二：数列的性质及其应用
1.1母题精析（三年高考真题）
一．数列的函数特性（共1小题）
1．（2021•北京）已知 是各项为整数的递增数列，且 ，若 ，则 的最大
值为
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】数列 是递增的整数数列， 要取最大，即递增幅度尽可能为小的整数，用特殊值法代入验证，
即可求解．
【解答】解：数列 是递增的整数数列，
要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，
假设递增的幅度为1，
，
，
则 ，
当 时， ， ，
，即 可继续增大， 非最大值，
当 时， ， ，
，不满足题意，
即 为最大值．
故选： ．【点评】本题考查了数列的知识，具有一定的探索性，需要找到研究的临界问题，属于中档题．
二．等差数列的性质（共1小题）
2．（2023•新高考Ⅰ）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【分析】首先明确充要条件的判定方法，再从等差数列的定义入手，进行正反两方面的论证．
【解答】解：若 是等差数列，设数列 的首项为 ，公差为 ，
则 ，
即 ，
故 为等差数列，
即甲是乙的充分条件．
反之，若 为等差数列，则可设 ，
则 ，即 ，
当 时，有 ，
上两式相减得： ，
当 时，上式成立，所以 ，
则 （常数），
所以数列 为等差数列．
即甲是乙的必要条件．
综上所述，甲是乙的充要条件．故本题选： ．
【点评】本题主要考查利用定义进行等差数列的判断，穿插了充要条件的判定，属中档题．
三．等差数列的前n项和（共2小题）
3．（2022•上海）已知等差数列 的公差不为零， 为其前 项和，若 ，则 ，2， ，
中不同的数值有 9 8 个．
【分析】由等差数前 项和公式求出 ，从而 ，由此能求出结果．
【解答】解： 等差数列 的公差不为零， 为其前 项和， ，
，解得 ，
，
， ，1， ， 中 ，
， ，
其余各项均不相等，
， ， 中不同的数值有： ．
故答案为：98．
【点评】本题考查等差数列的前 项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
4．（2020•上海）已知数列 是公差不为零的等差数列，且 ，则 ．
【分析】根据等差数列的通项公式可由 ，得 ，在利用等差数列前 项和公式化简
即可得出结论．
【解答】解：根据题意，等差数列 满足 ，即 ，变形可得 ，所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查等差数列的前 项和与等差数列通项公式的应用，注意分析 与 的关系，属于基础题．
四．等比数列的前n项和（共1小题）
5．（2019•全国）
A． B． C． D．
【分析】可看出，数列3， ， ， ， 是首项为3，公比为 的等比数列，并且 是第 项，
从而根据等比数列的前 项和公式求该等比数列的前 项的和即可．
【解答】解：数列3， ， ， ， 是首项为3，公比为 的等比数列；
且 是第 项；
．
故选： ．
【点评】考查等比数列的定义，等比数列的前 项和公式．
五．数列的应用（共2小题）
6．（2020•新课标Ⅱ）如图，将钢琴上的 12 个键依次记为 ， ， ， ．设 ．若
且 ，则 ， ， 为原位大三和弦；若 且 ，则称 ， ， 为原位小三
和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A．5 B．8 C．10 D．15
【分析】由原位大三和弦、原位小三和弦的定义，运用列举法，即可得到所求和．
【解答】解：若 且 ，则 ， ， 为原位大三和弦，
即有 ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ，
， ，共5个；
若 且 ，则 ， ， 为原位小三和弦，
可得 ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ，
， ，共5个，
总计10个．
故选： ．
【点评】本题是数列在实际问题中的运用，运用列举法是解题的关键，属于基础题．
7．（2018•江苏）已知集合 ， ， ， ．将 的所有元素从
小到大依次排列构成一个数列 ，记 为数列 的前 项和，则使得 成立的 的最小值为
27 ．
【分析】先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条
件的项数的最小值
【解答】解：设 ，则．
由 得 ．
， ．
所以只需研究 是否有满足条件的解，
此时 ，
， 为等差数列项数，且 ．
由 得 ，
， ．
故满足条件的 最小值为27．
【点评】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和．分组转化法求和
的常见类型主要有分段型，符号型，周期型，属于难题．
六．数列的求和（共4小题）
8．（2021•浙江）已知数列 满足 ， ．记数列 的前 项和为 ，则
A． B． C． D．
【分析】由题意首先整理所给的递推关系式，得到数列的通项的范围，然后结合求和公式裂项即可确定前
100项和的范围．
【解答】解：因为 ，所以 ，所以 ，，
，故 ，
由累加法可得当 时，
，
又因为当 时， 也成立，所以 ，
所以 ，
，故 ，
由累乘法可得当 时， ，
所以 ．
另解：设 ， ， ，可得 在 递增，接下来运用待定系数法
估计 的上下界，设 ，则探索 也满足上界的条件．
．
在此条件下，有 ，
注意到 ，取 ， ，从而 ，此时可得 ．故选： ．
【点评】本题主要考查数列的递推关系式及其应用，数列求和与放缩的技巧等知识，属于难题．
9．（2020•新课标Ⅱ） 周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列 满足 ， ，
2， ，且存在正整数 ，使得 ，2， 成立，则称其为 周期序列，并称满足
的最小正整数 为这个序列的周期．对于周期为 的 序列 ，
，2， ， 是描述其性质的重要指标，下列周期为 5的 序列中，满足
，2，3， 的序列是
A． B． C． D．
【分析】分别为4个选项中 ，2，3，4进行讨论，若有一个不满足条件，就排除；由题意可得周期都
是5，每个答案中都给了一个周期的排列，若需要下个周期的排列，继续写出，如 答案中的排列为
10001 10001 10001．
【解答】解：对于 选项：序列11010 11010
（1） ，
（2） ，不满足 ，2，3， ，故排除 ；
对于 选项：序列11011 11011
（1） ，不满足条件，排除；
对于 选项：序列10001 10001 10001
（1） ，（2） ，
（3） ，
（4） ，符合条件，
对于 选项：序列11001 11001
（1） 不满足条件．
故选： ．
【点评】本题考查序列的周期性及对5个两项乘积之和的求法，属于中档题．
10．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．
规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的图形，它们的
面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，它
们的面积之和 ，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 5 ；如果对折
次，那么 ．
【分析】依题意，对折 次共有 种规格，且面积为 ，则 ， ，然
后再转化求解即可．
【解答】解：易知有 ， ，共5种规格；
由题可知，对折 次共有 种规格，且面积为 ，故 ，
则 ，记 ，则 ，，
，
．
故答案为：5； ．
【点评】本题考查数列的求和，考查数学知识在生活中的具体运用，考查运算求解能力及应用意识，属于
中档题．
11．（2021•上海）已知 为无穷等比数列， ， 的各项和为9， ，则数列 的各项和为
．
【分析】设 的公比为 ，由无穷递缩等比数列的求和公式，解方程可得 ，进而得到 ， ，求得数
列 的首项和公比，再由无穷递缩等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】解：设 的公比为 ，
由 ， 的各项和为9，可得 ，
解得 ，
所以 ，
，
可得数列 是首项为2，公比为 的等比数列，则数列 的各项和为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和无穷递缩等比数列的求和公式，考查方程思想和运算能力，属于
基础题．
七．数列递推式（共6小题）
12．（2023•北京）数列 满足 ，下列说法正确的是
A．若 ，则 是递减数列， ，使得 时，
B．若 ，则 是递增数列， ，使得 时，
C．若 ，则 是递减数列， ，使得 时，
D．若 ，则 是递增数列， ，使得 时，
【分析】法 利用数学归纳法进行分析排除即可．
法 由题意可得 ， ，可得 ，分别
将 ，5，7，9代入，可得 的解析式，进而判断所给命题的真假．
【解答】解：法 对原式进行变形，得 ，
当 ，则 ， ，
设 ，则 ，所以 是递减数列，
当 ， ， 错误，同理可证明 错误，
当 ，则 ，即 ，又因为 ，所以 ，
假设 ，则 ，即 ，又因为 ，所以 ，所以当 ， ， 正确，
对于 ，当 ，可得 ， ，可得 是递减数列， ，
故不存在 ，使得 时， 恒成立， 错误．
法 ，可得 ， ，
所以 ， ，
，
归纳猜想： ，
当 时， ，即 ，所以 是递减数列，
无边界；
时， ，即 ，由复合函数的单调性，
可得 是递增，有边界，所以 正确；
时， ，所以 是递减数列，有边界；所以 不正确；
时， ，所 以 是递增数列，无边界；所以 不正确；
故选： ．
【点评】本题主要考查使用数学归纳法对数列的增减性和敛散性进行判断，属中档题．
13．（2020•浙江）已知等差数列 的前 项和 ，公差 ，且 ．记 ， ，
，下列等式不可能成立的是
A． B． C． D．
【分析】由已知利用等差数列的通项公式判断 与 ；由 分别求得 ， ， ， ，分析， 成立时是否满足公差 ， 判断 与 ．
【解答】解：
在等差数列 中， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，根据等差数列的性质可得 正确，
．若 ，则 ，成立， 正确，
．若 ，则 ，
即 ，得 ，
， ，符合 ， 正确；
．若 ，则 ，
即 ，得 ，
， ，不符合 ， 错误；
故选： ．
【点评】本题考查数列递推式，等差数列的通项公式与前 项和，考查转化思想和计算能力，是中档题．14．（2020•新课标Ⅱ）数列 中， ， ．若 ，则
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】在已知数列递推式中，取 ，可得 ，则数列 是以2为首项，以2为公比的等比数
列，再由等比数列的前 项和公式列式求解．
【解答】解：由 ，且 ，
取 ，得 ，
，
则数列 是以2为首项，以2为公比的等比数列，
则 ，
，
，即 ．
故选： ．
【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前 项和的求法，是中档题．
15．（2019•浙江）设 ， ，数列 满足 ， ， ，则
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【分析】对于 ，令 ，得 ，取 ，得到当 时， ；对于 ，令
，得 或 ，取 ，得到当 时， ；对于 ，令 ，得，取 ，得到当 时， ；对于 ， ， ，
，当 时， ，由此推导出 ，从而
．
【解答】解：对于 ，令 ，得 ，取 ， ，
当 时， ，故 错误；对于 ，令 ，得 或 ，
取 ， ， ， ，
当 时， ，故 错误；对于 ，令 ，得 ，
取 ， ， ， ，
当 时， ，故 错误；对于 ， ， ，
，
， 递增，当 时， ，
， ， ．故 正确．故选： ．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查数列的性质等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论证能
力，是中档题．16．（2021•新高考Ⅱ）设正整数 ，其中 ， ，记
，则
A． B．
C． D．
【分析】 可判断 ；取 可判断 ；
把 和 都化成 ，可判断 ；
可判断 ．
【解答】解： ， ， 对；
当 时， ， （7） ．
， （2） ， （7） （2） ， 错；
，
．
，
． 对；
， ， 对．故选： ．
【点评】本题考查数列递推式，考查数学运算能力，属于难题．
17．（2021•上海）已知 ，2， ， 对任意的 ， 或 中
有且仅有一个成立， ， ，则 的最小值为 3 1 ．【分析】设 ，由题意可得， ， 恰有一个为1，然后分两种情况分别求解 的值，
即可得到答案．
【解答】解：设 ，由题意可得， ， 恰有一个为1，
如果 ，那么 ， ， ， ，
同样也有， ， ， ， ，
全部加起来至少是 ；
如果 ，那么 ， ， ，
同样也有， ， ， ， ，
全部加起来至少是 ，
综上所述，最小应该是31．故答案为：31．
【点评】本题考查了数列的概念的理解和应用，递推公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于
中档题．
八．数列与函数的综合（共1小题）
18．（2018•浙江）已知 ， ， ， 成等比数列，且 ，若 ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可．
【解答】解： ， ， ， 成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，
，设公比为 ，当 时，令 ， ，即 ，故 ，不成立，
即： ， ， ， ，不成立，排除 、 ．
当 时， ， ，等式不成立，所以 ；
当 时， ， ， 不成立，当 时， ， ，并且 ，能够成立，故选： ．
【点评】本题考查等比数列的性质的应用，函数的值的判断，对数函数的性质，考查发现问题解决问题的
能力，难度比较大．
九．等差数列与等比数列的综合（共1小题）
19．（2020•江苏）设 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列．已知数列 的前
项和 ，则 的值是 4 ．
【分析】由 的前 项和 ，由 是公差为 的等差数列，设首项为 ；
求出等差数列的前 项和的表达式； 是公比为 的等比数列，设首项为 ，讨论当 为1和不为1时的
前 项和的表达式，由题意可得 ，由对应项的系数相等可得 ， 的值，进而求出 的值．
【解答】解：因为 的前 项和 ，
因为 是公差为 的等差数列，设首项为 ； 是公比为 的等比数列，设首项为 ，
所以 的通项公式 ，所以其前 项和 ，
当 中，当公比 时，其前 项和 ，
所以 的前 项和 ，显然没有出现 ，所
以 ，则 的前 项和为 ，
所以 ，由两边对应项相等可得： 解得： ， ， ， ，
所以 ，故答案为：4
【点评】本题考查等差数列及等比数列的综合及由前 项和求通项的性质，属于中档题．
1.2解题模型
1.等比数列及前n项和的常见性质
(1)若 ，则
(2)若{ },{ }(项数相同)都是等差数列，k,m∈R,则数列{k +m }仍为等差数列.
(3)
(4)项数的“等和”性质：
(5)若等差数列共有(2n—1)项，则Sn-1=(2n-1)a ;若等差数列共有2n项，则S =n(a +a ).
n n n n+1
(6)与项数有关的“奇偶”性质：
①若等差数列的项数为2n,则 ;
②若等差数列的项数为2n-1,则 ,(7)已知等差数列{ },{ }的前n项和分别为 ; ;
(8)“片段和”性质：在等差数列{a }中，公差为d,前k项的和为S ,则S ,S -S ,…,S S ,…构
n k k 2k k mk (m-1)k
成公差为k²d的等差数列.
2.等比数列及前n项和的常见性质
(1) (m,n∈N*).
(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 ;
特别地：①若m+n=2r,则a a = (m,n,r∈N*):
n m
②
(3)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则a ,a ,a 成等比数列.
n m p
(4)若{a },{b }(项数相同)是等比数列，则{ a }（ ）,{ },{ },{a b }，{ }仍是等比
n n n n· n
数列.
(5)当q=1时， ；当
(6)
(7)设S 与S 分别是偶数项的和与奇数项的和;若项数为2n,则 ；若项数为2n+1,则
偶 奇
(8)当q≠-1时，连续m项的和(如 )仍构成等比数列(公比为qm,m≥2).1.3对点训练（四年省市模考）
一．等差数列的性质（共1小题）
1．（2021•漳州一模）在数列 中， 和 是关于 的一元二次方程 的两个根，下列说法
正确的是
A．实数 的取值范围是 或
B．若数列 为等差数列，则数列 的前7项和为
C．若数列 为等比数列且 ，则
D．若数列 为等比数列且 ，则 的最小值为4
【分析】由题意利用韦达定理、基本不等式、等差数列和等比数列的性质，逐一判断各个选项是否正确，
从而得出结论．
【解答】解：因为关于 的一元二次方程 有两个根，
所以△ ，解得 或 ，故选项 正确；
若数列 为等差数列，且 ，
则 ，故选项 错误；
若数列 为等比数列且 ，
由 可得 ， ， ，
所以， ， ，
当且仅当 时，等号成立，
故选项 错误，选项 正确，
故选： ．【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的性质及等差数列的前 项和公式，考查推理论证能力及运算
求解能力，考查逻辑推理、数学运算核心素养，属于中档题．
二．等差数列的前n项和（共2小题）
2．（2022•福州模拟）已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ．若 ，则
A． B． C． D．
【分析】由题意，等差数列 是首项为正数的递减数列，从而对选项进行逐项判断即可．
【解答】解：由题意，等差数列 是首项为正数的递减数列，
则 ， ，故选项 错，选项 对；
当 时，有 ，则 ，故选项 错误；
当 时， ，则 ，所以 ，故选项 正确．
故选： ．
【点评】本题考查等差数列的通项公式与前 项和，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
3．（2022•泉州模拟）设等差数列 的公差为 ，其前 项和为 ，且 ， ，则
A． B． ， ， 为等差数列
C．数列 是等比数列 D． 是 的最小值
【分析】由 得 ，即 ，又 ，得 ，然后可解决此题．
【解答】解：由 得 ，即 ，又 ，得 ， 对；
， ， 数列 是以4为公比的等比数列， 对；
， ， ，
， ， 不为等差数列， 错；由 得 ， 当 时 ，当 时 ， 是 的最小值， 对．
故选： ．
【点评】本题考查等差数列通项公式及等差中项、等比数列定义，考查数学运算能力，属于中档题．
三．等比数列的前n项和（共3小题）
4．（2022•莆田模拟）芝诺是古希腊著名的哲学家，他曾提出一个著名的悖论，史称芝诺悖论．芝诺悖论
的大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的竞赛中，他的速度为乌龟的十倍，乌龟
在他前面100米爬，他在后面追，但他不可能追上乌龟．原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出
发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已经向前爬了10米．于是一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续
追，而当他追完乌龟爬的这10米时，乌龟又向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追这1米．就这样，乌龟会制
造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地奋力
向前爬，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．”试问在阿略琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀琉斯与乌龟相距 0.001
米时，乌龟共爬行了
A．11.111米 B．11.11米 C．19.99米 D．111.1米
【分析】由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，记为 ， ， ， ，然
后结合等比数列的求和公式可求．
【解答】解：由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，记为 ， ， ， ，
所以 （米 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
5．（2022•龙岩模拟）已知等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，则下列命题正确的是
A．若 ， ，则
B．若 ，则数列 是单调递增数列
C．若 ， ， ，则数列 是公差为 的等差数列D．若 ， ，且 ，则 的最小值为4
【分析】由等比数列的性质可判断选项 、 、 ；等比数列的性质结合对数运算可判断选项 ．
【解答】解：对于 选项， ，故正确；
对于 选项，若 ， ，则数列 是单调递减数列，故错误；
对于 选项，若 ， ，
则 ，
故数列 是公差为 的等差数列，故正确；
对于 选项， ，
，
当且仅当 时，等号成立，
解得 ，
故 的最大值为4，
故错误；
故选： ．
【点评】本题考查了等比数列的性质的应用及对数运算的应用，属于中档题．
6．（2023•莆田模拟）英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航
空航天中应用广泛．若数列 满足 ，则称数列 为牛顿数列．若 ，数列
为牛顿数列，且 ， ，数列 的前 项和为 ，则满足 的最大正整数 的值为 10
．【分析】根据题意可证得 是等比数列，再结合公式运算求解．
【解答】解：因为 ，所以 ，
则 ，又 ， ，
所以 是首项为 ，公比 的等比数列，则 ，
令 ，则 ，
又因为 在定义域内单调递增，且 ， ，
所以 ，所以最大正整数 的值为10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查等比数列的前 项和，属于基础题．
四．数列的应用（共2小题）
7．（2023•厦门模拟）如图中阴影部分是一个美丽的螺旋线型图案，其画法是：取正六边形 各边
的三等分点 ， ， ， ， ， ，作第2个正六边形 ，然后再取正六边形
各边的三等分点 ， 、 、 ， ， ，作第3个正六边形 ，依此方法，如果这个作
图过程可以一直继续下去，由△ ，△ ， 构成如图阴影部分所示的螺旋线型图案，则该螺旋
线型图案的面积与正六边形 的面积的比值趋近于A． B． C． D．
【分析】分别计算出阴影部分面积和正六边形的面积，即可求解．
【解答】解：由外至内设每个六边形的边长构成数列 ，每个阴影三角形的面积构成数列
设 ，则 ， ， ．
依此类推， ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，
又 ，
所以 ， ， ．
依此类推， ，
则数列 的前 项和，
如果这个作图过程可以一直继续下去，则 ，此时 ，
正六边形的面积为 ，
故该螺旋线型图案的面积与正六边形 的面积的比值趋近于 ．
故选： ．
【点评】本题考查数列的应用，属于中档题．
8．（2023•三明三模）设等比数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，若满足 ， ，
，则下列选项正确的是
A． 为递减数列 B．
C．当 时， 最小 D．当 时， 的最小值为4047
【分析】根据题意，由等比数列的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 ，等比数列 中，若满足 ， ，即 ，必有 ，数列
为递增数列， 错误；
对于 ，由 的结论，数列 为递增数列，则 ，又由 ，则有
，
必有 ， 正确；对于 ，由 的结论， ，故当 时， 最小， 正确，
对于 ， ，则当 时， 的最小值不是4047， 错误．
故选： ．
【点评】本题考查等比数列的性质及求和公式的应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
五．数列的求和（共1小题）
9．（2020•宁德二模）已知数列 满足 ， ，则数列 的前10项和为
A． B． C． D．
【分析】由 ，从而有数列 是每项均为 1的常数列，求出 及
，最后利用裂项相消法求其前10项和．
【解答】解： ， ， 数列 是每项均为1的常数列， ．
，
，
数列 的前10项和为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查如何由数列的递推关系式求通项公式及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础
题．
六．数列递推式（共8小题）
10．（2023•龙岩模拟）已知数列 满足 ，设 ，若 为数列
中唯一的最小项，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．【分析】根据题意，由递推关系可得数列 为等差数列，从而求得其通项公式，再结合条件即可得出
答案．
【解答】解： ，
，
又 ，则 ，
数列 为等差数列，且首项为 ，公差也为3，
则 ，
，
要使 为数列 的唯一最小项，则 ，解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11．（2023•福建模拟）已知数列 满足 ， ， 恒
成立，则 的最小值为
A．3 B．2 C．1 D．
【分析】通过等差数列的定义求出 的通项公式，再利用裂项相消法求出 ，进
而确定 的最小值．
【解答】解： ， 是等差数列，又 ， ，
故对 ， ，
也符合上式，
，
故 ，即 的最小值为1．
故选： ．
【点评】本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于中档题．
12．（2022•莆田模拟）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解
开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”．在某
种玩法中，用 表示解下 个圆环所需的最少移动次数，若 ，且 ，
则解下6个环所需的最少移动次数为
A．13 B．15 C．16 D．29
【分析】直接利用数列的递推关系求出数列的各项．
【解答】解：由于 ，且 ，
所以当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础
题．
13．（2020•漳州三模）已知数列 满足 ， ， ， ，则
A． B． C．1 D．2
【分析】利用数列的递推关系式求出数列的前几项，判断数列是周期数列，然后求解即可．
【解答】解：数列 满足 ， ， ， ， ， ， ， ，
， ，
所以数列是周期数列，周期为6，
所以 ，
故选： ．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
14．（2023•漳州模拟）已知数列 ， ，且满足 ， ，则
A． B． 的最大值为1
C． D．
【分析】根据递推关系式可求得 ， ，知 错误；由 ，采用作商法可证得数列 为正项
递减数列，由此知 正确；由递推关系式可求得 ，采用累加法，结合 可推
导得 正确；结合 中，采用放缩法得 ，裂项相消可求得 正确．
【解答】解：对于 ，当 时， ，即 ，解得： ；
当 时， ，即 ，解得： ；当 时， ，即 ，解得： ； ， 错误；
对于 ，由 得： ，
又 ， ， ， ， ， 数列 为正项递减数列，
， 正确；
对于 ，由 得： ， ，
，
数列 为正项递减数列， ， （当且仅当 时取等号），
，即 ， ， 正确；
对于 ，由 知： ， ，
， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查利用数列递推关系式研究数列的有关性质、数列求和与数列放缩的知识；本题判断
选项的关键是能够对于数列的通项进行准确的放缩，从而根据不等关系，结合数列求和方法来得到结论．
15．（2022•龙岩模拟）已知数列 的前 项和为 ， ， ，则下列选项正
确的是
A．数列 的奇数项构成的数列是等差数列B．数列 的偶数项构成的数列是等比数列
C．
D．
【分析】根据 ，进行递推得到数列的规律逐项判断．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
，
，
，
，
，
可以看出：偶数项为常数列，可看作是以1为公比的等比数列，奇数项不是等差数列，
，
故选： ．
【点评】本题考查了数列的递推式以及并项求和的问题，属于中档题．16．（2022•厦门模拟）已知数列 满足 ， ，则
A． 是递增数列 B．
C． D．
【分析】由递推公式和 可判断 ，由数列递增和 可判断 ，由递推公式知 可判断 ，
对递推公式取倒裂项，然后累加、放缩可判断 ．
【解答】解：因为 ，所以 ，故 正确；
易知，所有 为正整数，又 是递增数列，所以 ，故 正确；
由递推公式得： ， ，
又 ，
所以 ， ，
易知 ，故 不正确；
取倒数得 ，
则由累加法得， ，
整理得， ，
又 ，
所以 ，故 正确；故选： ．
【点评】本题考查了数列的递推关系，累加法以及放缩法的应用，属于难题．
17．（2023•厦门模拟）数列 满足 ，若 ， ，则
．
【分析】由递推公式可得数列 的周期为4，又 ，则 ，即可得出
答案．
【解答】解： ， ，
， ， ， ，
故数列 的周期为4，
又 ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
七．数列与函数的综合（共3小题）
18．（2022•龙岩模拟）已知函数 ，记等差数列 的前 项和为 ，若 ，
，则
A． B． C．2022 D．4044
【分析】先判断函数 是奇函数，再求出 ，再利用等差数列的前 项和公式得解．
【解答】解：因为 ， 是奇函数，
因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查数列与函数的综合，考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（2023•福建模拟）已知一组 个数据： ， ， ， ，满足： ，平均值为
，中位数为 ，方差为 ，则
A．
B．
C．函数 的最小值为
D．若 ， ， ， 成等差数列，则
【分析】特例 ，2，4， 即可判断 ；由中位数定义即可判断 ；由均值与数据总和关系展开函数式，
结合二次函数性质确定最小值即可判断 ；利用等差数列前 项和公式，及平均数、中位数定义即可判断
．
【解答】解： ：当 时，一组数据1，2，4，17，则 ，不在2，4之间，故错误；
：由中位数定义知： ，正确；
，
当 时， 最小值为 ，正确；
：若 ， ， ， 成等差数列，则 ，故正确．
故选： ．【点评】本题主要考查平均数、中位数、方差的定义，等差数列的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
20．（2022•福建模拟）已知△ ，2，3， 是直角三角形， 是直角，内角 ， ， 所
对的边分别为 ， ， ，面积为 若 ， ，则
A． 是递增数列 B． 是递减数列
C． 存在最大项 D． 存在最小项
【分析】由题意推出 ，从而说明 ，利用三角形面积公式推出 ，构造数列
从而求得 ，由此可判断 ， 由 结合 可求得 、 ，对
数列 中的奇数项和偶数项构成的数列的单调性以及项的符号进行分析，确定数列 的最大项
和最小项，可判断 ．
【解答】解：由题意知： ，
故 ，即 ，即 ，
所以 ，则 ，
，
由 得： ，
即 ，所以 ，
则 ，而 ，
故 ，则 ，
所以 ，由于 随 的增大而减小，故 是随 的增大而增大，
由题意知 ，故 是递增数列，故 正确；
同理 随 的增大而增大， 是递增数列， 错误；
又 ，由于 ，且 ，
所以， 是首项为7，公比为 的等比数列，故 ，
所以，
因为 ， ，故 ，
所以， ，
所以， ，其中 ，
，其中 ，
因为数列 随着 的增大而减小，数列 随着 的增大而增大，
故数列 随看 的增大而减小，故 为数列 中所有正项中最大的，
同理可知数列 随着 的增大而增大，故 为数列 中所有负项中最小的，
综上所述，数列 的最大项为 ，最小项为 ， 均对．
故选： ．
【点评】本题综合考查了数列的单调性问题以及数列的最大项和最小项问题，综合性较强，难度较大，解
答时要结合几何知识，能熟练的应用数列的相关知识作答，属于难题．八．数列与不等式的综合（共3小题）
21．（2022•福州模拟）已知数列 ， 的通项分别为 ， ，现将 和 中所有的
项，按从小到大的顺序排成数列 ，则满足 的 的最小值为
A．21 B．38 C．43 D．44
【分析】根据题意，由等差数列和等比数列的性质可得数列 前38项中有 的前32项和数列 的
前 6 构 成 ， 由 此 可 得 ， 据 此 验 证 、 44 ， 是 否 满 足
，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，数列 的通项 ， ，可得数列 为2，4，6，8，10， ，
数列 的通项 ， ，可得数列 为3，5，9，17，33， ，
当 时， ，
此时数列 为 ， ， ，此时 ， ，
当 时， ，
此时数列 为 ， ， ， ， ，此时 ， ，
当 时， ，
此时数列 前38项中有 的前32项和数列 的前6项构成，
故 ， ，
此时 ，
验证可得： ，而 ，此时， ，
而 ，而 ，
此时首次满足 ，即 的最小值为43；
故选： ．
【点评】本题考查数列与不等式的综合应用，涉及不等式的求和，属于中档题．
22．（2022•泉州模拟）已知数列 的通项公式是 ，记 为 在区间 ， 内项
的个数，则 2 9 ，不等式 成立的 的最小值为 ．
【分析】（1）根据 ，得 ，代入即可得解；
（2）根据 ，得 ，对 分奇偶讨论即可得解．
【解答】解：令 ，得 ，
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
所以 ．
当 为奇数时， ，
即 ，因为 ，所以 ，即 ，
因为 为奇数，所以 的最小值为13；
当 为偶数时， ，
因为 ，所以 ， ，所以 的最小值为12．
综上所述， 的最小值为12．
故答案为：29；12．【点评】本题考查数列与不等式的综合，考查学生的运算能力，属于中档题．
23．（2022•厦门模拟）已知数列 与数列 的前 项和分别为 ， ，则 ；
若 对于 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【分析】设 ，可得出 ，由裂项相消法可求出 ，不等式可化为
恒成立，求出 的最小值即可．
【解答】解：设 ，
则 ，
所以
，
所以 ；
由 ，得 ，
即 对于 恒成立，
设 ，
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
又 ，且 ，则 ，
所以 ，所以 ，
即实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了裂项相消法求和以及数列与不等式的综合，属于中档题．
三、类题狂刷（五年区模、校模）：
一．等差数列的性质（共2小题）
1．（2020•宁德二模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则
A．21 B．27 C．30 D．36
【分析】由题意利用等差数列的定义和性质、通项公式，先求出 的值，再利用前 项和公式，求出结果．【解答】解： 等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，
则 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质、通项公式、前 项和公式，属于基础题．
2．（2020•宁德模拟）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
A．36 B．70 C．72 D．144
【分析】等差数列 的前9项和 ，由此能求出结果．
【解答】解： 等差数列 的前 项和为 ， ， ，
．
故选： ．
【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是
基础题．
二．等差数列的通项公式（共2小题）
3．（2016•连城县校级模拟）在等差数列 中，若 ， ，则 的值为
A．9 B．12 C．16 D．17
【分析】设出等差数列的首项和公差，得到前 项和，由已知列式求得首项和公差，把
转化为含首项和公差的表达式得答案．
【解答】解：设首项为 ，公差为 ．
由 ，得
，
，
解得： ， ．．
故选： ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 项和，是基础的计算题．
4．（2021•思明区校级模拟）已知公差不为0的等差数列 中， ， ，则 ．
【分析】设等差数列的公差为 ，根据 ， 即可求出 与 ，从而利用等差数列的
通项公式即可求出 ．
【解答】解：设等差数列的公差为 ，由 ，得 ，解得 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
三．等差数列的前n项和（共14小题）
5．（2023•泉州模拟）记等差数列 的前 项和为 ．若 ，则下列一定成立的是
A． B． C． D．
【分析】设等差数列 的公差为 ，结合等差数列的通项公式和条件 得到 ，再根据
等差数列的前 项和公式判断各选项即可．
【解答】解：设等差数列 的公差为 ，
由 ，得 ，即 ．
对于 选项和 选项： ， ，当 时， ；当 时， ；当 时， ；
所以 选项和 选项错误；
对于 选项： ，所以 选项正确；
对于 选项： ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ； 选项错误；
故选： ．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
6．（2023•思明区校级模拟）设公差不为零的等差数列 的前 项和为 ， ，则
A． B． C．1 D．
【分析】利用等差中项 ， 及等差数列前 项和的性质即可求解．
【解答】解：在等差数列 中， ， ，故 ，
又 ，故 ，
则 ，故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查等差数列的前 项和，属于基础题．
7．（2022•德化县校级模拟）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值为
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】由 ，求出 ，再由 ，能求出结果．
【解答】解：等差数列 的前 项和为 ， ，
，，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（2022•三明模拟）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则
A．6 B．10 C．12 D．20
【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．
【解答】解：等差数列 中， ， ，
则 ， ，
则 （4） ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
9．（2020•三明模拟）等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】由 ，可得 ，可得 ，解得 ．利用 即可得出．
【解答】解： ， ，可得 ，解得 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（2020•福州三模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 的公差为
A． B．2 C．2019 D．
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列 的公差为 ， ，
， ，
联立解得： ， ，
故选： ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．（2020•厦门一模）已知 为等差数列， 为其前 项和，若 ， ，则
A．17 B．15 C．13 D．11
【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．
【解答】解： ， ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12．（2020•龙岩模拟）设 是等差数列 的前 项和，且 ， ，则
A．4 B．3 C．2 D．5
【分析】设等差数列 的公差为 ，由已知列式求得 ，再由通项公式求 ．
【解答】解：设等差数列 的公差为 ，
由 ， ，得 ，即 ．
．
故选： ．
【点评】本题考查等差数列的通项公式与前 项和，是基础的计算题．
13．（2020•福州模拟）设等差数列 的前 项和为 ．若 ， ，则A．99 B．101 C．2500 D．
【分析】依题意得，公差 ， ，可得 ，即可得出．
【解答】解：依题意得，公差 ， ，
，
故选： ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．（2020•泉州一模）记 为等差数列 的前 项和、若 ， ，则
A．5 B．3 C． D．
【分析】直接由题意列式，求得首项和公差，再根据等差数列通项公式求得 ．
【解答】解：等差数列 中，设首项为 ，公差为 ，
则 ，解得 ．
．
故选： ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前 项和，是基础题．
15．（2020•泉州模拟）记 为等差数列 的前 项和．已知 ， ，则
A． B． C． D．12
【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解．
【解答】解：因为 ， ，
，
解可得， ， ，则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础试题．
16．（2021•泉州一模）记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
A． B．
C． 的最大值为30 D． 的最大值为15
【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式先求出 ， ，进而可求 ， ，然后结合各选项进
行检验即可．
【解答】解：因为等差数列 中， ， ，
所以 ，解得 ，
， ，
故 ， ， 正确；
， 错误；
当 或4时， 取得最大值30， 正确；
由于 ，故当 时， 取最大值15， 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式，考查了数列知识的综合应用．
17．（2022•城厢区校级模拟）记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，若 ， ，则
．
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列 的公差为 ， ， ，
， ，
解得 ， ，
则 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．（2021•南安市校级二模）已知等差数列 的前 项和 ，其前三项和为6，后三项和为39，
则该数列有 3 0 项．
【分析】根据题意，设等差数列 共有 项，由等差数列的性质求出 、 的值，由等差数列的前
项和的性质可得 ，解可得 的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设等差数列 共有 项，
其前三项和为6，即 ，则有 ，解可得 ，
后三项和为39，即 ，则有 ，解可得 ，
等差数列 的前 项和 ，即 ，
解可得： ，
故答案为：30．
【点评】本题考查等差数列的前 项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．
四．等比数列的性质（共1小题）
19 ． （ 2023• 鼓 楼 区 校 级 模 拟 ） 已 知 等 比 数 列 各 项 均 为 正 数 ， 且 满 足 ： ，
，记 ，则使得 的最小正数 为
A．36 B．35 C．34 D．33【分析】先由已知条件判断出 ， ， 的范围，即可判断出使得 的最小正数 的数值．
【解答】解：由 得： ，
或 ，
等比数列 各项均为正数， ，
数列 具有单调性，又 ，
，
又 ， ，
， ， ，
则使得 的最小正数 为35，
故选： ．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质，属于中档题．
五．等比数列的通项公式（共3小题）
20．（2022•荔城区校级模拟）在等比数列 中， ， ，则
A． B．16 C．32 D．
【分析】利用等比数列的通项公式直接求解．
【解答】解：在等比数列 中， ， ，
， ， ，
则 ．
故选： ．【点评】本题考查等比数列的运算，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21．（2020•鼓楼区校级模拟）已知正项等比数列 的首项和公比相等，数列 满足 ，且
，则
A．4 B．32 C．108 D．256
【分析】由已知求得等比数列的公比，代入等比数列的通项公式得答案．
【解答】解： 正项等比数列 的首项和公比相等，
故 ；
由题可得： ；
，
；
；
，
故选： ．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．
22．（2020•泉州二模）已知等比数列 各项均为正数， 为其前 项和．若 ， ，则
A． B． C．4 D．8
【分析】设等比数列 的公比为 ，由 ， ，可得 ，解得 ，即可得出．
【解答】解：设等比数列 的公比为 ， ， ，
，解得 ，．
故选： ．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
六．等比数列的前n项和（共9小题）
23．（2012•漳州二模）等比数列 中， ，前三项和 ，则公比 的值为
A．1 B． C．1或 D． 或
【分析】根据前三项和以及第三项可利用第三项表示出前两项和，建立关于 的方程，解之即可．
【解答】解 ，
即 解得 或 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质，以及等比数列的求和，同时考查了一元二次方程的解，属于基
础题．
24．（2020•福清市一模）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则
A．1022 B．2046 C．2048 D．4094
【分析】由已知结合等比数列的性质可求 ，然后结合等比数列的通项公式可求公比 ，代入求和公式即
可求解．
【解答】解：由等比数列的性质可知， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，整理可得，
所以 ， ，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式，求和公式的应用，属于基础试题．
25．（2020•福建模拟）设正项等比数列 的前 项和为 ， ，且 ，则
A．3 B．12 C．24 D．48
【分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式即可直接求解．
【解答】解：因为正项等比数列 中， ，且 ，
所以 ，即 ，
，解可得， 或 （舍 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．
26．（2020•福建模拟）首项为2，公比为3的等比数列 的前 项和为 ，则
A． B． C． D．
【分析】根据等比数列的前 项和公式进行计算．
【解答】解：因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选： ．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列的前 项和，是基础的计算题．27．（2020•厦门模拟）已知 是正项等比数列 的前 项和， ，则 的最小值为
A．10 B．5 C． D．
【分析】由已知结合数列的和与项的关系进行化简，然后结合二次函数的性质可求．
【解答】解：由 是正项等比数列 的前 项和可知 ， ，
因为 ，
则 ，
，
结合二次函数的性质可知，当 时，上式取得最小值 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质及二次函数的性质的简单应用，属于中档试题．
28．（2020•龙岩模拟）已知等比数列 前 项和是 ，且 ， ，则
A． B．6 C． 或6 D． 或
【 分 析 】 根 据 题 意 ， 设 等 比 数 列 的 公 比 为 ， 由 等 比 数 列 的 通 项 公 式 可 得
，变形解可得 的值，据此计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设等比数列 的公比为 ，
若 ， ，则有 ，
变形可得： ，解可得 或 ，
当 时， ，
当 时， ，故选： ．
【点评】本题考查等比数列的前 项和公式，涉及等比数列的性质，属于基础题．
29．（2023•晋安区校级模拟）设 是公比为正数等比数列 的前 项和，若 ， ，则
A． B．
C． 为常数 D． 为等比数列
【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，依次求出首项与公比，即可求解．
【解答】解：设等比数列 的公比为 ，
， ，
，
，
，故 正确；
，
，解得 或 （舍去），
，故 错误；
， ，
， ，
，故 正确；
，是首项为 ，公比为 的等比数列，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，考查转化能力，属于基础题．
30．（2022•集美区校级模拟）若数列 满足 ，且 ，则数列 的前4项和等于 ．
【分析】根据等比数列的通项公式和求和公式进行计算即可．
【解答】解： ， 数列 为等比数列，且公比为2，
， ， ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属于基础题．
31．（2022•鼓楼区校级三模）已知等比数列 的前 项和为 ， ， ，若 ，则
5 ．
【分析】根据已知条件，先求出公比 ，再结合等比数列的前 项和公式，即可求解．
【解答】解：等比数列 的公比为 ，
，
，解得 ，
，
，解得 ．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查等比数列的前 项和公式，属于基础题．七．数列的求和（共5小题）
32．（2023•福建二模）对正整数 ，定义 为 的最小值，其中 ， ， ， ，
其和为17，已知有唯一的正整数 ，使 也是整数，则
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】设 ，将 看作是一个直角三角形的斜边，其直角边长为 ， ，结合勾
股定理和不定方程的解法，以及因式分解，可得所求 的值．
【解答】解：设 ，则 可看作是一个直角三角形的斜边，其直角边长为 ， ，
把这些直角三角形放到一块构成一个梯子，设 ， 分别是它们的起点和终点，
则 ， 为从 到 沿着斜边的长度，
所以， ，可选取 ，使得等号成立，即 ．
当 为正整数时，只需求 的正整数解，
即 ，
因为17为质数，所以 解得 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查数列的求和，以及方程的解，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．33．（2019•厦门二模）已知等差数列 的前 项和为 ， ，则
A． B． C．7 D．14
【分析】根据题意，由等差数列的性质可得 ，解可得 ，又由等差数列的前 项
和公式可得 ，计算即可得答案．
【解答】解：根据题意，数列 为等差数列， ，
则 ，解可得 ，
则 ；
故选： ．
【点评】本题考查等差数列的前 项和公式以及等差数列的性质，属于基础题．
34．（2023•仙游县校级模拟）将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ，则下列说法正
确的有
A．数列 为等差数列
B．数列 为等比数列
C．
D．数列 的前 项和为
【分析】 与 公共项从小到大排列出，可知 为等比数列，求出通项公式再利用错位相减求
的前 项和，即可得出答案．
【解答】解：数列 中的项为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，
34，37，40，43，46，49，52，55，58，61，64，67， ，数列 中的项为2，4，8，16，32，64，128， ，
数列 是首项为4，公比为4的等比数列，
；
，记数列 的前 项和为 ，
则 ，
，
两式相减得
，
．
故选： ．
【点评】本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
35．（2023•惠安县模拟）将数列 与 的公共项由小到大排列得到数列 ，则数列 的前
项的和为 ．
【分析】根据数列的通项公式，求出数列 和数列 的公共项，可得 ， ， ，
， ，则数列 是首项为4，公比为4的等比数列，即可得出答案．
【解答】解： ，解得 ，故2不是数列 和数列 的公共项，
，解得 ，故4是数列 和数列 的公共项，，解得 ，故 不是数列 和数列 的公共项，
，解得 ，故16是数列 和数列 的公共项，
依次类推可得 ， ， ， ， ，
数列 是首项为4，公比为4的等比数列，
数列 的前 项的和为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
36．（2021•思明区校级模拟）已知 表示不超过 的最大整数，例如： ， ，在数列
中， ， ，记 为数列 的前 项和，则 495 6 ．
【分析】根据已知条件，分别按 取个位、十位、百位、千位分别讨论，即可求解．
【解答】解：根据对 的定义，
当 时， ，
当 时， ，该区间所有项的和为90，
当 时， ，该区间所有项的和为 ，
当 时， ，该区间所有项的和为 ，
．
故答案为：4956．
【点评】本题考查了对数函数与数列的综合应用，需要学生有分类讨论的思想，属于基础题．
八．数列递推式（共6小题）
37．（2021•南安市校级二模）设数列 的前 项和为 ，且 ，则A．12 B．13 C．16 D．32
【分析】由已知数列递推式可得数列 是首项为1，公比为2的等比数列，求其通项公式，即可求得
的值．
【解答】解：当 时， ，可得 ；
当 时，由 ，
得 ，即 ；
数列 是首项为1，公比为2的等比数列，
其通项公式为 ，则 ，
故选： ．
【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式，是基础题．
38．（2020•思明区校级一模）设 是数列 的前 项和，满足 ，且 ，则
A．10 B． C． D．11
【分析】首先求出数列的首项，进一步利用数列的递推关系式的应用整理出 ，最后求
出数列的通项公式，进一步确定结果．
【解答】解：当 时，满足 ，整理得 ，由于 ，所以 ．
根据 ，整理得 ，
故 ，
故数列 是以1为首项，1为公差的等差设数列．
所以 ，故 ，所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，等差数列的定义，主要考查学生的运算能力和转换能
力及思维能力，属于基础题．
39．（2020•龙岩模拟）已知数列 满足 ，又 的前 项和为 ，若 ，则
A．13 B．15 C．17 D．31
【分析】首先根据题意，将 转化为 的关系式，然后求出 即可．
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了数列的递推公式，数列的求和问题，属基础题．
40．（2020•厦门模拟）在数列 中， ， ， ，则
A． B． C．2 D．4
【分析】先由题设条件写出数列的前几项，然后根据数列项之间的关系找出数列的周期，再利用数列的周
期求出结果．
【解答】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ，故
数列 是周期为4的周期数列， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查数列项的关系及数列的周期性，属于基础题．
41．（2021•福州模拟）已知正项等比数列 的前 项和为 ， ，则 ．
【分析】首先利用等比数列的性质的应用求出数列的首项和公比，进一步利用等比数列的前 项和公式的应用求出结果．
【解答】解：设等比数列的公比为 ，首项为 ，
由于 ，
所以 ，
故 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的知识要点：等比数列的性质的应用，等比数列的前 项和公式的应用，主要考查学生
的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
42．（2021•福建模拟）已知数列 的前 项和为 ， ， ，则数列 的通项公
式为 ．
【分析】利用数列的第 项与数列前 项和之间的关系，得到 ，然后利用迭乘法求解数列通项
公式即可．
【解答】解：因为 ，
所以当 时， ，
故 ，整理可得 ，
故 ，
当 时， 也适合上式，
故数列 的通项公式为 ．故答案为： ．
【点评】本题考查了数列通项公式的求解，主要考查了数列的第 项与数列前 项和之间关系的应用，迭
乘法求解数列通项公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简计算能力，属于中档题．
九．数列与函数的综合（共2小题）
43．（2020•福州模拟）已知数列 为等差数列，若 ， 为函数 的两个零点，则
A． B．9 C．14 D．20
【分析】由韦达定理得 ，结合等差数列求出舍去的项，由此能求出结果 ．
【解答】解： 等差数列 中， ， 为函数 的两个零点，
， ，所以 ， ，或 ， ，
当 ， 时， ， ， ，
所以 ．
当 ， 时， ， ， ，
．
故选： ．
【点评】本题考查等差数列的通项公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合
理运用．
44．（2023•台江区校级模拟）已知无穷等差数列 中的各项均大于0，且 ，则 的
最小值为 ．
【分析】根据题意，设等差数列 的公差为 ，分析可得 的取值范围，由 求出 的值，则有 ，设 ，求出 的导数，分析 的单调
性和最值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设等差数列 的公差为 ，由于无穷等差数列 中的各项均大于0，则 ，
由于 ，即 ，解可得 或 （舍 ，
则 ，
设 ， ，
若 ，则有 ，解可得 或 ，
在区间 上， ，在 ， 上， ，在 ， 或 或 上， ，
则当 时， 取得最小值，且 ，
故 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查数列与函数、不等式的综合应用，涉及等差数列的性质，属于中档题．
一十．数列与不等式的综合（共2小题）
45．（2023•鼓楼区校级模拟）数列 中， ，点 ， 在双曲线 上．若
恒成立，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【分析】根据题意分析可得 ，利用斜率结合双曲线的性质分析运算．【解答】解：由题意可知：双曲线 的渐近线方程为 ，
因为点 ， 在双曲线 上，
则 ，且 ，
可得 ，
可知 为递减数列，且 ，
则 为递减数列，
可得 ，且 ，
可得 ，
记点 ， ，
则 为直线 的斜率，记 ，
由双曲线的性质以及 为递减数列可知，直线 的斜率 为递减数列，
即 ，且随着 增大，直线 越接近渐近线 ，
故 接近于 ，
所以 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查圆锥曲线，数列与不等式的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
46．（2022•城厢区校级模拟）数列 中，设 ．若 存在最大值，则 可以是A． B． C． D．
【分析】根据题意，依次分析选项中数列是否题意，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 ， ， ，当 时，有 ， 不存在最大值，不符合题意；
对于 ， ， 为奇数时， ， 为偶数时， ， 取得最大值1，符合题意；
对于 ， ， ，当 时， ， 不存在最大值，不符合题意；
对于 ， ， ，当 时， ，当 时， ，故当 或2时，
取得最大值，符合题意，
故选： ．
【点评】本题考查数列与不等式的综合应用，涉及不等式的最值，属于基础题．
一十一．等差数列与等比数列的综合（共3小题）
47．（2023•鲤城区校级模拟）已知等差数列 的公差不为0， 且 ， ， 成等比数列，则
A． B．
C． D．
【分析】由已知列式求得等差数列的公差，然后逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：设等差数列 的公差为 ，已知 且 ， ， 成等比数列，
，即 ，整理得： ．
，故 错误；， ， ，故 错误；
，则 ，故 错误；
，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查等差数列的通项公式与前 项和，考查等比数列的性质，是中档题．
48．（2020•泉州模拟）已知 是公差为3的等差数列．若 ， ， 成等比数列，则 的前10项和
A．165 B．138 C．60 D．30
【分析】设公差 ，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项，再由等差数列
的求和公式，计算可得所求值．
【解答】解： 是公差 为3的等差数列，若 ， ， 成等比数列，
则 ，即 ，
解得 ，
又 ，可得 ．
故选： ．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能
力，属于基础题．
49．（2023•鲤城区校级模拟）已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ， ， ， 成等
比数列，则
A． B．
C．当 时， 是 的最大值 D．当 时， 是 的最小值【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可得到 ，再根据等差数列的通项公式、求和公式及单
调性判断即可．
【解答】解：因为 ， ， 成等比数列，所以 ，即 ，
整理得 ，因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，故 正确、 错误；
当 时 单调递减，此时 ，
所以当 或 时 取得最大值，即 ，故 正确；
当 时 单调递增，此时 ，
所以当 或 时 取得最小值，即 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质，等差数列的性质的应用，属于中档题．
