01 二次函数
1
1
容易
填空题
已知x + y = 2，则y (x −y)的最大值为
.
1
2 | 0.5
根据给定条件，利用均值不等式求解作答.
因为x + y = 2，则y (x −y) = y (2 −2y) = 2 (−y2 + y) = −2(y −1
2 )
2
+ 1
2 ≤1
2 ，当且仅当y = 1
2 时取等号，
所以当x = 3
2 , y = 1
2 时，y (x −y)取得最大值1
2 .
故答案为：1
2
答案
解析
2
较易
填空题
已知函数f(x) = x2 + 2x + 3 + m，若f(x) ≥0对任意的x ∈[1, 2]恒成立，则实数m的取值范围是
.
[−6, +∞)
对任意x ∈[1, 2]，f(x) ≥0恒成立，等价于x2 + 2x + 3 ≥−m在[1, 2]上恒成立，令g(x) = x2 + 2x + 3，求其在
[1, 2]上的最小值即可.
对任意x ∈[1, 2]，f(x) ≥0恒成立，
等价于x2 + 2x + 3 ≥−m在[1, 2]上恒成立，
令g(x) = x2 + 2x + 3，
则其在[1, 2]上的最小值为g(1) = 6，所以6 ≥−m，得m ≥−6.
故答案为：[−6, +∞)
答案
解析
3
较易
填空题
若关于x的一元二次方程2x2 −4x + m + 3 = 0有两个同号实根， 则实数m的取值范围是
.
2
(−3, −1]
根据一元二次方程根与系数关系列不等式组求参数范围.
由题设
⇒−3 < m ≤−1，即实数m的取值范围是(−3, −1].
故答案为：(−3, −1]
答案
解析
⎧
⎨
⎩
m + 3
2
> 0
Δ = 16 −8(m + 3) ≥0
4
一般
填空题
若f (x) = |x −a| ⋅|x −3a|，且x ∈[0, 1]上的值域为[0, f (1)]，则实数a的取值范围是
[0, 1
4 ]
转化条件得f (x) = |(x −a) (x −3a)|，根据a的取值范围画出图像即可得解.
由题意f (x) = |(x −a) (x −3a)|，
当a < 0，函数图像如左图，f(x)min = f (0) = 3a2 > 0，不符合题；
当a ≥0，函数图像如右图，
∵f (0) = 3a2 ≥f (2a) = a2，∴结合图像，当x ∈[0, 1]，f(x)max = f (0)或f (1)，
∵值域为[0, f (1)]，∴f (1) ≥f (0)，即(a −1) (3a −1) ≥3a2，∴a ≤1
4 .
综上a ∈[0, 1
4 ].
本题考查了函数图像的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
答案
解析
02 幂指对函数
1
1
较易
已知函数 f(x) = {
, 若 f(x) = −3
4 , 则 x =
7或-2
根据题意，函数 f(x) = {
，对于 f(x) = −3
4 ，当 x ≤0 时， f(x) = 2x −1 = −3
4 , 则有 x = −2
当 x > 0 时， f(x) = 1 −x
4 = −3
4 , 则有 x = 7, 综合可得 : x = 7 或 -2 .故答案为: 7 或 -2 .
2x −1, x ≤0
1 −x
4 , x > 0
答案
解析
2x −1, x ≤0
1 −x
4 , x > 0
2
一般
已知x > 1, y > 1, xy = 10，则1
lg x +
2
lg y 的最小值为
.
3 + 2√2
依题意可得lg x + lg y = 1，再由基本不等式“1”的妙用即可得解.
因为x > 1, y > 1, xy = 10，
所以lg x + lg y = lg xy = 1，lg x > 0，lg y > 0，
所以1
lg x +
2
lg y = ( 1
lg x +
2
lg y ) (lg x + lg y) = 3 + lg y
lg x + 2 lg x
lg y
≥3 + 2√lg y
lg x ⋅2 lg x
lg y = 3 + 2√2，
当且仅当lg y
lg x = 2 lg x
lg y ，即lg y = √2 lg x = 2 −√2时，等号成立，
显然此时x, y有解，所以1
lg x +
2
lg y 的最小值为3 + 2√2.
故答案为：3 + 2√2.
答案
解析
3
较易
已知集合A = {y|y = 10x, x ∈R}，B = {y|y = x2，1 ≤x ≤2}，则A ∩B =
.
2
[1, 4]
先利用指数函数和二次函数的性质化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.
因为集合A = {y|y = 10x, x ∈R} = {y|y > 0}，B = {y|y = x2，1 ≤x ≤2} = {y|1 ≤y ≤4}，
所以A ∩B =[1, 4],
故答案为：[1, 4]
答案
解析
4
较易
若f(x) = x + 4
x ，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的最小值为4
B. f(x)在(0, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增
C. f(x)的最大值为4
D. f(x)在(0, 2)上单调递增，在(2, +∞)上单调递减
B
函数f(x) = x + 4
x 的定义域为{x|x ≠0}， 函数的图象如图， 由图可知，函数在定义域上无最小值，故A错
误； f(x)在(0, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增，故B正确； 函数在定义域上无最大值，故C错误； f(x)
在(0, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增，故D错误． 故选：B．
答案
解析
3
5
一般
若x，y为实数，则“ 1
x < 1
y ”是“log2 x > log2 y”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
B
根据充分必要条件的定义及对数不等式即可求解；
由题意可知当x = −2, y = 1时，满足1
x < 1
y ，但不满足log2 x > log2 y；
由log2 x > log2 y，得x > y > 0，满足1
x < 1
y ，
所以 “ 1
x < 1
y ”是“log2 x > log2 y”的必要不充分条件，
故选：B．
答案
解析
03 函数概念
1
1
函数f (x) = lg (4 −x)
x −3
的定义域为
{x|x < 4且x ≠3}．
试题分析：由题意可得：{
，解得{x|x < 4且x ≠3}．
考点：本题函数的定义域，学生的基本运算能力．
答案
解析
x −3 ≠0
4 −x > 0
2
若函数f(x) = {
的值域为(−∞, 3]，则实数m的取值范围是
(2, 5]
【分析】分类讨论，先由x ≤1求出3x的取值范围，再结合x > 1时二次函数的单调性求解值域即可
【详解】当x ≤1时，3x ≤31 = 3，f (x) ∈(0, 3]；
当x > 1 时，f (x) = −2x2 + m 是减函数，f (x) ∈(−∞, m −2) ，要满足f (x) ∈(−∞, 3] ，此时应满足
m −2 ∈(0, 3] ，即m ∈(2, 5]
故答案为(2, 5]
【点睛】本题考查根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题
3x
x ≤1
−2x2 + m
x > 1
答案
解析
3
已知函数y = {
的值域为R，则实数a的取值范围为
．
(−∞, 0) ∪[1, +∞)
x2 −2x + 2, x ≥0
x + a
x + 3a , x < 0
答案
2
先求解出x ≥0时f (x)的值域，然后根据a = 0, a > 0, a < 0分类讨论x < 0时f (x)的值域，由此确定出a的取值
范围.
当x ≥0时，f (x) = x2 −2x + 2 = (x −1)2 + 1，此时f (x) ∈[1, +∞)，
当a = 0且x < 0时，f (x) = x，
此时f (x) ∈(−∞, 0)，且(−∞, 0) ∪[1, +∞) ≠R，所以不满足；
当a > 0且x < 0时，f (x) = x + a
x + 3a，
由对勾函数单调性可知f (x)在(−∞, −√a)上单调递增，在(−√a, 0)上单调递减，
所以f(x)max = f (−√a) = 3a −2√a，此时f (x) ∈(−∞, 3a −2√a]，
若要满足f (x)的值域为R，只需要3a −2√a ≥1，解得a ≥1；
当a < 0且x < 0时，因为y = x, y = a
x 均在(−∞, 0)上单调递增，
所以f (x) = x + a
x + 3a在(−∞, 0)上单调递增，且x →0时，f (x) →+∞，x →−∞时，f (x) →−∞，
所以此时f (x) ∈(−∞, +∞)，此时显然能满足f (x)的值域为R；
综上可知，a的取值范围是(−∞, 0) ∪[1, +∞)，
故答案为：(−∞, 0) ∪[1, +∞).
解析
4
已知f (sin x) = sin x + 1，则函数f (x)的解析式为f (x) =
.
x + 1, x ∈[−1, 1]
根据给定条件，利用换元法求解作答.
依题意，令sin x = t ∈[−1, 1]，则f(t) = t + 1，
所以函数f (x)的解析式为f (x) = x + 1, x ∈[−1, 1].
故答案为：x + 1, x ∈[−1, 1]
答案
解析
04 奇偶性
1
1
下列函数在定义域内为偶函数的是（ ）
A. y = 1
x
B. y = −x3
C. y = x2
D. y = 1 −x
C
利用函数的奇偶性定义判定即可.
对A，f (−x) =
1
−x ≠f (x)，故A不是偶函数；
对B，f (−x) = −(−x)3 = x3 ≠f (x)，故B不是偶函数；
对C，f (x) = x2的定义域为R，关于原点对称，且f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x)，则其为偶函数；
对D，f (−x) = 1 + x ≠f (x)，故D不是偶函数，
故选：C
答案
解析
2
已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x > 0时，f (x) = log2 x，则f (x) ≥−2的解集是
.
[−4, 0] ∪[ 1
4 , +∞)
利用奇偶性求出函数f(x)的解析式f (x) =
，分类讨论即可求解.
当x < 0时，−x > 0，所以f(−x) = log2 (−x)，
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x) = −f(−x) = −log2 (−x)，
所以当x < 0时，f(x) = −log2 (−x)，
所以f (x) =
，
要解不等式f(x) ≥−2，只需{
或{
或{
，
解得x ≥1
4 或−4 ≤x < 0或x = 0，
答案
解析
⎧
⎨
⎩
−log2 (−x), x < 0
0, x = 0
log2 x, x > 0
⎧
⎨
⎩
−log2 (−x), x < 0
0, x = 0
log2 x, x > 0
x > 0
log2 x ≥−2
x < 0
−log2 (−x) ≥−2
x = 0
0 ≥−2
2
综上，不等式的解集为[−4, 0] ∪[ 1
4 , +∞).
故答案为：[−4, 0] ∪[ 1
4 , +∞).
3
已知函数f (x) = (ex −a
ex ) cos 2x是偶函数，则实数a =
.
−1
根据偶函数的定义，即可列关系式求解.
f (x)定义域为R，
f (−x) = (e−x −
a
e−x ) cos (−2x) = (−aex + 1
ex ) cos 2x = f (x) = (ex −a
ex ) cos 2x，
所以−aex + 1
ex = ex −a
ex ⇒a (ex −1
ex ) = 1
ex −ex ⇒(a + 1) (ex −1
ex ) = 0，
故a = −1，
故答案为：−1
答案
解析
4
已知函数f (x)是奇函数，当x < 0时，f (x) = x3 −3a sin π x
2 ，且f (3) = 6，则实数a =
−7
【分析】根据奇函数的对称性运算求解.
【详解】∵函数f (x)是奇函数，则f (3) = −f (−3) = −[(−3)3 −3a sin (−
3 π
2 )] = 27 + 3a = 6，故a = −7.
故答案为：−7.
答案
解析
05 单调性
1
1
下列函数中，在区间(0, +∞)上单调递增的是（ ）
A. f(x) = −ln x
B. f (x) = 1
2x
C. f (x) = −1
x
D. f(x) = 3|x−1|
C
对于A，因为y = ln x在(0, +∞)上单调递增，y = −x在(0, +∞)上单调递减，
所以f (x) = −ln x在(0, +∞)上单调递减，故A错误；
对于B，因为y = 2x在(0, +∞)上单调递增，y = 1
x 在(0, +∞)上单调递减，
所以f (x) = 1
2x 在(0, +∞)上单调递减，故B错误；
对于C，因为y = 1
x 在(0, +∞)上单调递减，y = −x在(0, +∞)上单调递减，
所以f (x) = −1
x 在(0, +∞)上单调递增，故C正确；
对于D，因为f ( 1
2 ) = 3
1
2 −1
= 3
1
2 = √3，f (1) = 3|1−1| = 30 = 1, f (2) = 3|2−1| = 3，
显然f (x) = 3|x−1|在(0, +∞)上不单调，D错误.
故选：C.
答案
解析
2
由函数的观点，不等式ln x < 4 −4x的解集是
(0, 1)
构造函数f (x) = ln x + 4x −4，得到定义域和单调性，结合f (1) = 0，求出解集
令f (x) = ln x + 4x −4，定义域为(0, +∞)，
显然f (x) = ln x + 4x −4在(0, +∞)上单调递增，
又f (1) = 0，故f (x) < 0的解集为(0, 1)，
故ln x < 4 −4x的解集为(0, 1)
答案
解析
2
故答案为：(0, 1)
3
已知y = f (x)是定义在(−1, 1)上的函数，若f (x) = 3x + sin x，且f (1 −a2) + f (1 −a) < 0，则实数a的取值范围为
．
(1, √2)
由函数奇偶性的定义得出f (x)为奇函数，再由函数单调性的加减法得出f (x)在(−1, 1)上为增函数，由奇函数
性质将不等式化为f (1 −a2) < f (a −1)，即可根据单调性的性质结合定义域列出不等式组，解出答案.
∵f (−x) = −3x + sin (−x) = −3x −sin x = −f (x)，
∴f (x)为奇函数，
∵y = 3x与y = sin x在(−1, 1)上都为增函数，
∴f (x) = 3x + sin x在(−1, 1)上为增函数，
f (1 −a2) + f (1 −a) < 0，则f (1 −a2) < −f (1 −a) = f (a −1)，
则
，解得：1 < a < √2，
故答案为：(1, √2).
答案
解析
⎧
⎨
⎩
−1 < 1 −a2 < 1
−1 < a −1 < 1
1 −a2 < a −1
4
函数y = 3x +
a
3x + 1 在(0，+ ∞)内单调递增，则实数a的取值范围是
.
(−∞, 4]
讨论a < 0、a = 0、a > 0：显然根据解析式知a < 0、a = 0，函数在(0, +∞)内单调递增；a > 0，利用基本不
等式(注意等号成立的条件)，结合对勾函数的性质判断函数的单调增区间，即可求a的范围.
当a < 0时，在(0, +∞)上，f(x) = 3x单调递增，g(x) =
a
3x + 1 单调递增，即y = 3x +
a
3x + 1 单调递增，符合
题意；
当a = 0时，y = 3x在(0, +∞)内单调递增，符合题意；
当a > 0时，y = 3x + 1 +
a
3x + 1 −1 ≥2√(3x + 1) ⋅
a
3x + 1 −1 = 2√a −1，
∴若√a −1 ≤1，$0时，等号不成立，此时y在(0, +∞)内单调递增，符合题意；
答案
解析
3
若√a −1 > 1，a > 4时，若当且仅当x = log3(√a −1)时等号成立，此时y在(log3(√a −1), +∞)内单调递增，
不符合题意.
综上，有a ∈(−∞, 4]时，函数y = 3x +
a
3x + 1 在(0, +∞)内单调递增.
故答案为：(−∞, 4].
关键点点睛：应用分类讨论，当a < 0、a = 0时，根据函数解析式直接判断单调性，当a > 0时，综合应用基
本不等式、对勾函数的性质判断函数的单调区间，进而求出参数范围.
06 阶段测
1
1
已知f (x) = 1 + log3 x (1 ≤x ≤9)，设g (x) = f 2 (x) + f (x2)，则函数y = g (x)的值域为
．
[2, 7]
确定函数y = g (x)的定义域，化简可得y = g (x)的表达式，换元令log3 x = t, (t ∈[0, 1])，可得y = t2 + 4t + 2，
结合二次函数的性质即得答案.
由题意得{
，则1 ≤x ≤3，即g (x) = f 2 (x) + f (x2)的定义域为[1, 3]，
故g (x) = f 2 (x) + f (x2) = (1 + log3x)2 + 1 + log3 x2 = (log3x)2 + 4 log3 x + 2，
令log3 x = t, (t ∈[0, 1])，则y = t2 + 4t + 2 = (t + 2)2 −2，
函数y = (t + 2)2 −2在[0, 1]上单调递增，故y ∈[2, 7]，
故函数y = g (x)的值域为[2, 7]，
故答案为：[2, 7]
答案
解析
1 ≤x ≤9
1 ≤x2 ≤9
2
已知关于x的方程x2 + mx + 1 = 0 (m ∈R)的两个不相等的实根均在区间(0, +∞)内，则m的取值范围为（ ）
A. (−∞, 0)
B. (2, +∞)
C. (−∞, −2)
D. (−∞, −2) ∪(2, +∞)
C
根据给定的条件，利用一元二次方程实根分布，列式求解作答.
因关于x的方程x2 + mx + 1 = 0 (m ∈R)的两个不相等的实根均在区间(0, +∞)内，
则有{
，解得m < −2，
所以m的取值范围为(−∞, −2).
故选：C
答案
解析
Δ = m2 −4 > 0
−m > 0
3
2
已知函数f (x) = x + k
x (k ∈R)，则（ ）
A. 当k = 1时，f (x)的值域为R
B. 当k = −1时，f (x)的值域为R
C. 当k = 1时，f (x)在(0, +∞)上单调递增
D. 当k = −1时，f (x)在(0, +∞)上单调递增
BD
根据对勾函数和“川字”函数的单调性和值域并结合图象意一一分析即可.
当k = 1时，f (x) = x + 1
x ，定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称，且
f (−x) = −x +
1
−x = −(x + 1
x ) = −f (x)，则f (x)为奇函数，
当x > 0时，f (x) = x + 1
x ≥2√x ⋅1
x = 2，当且仅当x = 1时等号成立，
因为f (x)为奇函数，则当x < 0时，f (x) ≤−2，
作出对勾函数的图象如图所示：
则其值域为(−∞, −2] ∪[2, +∞)，故A错误，
取f ( 1
2 ) = 5
2 ，f (1) = 2，则f ( 1
2 ) > f (1)，则C错误；
当当k = −1时，f (x) = x + −1
x ，定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称，
且f (−x) = −x + −1
−x = −(x + −1
x ) = −f (x)，则f (x)为奇函数，
当x > 0时，因为y = x, y = −1
x 均单调递增，则f (x) = x + −1
x 单调递增，故D正确；
当x > 0且x →0时，f (x) →−∞；当x →+∞时，f (x) →+∞，结合其奇偶性作出函数图象：
则当k = −1时，f (x)的值域为R，故B正确.
答案
解析
3
故选：BD.
4
方程log2(x + 1) + log2(x −1) = 1的解为
.
√3
利用对数的运算法则将对数方程转化为关于x的方程，求解即可．
原方程可化为log2 (x + 1) = −log2 (x −1) + 1,
即 log2 (x + 1) = log2
2
x −1 .
所以x + 1 =
2
x −1 ,
解得 x = √3或x = −√3.
又x + 1 > 0 且x −1 > 0,
所以 x > 1.所以x = −√3不满足题意,
因此应舍去.故方程的解为x = √3.
故答案为：√3.
本题考查解对数方程，求解对数方程时，利用对数运算性质转化为关于真数的方程时，要注意等价变化，同
时要满足真数大于0的条件，是基础题．
答案
解析
5
已知函数f(x)的定义域为[0, 4]，求函数y = f(x + 3) + f(x2)的定义域为（ ）
A. [−2, −1]
B. [1, 2]
C. [−2, 1]
D. [−1, 2]
C
根据抽象函数的定义域得到关于x的不等式组，解出即可
函数f(x)的定义域为[0, 4]，
所以函数y = f(x + 3) + f(x2)的定义域满足：{
解得{
，即−2 ≤x ≤1
所以函数y = f(x + 3) + f(x2)的定义域为[−2, 1]
答案
解析
0 ≤x + 3 ≤4
0 ≤x2 ≤4
−3 ≤x ≤1
−2 ≤x ≤2
4
故选：：C
6
若关于x的不等式|x + 1| + |x −2| > a对于一切实数x都成立，则实数a的取值范围是
.
(−∞, 3)
求出分段函数的解析式，即可求出其最小值.
x ≤−1时，|x + 1| + |x −2| = −x −1 −x + 2 = −2x + 1 ≥3，
−1 < x < 2时，|x + 1| + |x −2| = x + 1 −x + 2 = 3，
x ≥2时，|x + 1| + |x −2| = x + 1 + x −2 = 2x −1 ≥3，
则|x + 1| + |x −2| ≥3，
故a < (|x + 1| + |x −2|)min = 3，
故实数a的取值范围是(−∞, 3).
故答案为：(−∞, 3).
答案
解析
7
已知函数f (x) = 1
x3 + ax3 −bx −5，且f(−2) = 2，那么f(2)=
.
-12
代入x = −2, x = 2，整体代换求值即可.
由题意，f (−2) =
1
(−2)3 + a(−2)3 −b × (−2) −5 = 2，即1
23 + a × 23 −b × 2 = −7，
故f (2) = 1
23 + a × 23 −2b −5 = −7 −5 = −12,
故答案为：-12
答案
解析
8
函数y = f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x) = x2 + x，(x > 0)，则f (x) =
．
答案
5
f (x) = {
根据奇函数的定义f (−x) = −f (x)，求解函数的解析式.
∵函数y = f (x)是定义在R上的奇函数， ∴f (0) = 0
∀x < 0, −x > 0，则f (−x) = x2 −x
又f (−x) = −f (x)，
∴f (x) = −f (−x) = −x2 + x，将0代入可得，0也满足该式，
∴f (x) = −f (−x) = −x2 + x，x ≤0.
故答案为：f (x) = {
.
−x2 + x, x ≤0
x2 + x, x > 0
解析
−x2 + x, x ≤0
x2 + x, x > 0
9
已知y = loga (3 −ax)在[0, 2]上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是
.
1 < a < 3
2
利用一次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出a的范围.
由y = loga (3 −ax)，得a > 0且a ≠1，因此函数u = 3 −ax单调递减，而x ∈[0, 2]，则umin = 3 −2a，
由y = loga (3 −ax)在[0, 2]上是关于x的减函数，得函数y = loga u在(0, +∞)上单调递增，且3 −2a > 0，
因此{
，解得1 < a < 3
2 ，
所以实数a的取值范围是1 < a < 3
2 .
故答案为：1 < a < 3
2
答案
解析
a > 1
3 −2a > 0
10
设f(x) = 1
x −lg x，则不等式f( 1
x −1) < 1的解集为
．
(0, 1
2 )
由题意，函数f(x) = 1
x −lg x，
答案
解析
6
根据初等函数的性质，可得函数f (x)为单调递减函数，且f(1) = 1，
则不等式f( 1
x −1) < 1等价于1
x −1 > 1，即1
x −2 = 1 −2x
x
> 0，解得$0<\dfrac{1}{2}$，
所以不等式的解集为(0, 1
2 ).
故答案为：(0, 1
2 ).
11
若函数f(x) = 2|x−a|(a ∈R)满足f(1 + x) = f(1 −x)，且f(x)在[m, +∞)上单调递增，则实数m的最小值为
A. 2
B. −2
C. 1
D. −1
C
函数f (x) = 2|x−a| (a ∈R)满足f (1 + x) = f (1 −x)，则有a = 1.f (x) = 2|x−1|
知f (x)在(−∞, 1)单调递减；在(1, +∞)单调递增.
所以m ≥1. m的最小值为1.
故选C.
答案
解析
12
奇函数y = f(x)满足对任意x ∈R都有f(2 + x) + f(2 −x) = 0,且f(1) = 9,则f(2016) + f(2017) + f(2018)的值为
9
由f(2 + x) + f(2 −x) = 0推导出f(x + 4) = f(x)即可得到f(x)的周期为4,当x = 0时,由 f(2) + f(2) = 0得
f(2) = 0.结合f(1) = 9,即可求得f(2016) + f(2017) + f(2018)的值.∵ f(2 + x) + f(2 −x) = 0
∴f(2 + x) = −f(2 −x) ┄①
∵ f(x)为奇函数,故f(−x) = −f(x)
∴f(2 −x) = f[−(x −2)] = −f(x −2) ┄②
由①②可得:f(2 + x) = f(x −2)
即:f(x + 4) = f(x) 可得:f(x)的周期为4
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,可得: f(0) = 0
∵ 当x = 0时, 由f(2 + x) + f(2 −x) = 0,可得: f(2 + 0) + f(2 −0) = 0
答案
解析
7
∴ f(2) = 0
∴f(2016) = f(504 × 4 + 0) = f(0)
f(2017) = f(2016 + 1) = f(1) = 9
f(2018) = f(2016 + 2) = f(2) = 0
∴ f(2016) + f(2017) + f(2018) = 9
故答案为:9.
本题考查通过奇函数的定义及周期函数的定义求函数的周期,解题关键是通过赋值法求特定的函数值和利用周
期性求函数的值.
07 函数图像与函数零点
1
1
函数y = lg(2x + 1) + lg x的零点是
．
1
2
利用对数运算及零点含义可得答案.
由题意可得函数的定义域为(0, +∞).
y = lg(2x + 1) + lg x = lg(2x2 + x)，令y = 0可得2x2 + x = 1，解得x = 1
2 或x = −1（舍），
故答案为：1
2 .
答案
解析
2
已知f (x) = {
，若存在实数b，使函数g (x) = f (x) −b有两个零点，则a的取值范围是
．
(−∞, 0) ⋃(1, +∞)
由g(x) = f(x) −b有两个零点可得f(x) = b有两个零点，即y = f(x)与y = b的图象有两个交点，则函数在定义
域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围
∵g(x) = f(x) −b有两个零点，
∴f(x) = b有两个零点，即y = f(x)与y = b的图象有两个交点，
由x3 = x2可得，x = 0或x = 1
①当a > 1时，函数f(x)的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a > 1满足题意
x3, x ≤a
x2, x > a
答案
解析
2
②当a = 1时，由于函数f(x)在定义域R上单调递增，故不符合题意
③当0 < a < 1时，函数f(x)单调递增，故不符合题意
④a = 0时，f(x)单调递增，故不符合题意
⑤当a < 0时，函数y = f(x)的图象如图所示，此时存在b使得，y = f(x)与y = b有两个交点
综上可得，a < 0或a > 1
故答案为：(−∞, 0) ∪(1, +∞)
本题考查了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．
3
设0 < a < b，则函数y = |x −a|(x −b)的图像大致现状是（ ）
3
A.
B.
C.
D.
B
将函数去掉绝对值，化为y = {
，结合二次函数图像的画法即可求解.
由y = {
根据0 < a < b以及二次函数的图像做法，绘制图像可知B正确.
故选：B.
本题考查了分段函数的图像以及二次函数的图像，属于基础题.
答案
解析
(x −a)(x −b), x ⩾a
−(x −a)(x −b), x < a
(x −a)(x −b), x ⩾a
−(x −a)(x −b), x < a
4
定义在R上的偶函数y = f (x)，当x ≥0时，f (x) = lg (x2 −3x + 3)，则f (x)在R上的零点个数为
个.
4
因为函数y = f (x)是定义在R上的偶函数,求出x ≥0时,f (x)在的零点个数,根据偶函数关于y轴对称,即可求得
f (x)在R上的零点个数.当x ≥0时,f (x) = lg (x2 −3x + 3),
函数的零点由:lg (x2 −3x + 3) = 0,
即x2 −3x + 3 = 1,
解得x = 1或x = 2.
∵ 函数是定义在R上的偶函数y = f (x),
根据偶函数关于y轴对称,
∴ 函数的零点个数为:4个.
故答案为:4.
答案
解析
4
本题考查了求偶函数的零点个数问题,解题关键是掌握偶函数图像关于y轴对称,属于基础题.
08 三角比
1
1
设θ为第二象限角，若tan θ = −1
2 ，则sin θ + cos θ =
.
−
√5
5
由同角三角函数的基本关系，列方程组解出sin θ, cos θ，求和即可.
θ为第二象限角，则sin θ > 0，cos θ < 0，
若tan θ = −1
2 ，则有
，解得
，
所以sin θ + cos θ = √5
5
−2√5
5
= −√5
5 .
故答案为：−√5
5 .
答案
解析
⎧
⎨
⎩
sin θ
cos θ = −1
2
sin2 θ + cos2 θ = 1
⎧
⎨
⎩
sin θ = √5
5
cos θ = −2√5
5
2
若 cos (θ + π
3 ) = 1 ，则 cos θ =
1
2
根据 cos θ = cos (θ + π
3 −π
3 ) ，利用两角差的余弦公式可求出结果.
因为 cos (θ + π
3 ) = 1 ，所以 sin (θ + π
3 ) = 0 ，
所以 cos θ = cos (θ + π
3 −π
3 ) = cos (θ + π
3 ) cos π
3 + sin (θ + π
3 ) sin π
3
答案
解析
= 1 × 1
2 + 0 × √3
2
= 1
2 .
2
故答案为: 1
2 .
3
已知sin (α + π) = 4 cos α，则tan 2α =
．
8
15
利用诱导公式将sin (α + π) = 4 cos α化简，求出tan α，再利用二倍角公式求值.
因为sin (α + π) = 4 cos α，所以−sin α = 4 cos α，所以tan α = −4，
所以tan 2α =
2 tan α
1 −tan2 α = 8
15 ．
故答案为：8
15
答案
解析
4
若tan (α + β) = 3，tan (α +
π
4 ) = −3，则tan (β −
π
4 )的值为
−3
4
因为tan (α + β) = 3，tan (α +
π
4 ) = −3，
所以tan (β −
π
4 ) = tan [(α + β) −(α +
π
4 )]
=
tan (α + β) −tan (α +
π
4 )
1 + tan (α + β) tan (α +
π
4 )
=
3 + 3
1 + 3 × (−3) = −3
4 .
故答案为：−3
4
答案
解析
5
设点P是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置P0 (1, 0)出发，沿单位圆按逆时针方向转动角
α (0 < α < π
2 )后到达点P1，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角π
4 到达P2．若点P2的横坐标为−3
5 ，则点P1的
纵坐标为
．
3
7√2
10
由P2在单位圆上，得到P2的坐标，再根据三角函数的定义得出cos (α + π
4 )的值，从而求出sin (α + π
4 )的
值，在运用两角差的余弦公式求解.
由题可知cos (α + π
4 ) = −3
5 ，因为π
4 < α + π
4 < 3π
4 ，
所以sin (α + π
4 ) = 4
5
sin α = sin [(α + π
4 ) −π
4 ] = sin (α + π
4 ) cos π
4 −cos (α + π
4 ) sin π
4
= √2
2 ( 4
5 + 3
5 ) = 7√2
10 .
故答案为：7√2
10
答案
解析
09 解三角形
1
1
在△ABC中，内角A, B, C的对边分别是a, b, c，若a2 −b2 = 3bc, sin C = 2 sin B，则A =
.
2π
3
首先根据正弦定理角化边公式得到c = 2b，再结合余弦定理求解即可.
因为sin C = 2 sin B，所以c = 2b，因为a2 −b2 = 3bc，
所以cos A = b2 + c2 −a2
2bc
= −3bc + 2bc
2bc
= −1
2 ，
因为0 < A < π，所以A = 2π
3 .
故答案为：2π
3
答案
解析
2
已知△ABC的角A、B、C对应边长分别为a、b、c，a = 4，b = 5，c = 6，则sin A =
√7
4
由余弦定理求出cos A，由平方关系求得结果.
由余弦定理可得cos A = b2 + c2 −a2
2bc
= 52 + 62 −42
2 × 5 × 6
= 3
4 ，
∴sin2 A = 1 −cos2 A = 1 −( 3
4 )
2
= 7
16 ，又0 < A < π，
∴sin A = √7
4 .
故答案为：
√7
4 .
答案
解析
3
△ABC的内角A, B, C的对边分别为a，b，c，若cos A = 4
5 , cos B = 5
13 , a = 1，则b =
．
2
20
13
由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A，sin B的值，进而利用正弦定理可求b的值．
因为cos A = 4
5 , cos B = 5
13 , a = 1，
且A, B ∈(0, π)，可得sin A = √1 −cos2A = 3
5 ，sin B = √1 −cos2B = 12
13 ；
由正弦定理
a
sin A =
b
sin B 可得：b = a sin B
sin A
= 20
13 ．
故答案为：20
13 ．
答案
解析
4
某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B．某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情．在A处观
测到火情发生在北偏西40∘方向，而在B处观测到火情在北偏西60∘方向．已知B在A的正东方向10km处（如图所
示），则|BC −AC| =
km. （精确到0.1km）
7.8
根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果.
由题意可得，AB = 10，∠ABC = 30∘，∠CAB = 130∘，则∠ACB = 20∘，
在△ABC中，由正弦定理可得，
AB
sin ∠ACB =
AC
sin ∠ABC =
BC
sin ∠BAC ，
即
10
sin 20∘=
AC
sin 30∘=
BC
sin 130∘，
所以AC = 10 sin 30∘
sin 20∘
≈14.6km，
BC = 10 sin 130∘
sin 20∘
≈22.4km，
则|BC −AC| = 22.4 −14.6 = 7.8km.
答案
解析
3
故答案为：7.8
10 三角函数的图像与性质
1
1
已知函数f (x) = sin (2x + π
6 ) (0 ≤x ≤π)，且f (α) = f (β) = 1
3 (α ≠β)，则α + β =
．
4π
3
利用正弦函数的的对称性可得2α + π
6 + 2β + π
6 = 2 ⋅3π
2 ，由此求得α + β的值．
∵函数f (x) = sin (2x + π
6 ) (0 ≤x ≤π)，
∴2x + π
6 ∈[ π
6 , 13π
6 ]，
∵f (α) = f (β) = 1
3 （α ≠β），
则由正弦函数的对称性可得：2α + π
6 + 2β + π
6 = 2 ⋅3π
2 ，
所以α + β = 4π
3 ，
故答案为：4π
3 .
答案
解析
2
关于x的不等式sin x ≥cos2 x + a对任意x ∈R恒成立，则实数a的最大值为
.
−5
4
令t = sin x,t ∈[−1, 1]，将不等式转化成关于t的一元二次不等式，根据一元二次函数性质即可求出结果.
因为sin x ≥cos2 x + a，
所以sin x ≥1 −sin2 x + a，即sin2 x + sin x −1 ≥a，
令t = sin x，t ∈[−1, 1]，有t2 + t −1 ≥a
令f (t) = t2 + t −1，t ∈[−1, 1]，要使不等式sin2 x + sin x −1 ≥a对于任意x ∈R恒成立，
只需满足a ≤f(t)min，t ∈[−1, 1]，
函数f (t)在[−1，−1
2 ]上单调递减，在[−1
2 , 1]上单调递增，
所以t = −1
2 时，即sin x = −1
2 ，得x = π
6 + (2k + 1)π, k ∈Z或x = 5π
6 + (2k + 1)π, k ∈Z，f (t)有最小值，
答案
解析
2
f (−1
2 ) = 1
4 −1
2 −1 = −5
4 ，得a ≤−5
4 ，所以实数a的最大值为−5
4 .
故答案为：−5
4 .
3
将函数f(x) = sin 2x + 2√3cos2x −√3图象向右平移
π
12 个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不
变），得到函数g (x)的图象，则下列说法中正确的是（ ）
A. g (x)的周期为 π
B. g (x)是偶函数
C. g (x)的图象关于直线x =
π
12 对称
D. g (x)在(−
π
6 ,
π
3 )上单调递增
D
首先利用三角恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，再利用图象的平移变换和伸缩变换的应用求出
函数g (x) 的关系式，然后再利用正弦函数的性质对各选项进行判断，即可得到结果．
函数f (x) = sin 2x + 2√3cos2x −√3 = sin 2x + √3 cos 2x = 2 sin (2x + π
3 )，
把函数图象向右平移
π
12 个单位，
得到y = 2 sin [2 (x −π
12 ) + π
3 ] = 2 sin (2x + π
6 )，
再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得到g (x) = 2 sin (x + π
6 )．
①故函数的最小正周期为2π，故选项A错误；
②函数g (x) ≠g (−x)，不为偶函数，故选项B错误；
③当x =
π
12 时，g ( π
12 ) = √2 ≠2，故选项C错误；
④由于x ∈(−π
6 , π
3 )，所以0 < x + π
6 < π
2 ，
故函数g (x) 单调递增，故选项D正确．
故选：D．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数
的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
答案
解析
11 平面向量
1
1
设向量 →a ⋅→b 满足 |→a| = 5, |→b | = 6 ⋅(→a + →b ) ⋅→b = 21 ，则 ⟨→a,→b ⟩=
2π
3
【分析】运用数量积定义，结合运算律求解即可.
【详解】 (→a + →b ) ⋅→b = 21, 则 →a ⋅→b + →b 2 = 21, 即 |→a| ⋅|→b | cos⟨→a,→b ⟩+ |→b |2 = 21, 代入数值，得到
5 × 6 × cos⟨→a,→b ⟩+ 62 = 21 ，解得 cos⟨→a,→b ⟩= −1
2 ，则 ⟨→a，→b ⟩= 2π
3 .故答案为: 2π
3 .
答案
解析
2
已知向量
→a = (1, √3)，
→
b = (0，1)，则
→
b 在
→a方向上的投影向量等于
.
( √3
4 , 3
4 )
求出→a ⋅→b = √3, |→a| = 2，根据投影向量的概念即可求得答案.
由题意向量
→a = (1, √3)，
→
b = (0，1)，则→a ⋅→b = √3, |→a| = 2，
则
→
b 在
→a方向上的投影向量为→a ⋅→b
|→a|
⋅→a
|→a| = √3
2
⋅1
2 ⋅(1, √3) = ( √3
4 , 3
4 )，
故答案为：( √3
4 , 3
4 )
答案
解析
3
设→
m,→n是两个单位向量，向量→a = →
m −2→n，且→a = (2, 1)，则→
m,→n的夹角为
.
90∘
答案
2
利用向量数量积的定义和运算律求解即可.
由→a = (2, 1)可得→a
= √22 + 12 = √5，
又因为→
m,→n是两个单位向量，所以→
m ⋅→n =
→
m
→n
cos ⟨→
m,→n⟩= cos ⟨→
m,→n⟩，
所以→a 2 = (→
m −2→n)
2
= →
m2 −4→
m ⋅→n + 4→n2，
解得cos ⟨→
m,→n⟩= 0，即→
m,→n的夹角为90∘，
故答案为：90∘
解析
4
在△ABC中，E为AC的中点，D是线段BE上的动点，若AD = xAB + yAC，则1
x + 2
y 的最小值为
.
9
先根据题意得出AD = xAB + 2yAE，然后根据B、E、D三点共线得出x + 2y = 1 (x > 0, y > 0)，最后通过基
本不等式即可求出最值.
如图，
因为AD = xAB + yAC，E为边AC的中点，所以AD = xAB + 2yAE，
因为B、E、D三点共线，所以x + 2y = 1 (x > 0, y > 0)，
则1
x + 2
y = ( 1
x + 2
y ) × (x + 2y) = 5 + 2y
x + 2x
y ≥5 + 2√2y
x × 2x
y = 9，
当且仅当x = 1
3 、y = 1
3 时取等号，故1
x + 2
y 的最小值为9.
故答案为：9.
−
→
−
→
−
→
答案
解析
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
12 结课测
1
1
已知函数f (x) = x2 + ax + 4，x ∈[b, 3]是偶函数，则a + b =
.
−3
根据偶函数的定义求出a, b即可.
因为函数f (x) = x2 + ax + 4是偶函数，
所以f (−x) = f (x)，即x2 −ax + 4 = x2 + ax + 4，可得a = 0，
又因为x ∈[b, 3]，可得b = −3，
即f (x) = x2 + 4在x ∈[−3, 3]上是偶函数，
则a + b = −3.
故答案为：−3.
答案
解析
2
若3 −i(i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程x2 + ax + 10 = 0的一个虚根，则a =
．
−6
利用实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出.
∵3 −i(i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程x2 + ax + 10 = 0的一个虚根，
∴3 + i（i为虚数单位）也是关于x的实系数一元二次方程x2 + ax + 10 = 0的的一个虚根，
∴3 −i + (3 + i) = −a，解得a = −6
故答案为：−6．
答案
解析
3
已知log73 = a，log74 = b，用a，b表示log4948为
．
答案
2
a + 2b
2
试题分析：log4948 = 1
2 log748 = 1
2 log73 × 16 = 1
2 (log73 + 2log74) = 1
2 (a + 2b)．
考点：1、换底公式；2、对数的运算．
解析
4
下列向量中，与向量
→a = (3, 4)共线的一个单位向量是（ ）
A. (−6, −8)
B. (−3
5 , −4
5 )
C. (8, 6)
D. ( 4
5 , 3
5 )
B
根据条件，直接求出与
→a = (3, 4)共线的单位向量，即可求解.
设与向量
→a = (3, 4)共线的单位向量为
→
b = λ
→a = (3λ, 4λ) (λ ≠0)，
则√9λ2 + 16λ2 = 5 |λ| = 1，解得λ = ± 1
5 ，所以
→
b = ( 3
5 , 4
5 )或
→
b = (−3
5 , −4
5 )，
故选：B.
答案
解析
5
在△ABC中，a = x, b = 2, ∠B = 45∘，若解三角形时有两解，则x的取值范围是（ ）
A. x > 2
B. x < 2
C. 2 < x < 2√2
D. 2 < x ≤2√2
C
根据题意画出图形，根据三角形有两个解的条件列式即可求得x的取值范围.
根据题意作图，如下图所示
答案
解析
3
当x的值确定以后，以C为圆心，2为半径的圆与c边的交点即为顶点A的位置，
由图可知，两种临界条件分别为：
（1）圆与c边所在直线相切，此时∠CAB = 90∘，三角形只有一个解，
此时根据正弦定理，
a
sin A =
b
sin B ，可得x = 2√2；
（2）圆过B时，∠CAB = 45∘，三角形只有一个解，此时x = 2；
所以当2 < x < 2√2时，三角形有两个解，
所以x的取值范围为2 < x < 2√2.
故选：C.
6
已知f (x) = x3 + (2a −1)x + b
x + a
(a, b ∈R).
(1)
当a = 0时， 判断函数y = f(x)的奇偶性;
(2)
若函数y = f(x)的图像经过点(1, 2)， 且函数y = f(x) −x2在[0, 2]上有两个不相等的零点，求实数b的值以及实
数a的取值范围.
(1) 函数 y = f(x)既不是奇函数也不是偶函数
(2) b = 2， a < −1
2 且 a ≠−1
(1) 当a = 0时，f (x) = x3 −x + b
x
= x2 + b
x −1，
因为f (−x) = x2 −b
x −1 ≠f (x) ≠−f (x)，
所以函数y = f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2) 因为函数y = f(x)的图像经过点(1, 2)，
所以2 = 1 + 2a −1 + b
1 + a
，则b = 2，且a ≠−1，
所以f (x) = x3 + (2a −1)x + 2
x + a
，
令g (x) = f (x) −x2 = −(x −2) (ax + 1)
x + a
= 0，
则(x −2) (ax + 1) = 0，
因为函数y = f(x) −x2在[0, 2]上有两个不相等的零点，
所以a ≠0且0 < −1
a < 2，解得a < −1
2 ，
综上，b = 2，a < −1
2 且a ≠−1.
答案
解析
4
7
设ω > 0，函数y = f(x)的表达式为f (x) = cos (ωx −π
6 ).
(1)
若ω = 2，设△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，f (C) = −√3
2 ，且c2 −a2 −b2 = 4，求△ABC的面积.
(2)
对任意的x0 ∈R，皆有f (x0) ≤f ( π
3 )成立，且该函数在区间( π
6 , π
2 )上不存在最小值，求函数y = f (x)在
x ∈( 4π
3 , 17π
6 )的单调区间.
(1) √3
(2) 函数在 ( 4π
3 , 7π
3 )单调递减，在 ( 7π
3 , 17π
6 )单调递增
(1) 因为ω = 2，所以f (x) = cos (2x −π
6 )，
所以f (C) = cos (2C −π
6 ) = −√3
2 ，解得2C −π
6 = 7π
6 或5π
6 ，
所以C = π
2 或2π
3 ，
若C = π
2 ，则c2 = a2 + b2，不符；所以C = 2π
3 ，
所以cos C = a2 + b2 −c2
2ab
= −1
2 ，所以c2 = a2 + b2 + ab，
由c2 −a2 −b2 = 4，
得4 + a2 + b2 = a2 + b2 + ab，所以ab = 4，
S△ABC = 1
2 ab sin C = 1
2 × 4 × √3
2
= √3；
(2) 由f ( π
3 ) = 1，得ωπ
3 −π
6 = 2kπ，所以ω = 6k + 1
2 ，k ∈Z，
令t = ωx −π
6 ，因为x ∈( π
6 , π
2 )，所以t ∈( π
6 ω −π
6 , π
2 ω −π
6 )，
又函数在( π
6 , π
2 )无最小值，
所以
，解得ω ∈(0, 10
3 )，
所以k = 0，则ω = 1
2 ，所以f (x) = cos ( 1
2 x −π
6 )，
令2kπ ≤1
2 x −π
6 ≤2kπ + π，所以4kπ + π
3 ≤x ≤4kπ + 7π
3 , k ∈Z，
当k = 0时，π
3 ≤x ≤7π
3 ，
因为x ∈( 4π
3 , 17π
6 )， 所以f (x)在( 4π
3 , 7π
3 )单调递减，在( 7π
3 , 17π
6 )单调递增.
答案
解析
⎧
⎨
⎩
π
6 ω −π
6 > −π
2
π
2 ω −π
6 < 3π
2
ω > 0
