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专题16 直线与圆几何问题题型深度剖析与总结
目录
01 模拟基础练...............................................................................................................2
题型一：直线的方程.....................................................................................................2
题型二：圆的方程.........................................................................................................2
题型三：直线、圆的位置关系.....................................................................................2
题型四：圆的动点与距离问题.....................................................................................3
题型五：阿氏圆.............................................................................................................3
题型六：米勒定理与角度问题.....................................................................................4
题型七：圆的数形结合.................................................................................................4
重难点突破：与距离问题有关的最值.........................................................................5
02 重难创新练...............................................................................................................6
1
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题型一：直线的方程
1．已知直线
，若
，则
.
2．已知直线：
和
：
，若
，则实数
.
3．已知点
，直线
与
轴相交于点
，则
中，
边上的高
所在直线
的方程是 .
题型二：圆的方程
4．圆心在抛物线
上，并且与抛物线的准线及
轴都相切的圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知抛物线
上有一点
，且点
在第一象限，以
为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦
点，那么这个圆的方程为 .
6．在平面直角坐标系中，
的坐标满足
，
，已知圆
，过
作圆
的两条切
线，切点分别为
，当
最大时，圆
关于点
对称的圆的方程为 ．
题型三：直线、圆的位置关系
7．已知集合
，
，则集合
中元素的个数为（ ）
2
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A．2
B．1
C．0
D．不确定
8．已知直线
过定点A，
过定点B，与
交于点P（异于
A，B 两点），则
的面积的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知不重合的圆
都过点
，且均与两坐标轴相切，则圆
的公共弦长为（ ）
A．1
B．
C．
D．
题型四：圆的动点与距离问题
10．已知点
，若圆
上存在点
满足
，则实数
的取
值的范围是 .
11．如果实数
，
满足
，则
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．若
分别为圆
，与圆
上的动点，
为直线
上的动点，则
的最小值为 ．
13．点
在圆
上，则
的范围是 ．
题型五：阿氏圆
14．（多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点
，
的距离之比为定值
的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐
3
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标系
中，
，
，动点
满足
，直线
，则（ ）
A．动点
的轨迹方程为
B．直线与动点
的轨迹一定相交
C．动点
到直线距离的最大值为
D．若直线与动点
的轨迹交于
，
两点，且
，则
题型六：米勒定理与角度问题
15．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点
是锐角
的一边
上的两点，试在
边上找
一点
，使得
最大.”如图，其结论是：点
为过
两点且和射线
相切的圆与射线
的切点.
根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系
中，给定两点
，点
在
轴上移动，
当
取最大值时，点
的横坐标是 .
16．已知
，
，P 是圆O：
上的一个动点，则
的最大值为 .
17．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点
，
是
的
边上的
两个定点，
是
边上的一个动点，当
在何处时，
最大？问题的答案是：当且仅当
的外
接圆与边
相切于点
时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点
，
的坐标分别是
，
，
是
轴正半轴上的一动点.若
的最大值为
，则实数
的值可以为（ ）
4
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A．
B．2
C．3
D．4
18．在平面直角坐标系
中，
，
，
在直线
上运动，当
最大时，过
，
三点的圆方程为_________．
题型七：圆的数形结合
19．已知点
、
在圆
上，点
在直线
上，点
为
中点，若
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．已知直线
与y 轴交于点A，点P 在直线l 上（异于点A），过点P 作圆
的
两条切线，切点分别为M，N，当
最大时，四边形
的面积为（ ）
A．2
B．4
C．5
D．6
21．已知直线
与圆
，点
在直线上，过点
作圆
的切线，切
点分别为
，当
取最小值时，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．若当动点
在圆
上运动时，
的取值范围
，则圆心
（ ）
A．一定在直线
上
B．一定在直线
上
C．一定在直线
上
D．一定在直线
上
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重难点突破：与距离问题有关的最值
23．已知圆
和圆
，
分别是圆
上的动点，
为
轴
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．已知点
，
，在
轴上找一点
使
最大，则
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
25．设直线l：
，点
，
，P 为l 上任意一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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1．若直线：
与直线
：
平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若动点
到
的距离之比为
．则点
到直线
的最小距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知圆M 的方程为
，圆N 上任意一点P 到定点
，
的距离比为
，
则圆M 与圆N 的位置关系是（ ）
A．相交
B．相离
C．外切
D．内切
4．已知点
，
在圆
上，点
，
，则使得
是面积为
的等
边三角形的点
的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．已知过点
的直线与圆
交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．过直线
上一点
作圆
的两条切线，
，切点分别为A，B，当直线，
关于
对称时，线段
的长为（ ）
A．4
B．
C．
D．2
7．已知直线
与
相交于
两点，且
为等边三角形，则实数
（ ）
7
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A．
或2
B．
或4
C．
D．
8．已知直线过点
且倾斜角为
，若与圆
相切，则
A．
B．
C．
D．
9．（多选题）如图，经过坐标原点O 且互相垂直的两条直线AC 和BD 与圆
相交于A，
C，B，D 四点，M 为弦AB 的中点，下列结论正确的是（ ）
A．AO 长度的最大值为
B．线段BD 长度的最小值为
C．点M 的轨迹是一个圆
D．四边形ABCD 面积的取值范围为
10．（多选题）已知圆
，点
为圆上一点，点
为坐标原点，则下列叙述正
确的有（ ）
A．点
在圆外
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
11．（多选题）已知直线
和圆
相交于M，N 两点，则下列说法
正确的是（ ）
A．直线过定点
B．
的最小值为3
C．
的最小值为
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D．圆
上到直线的距离为
的点恰好有三个，则
12．在平面直角坐标系xOy 中，射线
，
，半圆C：
.现从点
向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线、
时会发生镜面反射.设光线在
发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C 没有交点，则k 的取值范围是 .
13．在平面中，
和
是互相垂直的单位向量，向量
满足
，向量
满足
，求
在
方向上的数量投影的最大值 ．
14．过抛物线
上一动点
作圆
的两条切线，切点分别为
，若
的最小值是
，则
.
15．已知实数
、
满足
，则
的取值范围是 .
9
