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专题16 直线与圆几何问题题型深度剖析与总结
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................6
05 核心精讲·题型突破.........................................................................................................................8
题型一：直线的方程
8
题型二：圆的方程
9
题型三：直线、圆的位置关系
10
题型四：圆的动点与距离问题
11
题型五：阿氏圆
12
题型六：米勒定理与角度问题
13
题型七：圆的数形结合
14
重难点突破：与距离问题有关的最值
15
1
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直线与圆是高考数学的重点内容。考查形式多为选择题、填空题，难度中档。常考求直线（圆）方程、
点到直线距离、判断直线与圆位置关系，以及简单弦长与切线问题。其中，直线方程、圆的方程、两直线
平行与垂直关系等是基础考点，需熟练掌握相关公式和判定方法 ，注重数形结合解题.
考点要求
目标要求
考题统计
考情分析
直线与方程
掌握直线方程，
运用数形结合解
题
2024 年北京卷第3 题，4 分
2023 年I 卷第6 题，5 分
2025 年高考数学可能
会涉及直线与圆的方程，
包括直线方程的一般形
式、圆方程的标准形式
等。同时，可能会考察直
线与圆的位置关系，如相
交、相切、相离等，以及
相关的计算和应用。
直线与圆的位置关系
理解位置关系，
渗透数学思想方
法
2024 年甲卷（理）第12 题，5 分
2023 年甲卷（理）第8 题，5 分
2023 年II 卷第15 题，5 分
2022 年II 卷第15 题，5 分
圆与圆的圆的位置关
系
掌握判定方法及
应用
2022 年II 卷第14 题，5 分
2
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3
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1、直线与圆的位置关系
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心
到直线
的距离，则
：
直线与圆相交，交于两点
，
；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由
，
消元得到一元二次方程
，
判别式为
，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
2、圆与圆的位置关系
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆
的半径分别是
，（不妨设
），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；.
302
4
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两圆相离
两圆内切；
两圆内含（
时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为
，
，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0
3、关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆
上一点
的圆的切线方程为
．
（2）过圆
上一点
的圆的切线方程为
（3）过圆
上一点
的圆的切线方程为
（4）求过圆
外一点
的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为
，利用
圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情
形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
5
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1．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线
与圆
交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
2．（2024 年北京高考数学真题）圆
的圆心到直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b 是
的等差中项，直线
与圆
交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．
4．（2024 年天津高考数学真题）已知圆
的圆心与抛物线
的焦点
重合，且两曲
线在第一象限的交点为
，则原点到直线
的距离为 ．
5．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线
与
交于A，B 两点，
写出满足“
面积为
”的m 的一个值 ．
6．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数
满足
，则
的最大值
是（ ）
A．
B．4
C．
D．7
7．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域
6
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内随机取一点，记该点为A，则直线OA 的倾斜角不大于
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
9．（2022 年新高考天津数学高考真题）若直线
被圆
截得的弦长为
，则
的值为 ．
10．（2022 年新高考全国II 卷数学真题）设点
，若直线
关于
对称的直线与圆
有公共点，则a 的取值范围是 ．
11．（2022 年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M 在直线
上，点
和
均在
上，
则
的方程为 ．
12．（2022 年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点
中的三点的一个圆的方程为
．
7
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题型一：直线的方程
【典例1-1】已知
，
，若
的平分线方程为
，则
所在直线的一般方程为
.
【典例1-2】光从介质1 射入介质2 发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2 相对介质1 的折射
率.如图，一个折射率为
的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以
的入射角从空气中射
入点
，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 .
1 、已知直线
，直线
，则
，且
(或
)，
.
2、点
到直线
(A，B 不同时为零)的距离
.
3、两条平行直线
，
(A，B 不同时为零)间的距离
.
8
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【变式1-1】已知过原点的直线与圆
相交于
两点，若
，则直线的方程为
．
【变式1-2】一条光线经过点
射到直线
上，被反射后经过点
，则入射光线所在直
线的方程为 ．
1.过定点A 的直线
与圆
交于B，C 两点，点B 恰好为AC 的中点，写出满
足条件的一条直线的方程 ．
题型二：圆的方程
【典例2-1】如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为
米，
门在地面处的宽度为
米.现将其截面图放置在直角坐标系
中，以地面所在的直线为
轴，过圆心的竖
直直线为
轴，则门的轮廓所在圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
9
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【典例2-2】过点
引圆
：
的两条切线，切点分别为
，
．若
，则
过
，
，
三点的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
1、
的方程
圆
（1）圆的定义
在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
（2）圆的标准方程
设圆心的坐标
，半径为
，则圆的标准方程为：
（3）圆的一般方程
圆方程为
，圆心坐标：
，半径：
【变式2-1】已知直线l 与抛物线
交于A，B 两点（B 在第一象限），C 是抛物线
的准线与直线
l 的交点，F 是抛物线G 的焦点，若
，则以AB 为直径的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切
线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：
的离心率为
，则椭圆C 的蒙日圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
10
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1.已知圆
，P 为直线
上的动点，过点P 作圆C 的切线
，切点为
A，当
的面积最小时，
的外接圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：直线、圆的位置关系
【典例3-1】若直线
与曲线
恰有两个交点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3-2】在平面直角坐标系
中，满足不等式组
的点
表示的区域面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
1、直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.
2、圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.
【变式3-1】设圆
和不过第三象限的直线
，若圆
上恰有三点到直
线的距离均为2，则实数
（ ）
A．
B．1
C．21
D．31
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【变式3-2】已知圆
与圆
交于
、
两点，则
（
为圆
的圆心）面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
1.设有一组圆
，若圆
上恰有两点到原点的距离为1，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：圆的动点与距离问题
【典例4-1】若实数
、
满足条件
，则
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例4-2】已知点
，
，若圆
上存在点P 满足
，则实数a 的
取值的范围是 ．
解决与圆相关的长度或距离的最值问题，通常的策略是根据所涉及的长度或距离的几何定义，借助圆
的几何特性，通过数形结合的方法来寻找解答。
【变式4-1】已知点
是圆
上一点，则
的范围是 ．
【变式4-2】已知点P(m，n)在圆
上运动，则
的最大值为 ，
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最小值为 ，
的范围为 ．
1.已知实数x，y 满足
，则
的最小值为 ．
题型五：阿氏圆
【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比
为常数
且
的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿
氏圆.已知点
是圆
上任一点，点
，
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【典例5-2】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值
的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已
知在平面直角坐标系
中，
，
，若点
是满足
的阿氏圆上的任意一点，点
为
抛物线
上的动点，
在直线
上的射影为
，则
的最小值为
.
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一般地，平面内到两个定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯
圆”．特殊地，当
时，点P 的轨迹是线段AB 的中垂线．
【变式5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M 与两个定点A，B 的距离之比为常数
（
，
），则点M 的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知
，M 是平面内一动点，且
，则点M 的轨迹方程为 .若点Р 在圆
上，则
的最小值是 .
【变式5-2】已知实数
满足
，则
的最小值为 .
1.阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发现：“平
面内到两个定点A，B 的距离之比为定值
的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称
阿氏圆.已知在平面直角坐标系
中，
，
，点P 是满足
的阿氏圆上的任意一点，
则该阿氏圆的方程为 ；若Q 为抛物线
上的动点，Q 在y 轴上的射影为M，则
的最小值为 .
题型六：米勒定理与角度问题
【典例6-1】（多选题）已知点
在圆
：
上，点
，
，则下列说法中正
确的是（ ）
A．点
到直线
的距离小于6
B．点
到直线
的距离大于2
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C．
的最大值为
D．
的最大值为
【典例6-2】德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点
是
的
边上的两个定点，C 是
边上的一个动点，当且仅当
的外接圆与边
相切于点C 时，
最大．在平面直角坐标系中，已知点
，
，点F 是y 轴负半轴的一个动点，当
最大时，
的外接圆的方程是（ ）．
A．
B．
C．
D．
米勒定理：已知点
，
是
的边
上的两个定点，点
是边
上的一动点，则当且仅当三
角形
的外接圆与边
相切于点
时，
最大．
【变式6-1】已知
为坐标原点，点
，圆
，点
为圆
上的一动点，则
的最小值为 .
【变式6-2】已知圆C：
，点P 是圆C 上的动点，点
，当
最大时，
所在
直线的方程是 .
1.已知
，
，
是圆
上的一个动点，则
的最大值为 .
题型七：圆的数形结合
【典例7-1】过直线
上一点
作圆
的两条切线
，当直线
关于直线
对
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称时，点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例7-2】已知
是圆
上一动点，若直线
上存在两点
，使得
能成立，则线段
的长度的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
利用几何意义转化
【变式7-1】已知
是圆
上一个动点，且直线
与直线
相交于点
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
1.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线
与直线
交于点P，则对任意实数a，
的最小值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
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重难点突破：与距离问题有关的最值
【典例8-1】已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例8-2】
，
，函数
的最小值为 .
利用几何意义转化
【变式8-1】已知
，则
的最小值为 .
1.著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事
实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知
，则
的最小值为 ．
17
